LISTA 2. Szeregi funkcyjne.

Zad. 1: Zbadać zbieżność ciągów funkcyjnych:

a)

( )

n

n

n

x

x

x

f

+

=

1

dla (i) 0≤x≤1-k, (ii) 1-k≤x≤1+k, (i) 1+k≤x<+∞ (k>0);

b)

( )

n

n

n

x

n

x

f

1

=

dla 1≤x<+∞; c)

( )

2

2

1

n

x

x

f

n

+

=

dla -∞<x<+∞.

Zad. 2: Zbadać zakresy zbieżności szeregów funkcyjnych:

a)

∑

∞

=1

1

n

x

n

; b)

( )

∑

∞

=

+

−

1

ln

1

1

1

n

x

n

n

.

Zad. 3: Za pomocą kryterium Weierstrassa zbadać jednostajną zbieżność szeregów
funkcyjnych:

a)

∑

∞

=

+

1

2

5

1

n

x

n

nx

dla 0<a≤x<+∞; b)

( )

∑

∞

=

+

−

1

2

1

1

n

n

n

x

dla -2<x<+∞;

c)

∑

∞

=

−

1

2

2

2

n

x

n

n

e

dla -∞<x<+∞; d)

∑

∞

=

+

−

1

2

1

2

cos

!

)

1

(

n

n

n

nx

n

n

dla -∞<x<+∞.

Zad. 4: Wyznaczyć promienie zbieżności szeregów potęgowych:

a)

∑

∞

=

+

1

)

1

(

n

n

n

n

x

; b)

∑

∞

=1

2

)!

2

(

)

!

(

n

n

x

n

n

; c)

∑

∞

=

+

+

+

1

1

1

)

1

ln(

n

n

x

n

n

; d)

∑

∞

=

−

−

−

1

1

3

)

5

(

)

1

(

n

n

n

n

n

x

.

Zad. 5: Rozwinąć w szeregi potęgowe w punkcie x=0 funkcje:

a)

x

x

f

+

=

1

1

)

(

; b)

2

)

1

(

1

)

(

x

x

f

−

=

; c)

2

2

1

)

(

x

x

x

x

f

−

+

=

; d)

)

1

)(

1

(

)

(

2

x

x

x

x

f

−

−

=

.

Zad. 6: Rozwinąć w szeregi Fouriera funkcje:

a)

π

≤

=

x

x

x

f

,

)

(

; b)

π

<

=

x

x

x

f

,

)

(

3

; c)

π

2

0

,

1

)

(

<

<

−

=

x

e

x

f

x

;

d)



















≤

<

=

<

<

−

−

=

−

<

≤

−

=

π

π

x

dla

x

dla

x

dla

x

dla

x

dla

x

f

1

0

1

2

1

1

1

1

1

2

1

1

0

)

(

; e)

1

0

,

2

)

(

<

<

=

x

x

x

f

; f)











≤

≤

−

<

<

≤

≤

=

3

2

3

2

1

1

1

0

)

(

x

dla

x

x

dla

x

dla

x

x

f

.

Zad. 8: Rozwinąć w cosinusowe szeregi Fouriera funkcje:

a)

π

≤

≤

=

x

x

x

f

0

,

3

sin

)

(

; b)

π

≤

≤

=

x

e

x

f

x

0

,

)

(

5

; c)

π

<

<

=

x

x

f

0

,

1

)

(

;

d)









≤

<

≤

≤

−

=

π

x

dla

x

dla

x

x

f

2

0

2

0

2

1

)

(

; e)

















≤

<

=

<

≤

=

4

2

0

2

2

1

2

0

4

sin

)

(

x

dla

x

dla

x

dla

x

x

f

π

.

Zad. 9: Funkcje z Zad.8 rozwinąć w sinusowe szeregi Fouriera.