Odwiedź matematyczną stronę Batorego: www.matbatory.xt.pl

Koło Naukowe

MiR

Twierdzenie o niezupełności

Adamus Aleksandra

Twierdzenie

o

Niezupełności

Odwiedź matematyczną stronę Batorego: www.matbatory.xt.pl

Koło Naukowe

MiR

Twierdzenie o niezupełności

Adamus Aleksandra

Rozwój techniki doprowadził do rozpowszechnienia
się poglądu, że komputery są teoretycznie w stanie
wykonać dowolne "umysłowe" zadanie, jeśli tylko
mamy na to dość czasu i środków. Zgodnie z tym
mitem wzrost mocy obliczeniowej komputerów
pozwoli rozwiązać wszystkie wyobrażalne problemy
naukowe - cała rzecz sprowadza się do wykonania
odpowiednich algorytmów.Jednak pewne odkrycia w
dziedzinie logiki sprawiły, że taki pogląd wydaje się
bardzo wątpliwy.

Odwiedź matematyczną stronę Batorego: www.matbatory.xt.pl

Koło Naukowe

MiR

Twierdzenie o niezupełności

Adamus Aleksandra

Kurt Gödel

Kurt Gödel urodził się w 1906r. w Brnie.

W roku 1923 wstąpił na uniwersytet w
Wiedniu. W swojej pracy habilitacyjnej
sformułował „Twierdzenie o
niezupełności”. Doznał kilku załamań
psychicznych. Umarł z powodu
niedożywienia w 1978 roku. Rezultaty
Gödla zalicza się do największych
osiągnięć matematyki XX wieku. Gödel
zajmował się również problemami
ogólnej teorii względności; między
innymi wyprowadził nietypowe
rozwiązania równań Einsteina.

Odwiedź matematyczną stronę Batorego: www.matbatory.xt.pl

Koło Naukowe

MiR

Twierdzenie o niezupełności

Adamus Aleksandra

Plan ratunkowy Hilberta

Pomysł Hilberta polegał na

stworzeniu doskonałego
sztucznego języka do
rozumowania, do uprawiania
matematyki, do dedukcji. Intencją
Hilberta było być zupełnie
precyzyjnym co do reguł gry -- co
do definicji, podstawowych pojęć,
gramatyki języka -- tak, by każdy
mógł się zgodzić co do tego, jak
matematykę powinno się
uprawiać. 

Odwiedź matematyczną stronę Batorego: www.matbatory.xt.pl

Koło Naukowe

MiR

Twierdzenie o niezupełności

Adamus Aleksandra

Wielką niespodzianką jest to, że nie da się tego zrobić. Hilbert pomylił

się, ale pomylił się na bardzo owocny sposób, bo zadał bardzo dobre
pytanie. Właściwie to zadając to pytanie, stworzył zupełnie nową
dyscyplinę zwaną METAMATEMATYKĄ, introspektywną dziedzinę
matematyki, w której bada się co matematyka może, a czego nie może
osiągnąć.
Kurt Gödel pokazał, że plan ratunkowy Hilberta wcale nie był rozsądny.
Nigdy nie można by go zrealizować, nawet teoretycznie.

Odwiedź matematyczną stronę Batorego: www.matbatory.xt.pl

Koło Naukowe

MiR

Twierdzenie o niezupełności

Adamus Aleksandra

Twierdzenie Gödla o niezupełności

„System albo jest zupełny, albo spójny. System zupełny jest

sprzeczny wewnętrznie, albo system nie musi być sprzeczny, lecz

wówczas istnieją zdania, których prawdziwości nie da się wywieść

z aksjomatów i twierdzeń rozważanego systemu formalnego, tzn.

system jest niezupełny”.

Odwiedź matematyczną stronę Batorego: www.matbatory.xt.pl

Koło Naukowe

MiR

Twierdzenie o niezupełności

Adamus Aleksandra

Twierdzenie Gödla było tak silnym ciosem dla matematyków, jak

niegdyś odkrycie liczb niewymiernych dla pitagorejczyków, a

później kwantowa przypadkowość dla Einsteina. Kurt Gödel

wykazał, że niezależnie od tego, ile wysiłku włożymy w kodyfikację

matematyki, zawsze pozostaną jakieś szare strefy. "Szarości nie da

się sprać!" - napisał w książce o Gödlu matematyk John Casti.

Odwiedź matematyczną stronę Batorego: www.matbatory.xt.pl

Koło Naukowe

MiR

Twierdzenie o niezupełności

Adamus Aleksandra

Maszyna Turinga

Jest to teoretyczne

urządzenie służące do

wykonywania dowolnych

obliczeń algorytmicznych,

na przykład dodawania

dwóch liczb lub liczenia

dziesiątej cyfry

rozwinięcia dziesiętnego

p.

Odwiedź matematyczną stronę Batorego: www.matbatory.xt.pl

Koło Naukowe

MiR

Twierdzenie o niezupełności

Adamus Aleksandra

Turing wykazał, że istnieje abstrakcyjna maszyna obliczeniowa,

zdolna do wykonania dowolnej efektywnej procedury, i przeciwnie -

jeśli uniwersalna maszyna Turinga nie może rozwiązać jakiegoś

problemu, to nie można go rozwiązać za pomocą algorytmu; takie

problemy nazywamy problemami nieobliczalnymi. Bardzo wiele

problemów można jednak rozwiązać w sposób algorytmiczny.

Przed matematykami stanęło zatem wyzwanie, by skonstruować

maszynę Turinga, która poradzi sobie z tą zagadką.

Odwiedź matematyczną stronę Batorego: www.matbatory.xt.pl

Koło Naukowe

MiR

Twierdzenie o niezupełności

Adamus Aleksandra

Podobnie jak twierdzenie Gödla, twierdzenie Turinga o

zakończeniu pracy oznacza, że istnieje nieprzekraczalna granica

między tym, co matematycy mogą, a czego nie mogą wiedzieć. Jak

wykazał Turing, istnieje wiele problemów obliczeniowych, dla

których można skonstruować algorytmy, ale nie wiadomo, czy

znalezienie rozwiązania wymaga tylko skończonej liczby kroków.

Odwiedź matematyczną stronę Batorego: www.matbatory.xt.pl

Koło Naukowe

MiR

Twierdzenie o niezupełności

Adamus Aleksandra

Drugie twierdzenie Gödela o niedowodliwości spójności jest

konsekwencją poprzedniego. Głosi ono, iż nie da się dowieść, w

ramach tego systemu, spójności żadnego systemu formalnego

zawierającego arytmetykę liczb naturalnych .

Odwiedź matematyczną stronę Batorego: www.matbatory.xt.pl

Koło Naukowe

MiR

Twierdzenie o niezupełności

Adamus Aleksandra

Koniec.