Wstęp do teorii pomiarów i błędów

Międzynarodowy układ jednostek SI

Podstawowe:	Uzupełniające:
długość – metr	kąt płaski – radian
masa – kilogram	kąt bryłowy – steradian
czas – sekunda
światłość – candela
natężenie prądu – amper
temperatura – kelwin
liczność materii – mol

$$\left\lbrack J \right\rbrack = F\left\lbrack N \right\rbrack*s\left\lbrack m \right\rbrack = N*m = kg*\frac{m^{2}}{s^{2}}$$

Przedrostki

10^1	deko-	10^-1	decy-
10^2	hekto-	10^-2	centy-
10^3	kilo-	10^-3	mili-
10^6	mega-	10^-6	mikro-
10^9	giga-	10^-9	nano-
10^12	tetra-	10^-12	piko-

Wielkości fizyczne

Wielkość fizyczna – każda mierzalna własność zjawiska lub ciała.

Miara wielkości – iloczyn liczby, która jest wartością liczbową miary i jednostki miary.

Pomiar – czynności związane z ustaleniem wartości liczbowej miary danej wielkości fizycznej.

Wynik pomiaru – wartość otrzymana w wyniku pomiaru ± jego błąd bezwzględny.

Wielkości fizyczne dzieli się na:

1. Proste – miarę tych wielkości otrzymujemy w wyniku bezpośredniego pomiaru wykonywanego jednym przyrządem.

2. Złożone – do uzyskania miary tych wielkości musimy jednocześnie dokonywać pomiaru kilku wartości prostych.

Podział błędów pomiarowych ze względu na ich źródła

Błędy systematyczne

Są to błędy, które przy wielu pomiarach tej samej wartości wielkości mierzonej, wykonywanych w tych samych warunkach pozostają stałe lub zmieniają się według określonego prawa wraz ze zmianą warunków.

Źródła błędów systematycznych:

• Zły model obiektu, np.:

  • założenie, że obiekt pomiaru na wyjściu którego interesuje nas napięcie ma rezystancję wewnętrzną bliską zeru.

• Niewłaściwy przyrząd, np.:

  • pomiar wartości skutecznej napięcia ze składową stałą jest mierzony woltomierzem, który mierzy tylko wartość skuteczną składowej zmiennej.

• Oddziaływanie przyrządu na obiekt mierzony, naruszenie równowagi energetycznej obiektu, np.:

  • pomiar temperatury termometrem kontaktowym,

  • zmiana prądu w obwodzie spowodowana włączeniem amperomierza o niezerowej rezystancji.

• Niestarannie zestawiony układ pomiarowy, np.:

  • pomiar małej rezystancji po dołączeniu jej do układu pomiarowego dwoma długimi przewodami.

• Niedokładność miary wzorca, błąd wzorcowania przyrządu, np.:

  • uproszczenie modelu, konstrukcji – założenie liniowości podziałki,

  • niedoskonałość wykonania.

• Zmiany warunków pomiaru w stosunku do wymaganych warunków odniesienia – błąd dodatkowy, np.:

  • zmiana parametrów narzędzia – wydłużenie taśmy mierniczej wynikające z za wysokiej temperatury, w jakiej wykonywane były pomiary.

Błędy systematyczne są trudne do ujawnienia, wymagają wnikliwości, znajomości obiektu, zasad działania aparatury. Należy je usunąć z wyników pomiaru. Jeśli potrafimy zauważyć i oszacować błąd systmatyczny ΔX_sys­, można go usunąć z wyniku pomiaru lub pomnożyć wynik przez współczynnik pomiarowy i poprawić „surowy” wynik zmierzony X_z i przyjąć za wartość mierzoną poprawioną X_p.

Znając wartość rzeczywistą X możemy oszacować wartość błędu: ΔX =  X_z − X

Wartość poprawioną można obliczyć: X_p =  X_z − ΔX_sys

Poprawka – błąd systematyczny z przeciwnym znakiem: P =   − ΔX_sys

Wartość poprawioną można zapisać więc: X_p =  X_z + P

Poprawiony wynik pomiaru nadal nie musi odpowiadać wartości rzeczywistej: X = X_p ± ΔX_graniczne

Błędy przypadkowe

Mogą być ujawnione poprzez powtarzanie pomiaru. Jeśli w pozornie takich samych warunkach pomiaru zmieniają się wyniki to odpowiedzialne są za to błędy przypadkowe.

Przykładowe przyczyny:

• histereza wskazań;

• szumy termiczne;

• nieuwaga obserwatora;

• krótkotrwałe zmiany warunków zewnętrznych niezauważone przez obserwatora;

• niestaranny pomiar, niestarannie wykonany układ pomiarowy;

• błąd modelu, itp.

Błędy przypadkowe należy uwzględnić w zapisie wyniku. Jeśli wykonano n pomiarów, należy obliczyć wartość średnią ich wyników:

$$\overset{\overline{}}{x} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_{i}$$

Za miarę błędu przypadkowego należy przyjąć wtedy różnicę wartości średniej i wyniku pojedynczego pomiaru:

$$\Delta x = x_{i} - \overset{\overline{}}{x}$$

Probabilistyczna teoria błędów przypadkowych Gaussa

Z jednego pomiaru nie możemy wnioskować o jego dokładności. Do tego konieczna jest ich seria. Otrzymujemy ją przez kilkukrotne, niezależne powtórzenie rozpatrywanego pomiaru. Wyniki w serii będą różnić się losowo. Wartość rzeczywista nie jest znana ale z serii pomiarów wartością najbardziej do niej zbliżoną jest średnia arytmetyczna. Jest to tzw. pierwszy postulat Gaussa. Wynika on z faktu równości prawdopodobieństw tak zawyżenia wielkości zmierzonej, jak i jej zaniżenia. Tym samym błędy powinny kompensować się. Jednak przy skończonej ilości pomiarów może zdarzyć się, że wyniki nie rozłożą się równomiernie wokół wartości rzeczywistej. Tym samym wartość średnia jest jedynie blisko położona wielkości rzeczywistej. Zbliżenie to jest tym lepsze, im dłuższa jest seria pomiarowa.

Wyniki pomiarów w serii rozkładają się wokół wartości średniej w tzw. krzywą Gaussa. Ciągły rozkład Gaussa jest funkcją:

$$P\left( x \right) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{\frac{\left( x - \overset{\overline{}}{x} \right)^{2}}{2\sigma^{2}}}$$

Parametr σ to odchylenie standardowe, które określa rozrzut wartości wokół średniej. Jest ono również nazywane średnim uchybem kwadratowym. Jest to pierwiastek kwadratowy wariancji.

$$\sigma_{x} = \sqrt{\frac{\sum_{}^{}\left( \delta \right)^{2}}{n}}$$

Rozkład Gaussa przedstawia zjawisko probabilistyczne, co oznacza że można nim określić prawdopodobieństwo, że dany wynik pomiaru znajdzie się w danym przedziale wartości:

• W przedziale $\left\lbrack \overset{\overline{}}{x} - \sigma,\ \overset{\overline{}}{x} + \sigma \right\rbrack$mieści się 68,26% pomiarów całej serii.

• W przedziale $\left\lbrack \overset{\overline{}}{x} - 2\sigma,\ \overset{\overline{}}{x} + 2\sigma \right\rbrack$mieści się 95,45% pomiarów całej serii.

• W przedziale $\left\lbrack \overset{\overline{}}{x} - 3\sigma,\ \overset{\overline{}}{x} + 3\sigma \right\rbrack$mieści się 99,73% pomiarów całej serii.

Z odchylenia standardowego można wyznaczyć odchylenie standardowe średniej:

$$\sigma_{\overset{\overline{}}{x}} = \frac{\sigma_{x}}{\sqrt{n}} = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}\left( x_{i} - \overset{\overline{}}{x} \right)^{2}}{n\left( n - 1 \right)}}$$

Błędy grube

Są to pomyłkowe pomiary lub obserwacje powstałe w wyniku niestarannego odczytu wskazań przyrządów, niepoprawnego włączenia przyrządów. Błędy takie należy odrzucić lub przeprowadzić kontrolny pomiar. Błędy o wartości średniego uchybu kwadratowego większej niż 3σ uznaje się za błędy grube.

Podział błędów ze względu na sposób zapisu

1. Błąd bezwzględny – różnica między wartością zmierzoną, a wartością rzeczywistą (dokładną).

Δx = x − x₀, gdzie:

x – wynik pomiaru

x₀ – wartość rzeczywista wielkości zmierzonej, przy czym nie jest ona znana. Można ją określić w sposób przybliżony, np. jako wynik teoretycznych obliczeń, średnią arytmetyczną.

1. Błąd względny

$$\delta_{w} = \frac{\text{Δx}}{x_{0}} = \frac{x - x_{0}}{x_{0}}$$

1. Błąd procentowy

$$\delta_{p} = \frac{\text{Δx}}{x_{0}}*100\% = \frac{x - x_{0}}{x_{0}}*100\%$$

Uchyb pozorny – różnica pomiędzy wartością średnią odczytu, a wartością średnią pomiaru. Jest to błąd pozorny, ponieważ wartość średnia jest wartością przybliżoną.

Dominanta – wartość najczęstsza, np.:

w szeregu: 1, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5 dominanta = 5

Mediana – wartość przeciętna w szeregu uporządkowanym.

Przykład 1:

Oceny: 3, 5, 6, 1, 5, 2, 4

Oceny uporządkowane: 1, 2, 3, 4, 5, 5, 6

Mediana: 4

Przykład 2:

Oceny: 3, 5, 1, 5, 2, 4

Oceny uporządkowane: 1, 2, 3, 4, 5, 5

$$\frac{3 + 4}{2} = 3,5$$

Mediana: 3,5

Zasady zaokrąglania błędów

1. Błąd zaokrąglić w górę do 1 liczby znaczącej (gdy w skutek zaokrąglania błąd nie zwiększy się o 10%).

2. Błąd zaokrągla się do 2 liczb znaczących, gdy (przy zaokrągleniu) błąd zwiększy się o 10%.

3. Błędy zawsze zaokrągla się w górę.

4. Wartości liczbowe błędu i wyniku powinny być zapisane z tą samą liczbą cyfr po przecinku.

Zasady zaokrąglania wyników

1. Zbędne cyfry liczb całkowitych zastępuje się zerami.

2. Jeżeli pierwsza zbędna cyfra jest mniejsza niż 5, to poprzednią cyfrę zapisuje się bez zmian. Np.:

135,243≈135,24

1. Jeżeli pierwsza zbędna liczba jest równa 5, a cyfra za nią nieparzysta, to pierwszą pozostającą cyfrę zastępuje się wartością większą o 1. Np.:

135,23513≈135,24

1. Jeżeli pierwsza zbędna liczba jest równa 5, a cyfra za nią jest równa parzysta, to pierwszą pozostawioną liczbę zapisuje się bez zmian.

Przykład

Oceny: 2, 5, 1, 3

Średnia arytmetyczna: $\overset{\overline{}}{a} = \frac{\sum_{i = 1}^{4}a_{i}}{4} = \frac{2 + 5 + 1 + 3}{4} = 2.75 \approx 2.8$

Wariancja: $\sigma^{2} = \frac{\sum_{}^{}\left( \delta \right)^{2}}{n} = \frac{\left( 2 - 2.8 \right)^{2}{+ \left( 5 - 2.8 \right)}^{2} + \left( 1 - 2.8 \right)^{2} + \left( 3 - 2.8 \right)^{2}}{4} = 2,19$

Odchylenie standardowe: $S = \sqrt{\ \sigma^{2}} = 1.4799 \approx 1.5$