1

ELEMENTY TEORII BŁĘDÓW

2

Informacje ogólne

Każdy pomiar wielkości fizycznej dokonywany jest ze

skończoną dokładnością co oznacza że wynik każdego

pomiaru dokonywany jest z niepewnością pomiarową

zwaną błędem pomiaru. Zasady obliczania jak również

ocena błędów zawarte są w teorii błędów zwanej

rachunkiem błędów.

Wykonanie bezbłędnego pomiaru jest niemożliwe dlatego

rzeczywistej wielkości pomiarowej nie poznamy nigdy.

Wartość pomierzoną możemy zapisać: X = X

np

+ m

x

np – najbardziej prawdopodobny

3

Rodzaje błędów

Błędy pomiarowe dzielą się na trzy zasadnicze grupy:

•

błędy grube (omyłki),

•

błędy systematyczne,

•

błędy przypadkowe.

Rachunek wyrównawczy zajmuje się jedynie błędami

przypadkowymi.

Błędy grube i systematyczne należy wyeliminować

przed wyrównaniem wyników pomiarów.

4

Błędy grube i systematyczne

Błędy grube to poważne odchylenia wyników

pomiarów od wartości rzeczywistej mierzonej
wielkości, powstają na skutek nieuwagi, pośpiechu.
Wykrywa się je i eliminuje z pomiarów przez
kilkakrotne obserwacje tej samej wielkości.

Błędy systematyczne mają te same znaki, a

czasami nawet te same wartości. Zdarza się, że
wzrastają one proporcjonalnie do mierzonej
wielkości. Źródłem tych błędów jest najczęściej
niedoskonałość narzędzi pomiarowych.

5

Błędy przypadkowe

Błędy przypadkowe obarczają wszystkie pomiary.

Najczęściej spowodowane są one niedoskonałością

wzroku obserwatora. Mają one niewielkie wartości,

są nieuchwytne i mają różne znaki. Przyczyny ich

powstania są przypadkowe i zmienne, zatem ich

wartości i znaków nie można przewidzieć. Nie da

się ich wyeliminować zupełnie, można jednak

osłabić ich wpływ przez wykonanie pomiarów

nadliczbowych i wyrównanie wyników pomiarów.

6

Wartość najbardziej prawdopodobna – średnia

arytmetyczna

n

]

l

[

n

l

...

l

l

x

n

2

1











l

1

, l

2

, ... – spostrzeżenia

n – ilość spostrzeżeń

Błąd prawdziwy – różnica między wartością

prawdziwą X a i-tą wartością obserwowaną l

i

i

i

l

X







Spostrzeżenia bezpośrednie jednakowo

dokładne

7

Błąd pozorny – różnica między średnią

arytmetyczną x a i-tą wartością obserwowaną l

i

.

i

i

l

x

v





0

[l]

–

[l]

l]

[

x

n

]

v

[









Własność pierwsza:

Własność druga:

min.

]

vv

[



Na drugiej własności opiera się stosowana w

rachunku wyrównawczym „metoda najmniejszych

kwadratów” opracowana przez Gaussa.

Spostrzeżenia bezpośrednie jednakowo

dokładne

8

Błąd średni pojedynczego spostrzeżenia:

• wyrażony przez błędy prawdziwe

• wyrażony przez błędy pozorne

Błąd średni średniej arytmetycznej (wartości
wyrównanej):

n

]

[

m





1

-

n

[vv]

m



 

1

-

n

n

[vv]

n

m

M





Spostrzeżenia bezpośrednie jednakowo

dokładne

9





997

,

0







g

g

-

P







683

,

0







m

m

-

P







5

,

0







r

r

-

P



Prawdopodobieństwa popełnienia błędu prawdziwego

pomiaru w granicach błędów:
• granicznego (g=3m)
• średniego
• prawdopodobnego

68,3 %

50 %

99,7 %

- m

m

- g

g

- r

r

y



punkt przegięcia

krzywej

Krzywa błędów Gaussa

10

Błąd względny

Definicja podaje, że jest to ułamek wyrażający

stosunek absolutnej wartości błędu popełnionego

przy pomiarze danej wielkości do wartości tej

wielkości.
Dla ułatwienia użycia błędu względnego, do licznika

wprowadza się jedność:

C

1

d

d





11

Z doświadczenia wiadomo, że wynik pomiaru pewnej wielkości,

np. odległości x za pomocą dalmierza DISTO, przyjmuje wartość z przedziału

a < x < b,

którego wielkość zależy od dokładności użytego przyrządu pomiarowego m

v = x – Ex

- błąd pomiaru

Ex - wartość oczekiwana wyniku pomiaru

x

- wynik pomiaru

- błąd średni pomiaru

2

Ev

m



a

x

2

x

3

x

4

x

1

b

DISTO

Odchylenie wyniku pomiaru x od wartości oczekiwanej v = x - Ex
nazywane błędem pomiaru, ma charakter przypadkowy, zmienia się
w czasie wykonywania pomiarów zarówno co do wielkości jak i znaku.

Błąd średni pomiaru

12

Przy założeniu średniej arytmetycznej jako wartości oczekiwanej wyniku pomiaru:

x

sr

1

n

i

x

i





n



Liczba pomiarów n = 4

x

1

= 4,006m

x

2

= 4,002m

x

3

= 4,008m

x

4

= 4,004m

x

sr

= 4,005m

Błędy poszczególnych pomiarów wynoszą:

v

1

= 0,001

v

2

= -0,003

v

3

= 0,003

v

4

= -0,001

Odchylenie standardowe, nazywane błędem średnim pomiaru

m

0

1

n

i

v

i

 

2





n

1





v

x

x

sr





m

0

= 0,0026

Błąd średni pomiaru

13

Pomiary, których odchyłki v przekraczają co do bezwzględnej wartości

2- lub 3-krotnie ich błąd średni:

są uznawane za odstające.

Jeżeli

m

0

0.0026



to wartość średnia i jej błąd:

m

śr

2

=

m

0

2

/

n

m

sr

m

n



m

v

m

2

m

sr

2





W podanym przykładzie brak pomiarów odstających, wszystkie pomiary

spełniają kryterium |v| ≤

W przypadku wystąpienia pomiarów odstających parametry rozrzutu x

sr

, m

0

są obliczane

iteracyjnie, odrzucając na każdym kroku pomiary odstające. W każdym kroku iteracji może się
zmieniać zestaw usuwanych pomiarów odstających, pomiar raz usunięty może wrócić do zbioru, na
podstawie którego oblicza się parametry rozrzutu. Postępowanie iteracyjne kontynuuje się do momentu,
gdy parametry rozrzutu otrzymywane w kolejnych iteracjach przestaną się różnić znacząco, co oznacza,
że zbiory w kolejnych iteracjach zawierają te same, lub prawie te same pomiary

0

0

m

v

= 0,0023

2m

v

= 0,0046

m

śr

= 0,0013

Błąd średni pomiaru