TEORIA WNIKANIA

MASY

TEORIA WNIKANIA

TEORIA WNIKANIA

MASY

MASY

Wykonali:

Wykonali:

-

-

Wójcik Konrad

Wójcik Konrad

-

-

Zieliński

Zieliński

Radosław

Radosław

Teoria wnikania masy

Teoria wnikania masy

Wnikanie masy obejmuje szeregowo

następujące po sobie dyfuzję masy
w warstwie granicznej oraz konwekcję
masy w rdzeniu płynu. Ruch następuje
od fazy, w której stężenie składnika
jest wyższe do fazy o niższym stężeniu.

y

A

y*

A

Modele wnikania masy

Modele wnikania masy

► Model Whitmana
► Model penetracji Higbiego
► Model odnowy powierzchni

Danckwertsa

► Model Dobbinsa, Toora i Marchello
► Model Kisziniewskiego
► Model Kinga
► Model warstwy granicznej

Model Whitmana

Model Whitmana

- Poruszający się płyn dzielimy na dwa obszary:
a) rdzeń
b) film graniczny
- Płyn w rdzeniu porusza się ruchem burzliwym
- Płyn w filmie granicznym porusza się ruchem laminarnym
- Rzeczywisty rozkład stężeń zastępuje się modelowym
- Zakłada się, że na granicy rozdziału faz osiągany jest stan
równowagi
fizykochemicznej
- W filmie granicznym przenoszenie masy zachodzi przez
dyfuzję,
a w rdzeniu przez konwekcję
- Szybkość przenoszenia masy przez konwekcję jest
wielokrotnie
większa od szybkości dyfuzji

Model Whitmana

Model Whitmana

Model Whitmana

Model Whitmana

Analogicznie do procesu dyfuzji możemy zapisać równania:

1) W fazie ciekłej:
a) Dla wnikania masy dwukierunkowego równomolowego

b) Dla wnikania masy jednokierunkowego

2) W fazie gazowej:

a) Dla wnikania masy dwukierunkowego równomolowego

b) Dla wnikania masy jednokierunkowego

)

(

*

)

(

A

A

l

m

A

x

x

n







Bm

A

A

l

A

A

l

m

A

x

x

x

x

x

n













)

(

1

1

ln

*

*

)

(





A

g

A

A

g

m

A

y

y

y

n













)

(

*

)

(

Bm

A

g

Bm

A

A

g

m

A

y

y

y

y

y

n

















)

(

*

)

(

*

*

*

*

ln

1

1

ln

)

(

B

B

B

B

A

A

A

A

Bm

x

x

x

x

x

x

x

x

x















Model Whitmana

Model Whitmana

Współczynnik wnikania masy w modelu Whitmana:

Współczynniki wnikania masy są korelowane za pomocą równań

kryterialnych:

Z powyższych równań otrzymujemy zależność:

Na podstawie powyższego równania możemy stwierdzić, że δ jest

funkcją warunków hydrodynamicznych i geometrycznych.

AB

AB

m

n

D

Sc

d

Sh

Sc

b

Sh













 Re







AB



m

n

Sc

b

d

Re





Model penetracji Higbiego

Model penetracji Higbiego

Przyjmuje się, że w tym modelu ciecz płynie ruchem laminarnym, a wnikanie

masy zachodzi przez dyfuzję nieustaloną. W cieczy powstają wiry (w
punktach nieciągłości), które sięgają do powierzchni międzyfazowej, przez
co wyrównują stężenia w całej fazie.

Szybkość wnikania masy można obliczyć z równania dyfuzji:

Po podstawieniu warunków początkowych i brzegowych otrzymujemy równanie

na chwilową szybkość wnikania masy do elementu:

Średnią szybkość wnikania masy jest określona za pomocą średniej całkowej i

ma postać:

Współczynnik wnikania masy w modelu penetracji Higbiego wynosi:

2

2

x

x

D

t

x

A

AB

A











)

(

*

)

(

A

A

AB

m

At

x

x

t

D

C

n







)

(

4

*

*

)

(

A

A

AB

m

A

x

x

t

D

C

n







*

4

t

D

C

AB







Model odnowy powierzchni

Model odnowy powierzchni

Danckwertsa

Danckwertsa

Danckwerts zmodyfikował model penetracji Higbiego. Wprowadził

dość istotną modyfikację gdyż w modelu Higbiego każdy element
przebywał na powierzchni przez jednakowy czas. W modelu
odnowy powierzchni przyjmuje się, że istnieje pewien rozkład
elementów o różnym czasie przebywania na powierzchni
międzyfazowej (tzw. czasie życia).

Dlatego średnia szybkość wnikania masy ma postać:

Gdzie funkcja φ(t) jest ułamkiem wszystkich elementów

powierzchniowych, których czas życia zawiera się w przedziale od
t do t+dt i jest nazywana funkcją rozkładu czasu przebywania na
powierzchni międzyfazowej.

Funkcja ta musi spełniać poniższy warunek:

dt

t

x

x

t

D

C

n

A

A

AB

m

A

)

(

)

(

*

0

)

(













1

)

(

0







dt

t



Model odnowy powierzchni

Model odnowy powierzchni

Danckwertsa

Danckwertsa

Postać funkcji rozkładu czasu przebywania możemy wyznaczyć

całkując równanie:

Po rozdzieleniu zmiennych i scałkowaniu otrzymujemy:

Stałą C

1

wyznaczmy na podstawie warunku, który musi być spełniony

przez funkcję rozkładu czasu przebywania na powierzchni
międzyfazowej.

C

1

=s

zatem funkcja rozkładu czasu przyjmuje postać

φ(t)=se

-st

Po podstawieniu

φ(t) do równania na szybkość wnikania masy

otrzymujemy wyrażenie

:

)

(

)

(

t

s

dt

t

d









st

e

C

t





1

)

(



)

(

)

(

*

*

0

)

(

A

A

AB

st

A

A

AB

m

A

x

x

s

D

C

dt

se

x

x

t

D

C

n

















Model odnowy powierzchni

Model odnowy powierzchni

Danckwertsa

Danckwertsa

Współczynnik wnikania masy dla tego modelu wynosi:

s

D

C

AB





Model Dobbinsa, Toora

Model Dobbinsa, Toora

i Marchello

i Marchello

Teoria ta jest próbą połączenia modeli Whitmana, Higbiego oraz

Danckwertsa. Założenia odróżniające ten model są takie, że wiry
powstające w rdzeniu fazy ciekłej dochodzą na pewną odległość od
powierzchni międzyfazowej δ,
a elementy powierzchniowe są odnawialne zgodnie z mechanizmem
zaproponowanym w teorii penetracji lub teorii odnowy powierzchni.

Szybkość wnikania masy możemy obliczyć rozwiązując równanie dyfuzji

dla odpowiednich warunków początkowych i brzegowych, dla których
otrzymujemy:

lub:

Równania te upraszczają się do rozwiązań podanych przez Higbiego

oraz Danckwertsa dla czasów krótkich, a dla czasów długich
upraszczają się do rozwiązania podanego przez Whitmana.





































1

2

2

2

2

2

2

exp

1

2

3

1

n

AB

AB

AB

AB

t

D

n

n

t

D

t

D

C

D















AB

AB

D

s

ctgh

s

D

C

2







Model Kisziniewskiego

Model Kisziniewskiego

Model ten jest oparty na założeniu, że przenoszenie masy

zachodzi głównie przez konwekcję. W przypadku dużych
turbulencji fazy szybkość wnikania masy powinna być
niezależna od współczynnika dyfuzji.

Szybkość wnikania masy przyjmuje wówczas postać:

gdzie:

- współczynnik dyfuzji turbulentnej

dx

dC

D

n

A

t

AB

m

A





)

(

t

AB

D

Model Kinga

Model Kinga

Model Kinga łączy cechy modelu penetracji oraz modelu

Kisziniewskiego. Zakłada on, że procesy dyfuzji i konwekcji
nakładają się na siebie.

Szybkość wnikania masy jest określona równaniem:

Współczynnik dyfuzji turbulentnej ma postać:

King założył, że współczynnik b jest równy 0. Oznacza to, że na

powierzchni swobodnej następuje wygaszanie wirów. Dla
odpowiednich warunków początkowych i brzegowych King podał
graficzne rozwiązania równania.

W modelu pojawiły się nowe parametry a i n. King wyznaczył

parametr n dla wnikania masy w fazie ciekłej przy spływie cieczy
po ściance pionowej.

x

C

D

D

x

t

C

A

t

AB

AB

A

















)

(

b

ax

D

n

t

AB





Model warstwy granicznej

Model warstwy granicznej

Model ten dobrze opisuje przypadek wymiany masy między płynem i

ciałem stałym. Wcześniej opisane modele nie są odpowiednie dla
tego przypadku, ponieważ prędkość płynu przy powierzchni
międzyfazowej jest równa zeru, co wyznacza warunki wnikania
masy.

Przyjmuje się, że w pobliżu ciała stałego tworzy się warstwa

graniczna. Szybkość wnikania masy opisuje równanie:

Po zróżniczkowaniu otrzymujemy

Z dwóch powyższych równań otrzymujemy ostatecznie zależność:

0

)

(



























y

A

AB

A

l

m

A

y

x

x

n





3

1

2

1

Re

332

,

0

)

(

*

0

Sc

x

x

x

y

x

x

A

A

y

A























3

1

2

1

Re

332

,

0

Sc

x

x

AB

L







DZIĘKUJEMY

ZA UWAGĘ

DZIĘKUJEMY

DZIĘKUJEMY

ZA UWAGĘ

ZA UWAGĘ