LISTA 5 - Szeregi.

Zadanie 1

Zbada´c zbie·zno´s´c szeregów:

1.

1

P

n=1

2n+1
3n+1

n

;

2.

1

P

n=1

3

n

n

3

;

3.

1

P

n=2

n

n 1

n

n

2

;

4.

1

P

n=1

3

n

2

n

5

n

4

n

;

5.

1

P

n=1

n

2

+1

2n

2

+5

;

6.

1

P

n=1

arctgn n

;

7.

1

P

n=2

n

100

5

n

+1

;

8.

1

P

n=1

(n 5)

n

p

n

n

;

9.

1

P

n=2

1

(ln n)

n

;

10.

1

P

n=1

sin

n n +1

4n+1

;

11.

1

P

n=1

3n+1

n+2

n

;

12.

1

P

n=1

x

n

n!

dla x > 0;

13.

1

P

n=2

ntg

2

n

;

14.

1

P

n=1

(3n)!

n

3n

;

15.

1

P

n=1

n!(3n)!

[(2n)!]

2

;

16.

1

P

n=1

3

p

8

n

+1

p

9

n

+1

;

17.

1

P

n=1

(2n)!

n

2n

;

18.

1

P

n=1

(nx)

n

n!

dla x > 0;

19.

1

P

n=1

( 1)

n+1

sin

1

n

;

20.

1

P

n=2

( 1)

n

3

n

n

n 1

n

2

;

21.

1

P

n=0

( 1)

n+1

p

n+1

n+2

:

Zadanie 2

Znale´z´c promienie i przedzia÷y zbie·zno´sci szeregów pot ¾

egowych:

1.

1

P

n=1

x

n

n2

n

;

2.

1

P

n=1

p

2

n

x

n

(2n)

2

5

n

;

3.

1

P

n=1

n!

a

n2

x

n

dla a > 1;

4.

1

P

n=1

1 3 5 ::: (2n 1)

2 4 6 ::: (2n)

x 1

2

n

;

5.

1

P

n=1

( 1)

n

n!

n

e

n

x

n

;

6.

1

P

n=0

(x 1)

n

2n+1

;

7.

1

P

n=1

n

2

x

n

(n+1)

2

2

n

;

8.

1

P

n=1

3

n

n!

(x + 2)

n

;

9.

1

P

n=1

n (x

2)

n

;

10.

1

P

n=1

(x+3)

n

n

3

:

Zadanie 3

Znale´z´c szeregi Maclaurina podanych funkcji:

1. f (x) = x sin 3x;

2. f (x) = cos

2

x;

3. f (x) =

e

2x

1

x

:

oraz obliczy´c przybli·zone warto´sci powy·zszych funkcji dla x = 2.

1