STANY   GRANICZNE   UŻYTKOWALNOŚCI

Sprawdzenie stanów granicznych użytkowalności polega na 
sprawdzeniu
-    naprężeń – porównanie naprężeń z naprężeniami 
granicznymi
-    szerokości rozwarcia rys – oblicza się szerokość rys i 
porównuje 
     z szerokościami granicznymi
-    ugięć – obliczone ugięcia porównuje się z ugięciami 
granicznymi

Zarysowanie należy ograniczyć do poziomu, który nie 
pogarsza funkcjonowania, trwałości konstrukcji i nie powoduje, 
że wygląd  konstrukcji nie nadaje się do akceptacji.

Graniczną szerokość rys w

max

 zalecana tabl. 7.1.N

Minimalne pole przekroju zbrojenia

Jeżeli element wymaga sprawdzenia rys, to obszar w którym 
wystąpi rozciąganie, należy umieścić zbrojnie nie mniejsze niż 
minimalne ze względu na zarysowanie.

ct

ef

,

ct

c

s

min

,

s

A

kf

k

A











ef

,

ct

s

f

bezwzględna wartość maksymalnego dozwolonego 
naprężenia w zbrojeniu

średnia wartość wytrzymałości betonu na rozciąganie w 
chwili powstania rysy, przyjmuje się równe f

ctm

 albo 

mniejsze

k = 1     dla środników o wysokości h ≤ 300 mm i półek o szerokości 
             mniejszej niż 300 mm
k = 0,65 dla środników o wysokości h ≥ 800 mm i półek o szerokości 
              większej  niż 300 mm

k

c

 = 1 dla czystego rozciągania,

przy zginaniu lub jednoczesnym zginaniu i działaniu siły 
podłużnej w przekrojach prostokątnych i w środnikach 
przekrojów skrzynkowych i teowych

  

,

f

h

h

k

1

4

,

0

k

ef

,

ct

*

1

c

c



























lecz nie więcej niż 1,0

W półkach przekrojów skrzynkowych i teowych 

  

f

A

F

9

,

0

k

ef

,

ct

ct

cr

c



lecz nie mniej niż 0,5













m

 

1,0

h 

 

dla

 

m

 

1,0

m

 

1,0

h

    

dla

   

h

h

*

h

b

N

Ed

c







Średnie naprężenie w betonie w rozpatrywanej części przekroju

N

Ed

 – siła podłużna w stanie granicznym uzytkowalności działająca 

          na rozpatrywaną cześć przekroju

cą

rozciąozci

 

siłi

jest 

  

N

 

jeżeże

  

h

3

h

2

k

ściskającą

 

siłi

jest 

  

N

 

jeżeże

   

5

,

1

k

Ed

*

1

Ed

1





F

cr

 – wartość bezwzględna siły osiowej w półce bezpośrednio 

przed
        zarysowaniem wywołanym

 momentem rysującym

Sprawdzenie zarysowania bez obliczania 

szerokości rys

Żelbetowe  i  sprężone  płyty  budynków,  zginane  bez 
istotnego 

rozciągania 

siłami 

podłużnymi, 

których 

wysokości  nie  przekracza  200  mm,  nie  wymagają 
podejmowania  szczególnych  koków  w  celu  ograniczenia 
zarysowania, jeżeli zastosowano postanowienia z pkt. 9.3

Jeżeli  zastosowano  minimalne  zbrojenie  to  wystąpienie 
rys  o  nadmiernej  szerokości  jest  mało  prawdopodobne 
jeżeli  średnica  prętów  nie  są  większe  niż  w  tabl.  7.2.N     
oraz  gdy  w  przypadku  zarysowania  spowodowanego 
głównie  przez  obciążenia  stałe  są  wymagania  w  Tabl. 
7.3.N

Maksymalną średnicę prętów otrzymana z tablicy 7.2.N należy 
zmodyfikować wg zasad 

przy zginaniu





d

h

2

9

,

2

h

k

f

cr

c

ef

,

ct

*

s

s















d

h

8

9

,

2

h

f

cr

ef

,

ct

*

s

s











przy rozciąganiu

*

s



średnica pręta wg tabl. 7.2.N

cr

h

wysokość strefy rozciąganej przed zarysowaniem, 
obliczona dla charakterystycznej wartości siły 
sprężającej i sił podłużnych

Obliczanie szerokości rys





cm

sm

max

,

r

k

s

w









max

,

r

s

m

,

s



m

,

c



-  

maksymalny rozstaw rys

-  

średnie odkształcenie zbrojenia

-  

średnie odkształcenie  betonu miedzy rysami





s

ef

,

p

e

ef

,

p

ef

,

ct

t

s

cm

sm

E

1

f

k





















lecz nie mniej niż 0,6 

s

s

E



cm

s

e

E

E





s



ef

,

c

A

-  naprężenie w zbrojeniu rozciąganym, przy 
założeniu, 
   że  przekrój jest zarysowany

 

k

t 

= 0,6    dla obciążeń krótkotrwałych

k

t 

= 0,4   dla obciążeń długotrwałych

ef

,

c

s

ef

,

p

A

A





-  efektywne pole betonu rozciąganego otaczającego 
zbrojenie 
   wg. rys. 7.1

ef

,

p

4

2

1

3

max

,

r

k

k

k

c

k

s











eq



średnica zbrojenia, jeżeli stosuje się różne średnice 
prętów to przyjmuje się średnicę zastępczą        

21

2

1

1

2
2

2

2

1

1

eq

n

n

n

n

















n

n

 – ilość prętów średnicy 

n



c – grubość otulenia zbrojenia podłużnego
k

1

 – współczynnik zależny od przyczepności zbrojenia

       k

1

 = 0,8 dla prętów o wysokiej przyczepności

       k

1

 = 1,6 dla prętów o gładkiej powierzchni 

k

2

 – współczynnik zależny od przyczepności zbrojenia

        k

2

 = 0,5 przy zginaniu

        k

2

 = 1,0 przy czystym rozciąganiu

Sprawdzanie ugięć

Odkształcenie elementów lub konstrukcji nie powinno 
wpływać niekorzystnie na ich działanie i wygląd.

Przypadki kiedy można pominąć obliczenia

Obliczanie  ugięć  nie  jest  konieczne  jeżeli  stosunek 
rozpiętości do wysokości leży w granicach określonych w pkt. 
7.4.2 .  Graniczny  stosunek  rozpiętości  do wysokości    można 
oszacować ze wzorów 

  

    

dla

     

'

f

12

1

'

f

5

,

1

11

K

d

l

    

dla

     

1

f

2

,

3

f

5

,

1

11

K

d

l

o

o

ck

o

ck

o

2

3

o

ck

o

ck



























































































l/d – graniczna wartość stosunku rozpiętości do wysokości
K – współczynnik zależny od rodzaju konstrukcji
    

'

   

porównawczy stopień zbrojenia



   

3

ck

o

10

f

   









- wymagany stopień zbrojenia rozciąganego w 
środku rozpiętości (we wsporniku na podporze)

- wymagany stopień zbrojenia a ściskanego w 
środku rozpiętości (we wsporniku na podporze)

f

ck

  wyrażona w MPa

Wzory wyprowadzano przy założeniu że wytrzymałość 
obliczeniowa zbrojenia wynosi 310 MPa, dla innego 
poziomu naprężenia wyniki uzyskane ze wzoru mnoży się 
przez 310/s

s.

Można przyjąć

prov

,

s

req

,

s

yk

s

A

A

f

500

310





A

s,req 

-  pole przekroju zbrojenia w przekroju belki

A

s,prv

 -  pole przekroju zbrojenia potrzebne ze względu 

            na stan graniczny nośności
• Jeżeli przekrój ma półkę o szerokości większej niż trzy 
szerokości 
   żebra, to wartość l/d należy pomnożyć przez 0,8.
• Jeżeli belki i płyty, inne iż płaskie płyty pełne mają rozpiętość 
  przekraczającą 7 m i podpierają ścianki działowe, które mogą 
ulec
  uszkodzeniu na skutek nadmiernych ugięć, to wartość l/d 
powinno się
  pomnożyć przez 7/l

ef

 

• W płytach płaskich, w których większa z dwóch rozpiętości 

przekracza 8,5 m, podpierających ścianki działowe podatne 
na uszkodzenia na skutek nadmiernych ugięć, wartość l/d 
należy przemnożyć przez 8,5/l

ef 

Sprawdzanie ugięć przez obliczanie

Dla elementów  poddanych głównie zginaniu prognozę 
odkształceń, również przemieszczeń określa wyrażenie
 





I

II

1















a – 

parametr deformacji, który może być odkształceniem, 

krzywizną
         lub obrotem (w uproszczeniu może też to być 
przemieszczenie),

   a

I

, a

II 

wartości parametrów

 

obliczanymi przy założeniu, że 

nie 
        ma rys i przy założeniu pełnego zarysowania
x=0 w przekrojach niezarysowanych
b-współczynnik zależny od  wpływu czasu trwania obciążenia 
lub wpływu obciążeń powtarzalnych

b = 1,0 dla 

pojedynczego  obciążenia krótkotrwałego 

b=

1,5 dla obciążeń długotrwałych i wielokrotnie 

powtarzalnych

 

2

s

sr

1

























s

s

naprężenie w zbrojeniu rozciąganym, obliczone przy 
założeniu że przekrój jest w pełni zarysowany

s

sr

naprężenie w zbrojeniu rozciąganym, obliczone przy 
założeniu że przekrój jest w pełni zarysowany, 
spowodowane przez obciążenie wywołujące pierwsze 
zarysowanie

Przy zginaniu wartość          można zastąpić przez M

cr

/M, a 

przy czystym zginaniu N

cr

/N

Strzałka ugięcia belki od obciążeniem quasi-statycznym nie 
powinna przekraczać 1/250

s

sr





Skręcanie

Skręcanie  z  reguły  występuje  w  polaczeniu  z  naprężeniami 
normalnymi od zginania. Może wystąpić również od odkształceń, 
wskutek wzajemnego połączenia elementów konstrukcyjnych. 

Wskutek  działania  momentu  skręcającego  T

Ed

  powstają 

naprężenia styczne, które można obliczyć ze wzoru

k

Ed

i,

ef

i,

t

A

2

T

t





w i-tej ściance V

Ed,i

 spowodowana skręcaniem określona jest wzorem

z

t

V

i,

ef

i

,

t

i

,

Ed





T

ed 

– obliczeniowy moment skręcający

A

k

 – ple powierzchni wnętrza figury utworzonej przez linie środkową 

ścian 
t

t,i 

– naprężenia styczne w i-tej ścianie

t

ef,i 

– efektywna grubość ściany

A –  pole  powierzchni przekroju ograniczone 

przez zewnętrzny 

obwód, 
      łącznie z wewnętrzna częścią pustą
u – długość zewnętrznego obwodu przekroju
z

i

 – długość i-tego boku ściany

Wymagane pole przekroju zbrojenia podłużnego na 
skręcanie można obliczyć ze wzoru







cot

A

2

T

u

f

A

k

Ed

k

yd

1

s

u

k

 – obwód pola A

k

Nośność elementu skręcanego i ściskanego jest 
ograniczona przez nośność krzyżulców betonowych. 

0

,

1

V

V

T

T

max

,

Rd

Ed

max

,

Rd

Ed





MPa

 

  w

f

      

,

250

f

1

6

,

0

cos

sin

t

A

f

2

T

ck

ck

i

,

ef

k

cd

cw

max

,

Rd











 













Pole przekroju strzemion określamy z zależności 





cot

f

A

1

T

5

,

0

s

A

ywd

k

Ed

w

sw

A

sw

 – powierzchnia przekroju strzemion pionowych przy 

każdym boku przekroju poprzecznego elementu

s – odległość między strzemionami

A

sw

 – powierzchnia przekroju strzemion pionowych przy 

każdym boku przekroju poprzecznego elementu

s – odległość między strzemionami

Analiza statyczna konstrukcji

Analiza  konstrukcji  obejmuje  obliczenia  statyczne, 
których  celem  jest  wyznaczenie  uogólnionych  sił 
wewnętrznych 

(sił 

normalnych, 

porzecznych, 

momentów 

zginających 

i 

skręcających) 

oraz 

uogólnionych  przemieszczeń  (liniowych,  ugięć,  kątów 
obrotów i skręcania)

Schemat blokowy procesu analizy konstrukcji

Model  geometrii  (idealizacja  geometrii)  obejmuje 
określenie wymiarów elementów oraz wymiaru przestrzeni 
w  którym  jest  usytuowany.  Można  wyróżnić  elementy 
jednowymiarowe,  dwuwymiarowe  i  trójwymiarowe  oraz 
przestrzeń 

jednowymiarowa, 

dwuwymiarowa 

i 

trójwymiarowa.  Model  geometrii  wymaga  przyjęcia 
charakterystyk 

geometrycznych: 

zastępczych 

lub 

rzeczywistych  wymiarów  elementów  (obliczeniowych 
długości, wymiarów przekroju, szerokości półek). Ustala się 
również czy iperfekcje będą brane pod uwagę.

Model materiału 

- Model sprężysty
- Model sprężysta z ograniczoną redystrybucją
- Model nieliniowy
- Model plastyczny 

W zależności od przyjętego modelu stosuje się odpowiednie 
obliczeniowe  założenia  dotyczące  właściwości  fizycznych, 
mechanicznych i reologicznych.

Model  obciążenia  –  uwzględnia  możliwe  przypadki 
obciążeń  i  kombinacji  wg  EC1  w  celu  obliczenia 
ekstremalnych 

wielkości 

sił 

wewnętrznych 

lub 

przemieszczeń  w  odniesieniu  do  stanu  granicznego 
nośności i uzytkowalności

Idealizacja konstrukcji

Obliczeniowa rozpiętość belek i płyt

2

1

n

ef

a

a

l

l







l

n

 – rozpiętość w świetle 

podpór

Obliczeniowa szerokość półek

i

i,

ef

o

i

i,

ef

w

i

,

ef

ef

b

b

l

1

,

0

b

2

,

0

b

   

b

b

b













lecz nie więcej niż b

lecz nie więcej niż 0,2l

o

 i nie więcej niż b

i

Konstruowanie zbrojenia

• Odległość w  świetle (w kierunku poziomym i poprzecznym) 

między  pojedynczymi  równoległymi  prętami  lub  między 
poziomymi  warstwami  równoległych  prętów  nie  powinna 
być mniejsza od max średnicy pręt pomnożonej k

1

. od d

g

+k

2

 

mm  i  od  20  mm,  d

g

  –  max  wymiar  ziaren  kruszywa,  k

1

=1, 

k

2

=5 mm

• Jeżeli  pręty  zbrojenia  są  rozmieszczone  w  kilku  warstwach 

poziomych,  to  pręty  kolejnych  warstw  powinny  leżeć  w 
jednym  pionie,  jeden  nad  drugim.  Odległości  miedzy 
prętami  powinny  być  dostateczne  do  zapewnienia  dostępu 
wibratorów i do uzyskania dobrego zagęszczania betonu.

Rozstaw 
prętów

Zakotwienie zbrojenia dolnego na podporach skrajnych

• Przy podporach skrajnych, na których występuje nieduży 

moment zamocowania, a także przy podporach na których 
moment zginający jest równy zero, pole przekroju dolnego 
zbrojenia powinno być nie mniejsze niż pole przekroju w 
prześle pomnożona przez b= 0,25

• Długość zakotwienia jest długością l

bd

 mierzoną od linii 

styku belki i podpory  

Zakotwienie dolnego zbrojenia na podporach 
pośrednich

• Długość zakotwienia powinna być nie mniejsza niż 10 F (dla 

prętów  prostych),  nie  mniejsza  od  średnicy  wewnętrznego 
zagięcia  (dla  haków  półokrągłych  i  prostych  przy  średnicy 
pręta co najmniej 16 mm) i nie mniejsza od dwóch średnic 
wewnętrznego zgięcia w innych przypadkach ( rys. a) 

• Zbrojenie  potrzebne  do  przeniesienia  ewentualnych 

momentów  dodatnich  (np.  spowodowanych  osiadaniem 
podpór,  wybuchem  itd.)  powinno  być  ciągłe  i  można  to 
osiągnąć za pomocą prętów łączonych na zakład Rys b i c.

1.

Klasa betonu, oznaczenie, sposób określania.

2.

 Wytrzymałości betonu na ściskanie i rozciąganie, 
wytrzymałość obliczeniowa betonu i stali.

3.

Zależność s-e w betonach o rożnej wytrzymałości

4.

Stany graniczne.

5.

Moduł sprężystości betonu.

6.

Skurcz betonu.

7.

Pełzanie betonu.

8.

Zależność s-e dla beton, dla nieliniowej analizy konstrukcji.

9.

Zależność s-e dla betonu stosowane do projektowania.

10. Wykres s-e dla stali zbrojeniowej

11. Niezawodność konstrukcji

12. Trwałość konstrukcji.

13. Otulenie betonem

14. Przyczepność betonu i stali

15. Długość zakotwienia prętów zbrojeniowych.

16. Fazy pracy belki żelbetowe

17. Bezpieczeństwo konstrukcji

18. Metoda naprężeń liniowych

19. Metoda odkształceń plastycznych.

20. Metoda stanów granicznych

21. Stan odkształceń w przekroju żelbetowym w metodzie 

ogólnej

22. Kiedy zostanie osiągnięty stan graniczny nośności

23. Metoda uproszczona projektowania na zginanie.

24. Procedura projektowania na zginanie  przekroju 

prostokątnego.

25. Procedura projektowania na zginanie  przekroju teowego.
26. Wysokość użyteczna przekroju, względna wysokość strefy 

ściskanej, graniczna względna wysokość strefy ściskanej, 
wyprowadzenie zależności Scc.

27. Minimalne i maksymalne pole przekroju zbrojenia.
28. Model kratownicowy Morcha, model kratownicowy wg PN-

EN.

29. Odcinek ścinania, odcinek ścinania wymagający i nie 

wymagający zbrojenia na ścinanie, od czego zależy. 
Maksymalny rozstaw strzemion.

30. Procedura projektowania na ścinanie.
31. Skręcanie

32. Rozciąganie.
33. Ściskanie.
34. Zbrojenie słupów

.

35. Stany graniczne użytkowalności.

36. Sprawdzenie zarysowania bez obliczania szerokości rys.
37. Sprawdzanie ugięć.
38. Analiza konstrukcji.
39. Obliczeniowa rozpiętość belek i płyt, szerokość półek.
40. Konstruowanie zbrojenia.