Weryfikacja modelu ekonometrycznego

Dr Krystyna Melich-
Iwanek
Katedra Ekonometrii
melich@ue.katowice.
pl

 

 

Weryfikacja modelu

1.

Błędy średnie szacunku 

parametrów

2.

Miary zgodności modelu z 

danymi empirycznymi

3.

Weryfikacja statystyczna 

parametrów

4.

Weryfikacja rozkładu 

reszt modelu

 

 

NIEOBCIĄŻONĄ OCENĄ WARIANCJI 

SKŁADNIKÓW LOSOWYCH JEST 

WARIANCJA RESZTOWA

 

*

t

y

t

y

t

u

,

n

1

t

2

t

u

k

n

1

2

s







































Xa

T

y

y

T

y

k

n

1

2

s

s – odchylenie resztowe, odchylenie 
standardowe reszt 

2

s

s

 

 

MIARY ZGODNOŚCI MODELU Z DANYMI 

EMPIRYCZNYMI

1. s – odchylenie standardowe reszt,

2

1

1

























n

t

*

t

y

t

y

k

n

s

s - informuje o ile średnio rzecz biorąc 
(i n plus i in minus) zaobserwowane 
wartości zmiennej endogenicznej odchylają 
się od wartości wyznaczonych na podstawie 
oszacowanego modelu,

 

 

2.w 

- 

współczynnik 

zmienności 

przypadkowej,

%

y

s

w

100





w  - 

informuje jaki procent wartości zmiennej 

objaśnianej modelu stanowi odchylenie 
resztowe 

 

 

BŁĘDY ŚREDNIE SZACUNKU

1. Błąd szacunku i-tego parametru

a

i

-

i

 2. Średni błąd estymatora i-tego 

parametru, 

ii

c

s

)

i

a

(

d





d(a

i

) - informuje o ile średnio rzecz 

biorąc (in plus i in minus) pomylilibyśmy 
się szacując wielokrotnie parametr  

i 

każdorazowo wykorzystując n- elementowe 
próby wylosowane z tej samej populacji

 

 

Analiza wariancji – 

dekompozycja ogólnej sumy kwadratów

2

2

2





























































t

u

t

u

t

*

y

*

t

y

t

y

t

y

całkowita 

zmienność 

   

zmienność 
zmienność Y

t

objaśniona

   

resztowa Y

t

(zmiennej Y

t

)

Dla modelu liniowego oszacowanego MNK mamy 









t

u

t

u

0

0

y

*

y 

 

 

 





 



 



















































t

y

t

y

:

/

t t

u

t

y

*

t

y

t

y

t

y

2

2

2

2





































































t

y

t

y

t

t

u

t

y

t

y

t

y

*

t

y

2

2

2

2

1

a stąd:

 

 

3. Współczynnik zbieżności

 

2

2

2

2

2

y

s

n

s

k

n

t

y

t

y

t

t

u

























































2

[  0  ;  1  ]  -  wskazuje  jaką  część 

całkowitej  zmienności  zmiennej  endogenicznej 
stanowi  zmienność  nie  wyjaśniona  przez 
model, 
czyli zmienność przypadkowa,
 

 

 

4. Współczynnik determinacji

 

2

1

2

2

2











































t

y

t

y

t

y

*

t

y

R

R

2

[ 0 ; 1 ] - wskazuje jaką część 

całkowitej zmienności zmiennej Y

t

 stanowi 

zmienność wyjaśniona przez model, 
zdeterminowana przez zmienne objaśniające 

 

 

5. Skorygowany współczynnik determinacji

 

)

(

ˆ

2

1

1

1

2

R

k

n

n

R

































wyeliminowany został wpływ 
ilości zmiennych objaśniających

 

 

TEST  „F”

 

 

H

o

:









k

=0,   

( z wyjątkiem wyrazu 

wolnego), 

H

1

: przynajmniej jeden z parametrów 

i 

≠ 

0

Jeżeli Y ma rozkład normalny, to sprawdzian 
hipotezy
 jest dany wzorem:

2

1

2

1

1

1

2

1

1

2

1

1





















k

n

)

(

k

)

R

(

k

n

R

k

F

F ma rozkład FISHERA-SNEDECORA o k-1 i n-k stopniach 
swobody

.

Jeżeli dla 
złożonego 



F > F



to H

o

 odrzucamy

 

 

BADANIE ISTOTNOŚCI PARAMETRÓW STRUKTURALNYCH

 

H

o 

: 

i



 

0, hipoteza sprawdzana 

H

1

: 

i 

≠ 0, hipoteza alternatywna

)

(

)

(

i

i

a

d

i

a

a

d

i

i

a

i

t









t

i

 – ma rozkład Studenta o (n-k) stopniach 

swobody,
 

t



 - wartość zmiennej t dla poziomu 

istotności 





i

 

n-k

 

stopni swobody



Gdy: 

|

 

t

i

 | > t



 

to H

0

 odrzucamy

, 

a gdy 

|

 

t

i

 |  t





to nie ma podstaw do jej 

odrzucenia 

 

 

ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA

 

Szacowanie nieznanych wartości parametrów 
poprzez podanie przedziałów liczbowych, o 
których zakłada się, że będą zawierać 
prawdziwe wartości poszukiwanych 
parametrów z ustalonym z góry 
prawdopodobieństwem 

 



   

 - 

współczynnik ufności,



Przedział ufności dla parametru 



i





P{ a

i

 - t



d(a

i

)

i

 < a

i

 + t



d(a

i

) } = 



 
 t



wartość krytyczna dla zmiennej losowej  

o rozkładzie
 t – Studenta dla n-k stopni swobody, przy 
ustalonym poziomie istotności . 

 

 

Analiza wybranych własności rozkładu 

reszt

Reszty modelu powinny spełniać 

następujące warunki:

 

•

Losowość

•

Symetria

•

Brak autokorelacji

•

Stałość wariancji

•

Normalność

 

 

TEST SERII

H

O 

: RESZTY MODELU SĄ LOSOWE 

(trafnie dobrano postać analityczną 
modelu) 
H

1 

: RESZTY MODELU NIE SĄ LOSOWE

Oznaczenia:
A gdy  u

t 

> 0,

B gdy u

t

 < 0, 

u

t

 = 0, pomijamy.

 

SERIA – KAŻDY PODCIĄG RESZT, 
UPORZĄDKO-WANYCH W CZASIE LUB 
WEDŁUG WARTOŚCI OKREŚLONEJ 
ZMIENNEJ OBJAŚNIAJĄCEJ, ZŁOŻONY 
WYŁĄCZNIE Z ELEMENTÓW JEDNEGO 
RODZAJU (DODATNICH LUB UJEMNYCH). 

 

 

C – empiryczna liczba serii, 
 
n

1

 = liczba reszt dodatnich 

n

2

 = liczba reszt ujemnych, 

Dla poziomów istotności   

( 



i 

  

 



odczytujemy odpowiednio 

C

1

     

i    

C

2

 

Jeśli    C

1  

< C < C

2 

        to H

0

Jeśli  CC

1

  lub CC

2        

to

 

H

0 

odrzucamy

 

 

Uproszczona analiza reszt

 

LOSOWOŚĆ

 

Rozkład reszt

-15

-10

-5

0

5

10

15

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27

t

S

k

ła

d

n

ik

i 

re

s

z

to

w

e

 

Jeżeli ciąg reszt jest losowy to liczba serii 
jest w przybliżeniu równa połowie liczby 
obserwacji. 

 

 

Rozkład reszt

-15

-10

-5

0

5

10

15

1

7

13

19

25

t

n = 27 , c = 
14 



 

 

TEST SYMETRII (dla małej próby)

H

O 

: 

m/n = 1/2

RESZTY MODELU MAJĄ ROZKŁAD 
SYMETRYCZNY 
H

1 

:  

m/n  ½ 

RESZTY MODELU NIE MAJĄ ROZKŁADU 
SYMETRYCZNEGO 
(m liczba reszt dodatnich, n liczba reszt )



n

)

n

m

(

n

m





n

m

t









Sprawdzian 
hipotezy
t ma rozkład 
Studenta o n-1 
stopniach 
swobody 

jeżeli   

t  t



nie ma podstaw do 

odrzucenia H

o

gdy      

t

 

>t



odrzucamy H

o

 na 

korzyść H

1,           

rozkład 

nie jest symetryczny

 

 

Uproszczona analiza reszt 

SYMETRIA

Symetria oznacza równe 
prawdopodobieństwa występowania reszt 
dodatnich i ujemnych.
 
Jeśli liczba reszt dodatnich jest w 
przybliżeniu równa liczbie reszt ujemnych 
to można przyjąć, że reszty spełniają 
warunek symetrii.

n

1

 = 15 (liczba reszt dodatnich)  

 n

2

 = 12 (liczba reszt ujemnych)

 

 

TEST DURBINA WATSONA

H

O

:



= 

0
H

1

:



 0 















n

t

t

u

n

t

)

t

u

t

u

(

d

1

2

2

2

1

d [ 0 ; 4 ]

Jeżeli:

               r

1 

=0  to  

d=2,

    

     r

1 

=1  to 

d=0,

                r

1 

=-1 to 

d=4.

   

 

 

Dla ustalonego 

, k`=k-1

 i 

n

 na ogół 

n 

>15

,

z tablic odczytujemy 

d

L

 i d

U

.

Gdy:

d> d

U

,

 to

.

 H

O

 przyjmujemy,

d< d

L

, to

.

 H

O

 odrzucamy,

d

L 

 d  d

U

,

 

test nie daje odpowiedzi,

gdy 

r

1 

< 0,

 obliczamy 

d*=4-d.

       Gdy H

O

 jest prawdziwa to E(d)=2.

 
Jeśli d  2  to prawdopodobnie 



  

0

 

 

TEST JEDNORODNOŚCI WARIANCJI

GOLDFELDA  QUANDTA

 

CZYNNOŚCI:

•PODZIAŁ PRÓBY NA DWIE 
RÓWNOLICZNE CZĘŚCI, 
OPUSZCZAMY PRZECIĘTNIE OKOŁO 
4-8 ŚRODKOWYCH ELEMENTÓW,

•SZACUJEMY PARAMETRY MODELI,

y

1

=X

1









  i 

y

2

=X

2









  

(W OBU PODPRÓBACH),

•OBLICZAMY WARIANCJE RESZTOWE 
DLA OBU MODELI, czyli 

s

1

2

 

i

 s

2

2

OZNACZENIA:
   n – liczba obserwacji,

   c – liczba opuszczonych środkowych 

elementów, 
   n

1

 = n

2

. – liczebność w badanych podpróbach,

   n=n1+n2+c

        

 

 

TEST

H

O 

: 











H

1 

: 











JEŻELI H

O

 JEST PRAWDZIWA TO STATYSTYKA 

2

1

S

2

2

S

F 

 

MA ROZKŁAD F FISCHERA SNEDECORA 

O 

m

1

=(n

2

-k)  i m

2

 = (n

1

-k)

 STOPNIACH 

SWOBODY.

 JEŻELI, PRZY POZIOMIE ISTOTNOŚCI  





                     F>F



TO HIPOTEZĘ

 
O JEDNORODNOŚCI WARIANCJI NALEŻY  

                                ODRZUCIĆ

 

 

Test istotności współczynnika korelacji 

modułu reszt z czasem

H

O 

: r=0

H

 

: r ≠ 0

,

2

1

2







n

r

r

t

Sprawdzian testu 

t ma rozklad Studenta, 

o n-2 stopniach  

swobody

 

 

 

Uproszczona analiza reszt 

Jednorodność wariancji

Wykres reszt według następstwa czasowego 
pozwala 
ocenić czy wariancja jest stała

Rozkład reszt

-20,00 

-15,00 

-10,00 

-5,00 

-  

5,00 

10,00 

15,00 

0

10

20

30

t

S

k

ła

d

n

ik

i 

re

s

z

to

w

e

Z rysunku wyraźnie widać, że odchylenie 
standardowe reszt wzrasta co świadczy o 
wzroście wariancji w czasie, nie jest spełnione 
założenie o  niejednorodności wariancji. 

 

 

TEST NORMALNOŚCI ROZKŁADU 

SKŁADNIKA

LOSOWEGO – JARQUE - BERA

 

H

O 

: składnik losowy modelu ma rozkład 

normalny
H

1 

: składnik losowy modelu nie ma 

rozkładu normalnego 

Statystyka 
testu

]

)

B

(

B

[

n

JB

2

3

2

24

1

1

6

1













n

t

t

u

n

S

1

2

1

2

1 3

3

1

1



































n

t S

t

u

n

B







n

t S

t

u

n

B

1 4

4

1

2

DOWODZI SIĘ, ŻE STATYSTYKA JB MA ROZKŁAD



2

(chi-kwadrat) Z DWOMA STOPNIAMI SWOBODY.

DLA  



0 05 WARTOŚĆ KRYTYCZNA TESTU WYNOSI 

5,991

, CZYLI GDY:     

JB>5,991

 

 H

O

 O NORMALNOŚCI ROZKŁADU NALEŻY ODRZUCIĆ

 

 

Uproszczona analiza reszt 

Normalność rozkładu

 

Rozkład prawdopodobieństwa normalnego

0

50

100

150

200

0

50

100

150

Percentyl próbki

Y