LISTA 2. Szeregi funkcyjne.
Zad. 1: Zbadać zbieżność ciągów funkcyjnych:
a)
( )
n
n
n
x
x
x
f
+
=
1
dla (i) 0≤x≤1-k, (ii) 1-k≤x≤1+k, (i) 1+k≤x<+∞ (k>0);
b)
( )
n
n
n
x
n
x
f
1
=
dla 1≤x<+∞; c)
( )
2
2
1
n
x
x
f
n
+
=
dla -∞<x<+∞.
Zad. 2: Zbadać zakresy zbieżności szeregów funkcyjnych:
a)
∑
∞
=1
1
n
x
n
; b)
( )
∑
∞
=
+
−
1
ln
1
1
1
n
x
n
n
.
Zad. 3: Za pomocą kryterium Weierstrassa zbadać jednostajną zbieżność szeregów
funkcyjnych:
a)
∑
∞
=
+
1
2
5
1
n
x
n
nx
dla 0<a≤x<+∞; b)
( )
∑
∞
=
+
−
1
2
1
1
n
n
n
x
dla -2<x<+∞;
c)
∑
∞
=
−
1
2
2
2
n
x
n
n
e
dla -∞<x<+∞; d)
∑
∞
=
+
−
1
2
1
2
cos
!
)
1
(
n
n
n
nx
n
n
dla -∞<x<+∞.
Zad. 4: Wyznaczyć promienie zbieżności szeregów potęgowych:
a)
∑
∞
=
+
1
)
1
(
n
n
n
n
x
; b)
∑
∞
=1
2
)!
2
(
)
!
(
n
n
x
n
n
; c)
∑
∞
=
+
+
+
1
1
1
)
1
ln(
n
n
x
n
n
; d)
∑
∞
=
−
−
−
1
1
3
)
5
(
)
1
(
n
n
n
n
n
x
.
Zad. 5: Rozwinąć w szeregi potęgowe w punkcie x=0 funkcje:
a)
x
x
f
+
=
1
1
)
(
; b)
2
)
1
(
1
)
(
x
x
f
−
=
; c)
2
2
1
)
(
x
x
x
x
f
−
+
=
; d)
)
1
)(
1
(
)
(
2
x
x
x
x
f
−
−
=
.
Zad. 6: Rozwinąć w szeregi Fouriera funkcje:
a)
π
≤
=
x
x
x
f
,
)
(
; b)
π
<
=
x
x
x
f
,
)
(
3
; c)
π
2
0
,
1
)
(
<
<
−
=
x
e
x
f
x
;
d)
≤
<
=
<
<
−
−
=
−
<
≤
−
=
π
π
x
dla
x
dla
x
dla
x
dla
x
dla
x
f
1
0
1
2
1
1
1
1
1
2
1
1
0
)
(
; e)
1
0
,
2
)
(
<
<
=
x
x
x
f
; f)
≤
≤
−
<
<
≤
≤
=
3
2
3
2
1
1
1
0
)
(
x
dla
x
x
dla
x
dla
x
x
f
.
