GEODEZJA

Teoria błędów

TEORIA BŁĘDÓW

Twórca teorii błędów

CARL FRIEDRICH GAUSS

niemiecki

matematyk i astronom Uniwersytetu Helmstedt. 

Wydał dwutomowe dzieło (1844 i 1847) z dziedziny geodezji. 
Pierwsze

prace z zakresu teorii błędów w geodezji

.

„Theoria combinationia observationum erroribus minimis

obnoxiae”

Gauss jako pierwszy zastosował rachunek

prawdopodobieństwa do oszacowania błędów (rozkład
Gaussa).

- hipotezy Hagena o rozkładzie błędów.
Adrien-Marie Legendre (1752-1833), matematyk francuski,

autor podstaw teorii pomiarów geodezyjnych, wydaje
"Elementy geometrii”

praca, która wyparła obowiązujące wcześniej "Elementy"

Euklidesa.

- postulat

Legendre’a

– metoda najmniejszych kwadratów,

Błędy pomiarów i ich charakterystyka

Błąd prawdziwy

obserwacji



- różnica między

nieznanym wymiarem

X

(prawdziwą wartością)

mierzonej

wielkości i wynikiem pomiaru

L

 



i

= X - L

Źródła błędów:
- niedoskonałość zmysłów obserwatora,
- narzędzia pomiarowe (dalmierz, teodolit, niwelator)
- warunki pracy, czyli środowisko (temperatura,

ciśnienie, wilgotność, wiatr, opady, promieniowanie

słoneczne).

Ogólna klasyfikacja błędów obserwacji:
-

błędy grube

(omyłki),

-

systematyczne

,

-

przypadkowe (losowe)

.

Rozkład błędów przypadkowych w

teorii prawdopodobieństwa

Błędy przypadkowe są

zmiennymi losowymi

.

Charakteryzuje je

rozkład normalny

zwany

rozkładem

Gaussa-Laplace'a

N(μ,σ).

Jest to najczęściej spotykany w naturze

rozkład zmiennej losowej ciągłej.

Rozkład normalny ma dwa parametry:

 μ – wartość oczekiwana,
σ – odchylenie standardowe

.

Funkcja gęstości rozkładu normalnego

2

2

1

(

)

( )

exp(

)

2

2

x

f x





 







Wykres funkcji gęstości rozkładu normalnego

dla parametrów μ,σ.

DYSTRYBUANTA ROZKŁADU

Własności rozkładu normalnego

Empiryczne wartości parametrów rozkładu

normalnego

Brak informacji o wartości błędu  zmusza do operowania

zastępczymi wielkościami do oceny błędu obliczonymi z
próby losowej.

Empiryczne wartości parametrów rozkładu μ,σ
obliczone

z serii pomiarów

:

 

wartość średnia - x

s

błąd średni - m

.

Błąd średni to empiryczna ocena parametru σ,
Definicja: P(|| < m) = 0.68

Różne charakterystyki do oceny błędów:

błąd średni

, błąd przeciętny, błąd prawdopodobny,

błąd graniczny

oraz

błąd względny

.

Różnica między wartością średnią z próby losowej x

s

i obserwacją l

i

nazywa się

błędem pozornym

v

i

v

i

= x

s

- l

i

Ocena dokładności w oparciu o pojęcie niepewności
standardowej

W 1995 roku Międzynarodowa Organizacja
Normalizacyjna (ISO) opublikowała normy dotyczące

niepewności pomiarowych

. Według tych norm,

niepewności

typu A

oblicza się z analizy statystycznej

serii pomiarów {X

1

, X

2

, ....X

n

}. Jako

wynik pomiaru

przyjmuje się średnią arytmetyczną serii X

s

. a

niepewność standardową :

Jeżeli mamy tylko jeden wynik pomiaru, mówimy o
niepewności typu B, Δ

1

= niepewność wzorcowania,

wartość działki podziałki przyrządu pomiarowego,
Δ

2

= niepewność wpływu środowiska pomiaru,

Δ

3

= niepewność wpływu parametrów z literatury,

wyznaczonych doświadczalnie.

2

3

2

2

2

1













X

u











n

i

S

i

X

x

x

n

n

u

1

2

)

(

)

1

(

1

Błąd graniczny

Małe prawdopodobieństwo zdarzenia: P(||

<m)=0.68 nakazuje szukać korzystniejszego
parametru do oceny błędów

: P(|| < m

gr

) = 0.997

,

m

gr

= 3 m

. (0.3% ryzyka wystąpienia błędów ||

większych od błędu granicznego w serii pomiarów).

Błąd graniczny jest przyjmowany do obliczenia

największej wartości błędu (dopuszczalnej) dla
obserwacji. W metrologii w budownictwie, do
określania

odchyłki dopuszczalnej,

często

przyjmuje się 5% poziom istotności,

stąd P(|| < 2 m) = 0.95

Błąd przeciętny t

jest średnią arytmetyczną

bezwzględnych wartości błędów danego szeregu
jednakowo dokładnych obserwacji:

 

| |

t=

n





Błąd względny

Błąd względny to

stosunek bezwzględnej błędu do

wartości mierzonej wielkości (m/L)

.

W pewnych zadaniach przy ocenie błędu korzystniej
jest użyć

miary względnej

. Na przykład porównanie

błędów długości odcinków, pola figur, objętości
obiektów lub ich masy. Błędy pomiaru odcinka
krótkiego i bardzo długiego, ewentualnie błędy
pomiaru objętości lub masy takich obiektów są
trudne do porównania. Takie porównania wymagają

względnej miary dokładności

:

1

w =

L

(

)

|m|

Prawo Gaussa przenoszenia się błędów

średnich.

Błędy obserwacji

powodują, że wszelkie

funkcje

tych

obserwacji

są również obarczone błędami. W

przypadku funkcji liniowych ocena błędu funkcji
obserwacji nie jest skomplikowana. Błąd średni

funkcji nieliniowej

F = f(x, y, z, ...), może być

obliczony dla przybliżonej postaci tej funkcji, przy
założeniu, że daje się ona rozwinąć na szereg
Taylora. Funkcja F (x, y, z) w postaci

szeregu Taylora

w otoczeniu punktu P (x

0

, y

0

, z

0

):

F (x,y,z) = F (x

0

+ dx ,y

0

+ dy, z

0

+ dz) = F (x

0

,y

0

,z

0

)

+

0

0

0

F

F

F

...

x

y

z

dx

dy

dz



















Wyrównanie obserwacji i ocena dokładności

Obserwacje bezpośrednie:
-

jednakowo dokładne

.

-

niejednakowo dokładne

(o różnej dokładności).

Wzajemny stosunek dokładności wyraża się przez

nadanie wag p

i

dla każdej obserwacji,
Wagi p

i

=1 dla każdej obserwacji jednakowo

dokładnej.

Wagi

to liczby niemianowane, które określają

dokładność

względną poszczególnych

obserwacji.