TESTY ZGODNOŚCI

Rodzaje testów



Testy zgodności służą do weryfikacji
nieparametrycznych hipotez zerowych.



Stosowane są następujące testy:



Test chi2.



-Kołmogorowa



Smirnowa-Kołmogorowa



Weryfikując hipotezę o postaci
funkcyjnej rozkładu sprawdzamy, czy
rozkład empiryczny jest zgodny z
rozkładem teoretycznym
sformułowanym w hipotezie zerowej

Warunki stosowania
testów



Stosowanie tych testów jest

uprawnione wtedy, gdy :



liczebność próby jest duża,



próba jest uzyskana w wyniku

losowania niezależnego,



liczebność teoretyczna

poszczególnych wariantów lub

przedziałów klasowych n*p

i

>=5,



liczba wariantów lub przedziałów

klasowych >=4.

Test chi

2

Pearsona



W teście zgodności chi

2

miernikiem

rozbieżności między rozkładem
hipotetycznym, a empirycznym jest
statystyka:



n

i

- liczebność empiryczna

poszczególnych klas.



n*p

i

- liczebność teoretyczna

poszczególnych klas.









i

i

i

p

n

p

n

n

*

)

*

(

2

2

Test chi

2

Pearsona



Wyznaczona statystyka jest zmienną
losową o rozkładzie chi

2

całkowicie

określonym przez k-r-1 stopni
swobody, gdzie k – liczba wariantów
(przedziałów) cechy, r – liczba
szacowanych parametrów rozkładu.



Statystyka ta służy do weryfikacji
hipotezy zerowej o postaci :



H0 : F = F

0

.



Wobec hipotezy alternatywnej:



H1 : F # F

0

.

Test chi

2

Pearsona



Obliczoną wg powyższego wzoru
statystykę Chi

2

należy porównać

z wartością krytyczną chi

2



odczytaną z tablic rozkładu Chi

2

przy ustalonym poziomie
istotności  i określonej liczbie

stopni swobody .



Relacja wyznaczająca obszar
krytyczny testu ma postać :



P(Chi

2

> chi

2

 ) = 

Procedura wyznaczania
statystyki Chi

2



Budowa szeregu rozdzielczego dla
zebranych danych,



Wyznaczenie parametrów
hipotetycznego rozkładu na
podstawie zebranych danych,



Obliczenie liczebności
teoretycznych dla hipotetycznego
rozkładu,



Wyznaczenie statystyki Chi

2

.

Przykład testu Chi

2

Pearsona



Dokonano analizy 200 niezależnych
próbek stężenia zanieczyszczeń
wody związkami manganu.



Na poziomie istotności 0,05
zweryfikować hipotezę, że rozkład
zanieczyszczeń wody związkami
manganu jest normalny.



Sprawdzaną hipotezą jest: H0: F= F

0



gdzie F

0

jest dystrybuantą rozkładu

normalnego.

Test Kołmogorowa.



Miarą rozbieżności rozkładów
hipotetycznego i empirycznego
jest statystka  zdefiniowana

następująco:



 = sup | F – F

0

| * sqr(n)



gdzie sup jest maksymalną
różnicą między wartościami
dystrybuant teoretycznych i
empirycznych.

Test Kołmogorowa



Test ten może być stosowany
jedynie dla dystrybuant ciągłych.



Wartość krytyczną  odczytujemy

z tablic rozkładu  - Kołmogorowa

jako Q( )= 1- ..



W rezultacie weryfikując H0 należy:



odrzucić H0 , jeżeli zachodzi  >





stwierdzić brak podstaw do
odrzucenia H0, jeżeli  <  .

Test zgodności
Smirnowa-Kołmogorowa



Służy do weryfikacji hipotez, że dwie
populacje mają jednakowy rozkład.



Do weryfikacji tych hipotez służy test :



 = D

n1,n2

* sqr[n1 * n2 /(n1 + n2)]



Symbolem D

n1,n2

oznaczono

największą różnicę dwóch dystrybuant



D

n1,n2

= sup | F

n1

(x) – F

n2

(x) |



duże wartości statystyki  wskazują

na to, że rozkłady nie są podobne

Testowanie losowości
próby



Losowość próby jest
podstawowym założeniem
wnioskowania statystycznego.
Stąd też ważne znaczenie mają
testy weryfikacji hipotez o
losowości próby.



Jednym z testów
wykorzystywanych w tym celu
jest nieparametryczny test serii.

Test serii



W teście serii sprawdzenie, czy
próba jest losowa, czy nie polega
na uporządkowaniu wyników
próby pobranej ze zbiorowości
generalnej o dowolnym
rozkładzie w ciąg niemalejący i
wyznaczenie z tego ciągu
mediany.

Test serii



Następnie powraca się do
pierwotnego uporządkowania
wyników (zgodnego z kolejnością
pobierania jednostek próby) i
poszczególnym wartościom ciągu
wyników x

i

przypisuje oznaczenia

literowe a lub b wg zasady:



- jeśli x

i

< Me, to a



- jeśli x

i

> Me, to b



- jeśli x

i

= Me, to pomijamy.

Test serii



W rezultacie takiego postępowania
otrzymujemy ciąg symboli a i b .



Każdy podciąg symboli jednego
rodzaju występujących po sobie
nazywamy serią.



Liczbę serii występujących w
danym ciągu oznaczamy przez k.



Liczbę liter a oznaczamy przez
n

A

,a liczbę liter b oznaczamy

przez n

B

.

Test serii



Liczba serii k ma znany i
stablicowany rozkład, zależny tylko
od n

A

i n

B

.



W tablicach tego rozkładu
odczytujemy dla ustalonego poziomu
istotności  wartość krytyczną k1 w

taki sposób, aby zachodziło:



P( k <= k1 ) = .

Test serii



Otrzymaną z analizowanego
ciągu empirycznego liczbę serii k
porównujemy z odczytaną z
tablic rozkładu serii wartością
krytyczną.



Jeżeli spełniona jest nierówność
k <= k1 , to hipotezę o losowości
próby należy odrzucić.



Jeżeli k > k1 to nie ma podstaw
do odrzucenia hipotezy H0.

Test serii dla dużych
prób

Jeżeli nA i nB ≥ 20, to

zmienna losowa K dąży asymptotycznie do

rozkładu normalnego N{E(K),D(K)}.

Wartość średnia i wariancja zmiennej są

określone wzorami:









Wykorzystując te parametry, obliczamy

statystykę Z, która przy założeniu

prawdziwości H_{0} ma rozkład N(0,1).

