LISTA 5. ( na 2 ćwiczenia) Szeregi liczbowe i potęgowe Część A. Zadania do samodzielnego rozwiązania, czyli to, co należy umieć z poprzedniego seme-stru.

5.1. Obliczyć granice ciągów liczbowych o podanych wyrazach.

1

1

4 n+1

cos ( nπ)

(a) an = cos ,

(b) bn = sin ,

(c) cn =

,

(d) dn =

.

n

n

22 n + 3 n

2 n

a

5.2.

n

Dla podanych par ciągów liczbowych obliczyć granicę ilorazu

.

bn

(a) an = 2 n,

bn = 2 n + 3 n; (b) an = 3 n,

bn = 2 n + 3 n;

√

√

(c) an = n,

bn =

n 2 + 2 n + 3;

(d) an = n 2 , bn =

n 2 + 2 n + 3;

1

1

1

1

(e) an = sin2

,

bn =

;

(f) an = sin2

,

bn =

.

n

n

n

n 2

a

5.3.

n+1

Dla podanych par ciągów liczbowych obliczyć granicę ilorazu

.

an

n 2

1

42 n

(a) an =

,

(b) an = sin ,

(c) an = 2 n + 3 n, (d) an =

.

n 3 + 1

n

n 4

Część B. Zadania na ćwiczenia i do samodzielnego rozwiązywania.

5.1. Wyznaczyć sumy częściowe podanych szeregów i zbadać ich zbieżność.

∞ n − 1

∞

1

∞

1

(a) X

,

(b) X √

√ ,

(c) X

.

n!

n + 1 +

n

( n + 1)( n + 2) n=2

n=1

n=1

5.2. Zbadać zbieżność szeregów liczbowych. Sformułować wykorzystywane kryteria.

∞ ln n

∞

n 2

∞

1

∞

1

(a) X

,

(b) X

,

(c) X

,

(d) X sin

,

n

n 3 + 1

n 2 + n + 2

n + 1

n=2

n=1

n=1

n=1

∞

2 n

∞

22 n

∞

53 n+1

∞ (2 n)!

(e) X

,

(f) X

,

(g) X

,

(h) X

,

2 n + 3 n

2 n + 3 n

( n + 1)!

( n!)2

n=1

n=3

n=0

n=0

∞

∞

1

∞ cos nπ

∞ ( − 3) n

(i) X n 2 e−n 2, (j) X(arcctg cos

) n,

(k) X

,

(l) X

.

n

2 n

n 3

n=1

n=2

n=1

n=1

5.3. Zbadać zbieżność szeregów liczbowych. Czy są one zbieżne bezwzględnie?

∞

1

∞

1

∞

ln n

∞

n

(a) X( − 1) n+1 sin

,

(b) X( − 1) n cos

,

(c) X( − 1) n

,

(d) X( − 1) n+1

.

n + 1

n

n

n 2 + 2

n=1

n=1

n=2

n=1

5.4. Obliczyć przybliżoną sumę szeregu z błędem nie większym niż 0 , 01.

∞

1

∞

1

∞

1

(a) X( − 1) n+1

,

(b) X( − 1) n+1

,

(c) X( − 1) n+1

.

3 n + 1

2 n + 3

n!

n=1

n=1

n=1

5.5. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego. W przykładach (e), (f) wykorzystać warunek zbieżności szeregu geometrycznego.

∞

xn

∞ ( x + 3) n

∞ 22 n+1

(a) X( − 1) n

,

(b) X

,

(c) X

,

n 2

n!

n 3 n

n=2

n=0

n=1

∞ n + 1

∞ (3 x + 2) n

∞

(d) X

(2 x + 1) n,

(e) X

,

(f) X 3 n( x + 1)2 n.

4 n+1

2 n+3

n=1

n=0

n=1

1

5.6. Wykorzystując szeregi Maclaurina funkcji ex, sin x, cos x,

, wyznaczyć szeregi Maclau-

1 − x

rina podanych funkcji. Podać przedziały zbieżności otrzymanych szeregów.

x

x

(a) f ( x) = xe− 2 x, (b) h( x) = cos( πx), (c) g( x) = sin cos

,

3

3

x

x

x 2

(d) f ( x) =

,

(e) f ( x) =

,

(f) f ( x) =

.

1 + 3 x

4 + x 2

x − 2

x

5.7. Rozwinąć w szereg Maclaurina funkcje f ( x), f 0( x), R f ( t)d t. Podać przedziały zbieżności 0

otrzymanych szeregów.

1

(a) f ( x) =

,

(b) f ( x) = ex 2, (c) f ( x) = x sin x.

2 x − 1

5.8. Podać dziedzinę funkcji f i napisać jej wzór otrzymany przez zsumowanie szeregu.

∞ xn+1

∞

∞

( x − 1) n

(a) f ( x) = X

,

(b) f ( x) = X n · ( x + 3) n− 1, (c) f ( x) = X( − 1) n+1

.

n!

n

n=1

n=1

n=1

5.9. Obliczyć sumy szeregów liczbowych.

∞

n

∞

1

∞ 2 n + 1

∞

1

(a) X( − 1) n

,

(b) X

,

(c) X

,

(d) X

.

3 n

n · 2 n

4 n+1

( n + 2) · 5 n n=2

n=1

n=2

n=1

5.10. Obliczyć całki ze wskazaną dokładnością.

1

1

(a) R e−x 2d x,

δ = 0 , 001,

(b) R sin x 2d x,

δ = 0 , 0001 .

0

0

Podobne zadania (z rozwiązaniami lub odpowiedziami) można znaleźć w skrypcie: M.Gewert, Z.Skoczylas, Analiza matematyczna 2. Przykłady i zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2005, rozdział 2.

Jolanta Sulkowska