2. Równania różniczkowe pierwszego rzędu

2.1. Równanie o zmiennych rozdzielonych

Def. 74
Równanie postaci

(albo równoważnie - h(y)dy=f(x)dx) nazywamy

r. r. o zmiennych rozdzielonych

)

(

)

(

y

g

x

f

dx

dy



Rozwiązanie otrzymamy całkując obie strony równania

Przykład
Rozwiązać równanie y’ =e

-y

cos2x przy warunku początkowym y(0)=0

Mamy f(x)=cos2x, g(y)=e

y

Rozdzielamy zmienne e

y

dy=cos2xdx

Całka szczególna przy warunku początkowym y(0)=0

Inny sposób obliczenia całki szczególnej: znajdujemy całkę ogólną
i wyznaczamy stałą C z war. pocz.:









C

dx

x

f

dy

y

g

)

(

)

(

Tw. 60

Jeżeli f(x) ciągła w przedziale (a, b) a g(x) ciągła w przedziale (c, d) i

różna od zera, to powyższy wzór
przedstawia całkę ogólną r.r. o stałych rozdzielonych. Ponadto przez każdy punkt
tego prostokąta przechodzi
dokładnie jedna krzywa całkowa, którą można wyznaczyć ze wzoru







x

x

y

y

dt

t

f

dt

t

g

0

0

)

(

)

(











 





















2

2

sin

1

ln

2

2

sin

1

2

2

sin

2

cos

0

0

0

0

x

y

x

e

t

e

tdt

dt

e

y

x

y

t

x

y

t

C

x

e

y





2

2

sin











 



























2

2

sin

1

ln

1

2

2

sin

1

0

1

2

0

2

sin

0

x

y

x

e

C

C

C

e

y

2.2. Równania dające się sprowadzić do równania o zmiennych rozdzielonych

2.2.1. Równanie jednorodne
Niech f(u) będzie funkcją ciągłą w przedziale (a, b) taką, że f(u) ≠ u

Równanie

o niewiadomej y(x) nazywa się równaniem różniczkowym jednorodnym

Równanie jednorodne można sprowadzić do równania o zmiennych rozdzielonych
za pomocą podstawienia u(x)=y/x















x

y

f

dx

dy

Przykład
Znaleźć całkę ogólną równania

Najpierw trzeba sprawdzić, czy jest to równanie jednorodne. Wykonując wskazane dzielenie
otrzymamy

. Podstawmy za y/x u(x) czyli

x

y

x

dx

dy





x

y

dx

dy



1

Cx

x

x

y

C

x

u

x

dx

du

dx

du

x

x

u

dx

du

x

x

u

dx

du

x

x

u

dx

x

xu

d

dx

dy

x

xu

y



































ln

ln

1

)

(

1

)

(

)

(

)]

(

[

i

)

(

2.2.2. Równanie y’=f(ax+by+c)

Jeżeli b≠0, równanie y’=f(ax+by+c) można sprowadzić do równania o zmiennych rozdzielonych
za pomocą podstawienia u(x)=ax+by+c

Przykład
Znaleźć całkę szczególną równania y’=(4x+y+7)

2

przy warunku y(0)=-5

Podstawiamy u(x)=4x+y+7. Stąd y=u-4x-7 i

Teraz z warunku początkowego wyznaczamy stałą całkowania C

I ostatecznie szukana całka szczególna

7

4

)

4

/

2

(

2

4

/

2

2

7

2

5

7

4

)

2

(

2

)

2

(

2

7

4

)

2

(

2

2

2

1

2

1

2

2

1

4

4

4

4

'

1

2

2

2

2



















































































































x

x

tg

y

C

tgC

tgC

x

C

x

tg

y

C

x

tg

y

x

C

x

tg

u

C

x

u

arctg

dx

u

u

d

dx

u

du

u

dx

du

u

dx

du

dx

du

dx

dy

y





2.2.3. Równanie

Równanie takie można sprowadzić do równania jednorodnego
lub do równania o zmiennych rozdzielonych

1. Jeżeli wyznacznik

stosuje się podstawienia

gdzie stałe h i k wyznacza się z układu równań

Po takim podstawieniu równanie przyjmie postać

(równanie jednorodne)

2. Jeżeli wyznacznik

wówczas

Podstawiając

otrzymamy równanie o zmiennych rozdzielonych























2

2

2

1

1

1

'

c

y

b

x

a

c

y

b

x

a

f

y

0

2

2

1

1





b

a

b

a

W

y-k

η

h

x

ξ







i

0

0

2

2

2

1

1

1













c

k

b

h

a

c

k

b

h

a











































2

2

1

1

b

a

b

a

f

d

d

0

2

2

1

1





b

a

b

a

W







2

1

2

1

b

b

a

a

y

b

x

a

z

2

2

























2

1

2

2

c

z

c

z

f

b

a

dx

dz



Przykład
Znaleźć całkę ogólną równania

Zachodzi przypadek 1. Rozwiązujemy układ równań

Układ ma jedno rozwiązanie h=3, k=-1
Podstawiamy

co daje

Jest to równanie jednorodne, żeby je rozwiązać podstawiamy

W ten sposób otrzymujemy równanie o zmiennych rozdzielonych

Po scałkowaniu

Podstawiamy teraz

co daje ostateczne rozwiązanie

4

2













y

x

y

x

dx

dy

0

2

1

1

1

1











W

0

4

0

2













k

h

k

h

1

i

3









y

η

x

ξ





































1

1

d

d

 





 

u





d

du

u

u

u











1

2

1

2

2

2

2

1

2

)

1

2

(

ln

ln

1

2

ln

5

,

0

C

u

u

C

u

u



























 

3

1

i

3













x

y

u

x

ξ







C

y

x

y

xy

x











8

4

2

2

2

2.3. Równanie liniowe

Def. 75
Równanie

o niewiadomej y(x), gdzie p(x) i f(x) są to dane funkcje,

ciągłe w pewnym przedziale (a, b) nazywa się
równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu.

Równanie takie nazywa się jednorodnym, gdy f(x)=0 i niejednorodnym w przeciwnym przyp.

)

(

)

(

x

f

y

x

p

dx

dy





2.3.1. Równanie liniowe jednorodne

Jest to równanie o zmiennych rozdzielonych. Jednym z rozwiązań jest
Jeżeli y(x)≠0, można rozdzielić zmienne

0

)

(





y

x

p

dx

dy

0

)

( 

x

y































dx

x

p

e

C

y

dx

x

p

C

y

C

dx

x

p

y

dx

x

p

y

dy

)

(

1

1

)

(

ln

ln

)

(

ln

)

(

Tw. 61

Jeżeli p(x) ciągła w przedziale (a, b), to powyższy wzór przedstawia

całkę ogólną równania liniowego jednorodnego. Ponadto przez każdy punkt
przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa tego równania.

Przykład
Znaleźć całkę szczególną równania y’-y ctgx=0 przy warunku y(

π

/2)=2

x

C

Ce

Ce

y

x

x

xdx

ctgxdx

dx

x

p

x

dx

x

p

sin

sin

ln

sin

cos

)

(

sin

ln

)

(





























2.3.2. Równanie liniowe jednorodne o stałych współczynnikach

Jest to przypadek szczególny równania liniowego jednorodnego, w którym p(x)=k (stała).

y’ +ky=0

Rozwiązanie tego równania otrzymamy z rozwiązania równania liniowego jednorodnego

Teraz z warunku początkowego wyznaczamy stałą całkowania C.
Ale najpierw trzeba zobaczyć, czemu jest równy

. Nasz warunek początkowy

jest podany dla x=

π

/2. Dla 0<x<

π

, zatem w tym przedziale

całka ogólna naszego równania y = C sinx

2 = C sin

π

/2 = C

czyli

C=2

i ostatecznie szukana całka szczególna

y = 2 sinx

x

sin

x

x sin

sin 

kx

kdx

dx

x

p

Ce

Ce

Ce

y

















)

(

2.3.3. Równanie liniowe niejednorodne

Rozwiązuje się w oparciu o rozwiązanie równania jednorodnego jedną z dwóch metod:
1. Uzmienniania stałej
2. Przewidywań

2.3.3.1. Metoda uzmienniania stałej

Polega ona na tym, że w rozwiązaniu równania jednorodnego stałą C

zastępuje się nieznaną funkcją C(x), którą dobiera się tak, by wzór

przedstawiał rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego.

Jak to zrobić?
Można zróżniczkować powyższy wzór:

Wstawiając oba te wzory do równania różniczkowego niejednorodnego

otrzyma się

Po uporządkowaniu
czyli
a stąd

Udowodniliśmy zatem







dx

x

p

e

x

C

y

)

(

)

(

Tw. 62

Jeżeli p(x) i f(x) ciągłe w przedziale (a, b), to całka ogólna równania

liniowego niejednorodnego wyraża się wzorem

Ponadto przez każdy punkt przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa tego
równania.

dx

e

x

f

e

e

C

x

y

dx

x

p

dx

x

p

dx

x

p



















)

(

)

(

)

(

1

)

(

)

(















dx

x

p

dx

x

p

e

x

p

x

C

e

x

C

dx

dy

)

(

)

(

'

)]

(

)[

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)]

(

)[

(

)

(

)

(

)

(

)

(

'

x

f

e

x

C

x

p

e

x

p

x

C

e

x

C

dx

x

p

dx

x

p

dx

x

p





















)

(

)

(

)

(

'

x

f

e

x

C

dx

x

p











dx

x

p

e

x

f

x

C

)

(

'

)

(

)

(

1

)

(

)

(

)

(

C

dx

e

x

f

x

C

dx

x

p









Przykład
Znaleźć całkę szczególną równania y’-y ctgx=sin

2

x przy warunku y(-

π

/2)=1.

Mamy zatem p(x)=-ctg x i

f(x)= sin

2

x

Można skorzystać z tw. 62, ale łatwiej jest wykorzystać obliczone poprzednio rozwiązanie
równania jednorodnego i obliczyć C(x) jak w dowodzie tego twierdzenia.

Przyjmijmy zatem y = C(x) sin x. Różniczkując otrzymamy

y’ = C’(x) sin x + C(x) cos x

a wstawiając y i y’ do równania wyjściowego dostaniemy

C’(x) sin x + C(x) cos x – ctg x C(x) sin x= sin

2

x

Stąd

C’(x) = sin x

więc

C(x) = -cos x + C

1

Zatem ostatecznie

y(x) = C(x) sin x = -cos x sin x + C

1

sin x = -0,5 sin 2x + C

1

sin x

Z warunku początkowego

1=-0,5 sin(-

π) +

C

1

sin (-

π

/2)= - C

1

C

1

=-1

i rozwiązaniem szczególnym jest

y(x) = -(0,5 sin 2x + sin x)

Tw. 63

Całka ogólna równania liniowego niejednorodnego jest sumą całki ogólnej
równania jednorodnego i jakiejkolwiek całki szczególnej równania
niejednorodnego.

2.3.3.2. Metoda przewidywań

Oparta jest o tw. 63.
Wystarczy odgadnąć jakąkolwiek całkę szczególną równania

niejednorodnego.

Zakres zastosowań:

1. Równanie jest równaniem o stałych współczynnikach tzn. p(x)=k
i
2. Funkcja f(x) jest jednej z poniższych postaci:

a. Wielomian W

n

(x)

b. Funkcja typu a

1

sinωx + a

2

cosωx

c. Funkcji postaci a e

bx

y gdy b różne od –k

d. Suma lub iloczyn funkcji tych trzech typów

Całkę szczególną przewidujemy w tej samej postaci co f(x)

zachowując odpowiednio:

a. Stopień wielomianu n
b. Liczbę ω
c. Liczbę b

Pozostałe stałe (współczynniki wielomianu, stałe a

1

, a

2

i a) wyznaczmy

z równania.

Przykład 1
Znaleźć całkę ogólną równania

y’+4y =x

3

Równanie jest o stałych współczynnikach (p(x)=4), a f(x)= x

3

jest

wielomianem, zatem można próbować rozwiązać to równanie metodą
przewidywań.
f(x) jest wielomianem stopnia 3, zatem odgadywana całka szczególna y

1

też

będzie wielomianem stopnia 3 czyli

y

1

=Ax

3

+B x

2

+C x+D

y

1

musi spełniać równanie

y’+4y =x

3

Liczymy

y

1

’=3A x

2

+2B x+C

Wstawiając do równania otrzymamy

3A x

2

+2B x+C+4[Ax

3

+B x

2

+C x+D]= x

3

Po uporządkowaniu

4Ax

3

+(3A+4B)x

2

+(2B+4C) x+(C+4D)= x

3

Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej x
otrzymamy:

4A=1
3A+4B=0
2B+4C=0
C+4D=0

Po rozwiązaniu tego układu równań liniowych
A=1/4; B=-3/16;

C=3/32;

D=-3/128

i całką szczególną jest y

1

= 1/4 x

3

-3/16 x

2

+ 3/32 x -3/128

Całką ogólną równania jednorodnego jest y=Ce

-4x

zatem całką ogólną równania jest (zgodnie z tw. 63)

y=Ce

-4x

+ 1/4 x

3

-3/16 x

2

+ 3/32 x -3/128

Przykład 2
Znaleźć całkę szczególną równania

y’+2y =xe

x

spełniającą warunek początkowy y(0)=2
Równanie jest o stałych współczynnikach (p(x)=4), a f(x)= xe

x

jest iloczynem

wielomianu stopnia 1 i f. wykładniczej zatem można próbować rozwiązać to
równanie metodą przewidywań.
Odgadywana całka szczególna y

1

też będzie iloczynem wielomianu stopnia 1

i funkcji wykładniczej czyli

y

1

=(A x+B) e

x

y

1

musi spełniać równanie

y’+2y =xe

x

Liczymy

y

1

’=Ae

x

+ (A x+B) e

x

Wstawiając do równania otrzymamy

Ae

x

+ (A x+B) e

x

+2(A x+B) e

x

=xe

x

Po podzieleniu przez e

x

i uporządkowaniu otrzymamy

3Ax+(A+3B)=x

Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej x
otrzymamy:

3A=1
A+3B=0

Po rozwiązaniu tego układu równań liniowych A=1/3; B=-1/9
i całką szczególną jest y

1

= 1/3 (x-1/3) e

x

Całką ogólną równania jednorodnego jest y=Ce

-2x

zatem całką ogólną równania jest (zgodnie z tw. 63)

y=Ce

-2x

+ 1

/3 (x-1/3)

e

x

Uwzględniając warunek początkowy y(0)=2 mamy 2=C e

0

+1/3(0-1/3) e

0

=C-1/9
Stąd C=19/9 i ostatecznie szukane rozwiązanie

y=19/9e

-2x

+ 1

/3 (x-1/3)

e

x

Tw. 64

Suma całki szczególnej
równania

I całki szczególnej
równania

Jest całką szczególną
równania.

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

2

1

2

1

x

f

x

f

y

x

p

dx

dy

x

f

y

x

p

dx

dy

x

f

y

x

p

dx

dy















Twierdzenie przydatne, gdy prawa strona jest sumą funkcji różnych dopuszczalnych typów

Porównanie metod rozwiązywania równań liniowych niejednorodnych

1. Metoda uzmienniania stałej:

Uniwersalna, może być zawsze stosowana, ale często mozolna

2. Metoda przewidywań:

Prostsza, zwykle mniej obliczeń, ale bardzo ograniczony zakres zastosowań

3. Równania różniczkowe drugiego rzędu

3.1. Równania sprowadzalne do równań różniczkowych pierwszego rzędu

Przykład
Znaleźć całkę ogólną i całkę szczególną przy warunkach pocz. y(0)=2, y’(0)=1 równania

y’’=y’ lny’

Po podstawieniu y’=u; y’’=u’ dostaniemy

u’=u ln u

Jest to równanie pierwszego rzędu o zmiennych rozdzielonych, więc da się rozwiązać.
Rozwiązaniem jest

ln u=Ce

x

Stąd

ln y’=Ce

x

y’ =e

Cex

=(e

C

)

ex

=(C

1

)

ex

Z warunku y’(0)=1 można wyznaczyć stałą C

1

1 =(C

1

)

e0

=C

1

Stąd

Z warunku y(0)=2 mamy 2=0+ C

2

i ostatecznie y=x+2

2

1

)

(

C

dx

C

y

x

e







3.1.1. Równanie typu F(x, y’, y’’)=0
Nie występuje w nim zmienna y(x)

Równanie takie można sprowadzić do równania pierwszego rzędu za

pomocą podstawienia u(x)=y’

bo y’’=u’ i otrzymujemy równanie F(x, u, u’)=0

2

2

2

2

1

1

1

)

(

C

x

C

dx

C

dx

C

dx

C

y

x

x

e

e























Przykład
Znaleźć całkę ogólną równania

1+(y’)

2

=2yy’

Po podstawieniu y’=u(y); y’’=u’y’=u’u dostaniemy

1+u

2

= 2yuu’

Jest to równanie pierwszego rzędu o zmiennych rozdzielonych, więc da się rozwiązać.

3.1.2. Równanie typu F(y, y’, y’’)=0
Nie występuje w nim zmienna x

Równanie takie można sprowadzić do równania pierwszego rzędu za

pomocą podstawienia y’=u(y)

bo y’’=u’y’=u’u i otrzymujemy równanie F(y, u, uu’)=0

1

'

1

ln

ln

ln

ln

ln

)

1

ln(

1

2

1

2

1

1

1

2

2































y

C

y

u

u

y

C

y

C

C

y

C

y

C

y

u

y

dy

u

udu

Jest to ponownie równanie o zmiennych rozdzielonych, więc da się rozwiązać.

1

2

1

2

2

1

2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

gdzie

,

1

)

(

4

e

ostateczni

i

)

(

)

1

4(

,

1

2

2

2

,

2

zatem

2

1

2

i

1

2

mamy

1

ac

Podstawiaj

1

C

C

C

C

x

C

C

y

C

x

C

y

C

C

x

C

y

C

C

x

C

z

dx

C

dz

dx

dz

C

dz

C

y

C

dy

y

C

dy

C

dz

z

y

C

dx

y

C

dy























































3.2. Równanie liniowe

Def. 75a
Równanie y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x), gdzie p(x), q(x) i f(x) są to dane funkcje,
ciągłe w pewnym przedziale (a, b) nazywa się równaniem różniczkowym
liniowym drugiego rzędu.

Równanie takie, podobnie jak liniowe równanie pierwszego rzędu,
rozwiązuje się rozwiązując najpierw odpowiadające mu równanie
jednorodne y’’+p(x)y’+q(x)y=0

3.2.1. Równanie liniowe jednorodne

y’’+p(x)y’+q(x)y=0

Def. 76
Dwie całki y

1

(x) i y

2

(x) równania liniowego jednorodnego nazywamy

układem podstawowym całek tego równania, jeżeli wrońskian

Józef Maria Wroński (1778-1853)

0

)

(

'

)

(

'

)

(

)

(

2

1

2

1



x

y

x

y

x

y

x

y

Tw. 65

Jeżeli dwie całki

y

1

(x) i y

2

(x)

równania liniowego jednorodnego stanowią układ

podstawowy całek tego równania, to rozwiązanie ogólne tego równania
przedstawia wzór

y=C

1

y

1

(x)+C

2

y

2

(x)

Nie istnieje ogólna metoda znajdowania układu całek
podstawowych
dla dowolnych funkcji p(x) i q(x). Potrafimy rozwiązać
równanie liniowe jednorodne tylko w szczególnych
przypadkach

z których najważniejszym jest

3.2.2. Równanie liniowe jednorodne o stałych

współczynnikach

y’’+py’+qy=0 (p, q – stałe)

Rozwiązanie zależy od pierwiastków tzw. równania

charakterystycznego dla naszego równania różniczkowego

r

2

+pr+q=0

Rozwiązanie zależy od wyróżnika tego równania Δ= p

2

-4q

Rozwiązanie ogólne tego równania przedstawia wzór

Przypadek A – Δ>0
Równanie charakterystyczne ma dwa różne pierwiastki

rzeczywiste

)

2

2

,

2

2

(

2

2

2

1

2

,

1

























p

r

p

r

p

r

e

C

e

C

y

x

r

x

r

2

1

2

1





Przypadek B – Δ=0
Równanie charakterystyczne ma jeden pierwiastek

rzeczywisty

(podwójny)

Rozwiązanie ogólne tego równania przedstawia wzór

x

r

e

C

x

C

y

0

)

(

2

1





2

0

p

r





Przypadek C – Δ<0
Równanie charakterystyczne nie ma pierwiastków

rzeczywistych – ma dwa pierwiastki zespolone sprzężone

2

4

2

;

2

,

2

2

1

p

q

p

i

r

i

r



































Rozwiązanie ogólne tego równania przedstawia wzór

x

C

x

C

e

y

x

)

cos

sin

(

2

1











Przykład
Znaleźć całkę szczególną równania

y’’+4y’+5y =0

Spełniające warunki początkowe y(0)=0, y’(0)=1
Równanie charakterystyczne tego równania różniczkowego

r

2

+4x+5=0

Δ=16-20<0

Przypadek C
Całka ogólna tego równania

gdzie

Zatem

y=e

-2x

(C

1

sin x + C

2

cos x)

Do uwzględnienia war. pocz. trzeba policzyć pochodną y

y’=-2e

-2x

(C

1

sin x + C

2

cos x)+e

-2x

(C

1

cos x - C

2

sin x)

Dostajemy układ równań

0=e

0

(C

1

sin 0 + C

2

cos 0)=C

2

1=-2e

0

(C

1

sin 0 + C

2

cos 0)+e

0

(C

1

cos 0 - C

2

sin 0)=-2C

2

+C

1

Stąd

C

2

= 0; C

1

=1

i ostatecznie

y=e

-2x

sin x

x

C

x

C

e

y

x

)

cos

sin

(

2

1











1

2

16

20

2

4

;

2

2

2



















p

q

p





3.2.3. Równanie liniowe rzędu drugiego niejednorodne

y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)

otrzymuje się z rozwiązania równania jednorodnego tymi

samymi metodami, co równanie liniowe niejednorodne
rzędu pierwszego, tj.

1. Uzmienniania stałej
2. Przewidywań
i wykorzystując tw. 63 i 64

3.3. Równanie Eulera

x

2

y’’+xpy’+qy=0

(p, q – stałe)

Równanie Eulera można sprowadzić do równania różniczkowego
liniowego o stałych współczynnikach przez podstawienie x=e

u

0

)

1

(

2

2









qy

du

dy

p

du

y

d

Przykład
Znaleźć całkę ogólną równania

x

2

y’’+xy’-y =0

Po podstawieniu

x=e

u

otrzymuje się

Rozwiązaniem tego równania jest y=C

1

e

u

+ C

2

e

-u

= C

1

x + C

2

/x

0

2

2



 y

du

y

d

4. Równania różniczkowe n-tego rzędu

4.1. Równanie liniowe

y

(n)

+p

n-1

(x)y

(n-1)

+ ... +p

2

(x)y’’+p

1

(x)y’+ p

0

(x) y=f(x)

Rozwiązuje się tak samo, jak równanie liniowe rzędu drugiego

tj. rozwiązując najpierw odpowiednie równanie
jednorodne, a potem otrzymując z niego rozwiązanie
równania niejednorodnego metodą uzmienniania stałej lub
przewidywań.

Def. 76 i tw. 65 stosuje się analogicznie:

Def. 76a
n całek y

1

(x), y

2

(x), ... y

n

(x) równania liniowego jednorodnego nazywamy

układem podstawowym całek tego równania, jeżeli wrońskian

0

)

(

)

(

)

(

)

(

'

)

(

'

)

(

'

)

(

)

(

)

(

)

1

(

)

1

(

2

)

1

(

1

2

1

2

1









x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

n

n

n

n

n

n















Tw. 65a

Jeżeli całki

y

1

(x), y

2

(x), ... y

n

(x)

równania liniowego jednorodnego stanowią

układ podstawowy całek tego równania, to rozwiązanie ogólne tego równania
przedstawia wzór

y=C

1

y

1

(x)+C

2

y

2

(x)+ ... + C

n

y

n

(x)

Nie istnieje ogólna metoda znajdowania układu całek
podstawowych

4.1.1. Równanie liniowe o stałych współczynnikach

y

(n)

+p

n-1

y

(n-1)

+ ... +p

2

y’’+p

1

y’+ p

0

y=f(x)

(p

n-1

, ... p

2

, p

1

, p

0

– stałe)

Najpierw rozwiązujemy odpowiednie równanie jednorodne.

Jego rozwiązanie zależy od pierwiastków równania
charakterystycznego dla naszego równania różniczkowego

r

n

+ p

n-1

r

n-1

+ p

2

r

2

+p

1

r +p

0

=0

Przypadek A – równanie charakterystyczne ma n różnych

pierwiastków

rzeczywistych

Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego w tym przypadku przedstawia wzór

e

C

e

C

e

C

y

x

r

n

x

r

x

r

n











2

1

2

1

Analogicznie postępujemy w innych przypadkach

IV. Równania

różnicowe

1. Ciągi liczbowe a funkcje

1.1. Sposoby przedstawiania ciągów liczbowych

Ciąg

Znany opis ciągu

Inny

opis ciągu

2

,

2

}

2

{

,...

16

,

8

,

4

,

2

1

,

2

}

1

2

{

,...

7

,

5

,

3

,

1

,

}

{

,...

,

,

,

1

1

1

1

1

1





























y

y

y

y

y

y

y

n

y

a

y

y

y

a

y

a

a

a

a

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

1.2. Ciąg liczbowy jako funkcja

Ciąg liczbowy możemy uważać za funkcję, której wartość

określona jest tylko dla wybranych (całkowitych) wartości
argumentu, czyli funkcję, której dziedziną jest zbiór liczb
naturalnych – D={N}

Wiele pojęć dla funkcji (pochodna, różniczka, całka, równanie

różniczkowe) ma swoje odpowiedniki dla ciągów.

2

)

1

(

,

12

'

2

0

)

0

(

,

4

'

4

)

(

),

,

(

'

)

(

2

3

0

0



















y

x

y

x

y

y

y

x

y

y

x

y

y

x

f

y

x

f

y

1.3. Różnica Δ

Różnicę wyrazu y

n

możemy uważać za odpowiednik pochodnej

funkcji w punkcie x

0

=n, a nowy ciąg różnic – jako

odpowiednik (funkcji) pochodnej danej funkcji f(x).

Odpowiednikiem drugiej pochodnej będzie druga różnica ciągu

y

n

Def. 77
Wyrażenie y

n+1

- y

n

nazywamy różnicą wyrazu y

n

, i oznaczamy Δ y

n

=y

n+1

-

y

n

Przykład
Dany jest ciąg 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ... czyli y

n

={n

2

}

Δ y

1

= y

2

- y

1

= 4-1=3

Δ y

2

= y

3

- y

2

= 9-4=5

Δ y

3

= y

4

- y

3

= 16-9=7

Δ y

4

= y

5

- y

4

= 25-16=9

Otrzymujemy nowy ciąg (ciąg różnic) Δ y

1

, Δ y

2

, Δ y

3

, Δ y

4

,...

3, 5, 7, 9, ... czyli Δ y

n

={2n+1}

Przykład poprzedni

Δ (Δ y

1

)= Δ y

2

- Δ y

1

= 5-3=2

Δ (Δ y

2

)= Δ y

3

- Δ y

2

= 7-5=2

Δ (Δ y

3

)= Δy

4

- Δ y

3

= 9-7=2 itp.

Czyli otrzymujemy ciąg drugich różnic Δ

2

y

n

= {2}

Def. 77a
Wyrażenie Δ

k

y

n

= Δ (Δ

k-1

y

n

)

nazywamy k-tą różnicą wyrazu y

n

.

Δ

2

y

n

= Δ (Δy

n

)

Δ

3

y

n

= Δ (Δ

2

y

n

)

Δ

4

y

n

= Δ (Δ

3

y

n

)

itp

Ponieważ różnicę możemy uważać za odpowiednik pochodnej

funkcji, to własności różnicy są podobne do własności
pochodnej, w szczególności:

Δ (y

n

+ z

n

)= Δy

n

+ Δz

n

Δ (cy

n

)= cΔy

n

Δ (y

n

z

n

)= y

n+1

Δz

n

+z

n

Δy

n

1













n

n

n

n

n

n

n

n

z

z

y

y

y

z

z

y

Def. 78 operatora Δ

-1

Δ (Δ

-1

y

n

)= y

n

Łatwo wykazać, że:

Analogia z sumowaniem, a dla funkcji ciągłych – z operacją

odwrotną do różniczkowania czyli całkowaniem















1

1

1

n

k

k

n

y

C

y

Równanie różnicowe to zależność między różnicami pewnego

ciągu w jednym lub kilku punktach

Każdą różnicę można wyrazić poprzez wyrazy ciągu:

Δ y

n

=y

n+1

- y

n

Δ

2

y

n

= Δ (Δy

n

)

=

Δ(y

n+1

- y

n

)= Δy

n+1

- Δy

n

= (y

n+2

- y

n+1

)- (y

n+1

-y

n

)=

y

n+2

- 2y

n+1

+ y

n

itp., w szczególności Δ

k

y

n

można wyrazić przez y

n

, y

n+1

, y

n+2

, ..., y

n+k

zatem w równaniu różnicowym zamiast różnic można wstawić

odpowiednie wyrazy ciągu

2. Równania różnicowe

Przykłady

Δy

n+1

-n

2

Δ

2

y

n-1

=1

(Δ

2

y

n

)

2

-y

n+2

+3=0

Przykłady

y

n+2

- y

n+1 -

n

2

(y

n+1

- 2y

n

+y

n-1

)

=1

(y

n+1

- 2y

n

+y

n-1

)

2

-y

n+2

+3=0

Def. 79 (równania różnicowego)
Równaniem różnicowym k-tego rzędu nazywamy równanie

F(n, y

n

, y

n+1

, y

n+2

, … y

n+k

)=0

w którym niewiadomą jest ciąg y

n

Por. def. 70 równania różniczkowego!!!!

Podobnie jak dla równań różniczkowych możemy poszukiwać dla równania

różnicowego

1. rozwiązania ogólnego
2. rozwiązania szczególnego

Rozwiązanie ogólne równania różnicowego rzędu pierwszego zawiera

jedną dowolną stałą C,

a równania rzędu k – k dowolnych niezależnych stałych.

Aby znaleźć rozwiązanie szczególne równania różnicowego, należy podać

(podobnie jak dla równania różniczkowego), odpowiednie warunki
początkowe (brzegowe).

Przykład

y

n+1

=(n+1) y

n

Rozwiązaniem ogólnym jest

y

n

=Cn! (C- dowolna stała)

Jeżeli znamy warunek brzegowy

y

2

=6, to C=3 i y

n

=3n!

Tw. 66

(por. def. Zagadnienia Cauchy’ego dla równania różniczkowego)

Równanie różnicowe k-tego rzędu

F(n, y

n

, y

n+1

, y

n+2

, … y

n+k

)=0

wraz z k niezależnymi dodatkowymi warunkami umożliwiającymi wyznaczenie k
wartości ciągu

y

n

ma jednoznaczne rozwiązanie

3. Równania różnicowe liniowe

Równaniem różnicowym liniowym k-tego rzędu nazywamy równanie

postaci:

y

n+k

+p

k-1

(n) y

n+k-1

+ ... +p

2

(n) y

n+2

+p

1

(n) y

n+1

+ p

0

(n) y

n

=f(n)

3.1. Równania o stałych współczynnikach

y

n+k

+p

k-1

y

n+k-1

+ ... +p

2

y

n+2

+p

1

y

n+1

+ p

0

y

n

=f(n) (p

k-1

, ... p

2

, p

1

, p

0

– stałe)

Gdy f(n)=0 – równanie jednorodne; dla dowolnego f(n) – równanie

niejednorodne.

3.1.1. Równanie liniowe o stałych współczynnikach jednorodne

Równanie pierwszego rzędu

y

n+1

+ py

n

=0

y

n+1

=-py

n

Rozwiązanie ogólne

y

n

=C(-p)

n

Rozwiązanie szczególne przy warunku y

k

=a

y

k

=C(-p)

k

=a

Stąd C(-p)

k

=a (-p)

-k

czyli y

n

=a(-p)

n-k

Przykład

y

n+1

-3 y

n

=0

Rozwiązaniem ogólnym jest

y

n

=C 3

n

(C-

dowolna stała)
Jeżeli znamy warunek brzegowy

y

1

=6, to C=2

i y

n

= 2 3

n

Równanie drugiego rzędu
y

n+2

+ py

n+1

+ qy

n

=0

Rozwiązanie zależy od pierwiastków tzw. równania charakterystycznego dla naszego
równania różnicowego

r

2

+pr+q=0

a te pierwiastki zależą z kolei od wyróżnika tego równania Δ= p

2

-4q

Przypadek A – Δ>0
Równanie charakterystyczne ma dwa różne pierwiastki

rzeczywiste

Rozwiązanie ogólne tego równania przedstawia wzór

Przypadek B – Δ=0
Równanie charakterystyczne ma jeden pierwiastek

rzeczywisty

(podwójny)

Rozwiązanie ogólne tego równania przedstawia wzór

Przypadek C – Δ<0
Równanie charakterystyczne nie ma pierwiastków

rzeczywistych

Rozwiązanie ogólne tego równania przedstawia wzór

r

C

r

C

y

n

n

n

2

2

1

1





2

2

2

,

1









p

r

2

0

p

r





C

n

C

r

y

n

n

)

(

2

1

0





p

p

q

arctg

p

arctg

n

C

n

C

q

y

n

n



















2

2

1

2

4

2

2

gdzie

)

cos

sin

(







Przykład

Rozwiązać równanie

y

n+2

- 7y

n+1

+10 y

n

=0

Równanie charakterystyczne

r

2

-7r+10=0

Δ= 49-40=9 =>

r

1

=2, r

2

=5

Rozwiązaniem ogólnym jest

y

n

=C

1

2

n

+

C

2

5

n

(C

1

, C

2

-

dowolne stałe)

Jeżeli znamy warunki brzegowe

y

1

=12, y

2

=54

to y

1

= C

1

2

1

+

C

2

5

1

=12

y

2

= C

1

2

2

+

C

2

5

2

= 54,

stąd C

1

=1, C

2

=1 i y

n

= 2

n

+2 5

n

Równania wyższego rzędu

Rozwiązuje się analogicznie przez wyznaczenie pierwiastków równania charakterystycznego
dla naszego równania różnicowego

r

k

+ p

k-1

r

k-1

+ p

2

r

2

+p

1

r +p

0

=0

Np. gdy równanie charakterystyczne ma wszystkie różne pierwiastki

rzeczywiste,

to

rozwiązanie ogólne tego równania przedstawia wzór

r

C

r

C

r

C

y

n

k

k

n

n

n









...

2

2

1

1

3.1.2. Równanie liniowe o stałych współczynnikach niejednorodne

Rozwiązuje się tak samo jak równania różniczkowe korzystając z

Tw. 63a

Rozwiązanie ogólne równania liniowego niejednorodnego jest sumą rozwiązania ogólnego równania jednorodnego
i jakiegokolwiek rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego.

Rozwiązanie szczególne znajduje się metodą przewidywań

Przykład

Rozwiązać równanie

y

n+2

- 7y

n+1

+10 y

n

=n-1

Rozwiązaniem ogólnym jest

y

n

=C

1

2

n

+

C

2

5

n

(C

1

, C

2

-

dowolne stałe)

Rozwiązanie szczególne przewidujemy w postaci y

n

=an+b

a(n+2)+b-7[a(n+1)+b]+10(an+b)=n-1
4an+4b+2a-7a+10b=n-1

Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach n

4a=1
-5a+14b=-1

Stąd

a=1/4, b=1/56

Rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego y

n

=n/4+1/56

Ponieważ rozwiązaniem ogólnym równania jednorodnego jest y

n

=C

1

2

n

+

C

2

5

n

to rozwiązaniem ogólnym równania niejednorodnego jest y

n

=C

1

2

n

+

C

2

5

n

+n/4+1/56

3.2. Równania o współczynnikach zależnych od n

3.2.1. Równanie pierwszego rzędu

Równanie jednorodne

y

n+1

- p(n)y

n

=0

y

n+1

=p(n)y

n

Rozwiązanie ogólne tego równania przedstawia wzór

y

n

=Cp(1)p(2)...p(n-1)

Przykład
Rozwiązać równanie

y

n+1

-n y

n

=0

Rozwiązaniem ogólnym jest

y

n

=C

.

1

.

2

.

3...(n-1)=C(n-1)!

Równanie niejednorodne

y

n+1

- p(n)y

n

=f(n)

Rozwiązanie ogólne tego równania przedstawia wzór

Przykład
Rozwiązać równanie

y

n+1

-n y

n

=1

Rozwiązaniem ogólnym jest

gdzie C- dowolna stała

k

p

p

p

k

f

C

n

p

p

p

y

n

k

n





































1

1

)

(

...

)

2

(

)

1

(

)

(

)

1

(

...

)

2

(

)

1

(

k

C

n

y

n

k

n

























1

1

!

1

)!

1

(

4. Równania różnicowe nieliniowe

Łatwo rozwiązuje równania sprowadzalne do równań liniowych

Przykład
Rozwiązać równanie

n

z

z

z

y

n

y

y

n

n

n

n

n

n

n

n

4

3

y

otrzymujem

ąc

Podstawiaj

4

3

1

2

2

2

1















KONIEC