LISTA 5.

(na 2 ćwiczenia)

Szeregi liczbowe i potęgowe

Część A. Zadania do samodzielnego rozwiązania, czyli to, co należy umieć z poprzedniego seme-
stru.

5.1. Obliczyć granice ciągów liczbowych o podanych wyrazach.

(a) a

n

= cos

1

n

,

(b) b

n

= sin

1

n

,

(c) c

n

=

4

n+1

2

2n

+ 3

n

,

(d) d

n

=

cos (nπ)

2

n

.

5.2. Dla podanych par ciągów liczbowych obliczyć granicę ilorazu

a

n

b

n

.

(a) a

n

= 2

n

,

b

n

= 2

n

+ 3

n

;

(b) a

n

= 3

n

,

b

n

= 2

n

+ 3

n

;

(c) a

n

= n,

b

n

=

√

n

2

+ 2n + 3;

(d) a

n

= n

2

,

b

n

=

√

n

2

+ 2n + 3;

(e) a

n

= sin

2

1

n

,

b

n

=

1

n

;

(f) a

n

= sin

2

1

n

,

b

n

=

1

n

2

.

5.3. Dla podanych par ciągów liczbowych obliczyć granicę ilorazu

a

n+1

a

n

.

(a) a

n

=

n

2

n

3

+ 1

,

(b) a

n

= sin

1

n

,

(c) a

n

= 2

n

+ 3

n

,

(d) a

n

=

4

2n

n

4

.

Część B. Zadania na ćwiczenia i do samodzielnego rozwiązywania.

5.1. Wyznaczyć sumy częściowe podanych szeregów i zbadać ich zbieżność.

(a)

∞

X

n=2

n − 1

n!

,

(b)

∞

X

n=1

1

√

n + 1 +

√

n

,

(c)

∞

X

n=1

1

(n + 1)(n + 2)

.

5.2. Zbadać zbieżność szeregów liczbowych. Sformułować wykorzystywane kryteria.

(a)

∞

X

n=2

ln n

n

,

(b)

∞

X

n=1

n

2

n

3

+ 1

,

(c)

∞

X

n=1

1

n

2

+ n + 2

,

(d)

∞

X

n=1

sin

1

n + 1

,

(e)

∞

X

n=1

2

n

2

n

+ 3

n

,

(f)

∞

X

n=3

2

2n

2

n

+ 3

n

,

(g)

∞

X

n=0

5

3n+1

(n + 1)!

,

(h)

∞

X

n=0

(2n)!

(n!)

2

,

(i)

∞

X

n=1

n

2

e

−n

2

,

(j)

∞

X

n=2

(arcctg cos

1

n

)

n

,

(k)

∞

X

n=1

cos nπ

2

n

,

(l)

∞

X

n=1

(−3)

n

n

3

.

5.3. Zbadać zbieżność szeregów liczbowych. Czy są one zbieżne bezwzględnie?

(a)

∞

X

n=1

(−1)

n+1

sin

1

n + 1

,

(b)

∞

X

n=1

(−1)

n

cos

1

n

,

(c)

∞

X

n=2

(−1)

n

ln n

n

,

(d)

∞

X

n=1

(−1)

n+1

n

n

2

+ 2

.

5.4. Obliczyć przybliżoną sumę szeregu z błędem nie większym niż 0, 01.

(a)

∞

X

n=1

(−1)

n+1

1

3n + 1

,

(b)

∞

X

n=1

(−1)

n+1

1

2

n

+ 3

,

(c)

∞

X

n=1

(−1)

n+1

1

n!

.

5.5. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego. W przykładach (e), (f) wykorzystać
warunek zbieżności szeregu geometrycznego.

(a)

∞

X

n=2

(−1)

n

x

n

n

2

,

(b)

∞

X

n=0

(x + 3)

n

n!

,

(c)

∞

X

n=1

2

2n+1

n3

n

,

(d)

∞

X

n=1

n + 1

4

n+1

(2x + 1)

n

,

(e)

∞

X

n=0

(3x + 2)

n

2

n+3

,

(f)

∞

X

n=1

3

n

(x + 1)

2n

.

5.6. Wykorzystując szeregi Maclaurina funkcji e

x

, sin x, cos x,

1

1 − x

, wyznaczyć szeregi Maclau-

rina podanych funkcji. Podać przedziały zbieżności otrzymanych szeregów.

(a) f (x) = xe

−2x

,

(b) h(x) = cos(πx),

(c) g(x) = sin

x

3

cos

x

3

,

(d) f (x) =

x

1 + 3x

,

(e) f (x) =

x

4 + x

2

,

(f) f (x) =

x

2

x − 2

.

5.7. Rozwinąć w szereg Maclaurina funkcje f (x), f

0

(x),

x

R

0

f (t)dt. Podać przedziały zbieżności

otrzymanych szeregów.

(a) f (x) =

1

2x − 1

,

(b) f (x) = e

x

2

,

(c) f (x) = x sin x.

5.8. Podać dziedzinę funkcji f i napisać jej wzór otrzymany przez zsumowanie szeregu.

(a) f (x) =

∞

X

n=1

x

n+1

n!

,

(b) f (x) =

∞

X

n=1

n · (x + 3)

n−1

,

(c) f (x) =

∞

X

n=1

(−1)

n+1

(x − 1)

n

n

.

5.9. Obliczyć sumy szeregów liczbowych.

(a)

∞

X

n=2

(−1)

n

n

3

n

,

(b)

∞

X

n=1

1

n · 2

n

,

(c)

∞

X

n=2

2n + 1

4

n+1

,

(d)

∞

X

n=1

1

(n + 2) · 5

n

.

5.10. Obliczyć całki ze wskazaną dokładnością.

(a)

1

R

0

e

−x

2

dx,

δ = 0, 001,

(b)

1

R

0

sin x

2

dx,

δ = 0, 0001 .

Podobne zadania (z rozwiązaniami lub odpowiedziami) można znaleźć w skrypcie:
M.Gewert, Z.Skoczylas, Analiza matematyczna 2. Przykłady i zadania, Oficyna Wydawnicza GiS,
Wrocław 2005, rozdział 2.

Jolanta Sulkowska