1

NAPRĘŻENIA W PODŁOŻU

NAPRĘŻENIA W PODŁOŻU

GRUNTOWYM

GRUNTOWYM

MECHANIKA GRUNTÓW I

MECHANIKA GRUNTÓW I

FUNDAMENTOWANIE

FUNDAMENTOWANIE

Budownictwo semestr 4

Budownictwo semestr 4

Wykład 5

Wykład 5

2

Naprężenia w gruncie

Naprężenia w rozpatrywanym punkcie podłoża gruntowego pod
obiektami budowlanymi są wywołane ciężarem wyżej leżących
warstw gruntu – czyli

naprężeniami pierwotnymi

– oraz

naciskiem budowli – czyli

naprężeniami od obciążeń

zewnętrznych

. Suma tych naprężeń stanowi

naprężenie

całkowite

w gruncie. W zagadnieniach praktycznych najczęściej

wykorzystywana jest wartość składowej pionowej działającego
naprężenia.

Naprężenia pierwotne

– wartość

składowej pionowej

naprężenia pierwotnego w gruncie wyznacza się ze wzoru:

kPa

,

)

h

(

n

1

i

i

i

z















gdzie



i

– ciężar objętościowy gruntu w i-tej warstwie (poniżej

lustra wody gruntowej należy w obliczeniach uwzględniać wypór
wody -

’

, a w przypadku działania ciśnienia spływowego

j

-

efektywny ciężar objętościowy

’’ = ’  j

), kN/m

3

,

h

i

–

miąższość i-tej warstwy, m.

Wykres naprężenia pierwotnego sporządza się odkładając jego
wartości (w przyjętej podziałce naprężenia) na poszczególnych
głębokościach poziomo od osi głębokości – z.

Politechnika
Łódzka:

Politechnika
Łódzka:

3

Składowe poziome

naprężenia pierwotnego wyznacza się ze wzoru:

kPa

,

K

0

z

y

x



















Współczynnik parcia bocznego K

0

można wyznaczyć ze wzoru

wynikającego z teorii sprę-żystości ( - współczynnik Poissona):









1

K

0

lub ze wzorów empirycznych związanych z historią obciążeń działających
na rozpatry-wanym obszarze, charakteryzowanych przez

współczynnik

prekonsolidacji

– OCR

.

a) grunt jednorodny; b) grunt uwarstwiony; Zmiana rozkładu 

z

na skutek

zmiany poziomu wody



z

 

z

pierwotny poziom wody

poziom lustra po

podniesieniu

4

Współczynnik prekonsolidacji

OCR (over consolidation ratio) wyraża

się wzorem:

0

p

'

'

OCR







gdzie ’

p

- wartość naprężeń efektywnych, jakie występowały w gruncie

w przeszłości, kPa, ’

0

- wartość aktualnie występujących w gruncie

naprężeń efektywnych, kPa. W zależności od wartości współczynnika
prekonsolidacji wyróżniamy następujące typy gruntów:

- prekonsolidowane

– są to grunty, które w swojej historii przenosiły

obciążenia większe niż obecnie działające, a następnie zostały odciążone
(są to obciążenia takie jak: nacisk lodowca, ruchomej wydmy itp.) -

OCR

> 1

,

- normalnie skonsolidowane

– są to grunty, w których aktualnie

występujące naprężenia są tego samego rzędu jak działające w historii
geologicznej -

OCR  1

,

-

nieskonsolidowane

-

OCR < 1

.

Współczynnik K

0

dla gruntów prekonsolidowanych wyznacza się ze

wzoru Schmidta

:

'

sin

0

OCR

)

'

sin

1

(

K











gdzie ’- efektywny kąt tarcia wewnętrznego.
Dla gruntów normalnie skonsolidowanych mamy OCR = 1 i powyższy
wzór przyjmuje postać

wzoru Yaky’ego

:

'

sin

1

K

0







5

Naprężenia od obciążenia zewnętrznego

Przy wyznaczaniu rozkładu naprężeń w gruncie pochodzących
od obciążeń zewnętrznych, np. fundamentów budynku, korzysta
się z wynikającego z założeń teorii sprężystości rozwiązania

zadania Boussinesqa.

W związku z tym należy uczynić założenie, że podłoże gruntowe
traktuje się jak

sprężystą

(liniowo odkształcalną),

izotropową

(działanie jednakowych składo-wych naprężenia w dowolnym
kierunku wywołuje jednakowe odkształcenia) i

jednorodną

(właściwości w każdym punkcie są jednakowe)

półprzestrzeń

.

Wyznaczając naprężenia stosuje się

zasadę superpozycji

(sumowania) naprężeń pochodzących od różnych obciążeń.

Zadanie Boussinesqa dotyczy rozkładu naprężeń w podłożu pod

siłą skupioną

Q

przyłożoną na brzegu półprzestrzeni

sprężystej. Zgodnie z rozwiązaniem tego zagadnienia składowa
pionowa naprężenia w dowolnym punkcie

M

wyraża się

wzorem :

kPa

,

R

2

Qz

3

5

3

z







gdzi
e

2

2

z

r

R





- patrz szkic,

6

lub, po podstawieniu wyrażenia na

R

:

2

5

2

2

M

z

z

r

1

z

2

Q

3

































Jeżeli działa kilka niezależnych sił Q

i

stosujemy zasadę

superpozycji:

...

)

Q

(

)

Q

(

)

Q

(

3

z

2

z

1

z

M

z

















7

W przypadku obciążenia podłoża naciskiem o dowolnej
intensywności q=f (x, y) rozłożonym na powierzchni o
dowolnym kształcie można wprowadzić uproszczenie polegające
na podziale całego obszaru obciążonego na elementarne pola o
niewielkich rozmiarach F, wewnątrz których q  const. W

obrębie pojedynczego pola można wyznaczyć zastępczą siłę
skupioną

Q = q·F

Naprężenie od takiej pojedynczej siły,
jak wynika ze wzoru Boussinesqa,
wyraża się wzorem

Całkowite naprężenie zgodnie z zasadą
superpo-zycji można obliczyć przez
zsumowanie składo-wych oddziaływań

2

5

2

2

M
z

z

r

1

z

2

Q

3







































M
z

M
z











z

M

F

Q

y

8

Taki sposób, polegający na podziale powierzchni obciążonej na
mniejsze pola – kwadratowe lub prostokątne – może być
zastosowany, zgodnie z zasadą de Saint Venanta, tylko wówczas,
gdy jest spełniony warunek

R  2L

, gdzie R jest to (jak wyżej)

odległość rozpatrywanego punktu M od punktu przyłożenia
zastępczej siły skupionej Q, zaś L – długość większego boku
rozpatrywanego elementu, dla którego wyznaczono siłę
skupioną

Q = qLB

.

Jeżeli powyższy warunek nie będzie
spełniony należy dokonać podziału
powierzchni obciążo-nej na pola o
mniejszych rozmiarach.

Przedstawiona

wyżej

metoda

obliczania

naprę-żeń

w

podłożu

gruntowym pochodzących od obciążeń
zewnętrznych może być zastosowany
tylko

do

prostych

sytuacji

obliczeniowych. W zastosowaniach
praktycznych, przy projektowa-niu
fundamentów,

wykorzystuje

się

metodę punktu środkowego i
metodę

punktu

naroż-nego

.

Obecnie coraz szersze zastosowanie
do tych zagadnień mają programy
komputerowe oparte na metodzie
elementu skończonego – MES.

9

W zagadnieniach praktycznych związanych z posadawianiem obiektów
budowlanych nigdy nie mamy do czynienia z obciążeniem podłoża siłami
skupionymi. Obciążenia na grunt przekazywane są za pośrednictwem
fundamentów mających najczęściej kształt prostokąta, na który działa
obciążenie ciągłe. Można wówczas również skorzystać z zasady
superpozycji. Po podzieleniu całej powierzchni obciążonej na mniejsze
poletka prostokątne należy zastąpić obciążenie w ich obrębie
równoważną siłą skupioną i zsumować (scałkować - po przejściu do
nieskończenie małych poletek) naprężenia od tych sił zastępczych. Na tej
zasadzie oparto szereg rozwiązań. W praktyce okazało się, że najbardziej
przydatne są dwa takie rozwiązania podające wzory na obliczenie
naprężeń pod

środkiem

i pod

narożem

obciążonego prostokąta o

wymiarach: L – długość i B – szerokość (L > B)

.

Metoda „punktu środkowego” – wzór Polszina:

m

2

2

2

2

/

1

2

2

2

/

1

2

2

O

zq

q

B

z

4

B

L

1

B

z

4

1

1

B

z

4

B

L

1

B

z

B

L

2

B

z

4

B

L

1

B

z

2

B

L

arctg

q

2

























































































































































































































10

Ponieważ korzystanie z takiej postaci wzoru prowadzi do
żmudnych obliczeń uło-żono nomogram znacznie upraszczający
pracę i pozwalający wyznaczyć naprężenia z wystarczającą
dokładnością:

Przykład:

L = 6 m, B = 4 m, z = 4 m, q = 100 kPa: L/B = 6/4 = 1,5; z/B = 4/4
= 1  

m

= 0,42



zq

O

= 100·0,42 = 42 kPa

11

Metoda „punktu narożnego” – wzór Steinbrennera

n

2

2

2

/

1

2

2

2

/

1

2

2

N

zq

q

B

z

B

L

1

B

z

1

1

B

z

B

L

1

B

z

B

L

B

z

B

L

1

B

z

B

L

arctg

2

1

























































































































































































































Zasady

wyznaczania

naprężeń tą metodą są
takie same jak w metodzie
punktu środkowego.

Współczynniki 

m

i 

n

noszą

nazwę

współczynników
rozkładu naprężenia w
podłożu.

12

Korzystając z metody punktu narożnego i wykorzystując zasadę
superpozycji można wyznaczyć naprężenie w podłożu pod
dowolnym punktem M znajdującym się pod obrysem obciążonego
obszaru prostokątnego, jak i poza jego granicami:

Dla przypadku a:



M

zq

= q(

HAEM

+ 

EBFM

+ 

FCGM

+ 

GDHM

)

Dla przypadku b:



M

zq

=q(

EBFM

- 

EAGM

- 

HCFM

+ 

HDGM

)

Jak widać, aby uzyskać rozwiązanie, cały obszar należy podzielić
na odpowiednie prostokąty tak, aby w jednym narożu każdego z
nich znalazł się rozpatrywany punkt M.

13

Przedstawione wyżej wzory dotyczą

podatnej

powierzchni

obciążenia, która ugina się jednocześnie z odkształceniem
gruntu. Dotyczyć to może np. podłoża pod nasypem, lub pod
cienką betonową płytą. Betonowe i żelbetowe fundamenty
ławowe lub stopowe mają jednak dużą

sztywność własną

. W

takim przypadku naprężenia w gruncie wyznacza się jako

naprężenie średnie



zs

w obrębie prostokąta znajdującego się

pod obszarem obciążonym

s

zs

q

B

z

B

z

B

L

B

z

B

L

B

z

B

L

B

z

B

z

B

L

B

z

B

L

ctg

ar

q



































































































































































































2

2

2

2

2

2

1

2

2

1

1

1

2

14

Dla

podstawowych

rodzajów

rozkładu

obciążenia, czyli prostokątnego i trójkątnego
oraz

różnych

kształtów

powierzchni

obciążonej np. koło, prostokąt, pasmo (ława),
opracowano szereg wzorów i nomogramów
służących do wyznaczania naprężeń. Można
je znaleźć w każdym podręczniku mechaniki
gruntów.

Nomogram
współczynnika 

s

Naprężenie w podłożu
od

obciążenia

zewnętrznego
zmniejsza się (zanika)
wraz z głębokością i
odległością

od

osi

obciążenia.

15

Rozkład naprężeń w poziomie posadowienia

Naciski jednostkowe (naprężenia) na podłoże w poziomie
posadowienia funda-mentu są równe naprężeniom w gruncie w
tym poziomie (q = ). Wyznacza się je korzystając ze znanych

wzorów z wytrzymałości materiałów, dotyczących przekrojów
ściskanych lub dodatkowo zginanych:

- dla obciążenia siłą osiową N (tylko ściskanie):

BL

N

F

N

q





- dla obciążenia mimośrodowego (ściskanie siłą N ze zginaniem
momentami M

x

i M

y

):

y

y

x

x

min

max

W

M

W

M

F

N

q







gdzie W

x

i W

y

– wskaźniki wytrzymałości podstawy względem osi x i y.

Jeżeli w tym przypadku składowa pionowa obciążenia znajduje się
wewnątrz rdzenia podstawy fundamentu [L/6; B/6] wówczas uzyskuje
się trapezowy rozkład naprężeń. Gdy mimośród obciążenia jest równy
zasięgowi rdzenia podstawy rozkład naprężeń jest trójkątny (q

min

= 0).

Po przekroczeniu zasięgu rdzenia pojawia się strefa naprężeń
ujemnych (częściowego odrywania podstawy od podłoża).

16

Rozkłady naprężeń w poziomie posadowienia fundamentu

a - obciążenie osiowe; b, c, d - obciążenie mimośrodowe

przy wzrastającym mimośrodzie

17

Rozkład naprężeń w głąb podłoża pod fundamentem

Rozkład naprężeń w podłożu gruntowym pod fundamentem
oblicza się uwzględ-niając nacisk od budowli, ciężar własny
gruntów w podłożu, wypór wód podziemnych, obciążenia od
sąsiednich fundamentów i obiektów oraz odciążenie związane z
wykonaniem wykopu fundamentowego. Rozpatruje się stany
naprężeń, związane z kolejnymi etapami wykonywania obiektu.

Przy obliczaniu naprężeń od obciążenia obiektem budowlanym
stosuje się najczęściej

metodę punktu środkowego

, przyjmując

jako wartość miarodajną do obliczeń naciski jednostkowe w osi
fundamentu. Również w ten sam sposób, lecz ze znakiem
ujemnym, oblicza się wartość odprężenia wywołanego wykopem
fundamentowym,

przyjmując

jako

wartość

wyjściową

naprężenia pierwotne w poziomie dna wykopu ( w poziomie

posadowienia obiektu).

Rozkład naprężeń w podłożu pod fundamentem wyznacza się do
głębokości z

max

(licząc od poziomu posadowienia), na której jest

spełniony warunek:







max

max

z

d

z

, 

 3

0



zmaxd

- naprężenia dodatkowe (na głębokości z

max

)

18

A)

stan naprężeń pierwotnych



z

- przed rozpoczęciem prac

związanych ze wznoszeniem obiektu; wartości tych naprężeń
przedstawia wykres pomiędzy liniami ABCE i AB

1

C

1

E

1

;

Przy

obliczaniu

naprężeń

pierwotnych uwzględ-niamy ciężar
objętościowy poszczególnych warstw
gruntu - 

i

, zaś poniżej lustra wody

gruntowej należy wziąć pod uwagę
ciężar objętościowy z wyporem - ’.

kPa

,

)

h

(

n

1

i

i

i

z















Uwaga. Na wykresach naprężenie pierwotne
jest tutaj oznaczone symbolem 

z

(

z

 

z

).

Oś z ma swój początek w poziomie dna wykopu,
czyli w poziomie posadowienia fundamentu.

19

B)

stan naprężeń minimalnych



zmin

- występujący po

wykonaniu wykopu fundamentowego, czyli zdjęciu warstw
gruntu o miąższości D; naprężenie pier-wotne ulega zmniejszeniu
do wartości naprężenia minimalnego; przedstawia to wykres
pomiędzy liniami BCDE i BC

2

D

2

E

2

;

s

z















0

- odprężenie spowodowane wykopem
oblicza się ze wzoru (na wykresie jest
to część pomiędzy osią z i linią
BC

2

D

2

E

2

:

gdzie: 

0

- wartość naprężenia

pierwotnego w poziomie dna wykopu
( 

zD

) oraz 

s

- współ-czynnik

rozkładu naprężenia.

- naprężenie minimalne:











z

z

min

z





20

C)

stan naprężeń całkowitych



zt

- po wykonaniu obiektu

budowlanego i przy-łożeniu na podłoże obciążenia od obiektu - q;
wykres pomiędzy BCE i B

3

C

3

E

3

;

zq

min

z

zd

z

zt





















zd

zs

s

zq

q

















- naprężenie od obciążenia
obiek-tem



zq

(BC

2

E

2

-B

3

C

3

E

3

):

- naprężenie wtórne 

zs

(BC

2

E

2

-B

1

C

1

E

1

):

s

z

zs



















0

- naprężenie dodatkowe 

zd

(B

1

C

1

E

1

-B

3

C

3

E

3

):





s

s

s

zs

zq

zd

q

q











































0

0