Falowe właściwości cząstek
Fizyk francuski Louis de Broglie sformułował w 1924 r. hipotezę:
Jeśli światło, które traktujemy jako falę wykazuje cechy korpuskularne
(ma naturę dualną) to również cząstki (np. elektrony) powinny
wykazywać właściwości falowe. Zatem ruch cząstki możną opisać w
języku falowym.
Fale odpowiadające cząstkom są to tzw. fale materii (fale de
Broglie’a).
W 1929 r. de Broglie otrzymał nagrodę Nobla.
Louis Victor de Broglie
(1892 – 1987)
Elektron przyśpieszony w polu elektrycznym przy napięciu U uzyskuje energię kinetyczną
2
2
el
mV
eU
=
, stad
2
el
eU
V
m
=
Zatem
2
el
h
eU
m
m
l =
;
Jeśli U = 100 V to
1,2A
el
l =
o
Hipoteza fal materii
f
f
f
h
h
p
h
p
e
n
l
l
=
=
=
cz
cz
cz
cz
h
p
h
mV
l
l
=
=
foton
cząstka
wnioskują
c
z analogi
Kwantowanie orbit zgodnie z hipoteza de Broglie’a
el
– długość fali de Broglie’a związanej z elektronem
Otrzymujemy warunek kwantowy Bohra
Warunek kwantowy Bohra zawiera treść falową:
na obwodzie bohrowskiej orbity mieścić się musi całkowita liczba
długości fali związanej z elektronem.
mV
h
el
el
n
r
2
mV
h
n
r
2
2
h
n
mVr
n
mVr
Najprostszym sposobem pogodzenia obrazu korpuskularnego z
falowym jest przyjęcie interpretacji statystycznej:
natężenie fali związanej z cząstką znajdującą się w jakimś
punkcie oznacza prawdopodobieństwo znalezienia cząstki
w tym punkcie.
Fale de Broglie’a nazywamy falami prawdopodobieństwa.
P – w tym punkcie jest maksymalne
prawdopodobieństwo dotarcia elektronu
P
2
– w tym punkcie prawdopodobieństwo
dotarcia elektronu jest równe zero
Odpowiednikiem doświadczenia Younga byłoby, w
przypadku fal materii, następujące doświadczenie:
Rysunek przedstawia formowanie się obrazu
interferencyjnego w doświadczeniu A. Lorii.
Na ekran kierował on strumień kilku
elektronów na sekundę.
Po dostatecznie długim czasie uwidacznia się
interferencyjna struktura obrazu.
Rząd wielkości
el jest taki, jak długość fali promieniowania X, zatem falowe
właściwości elektronów można doświadczanie zbadać tak samo, jak zbadano
falową naturę promieniowania X.
Należy wiązkę elektronów skierować na kryształ. Doświadczenie taki
przeprowadzili Clinton Davisson i Lester Germer (fizycy amerykańscy) i
niezależnie fizyk angielski George Thomson oraz fizyk polski Szczepan
Szczeniowski.
Doświadczenie Davissona-Germera (1927 r.)
o
2 sin
12,25
[A ] *
el
el
d
n
a
l
l
j
=
=
D
Otrzymana z równania Bragga (1) długość fali
okazała się równa długości fali obliczonej ze
wzoru (2).
2
1
Fala płaska de Broglie’a nie nadaje się do opisu ruchu cząstki, bo nie
jest zlokalizowana przestrzennie. Taką lokalizację przestrzenną
posiada paczka falowa.
E. Schrödinger wprowadził założenie, że cząstkom można przypisać
fale ograniczone w przestrzeni (paczki falowe). Paczkę falową można
złożyć z widma ciągłego fal, w pewnym przedziale częstości.
( , )
( , )
n
n
x t
x t
y
y
=
�
Erwin Schrödinger
(1887 – 1961)
W 1933 roku został uhonorowany wraz z
Nagrodą Nobla w dziedzinie fizyki za
"odkrycie nowych, płodnych aspektów teorii
atomów i ich zastosowanie".
Superpozycja dwóch
fal harmonicznych o
mało różniących się
częstotliwościach
(dudnienia).
Superpozycja n fal
harmonicznych
Paczka falowa
Prędkość grupowa ma
sens
fizyczny
prędkości
ruchu
cząstki.
Erwin Schrödinger korzystając z analogii klasycznych, zapisał
równanie, pozwalające znaleźć funkcję falową
opisującą cząstkę w
określonym stanie oraz energię
cząstki w tym stanie.
2
2
(
)
0
2
cz
U
m
y
e
y
� + -
=
h
równanie Schrödingera
gdzie:
- energia całkowita cząstki
U – energia potencjalna
2
2
2
2
2
2
2
x
y
z
y
y
y
y
�
�
�
� =
+
+
�
�
�
Rozumowanie prowadzące do równania Schrödingera
Równanie fali rozchodzącej się w kierunku osi x zapisujemy:
( , )
cos[2 (
)]
t
x
x t
A
T
y
p
l
=
-
Przyjmując t jako parametr obliczmy pochodną cząstkową
2
2
2
2
2
2
2
2
2
sin[2 (
)]
4
cos[2 (
)]
4
t
x
A
x
T
t
x
A
x
T
A
x
y
p
p
l
l
y
p
p
l
l
y
p
y
l
�
=
-
�
�
=-
-
�
�
=-
�
Stąd
2
2
2
2
4
x
l
y
y
p
�
=-
�
Dla cząstki energia mechaniczna
2
2
p
U
m
e =
+
gdzie
h
p
l
=
(ze wzoru na długość fali de Broglie’a)
Zatem:
2
2
2
2
/
2
*
2
h
U
m
h
U
m
e
y
l
ey
y
y
l
=
+
�
=
+
2
2
2
2
4
x
l
y
y
p
�
=-
�
ale
energia
kinetyczna
energia
potencjalna
Wstawiamy do wzoru
*
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(
)
2
4
(
)
0
2
h
U
m
x
U
m x
l
y
y
ey
l
p
y
e
y
�
-
+
=
�
�
+ -
=
�
h
Równanie opisuje dualną naturę cząstek:
m – masa, jest atrybutem cząstki materialnej
– funkcja falowa
równanie Schrödingera
Max Born zaproponował związanie amplitudy fali de Broglie’a w
każdym punkcie przestrzeni z prawdopodobieństwem znalezienia
cząstki w otoczeniu tego punktu.
Prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w elemencie objętości dV
otaczającym punkt jest równe kwadratowi modułu funkcji falowej
opisującej cząstkę pomnożonemu przez ten element objętości:
2
dV
y
gdzie:
- funkcja falowa (x,y,z,t)
2
2
*
*
A
y
y y
=
=
Kwadrat modułu amplitudy fali de Broglie’a w danym punkcie
jest miarą prawdopodobieństwa znalezienia się cząstki w tym
punkcie.
2
( , , )
x y z
y
gęstość prawdopodobieństwa
znalezienia cząstki w punkcie o
współrzędnych (x,y,z)
2
( , , )
x y z dV
y
prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w
obszarze dV
2
( , , )
1
x y z dV
y
+�
- �
=
�
�
�
pewność znalezienia cząstki
Max BORN
(1882 – 1970)
Urodził się we Wrocławiu
Jego wnuczką jest piosenkarka Olivia Newton-John,
znana z filmu GREASE (z Johnem Travoltą)
W 1954 roku otrzymał Nagrodę Nobla
Zasada nieoznaczoności Wernera Heisenberga
Zasada nieoznaczoności Heisenberga jest
konsekwencją falowego opisu ruchu mikrocząstek,
z wykorzystaniem pojęcia paczki falowej.
Z teorii ruchu falowego wynika, że rozciągłość x
pewnego ciągu fal jest związana z faktem, iż musi on
zawierać fale o liczbach falowych z przedziału Δk
2
k
p
l
=
Wykazano, że miedzy x i k istnieje związek:
x
.
k 1
Werner
Heisenberg
(1901-1976)
Nagroda Nobla w
1932 r. za
fundamentalny
wkład w stworzenie
mechaniki
kwantowej
Pracował dla Hitlera
nad projektem
bomby atomowej
x
.
k 1
ale liczba falowa
2
k
p
l
=
, zaś
cz
cz
h
p
l =
, stąd
2
cz
p
k
h
p
=
oraz
Możemy więc zapisać:
2
1
2
cz
cz
x
p
h
h
x p
p
p
D � D �
D �
D �
cz
x
p
D �
D
�h
zasada nieoznaczoności
Heisenberga
cz
p
h
k
2
Iloczyn nieoznaczoności współrzędnej położenia cząstki w kierunku
danej osi
(x) i nieoznaczoności rzutu pędu cząstki na daną oś układu
współrzędnych
(p
cz
) nie może być mniejszy od
2
h
p
=
h
Przykłady:
Prędkość cząstki o masie 0,1 g określona jest z dokładnością
6
10 cm/s
x
V
m V
x
-
D =
D �
D
h
stąd można obliczyć
27
10 cm
x
-
D �
(niemierzalne)
Nieoznaczoność położenia elektronu w atomie w najgorszym
przypadku równa się rozmiarom atomu (10
-10
m). Wówczas
nieoznaczoność prędkości ΔV 10
6
m/s. Tego rzędu wielkości jest
prędkość elektronu w atomie.
1
Δ
ε
– nieoznaczoność energii
Δt – nieoznaczoność czasu
2
t
t
e
e
D �
D �
D �
D
h
h
W stanie podstawowym atomu Δt = ; Δ
ε
= 0
W stanie wzbudzonym
; – czas życia w stanie zbudzonym ~ 10
-8
s
h
e
t
D �
34
26
8
8
8
1,05 10 J s
10 J 6,5 10 eV
10
6,5 10 eV
h
s
e
t
e
-
-
-
-
-
�
�
D � =
=
�
D � �
B
Wyemitowany kwant energii przy przejściu atomu ze stanu
wzbudzonego do stanu podstawowego równa się:
0
(
)
hn
e
e
e
= �D -
Energia wypromieniowanego fotonu nie jest dokładnie równa
ε
–
ε
0
. Nieoznaczoność energii wynosi Δ
ε
.