Prawa Kirchhoffa i ich 

zastosowanie

Prawa Kirchhoffa i ich zastosowanie

Kierunek przepływu prądu i jego natężenie na schematach 

elektrycznych oznaczamy strzałką skierowaną od punktu obwodu 

o potencjale wyższym do punktu o potencjale niższym.

Kierunki spadków napięć U1 i U2 są zależne od kierunku prądu, 

strzałka źródła wskazuje zacisk dodatni, strzałka napięcia 

rezystora wskazuje  punkt o wyższym potencjale.

Prawa Kirchhoffa i ich zastosowanie

Do pomiaru 

podstawowych wielkości 

elektrycznych 

(napięcia i natężenia 

prądu) służą odpowiednie 

mierniki: 

woltomierz i 

amperomierz.

Woltomierz - przyrząd 

pomiarowy służący do pomiaru 

napięcia elektrycznego. Idealny 

woltomierz posiada nieskończenie 

dużą rezystancję wewnętrzną - 

następuje wtedy pomijalnie mały 

przepływ prądu przez przyrząd.

Woltomierz podłączamy do 

obwodu równolegle.

Amperomierz - przyrząd 

pomiarowy służący do pomiaru 

natężenia prądu elektrycznego. 

Idealny amperomierz posiada 

nieskończenie małą rezystancję 

wewnętrzną - następuje wtedy 

pomijalnie mały spadek napięcia 

na mierniku.

Amperomierz podłączamy do 

obwodu szeregowo.

Uniwersalnym przyrządem 

pomiarowym jest multimetr 

cyfrowy.

W zależności od ustawienia 

pokrętła można mierzyć natężenie 

prądu lub napięcie.

Multimetr cyfrowy służy także do 

pomiaru innych wielkości 

elektrycznych, wartości pomiaru 

odczytujemy na wyświetlaczu.

Prawa Kirchhoffa i ich zastosowanie

Odcinek obwodu składa się 

z trzech rezystorów: R1, R2, R3 

połączonych kolejno tak, że 

koniec pierwszego rezystora 

połączono z początkiem 

drugiego, natomiast koniec 

drugiego połączono 

z początkiem trzeciego.

Takie połączenie nazywamy 

szeregowym. Początek 

pierwszego rezystora i koniec 

trzeciego muszą być dołączone 

do źródła napięcia U. 

Prąd I przepływający przez 

wszystkie rezystory przy 

połączeniu szeregowym ma 

taką samą wartość. Prąd 

przepływający przez szeregowe 

 połączenie rezystorów 

wywołuje na każdym z nich 

spadek napięcia, suma 

spadków napięć na 

poszczególnych rezystorach 

jest równa wartości napięcia 

przyłożonego na zaciskach 

układu.

Prawa Kirchhoffa i ich zastosowanie

Odcinek obwodu składa się z trzech 

rezystorów R1, R2, R3 połączonych 

tak, że początek pierwszego rezystora 

łączy się z początkiem drugiego i z 

początkiem trzeciego. Koniec 

pierwszego rezystora łączy się z 

końcem drugiego rezystora i końcem 

trzeciego.

Takie połączenie nazywamy 

równoległym. Początek i koniec 

odbiornika jest punktem wspólnym 

wszystkich odbiorników połączenia.

Do pierwszego rezystora dołącza się 

źródło napięcia U i pod wpływem 

przyłożonego napięcia prąd I, 

przepływa przez obwód i rozpływa się 

na poszczególne gałęzie połączenia 

Suma wartości prądów płynących 

przez poszczególne gałęzie jest równa 

wartości prądu całkowitego I. Spadki 

napięć na poszczególnych rezystorach 

są równe wartości napięcia U 

przyłożonego do układu.

Prawa Kirchhoffa i ich zastosowanie

 Suma natężeń prądów 

dopływających do węzła 

obwodu 

jest w każdej chwili równa 

sumie natężeń prądów 

wypływających 

z tego węzła.

Prądy dopływające do punktu węzłowego 

i wypływające z niego mają znaki przeciwne.

W punkcie węzłowym sieci suma 

algebraiczna prądów równa się zero.

Prądom dopływającym do węzła dajemy 

znak (+), a prądom odpływającym znak (-).

Zależność między natężeniem prądów 

płynących przez węzeł obwodu określa I 

Prawo Kirchhoffa:

Prawa Kirchhoffa i ich zastosowanie

Algebraiczna suma wartości 

chwilowych 

sił elektromotorycznych 

występujących 

w obwodzie zamkniętym równa jest 

sumie wartości chwilowych napięć 

elektrycznych na elementach 

pasywnych tego obwodu.

Siła elektromotoryczna (SEM, 

E) to różnica potencjałów 

(napięcie elektryczne) 

powstająca w źródle prądu 

elektrycznego.

Jednostką SEM jest 1 wolt 

[V].

Prawa Kirchhoffa i ich zastosowanie

Prawa Kirchhoffa i ich zastosowanie

i

1

(t)+ i

2

(t)+ i

3

(t)=i(t)=0

Prawo Kirchhofa musi być spełnione w każdej chwili czasowej bez względu na to czy prądy 

płynące w gałęziach są stałe czy zmienne.

i

1

i

2

i

3

Suma wartości chwilowch tych prądów w każdej chwili jest równa zero.

Prawa Kirchhoffa i ich 

zastosowanie

Prawa Kirchhoffa i ich 

zastosowanie

Jeżeli obwód ma  „w” węzłów to można napisać „w”- równań z I 

prawa Kirchhoffa:

   i

1

-i

2

-i

3

=0

-i

1

+i

2

+i

3

=0          

                 0=0           równania 

zależne

Twierdzenie:  Obwód zawierający „w” węzłów ma „w-1” węzłów 

niezależnych.

Liczba węzłów niezależnych

Dla  g – gałęzi oraz „w” węzłów istnieje: o=g-w+1 niezależnych równań napięciowych z II Prawa Kirchhoffa.

Wniosek:
w-1       niezależnych równań z I Prawa Kirchhoffa
g-w+1   niezależnych równań z II Prawa Kirchhoffa 





g

  równań = liczbie niewiadmych prądów w gałęziach.

W przypadku SPM liczba niewiadomych prądów zamienia się na niewiadome U

I

 źródeł SPM

A

I

B

I 

i

1

(t

U

U

Równoważne dwójniki 

pasywne 

Rys.3.11 Dwa równoważne dwójniki

 

 Definicja:

Dwa dwójniki uważamy za równoważne jeżeli przy jednakowym wymuszeniu 

powstaje jednakowa odpowiedź.

Inaczej dwójniki będą równoważne jeżeli przy jednakowym napięciu zasilania 

U popłynie przez dwójniki jednakowy prąd I. Równość napięć i prądów dotyczy 

zarówno wymuszenia napięciowego jak i prądowego. 

1

R

1

R

2

R

3

2

3



1

R

12

R

23

R

31

1

2

3



2

Transfiguracja gwiazda 

trójkąt

Równoważność n-wrotników zachodzi, gdy:

 

1). Mają jednakową liczbę zacisków.

2). Ich rezystancje wypadkowe mierzone między dwoma dowolnymi parami odpowiadających sobie 

zacisków są jednakowe.

3).Napięcia w stanie jałowym odpowiadającym sobie parom zacisków są równe.

Równoważność trójników pasywnych- transfiguracja gwiazda-trójkąt

Dla wyprowadzenia wzorów transfiguracji gwiazda-trójkąt wystarczy zbadać 

punkt 1 i 2.

R

12

R

23

R

31

1

2

3

R

1

R

2

R

3

1

2

3

Inny sposób rysowania gwiazdy i trójkąta





2

1

12

23

31

23

31

12

R

R

R

R

R

R



















12

23

31

12

31

23

R

R

R

R

R

R











12

23

31

23

12

31

R

R

R

R

R

R







Wyprowadzenie wzorów na transfigurację gwiazda-trójkąt

Dla zacisków 2-

3.
R

2 

+R

3

                

= 

                     

      

Dla zacisków 1-3.
R

3

+R

1

 

               

=  

                    

Dla zacisków 1-2.
R

1

+R

2

               =      

              

Określając rezystancje widziane z punktu 

widzenia wybranej pary zacisków dla 

gwiazdy oraz rezystancje 

odpowiadającym zaciskom dla trójkąta 

otrzymamy układ trzech równań, z 

których możemy obliczyć rezystancje 

trójkąta względem gwiazdy lub odwrotnie.

2

1

R

1

R

2

R

3

3

R

12

R

23

R

31

Transfiguracja gwiazda trójkąt

31

23

12

31

12

1

R

R

R

R

R

R









31

23

12

23

12

2

R

R

R

R

R

R









31

23

12

31

23

3

R

R

R

R

R

R









3

R

R

3

R

R

2

















 R

3

R

Transfiguracja trójkąt-gwiazda

 

Rozwiązując powyższy układ ze względu na zmienne R

1

,R

2

,R

3

 

otrzymamy:

W przypadku, gdy  R

1

=R

2

=R

3

=R

 

  otrzymamy

3

2

1

2

1

12

R

R

R

R

R

R









1

3

2

3

2

23

R

R

R

R

R

R









2

1

3

1

3

31

R

R

R

R

R

R









Uzyskane wzory noszą nazwę transfiguracji gwiazda-trójkąt i pozwalają na 

obliczenie rezystancji zastępczej dowolnie połączonych dwójników. Wzory te 

okażą się prawdziwe również dla obwodów prądu zmiennego. 



1



2







3

A











A

Przykład 3.4 Obliczyć wskazanie amperomierza.

Zaznaczony trójkąt zostanie zamieniony na gwiazdę zgodnie z 

wyprowadzonymi wzorami na transfigurację.



2

1









3

1



2

1









3

1

Dzięki transfiguracji możemy dokonać zwinięcia obwodu stosując 

odpowiednio połączenia szeregowe i równoległe.

Zatem wskazanie amperomierza obliczamy na podstawie poniższego 

schematu:

 

E

R

R

w

U

I

V

Źródła rzeczywiste

W przykładzie 3.3 zastosowano już źródło rzeczywiste zasilające żarówki. 

Zwróć uwagę że  woltomierz pokaże niższe napięcie w przypadku włączonej 

rezystancji w porównaniu z napięciem jakie wskazuje (E) przy  jej braku 

(stan jałowy). 

Źródła rzeczywiste

Napięcie na zaciskach źródła rzeczewistego w funkcji obciążenia R:









0

R

R

R

E

}

R

R

R

R

R

{

E

dR

)

R

(

dU

2

W

W

2

W

W















E

)

R

(

U

lim

R





0

R

R

E

R

lim

W

0

R











R

R

E

R

)

R

(

U

W







R

R

E

I

0

R

I

R

I

E

W

W

















Zbadanie granicy i pochodnej funkcji U(R) pozwoli na jej wyznaczenie

R

W

E

0,5E

U(R

)

R

E

U(I)

I

W

R

E

R

1

R

2

R

3

R

1

>R

2

>

R

3

Warto zapamiętać, że jeżeli rezystancja obciążenia jest równa rezystancji wewnętrznej 

źródła rzeczywistego to spadek napięcia na nim wynosi aż 50%. Okaże się, że 

rezystancja R

w

 ma jeszcze inną własność.

Przebieg napięcia na zaciskach rzeczywistego źródła napięciowego w funkcji rezystancji 

obciążenia.

Charakterystyka zewnętrzna U=f(I)

U(I)=E-IR

W

           U(0)=E   -  stan jałowy

W

R

E

I

0

U







  -  stn zwarcia

Charakterystyka zewnętrzna i charakterystyki 

obciążenia

Charakterystyka zewnętrzna źródła rzeczywistego jest 

malejącą linią prostą.

G

I

0

U

G

W

I

G

Z

W

W

W

Z

Z

R

R

R

R

I

G

G

I

G

I

U

I

G

U























R

1

R

R

R

R

I

I

W

W

0









I

0

(R)

I

0,5I

R

W

R

 

R

R

R

I

R

I

W

W

0







Źródła prądowe rzeczywiste 

G

U

I

0





ponieważ

stąd

Przebieg prądu rzeczywistego źródła prądowego w funkcji obciążenia 

rezystancją R

Analogicznie jak dla źródła napięciowego można wyznaczyć funkcję prądu od obciążenia.

G

z

=G

W

+G

Porównując otrzymaną charakterystykę obciążenia dla źródła prądowego z analogiczną 

charakterystyką dla źródła napięciowego można powiedzieć, że to pierwsze ma lepsze własności dla 

małych rezystancji  R<R

w

 tzn. że szybciej rzeczywiste źródło prądowe można  przybliżyć idealną siła 

prądomotoryczną SPM. Z kolei dla  rezystancji R>Rw rzeczywiste źródło napięciowe szybciej można 

aproksymować idealną siłą elektromotoryczą SEM.

I=5A

G

W

=0,5s

V

I

0

=0

I=5A

G

W

=0,5S

V

I=5A

G

W

=0,5s

A

I=5A

G

W

=0,5S

A

Zadanie

a) Obliczyć dla jakich rezystancji napięcie na zaciskach źródła napięciowego nie zmniejszy się poniżej 

95% napięcia stanu jałowego (E). 

b) Z kolei dla jakich rezystancji, prąd źródła nie zmniejszy się poniżej 95% prądu zwarcia.

Ad.a) R>19R

w

 

Ad.b) R<

w

1

R

19

Należy  zwrócić  uwagę,  że  w  pierwszym  przypadku  rzeczywiste  źródło  napięciowe  można 

przybliżyć idealną siłą elektromotoryczną, natomiast w rugim idealną siła prądomotoryczną.

Równoważność źródła napięciowego i prądowego

Badamy źródło prądowe o parametrach:

A

5

R

E

I

W







S

R

G

W

W

5

,

0

1





V

10

G

I

U

W

V





-Stan jałowy 

I

A

=I=5A – Stan zwarcia

E

R

W

I

G

W

W

R

I

E







W

W

R

G

1



Jeżeli dokonamy analogicznych pomiarów zwarcia i stanu jałowego dla źródła napięciowego o 

parametrach spełniającego warunki: 

   

 

 to otrzymamy identyczne wyniki, zatem poniżze źródła będą wówczas równoważne.

W

R

I

E





W

W

R

1

G 

Zatem

 

są to warunki równowaności źródeł napięciowego i prądowego (tylko rzeczywistych)!

5

2

5

2

5

1

V

A

5

2

5

2

5

1

V

A

U

V

=10

V

 I

A

=5A

Jak widać wskazania mierników są identyczne jak w przykładach z 

równoważnymi źródłami rzeczywistymi.

 

Wniosek: Każdy fragment obwodu, w którym wyodrębniono dwa zaciski 

można potraktować jak dwójnik aktywny stanowiący rzeczywiste źródło 

napięciowe. 

 

Powyższy wniosek jest znany pod nazwą Twierdzenia Thevenina.

Niech dany będzie następujący obwód. Obliczmy wskazania woltomierza, a 

później amperomierza.

V

V

E

T





R

T

E

R

T

Twierdzenie Thevenina:

 

Każdy dwójnik aktywny można zastąpić źródłem rzeczywistym napięciowym o elementach E

T

 i 

R

T

. 

E

T

- zwane napięciem Thevenina, jest to napięcie stanu jałowego na zaciskach dwójnika.

R

T

- rezystancja Thevenina, jest to rezystancja jaką zmierzyłby omomierz przy zwarciu 

wszystkich SEM i rozwarciu SPM.

Twierdzenie Thevenina to zastąpienie dwójnika 

aktywnego napięciowym źródłem rzeczywistym. Rezystancję R

T

obliczamy jako rezystancję zastępczą dwójnika pasywnego 

powstałego po usunięciu źródeł przy czym po SEM gałąź zwie-

ramy a po SPM zostaje przerwana.  

Biorąc pod uwagę równoważność rzeczywistych źródeł prądo-

wego i napięciowego każdy dwójnik aktywny można 

zatem zastąpić także rzeczywistym źródłem prądowym.

Takie postępowanie nazywamy Twierdzeniem Nortona .

Przykład 3.5

Obliczyć prąd płynący przez rezystor 6k Ω stosując metodę zamiany źródeł i 

twierdzenie Thevenina.

Najpierw rzeczywiste źródło prądowe zostanie zamienione na rzeczywiste źródło 

napięciowe

zgodnie z formułą zawartą na ekranie 71 tj. E=IR . Rezystancja pozostaje ta sama.

Obwód po zastąpieniu źródła prądowego 

napięciowym

Następnie wytniemy z obwodu lewą (w stosunku do rezystancji 6kΩ 

jego część.

Wycięty fragment obwodu zastępujemy źródłem napięciowym zgodnie z Tw. 

Thevenina.

 

Oba obwody na ekranie są równoważne. Można powiedzieć, że gałąź 6V, 3kΩ 

została przerzucona do środka.

Otrzymamy w ten sposób dwa źródła połączone równolegle i obciążone 

rezystancją 6kΩ

Układ równolegle połączonych żródeł znowu zastępujemy jednym 

źródłem Thevenina. Napięcie E

T

 można wyznaczyć następująco:

Ponieważ 

2

1

2

1

R

R

E

E

I







Stąd      





2

1

2

1

1

2

2

1

2

2

2

1

2

1

2

1

2

2

2

1

2

1

2

T

R

R

R

E

R

E

R

R

R

E

R

E

R

R

R

R

E

R

R

R

E

E

E

E





































Stąd 

Wzory obok rysunku stanowią uniwersalną formułę na połączenie równoległe 

dwóch źródeł napięciowych. 

Formułę na E

T

 łatwo zapamiętać, zwracając uwagę, że w liczniku wpisujemy sumę 

iloczynów sił elektromotorycznych razy rezystancje w przeciwnych gałęziach. 

Wstawiając dane zadania otrzymamy:

V

8

k

3

k

6

k

6

V

6

k

3

V

12

E

k

2

k

9

6

3

R

T

T































Odpowiedź:

Ostatecznie cały obwód względem 

rezystancji 6kΩ został sprowadzony do 

jednego źródła o parametrach 8V,2kΩ. 

Stąd szukany prąd wynosi 1mA.

To zadanie można było rozwiązać zastępując od razu cały obwód ( po wycięciu 

rezystancji 6kΩ) generatorem Thevenina. Przekonaj się, że otrzymasz identyczne 

rozwiązanie.

Podsumowanie

 

 Należy podkreślić, że większość powyższych metod można stosować tylko w 

wypadku obwodów liniowych. Nie da się np. zwinąć obwodu z elementem 

nieliniowym gdyż nie będziemy znali jej rezystancji.

Również w przypadku zamiany źródeł prądowego na napięciowe trzeba pamiętać, 

że dotyczy to tylko źródeł rzeczywistych. Nie da się zamienić idealnej SPM na 

idealną SEM.

Istnieje pojęcie równoważności dwójników aktywnych z elementami sterowanymi. 

Niestety nie można analogicznie eliminować sterowanych SPM i SEM jak 

dotychczas dla obliczenia np. rezystancji Thevenina.