GEODEZJA

WYKŁAD

Teoria błędów

Katedra Geodezji im. K. Weigla

ul. Poznańska 2/34

TEORIA BŁĘDÓW

Twórca teorii błędów

CARL FRIEDRICH GAUSS

niemiecki matematyk i astronom, w 1799 doktor
matematyki Uniwersytetu Helmstedt. 

Wydał dwutomowe dzieło (1844 i 1847) z dziedziny

geodezji. 

Pierwsze prace z zakresu teorii błędów w geodezji:
- postulat

Legendre’a

– met. najmn. kwadratów

- hipotezy Hagena o rozkładzie błędów

Błędy pomiarów i ich charakterystyka

Błąd prawdziwy

obserwacji  - różnica między

nieznanym wymiarem X (prawdziwą wartością)

mierzonej

wielkości i wynikiem pomiaru L 



i

= X - L

Źródła błędów:
- niedoskonałość zmysłów obserwatora,
- narzędzia pomiarowe (dalmierz, teodolit, niwelator)
- warunki pracy, czyli środowisko (temperatura,

ciśnienie, wilgotność, wiatr, opady, promieniowanie

słoneczne).

Ogólna klasyfikacja błędów obserwacji:
-

błędy grube

(omyłki),

-

systematyczne

,

-

przypadkowe (losowe)

.

Rozkład błędów przypadkowych

Błędy przypadkowe są

zmiennymi losowymi

.

Charakteryzuje je

rozkład normalny

zwany

rozkładem

Gaussa-Laplace'a

N(μ,σ).

Jest to najczęściej spotykany w naturze

rozkład zmiennej losowej ciągłej.

Rozkład normalny ma dwa parametry:
- 

 μ – wartość oczekiwana,

-  

σ – odchylenie standardowe

.

Funkcja gęstości rozkładu normalnego

2

2

1

(

)

( )

exp(

)

2

2

x

f x





 







Wykres funkcji gęstości rozkładu normalnego

dla parametrów μ,σ.

DYSTRYBUANTA ROZKŁADU

Własności rozkładu normalnego

Empiryczne wartości parametrów

rozkładu normalnego

Obliczone empiryczne wartości parametrów μ,σ

z próby

losowej

:

  -

wartość średnia - x

s

- błąd średni – m

.

Błąd średni to empiryczna ocena parametru σ,
Definicja: P(|| < m) = 0.68

Różne charakterystyki do oceny błędów:

błąd

średni

,

błąd

przeciętny,

błąd

prawdopodobny,

błąd graniczny

oraz

błąd względny

.

Różnica między wartością średnią z próby
losowej x

s

i obserwacją l

i

nazywa się

błędem pozornym

v

i

v

i

= x

s

- l

i

Obliczenie błędu średniego z próby losowej

2

m=

n

e

�

Wielokrotny pomiar tej samej wielkości daje
nadliczbowe elementy i pozwala obliczyć błędy
pozorne v oraz błąd średni m. Dotyczy to zarówno
pomiarów bezpośrednich jak też pośrednich.

2

v

m=

n-1



Błąd graniczny

Małe prawdopodobieństwo zdarzenia: P(||

<m)=0.68 nakazuje szukać korzystniejszego
parametru do oceny błędów: P(|| < m

gr

) = 0.997,

m

gr

= 3 m. (0.3% ryzyka

wystąpienia błędów || większych od granicznego)

Błąd graniczny jest przyjmowany do określenia

największej wartości błędu dopuszczalnej dla
obserwacji. W metrologii w budownictwie, do
określania

odchyłki dopuszczalnej

często przyjmuje

się 5% poziom istotności, stąd P(|| < 2 m) = 0.95

Błąd przeciętny t

jest średnią arytmetyczną

bezwzględnych wartości błędów danego szeregu
jednakowo dokładnych obserwacji:

 

| |

t=

n





Błąd względny

Błąd względny to

stosunek bezwzględnej wartości

błędu do całej mierzonej wielkości

.

W pewnych zadaniach przy ocenie dokładności
korzystniej jest użyć miary względnej. Na przykład
porównanie błędów długości odcinków, pola figur,
objętości obiektów lub ich masy. Odcinka krótkiego
i bardzo długiego ewentualnie pomiar objętości
obiektów lub ich masy. Takie porównania wymagają

względnej miary dokładności

:

1

w =

L

(

)

|m|

Prawo Gaussa przenoszenia się

błędów średnich.

Błędy obserwacji

powodują, że również wszelkie

funkcje

tych

obserwacji

są obarczone błędami. W

przypadku funkcji liniowych ocena błędu funkcji
obserwacji jest nieskomplikowana. Dla

funkcji

nieliniowej

F = f(x, y, z, ...), błąd średni może być

obliczony dla przybliżonej postaci tej funkcji, przy
założeniu, że daje się ona rozwinąć w szereg
Taylora. Funkcja F (x, y, z) w postaci

szeregu Taylora

w otoczeniu punktu P (x

0

, y

0

, z

0

):

F (x,y,z) = F (x

0

+ dx ,y

0

+ dy, z

0

+ dz) = F (x

0

,y

0

,z

0

)

+

0

0

0

F

F

F

...

x

y

z

dx

dy

dz



















Utożsamiając zmiany dx, dy, dz z błędami:



x

, 

y

, 

z

wzór na średni błąd dowolnej funkcji:

 

...

2

2

2

2

2

2



























































z

y

x

F

m

z

F

m

y

F

m

x

F

m























p

i

i

p

F

Xi

m

x

x

x

x

F

m

1

2

2

1

)

,

,

,

(



Przykład

: Pole prostokątnej działki o bokach

a,b.

 

Z pomiaru długości boków figury: a =300m,
m

a

=0,10 m, b = 20m m

b

= 0,01m

Obliczyć pole figury, błąd średni oraz względny pola.
Pole P = F(a,b) = a * b = 6000 m

2

= 60 a.

Średni błąd tej funkcji

:

 

 

 

 

2

2

2

2

P

b

a

P

P

m

m

m

a

b





































a

b

Pochodne cząstkowe:

 

 
 
 

 

 

 

P = 6000 m

2

± 4 m

2

Błąd względny pola figury:

 

b

a

P







a

b

P







2

2

2

2

b

2

a

P

m

3.6

0.01)

*

300

(

0.1)

*

(20

)

m

*

a

(

)

m

*

(b

m













P

1600

1

m

6000

m

3.6

2

2



Wyrównanie obserwacji i ocena

dokładności

Obserwacje bezpośrednie:
-

jednakowo dokładne

.

-

niejednakowo dokładne

(o różnej dokładności).

Wzajemny stosunek dokładności wyraża się przez

nadanie wag p

i

dla każdej obserwacji,
Wagi p

i

=1 dla każdej obserwacji jednakowo

dokładnej.

Wagi

to liczby niemianowane, które określają

dokładność

względną poszczególnych

obserwacji.

Wyrównanie i ocena dokładności

obserwacji

bezpośrednich jednakowo dokładnych

Teoria błędów posługuje się błędami pozornymi

przy

obliczaniu

wartości

najbardziej

prawdopodobnej.

W statystyce wyrównanie wyników pomiaru nosi

nazwę estymacji parametrów rozkładu.

 
Wyrównanie obserwacji metodą najmniejszych

kwadratów jest wykonywane przy założeniu v

2

=

minimum dla obserwacji jednakowo-dokładnych.
Dla obserwacji niejednakowo-dokładnych warunek
ten ma postać:

pv

2

= minimum. Wyrównanie takie nazywane jest

wyrównaniem ścisłym.

W zadaniach geodezyjnych często występują

obserwacje pośrednie, których wartości oblicza się
na podstawie innych pomierzonych wielkości.

Próba

złożona z n obserwacji: l

1

, l

2

, ..., l

n

wykonanych z tą samą

dokładnością, Jeżeli

wartość prawdziwa poszukiwanej wielkości
wynosi X, to zgodnie z podaną wcześniej definicją
błędu

prawdziwego można zapisać:



1

= X—l

1



2

= X—l

2

...



n

= X—l

n

Sumując równania, otrzymuje się:

stąd X =

/n dąży do zera,

dąży do wartości prawdziwej

X

Wartość średnia

:

i

nX

l











l

n

n









x

i

l

x

n





Przykład wyrównania obserwacji jednakowo

dokładnych

i

Obs. l

i

v

i

pv

i

1

1.419

-5

25

2

1.408

6

36

3

1.415

-1

1

4

1.410

4

16

5

1.415

-1

1

6

1.418

-4

16

7

1.412

2

4

8

1.415

-1

1

9

1.422

-8

64

10

1.406

8

64

1.414 

=

0

228

 =

14.140

x

2

v

m

n 1







=

±

5 mm

Błąd średni średniej

arytmetycznej

M:





2

m

5

M

=

= 1.6 mm

n n 1

n

10

v













Średnia

arytmetyczna:

i

l

x

= 1.414

n





1

2

2















n

v

n

m







2

m

M

n n 1

n

v









Średni błąd pojedynczej obserwacji z próby (m):
Błąd średni średniej arytmetycznej (M):
(po wyrównaniu obserwacji)

n





i

l

x

i

i

v = x- l

Ocena dokładności pomiarów

Błąd średniej arytmetycznej M można wyznaczyć

jako

błąd

funkcji:

= F(l):
 

 

Przyjmując, że suma obserwacji ma

odchyleni

standardowe σ

x

,

otrzymuje się wzór na tzw. średni

błąd średniej

arytmetycznej

:

x

2

i

2

m

M

n





2

2

2

x

2

M

n











2

2

M

n(n-1)

v





Wyrównanie i ocena dokładności obserwacji

bezpośrednich niejednakowo dokładnych

Próba

losowa

n

obserwacji

niejednakowo

dokładnych: l

1

, l

2

, ..., l

n

średnie błędy

m

1

, m

2

, ..., rn

n

lub

wagi

p

1

, p

2

, ..., p

n

,

lub

2

i

l

p

1/ m



1

2

2

2

2

1

2

1

1

1

p :p :...:p

:

:...:

m m

m

n

n



Ogólna średnia arytmetyczna

(ważona):

1 1

2 2

1

2

pl

p l

p l

... p l

p

p

... p

p

n n

n

X



 







 





Błąd średni

typowej obserwacji

o wadze p

0

=1.

2

0

pv

m

n 1







Błąd średni ogólnej średniej arytmetycznej:

2

pv

M

p(n-1)







Przykład wyrównania obserwacji
różnodokładnych

i

Obs. l

i

p

i

v

i

pv

i

pvv

i

1

1.419

0.3

-4.85

-1.455 7.05

6

2

1.408

0.5

6.15

3.075

18.9

11

3

1.415

1.2

-0.85

1.020

0.86

7

4

1.410

0.6

4.15

2.490

10.3

34

5

1.415

1.5

-0.85

-1.275 1.08

4

6

1.418

0.2

-3.85

-0.770 2.96

4

7

1.412

0.4

2.15

0.860

1.84

9

8

1.415

1.5

-0.85

-1.275 1.08

4

9

1.422

0.5

-7.85

3.925

30.8

11

10

1.406

0.4

8.15

3.260

26.5

69

1.414

pl

10.0

4

7.1

0.030

98.5

65

pl
=

10.040

x

Średni błąd obserwacji typowej:

2

0

pv

m

n 1







2

pv

M

p(n-1)







x

= 1.4141.2 mm

=

3.3

mm

=

1.2

mm

Średni błąd wartości oczekiwanej:

Dla bardzo małych prób wyniki pomiarów podlegają
rozkładowi

tStudenta

. Przyjmując interpretacje

probabilistyczną odchylenia standardowego w rozkładzie
normalnym (prawdopodobieństwo uzyskania wyniku

spoza przedziału

<x

s

- m

x

;x

s

+ m

x

> wynosi 0,3174),

znajdujemy taką

wartość krytyczną

w rozkładzie

Studenta t

n,

, dla której =0.31740.32. Wtedy dla

bardzo małej próby
S

xt

= t

n, 0.32

m

x

m

x

 S

xt

t

n, 0.32

– wartość krytyczna z rozkładu tStudenta

Wartości krytyczne t

n,0.32

dla niektórych wartości n

podane są w tabeli

n

Wart. Krytyczna

t(n,0.32)

3

1.3210

4

1.1966

6

1.1103

8

1.0765

10

1.0585

15

1.0368