NURBS: Non-Uniform
Rational B-Splines

Wyjaśnienie wyrażeń w angielskiej
nazwie:



B-spline

— krzywe NURBS to

krzywe

B-sklejane

, a więc parametryczne

krzywe, które są złożone z
wycinków krzywych
wielomianowych.



Rational

— krzywe wymierne,

ponieważ zdefiniowano je we

współrzędnych jednorodnych

- po

przejściu na współrzędne
kartezjańskie otrzymuje się funkcje
wielomianowe. Rzecz ma się
dokładnie tak samo jak w przypadku

wymiernych krzywych Béziera

.



Non-uniform

— cecha krzywej B-

sklejanej:

węzły

krzywej

nie muszą

być rozmieszczone równomiernie.

NURBS

Na kształt krzywej NURBS wpływają następujące elementy:



punkty kontrolne

5

0

, … , 5

CA8A



węzły

X

0

, … , X

B

dzielące przedział

0,1 na B − 1

podprzedziałów



wagi punktów kontrolnych

,

;

, … , ,

CA8A

— (liczby

rzeczywiste) określające wpływ każdego z punktów kontrolnych
na krzywą;



4 —

stopień

sklejanych

wielomianów

.

Dowolny punkt na krzywej dany jest wzorem:

5  =

∑

,

7

5

7



7

8



CA8A

7:;

∑

,

7



7

8



CA8A

7:;

,

 ∈ X

8

, X

CA8

gdzie



7

8

() jest

unormowaną bazową funkcją

B-sklejaną.

NURBS

Krzywe NURBS dla

4 = 3

określone na tych samych
punktach kontrolnych



górny rysunek - kontrola
kształtu poprzez zmianę
wartości węzłów - na osiach
liczbowych zaznaczono
rozkład węzłów)



dolny rysunek - kontrola
kształtu poprzez zmianę
wagi punktu



Niejednorodne ułamkowe wielomianowe
krzywe trzeciego stopnia

Ogólnie segmenty

ułamkowej

krzywej

trzeciego stopnia są
stosunkami
wielomianów

parametrycznych

w

jednorownym

układzie
współrzędnych

  =



Y

()

,()

  =



Y

()

,()

  =



Y

()

,()

Niejednorodne ułamkowe
segmenty wielomianowej krzywej
trzeciego stopnia

Zalety:



niezmiennicze

względem

przekształceń elementarnych:

skalowanie, obrót,

przesunięcie

dodatkowo względem

perspektywy

punktów kontrolnych



inne

krzywe

nie są

niezmiennicze w stosunku do

perspektywy



Mogą

definiować

dowolny przekrój stożka – krzywe

nieułamkowe

mogą tylko

aproksymować

krzywe

stożkowe.