Weryfikacja modelu ekonometrycznego

Dr Krystyna Melich-
Iwanek
Katedra Ekonometrii
[e-mail].
pl

Weryfikacja modelu

1.

Błędy średnie szacunku

parametrów

2.

Miary zgodności modelu z

danymi empirycznymi

3.

Weryfikacja statystyczna

parametrów

4.

Weryfikacja rozkładu

reszt modelu

NIEOBCIĄŻONĄ OCENĄ WARIANCJI

SKŁADNIKÓW LOSOWYCH JEST

WARIANCJA RESZTOWA

*

t

y

t

y

t

u

,

n

1

t

2

t

u

k

n

1

2

s







































Xa

T

y

y

T

y

k

n

1

2

s

s – odchylenie resztowe, odchylenie
standardowe reszt

2

s

s

MIARY ZGODNOŚCI MODELU Z DANYMI

EMPIRYCZNYMI

1. s – odchylenie standardowe reszt,

2

1

1

























n

t

*

t

y

t

y

k

n

s

s - informuje o ile średnio rzecz biorąc
(i n plus i in minus) zaobserwowane
wartości zmiennej endogenicznej odchylają
się od wartości wyznaczonych na podstawie
oszacowanego modelu,

2.w

-

współczynnik

zmienności

przypadkowej,

%

y

s

w

100





w -

informuje jaki procent wartości zmiennej

objaśnianej modelu stanowi odchylenie
resztowe

BŁĘDY ŚREDNIE SZACUNKU

1. Błąd szacunku i-tego parametru

a

i

-

i

2. Średni błąd estymatora i-tego

parametru,

ii

c

s

)

i

a

(

d





d(a

i

) - informuje o ile średnio rzecz

biorąc (in plus i in minus) pomylilibyśmy
się szacując wielokrotnie parametr 

i

każdorazowo wykorzystując n- elementowe
próby wylosowane z tej samej populacji

Analiza wariancji –

dekompozycja ogólnej sumy kwadratów

2

2

2





























































t

u

t

u

t

*

y

*

t

y

t

y

t

y

całkowita

zmienność

zmienność
zmienność Y

t

objaśniona

resztowa Y

t

(zmiennej Y

t

)

Dla modelu liniowego oszacowanego MNK mamy









t

u

t

u

0

0

y

*

y 

 





 



 



















































t

y

t

y

:

/

t t

u

t

y

*

t

y

t

y

t

y

2

2

2

2





































































t

y

t

y

t

t

u

t

y

t

y

t

y

*

t

y

2

2

2

2

1

a stąd:

3. Współczynnik zbieżności

2

2

2

2

2

y

s

n

s

k

n

t

y

t

y

t

t

u

























































2

[ 0 ; 1 ] - wskazuje jaką część

całkowitej zmienności zmiennej endogenicznej
stanowi zmienność nie wyjaśniona przez
model,
czyli zmienność przypadkowa,
 

4. Współczynnik determinacji

2

1

2

2

2











































t

y

t

y

t

y

*

t

y

R

R

2

[ 0 ; 1 ] - wskazuje jaką część

całkowitej zmienności zmiennej Y

t

stanowi

zmienność wyjaśniona przez model,
zdeterminowana przez zmienne objaśniające

5. Skorygowany współczynnik determinacji

)

(

ˆ

2

1

1

1

2

R

k

n

n

R

































wyeliminowany został wpływ
ilości zmiennych objaśniających

TEST „F”

 

H

o

:









k

=0,

( z wyjątkiem wyrazu

wolnego),

H

1

: przynajmniej jeden z parametrów 

i

≠

0

Jeżeli Y ma rozkład normalny, to sprawdzian
hipotezy
jest dany wzorem:

2

1

2

1

1

1

2

1

1

2

1

1





















k

n

)

(

k

)

R

(

k

n

R

k

F

F ma rozkład FISHERA-SNEDECORA o k-1 i n-k stopniach
swobody

.

Jeżeli dla
złożonego 



F > F



to H

o

odrzucamy

BADANIE ISTOTNOŚCI PARAMETRÓW STRUKTURALNYCH

H

o

: 

i



0, hipoteza sprawdzana

H

1

: 

i

≠ 0, hipoteza alternatywna

)

(

)

(

i

i

a

d

i

a

a

d

i

i

a

i

t









t

i

– ma rozkład Studenta o (n-k) stopniach

swobody,
 

t



- wartość zmiennej t dla poziomu

istotności





i

n-k

stopni swobody



Gdy:

|

t

i

| > t



to H

0

odrzucamy

,

a gdy

|

t

i

|  t





to nie ma podstaw do jej

odrzucenia

ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA

Szacowanie nieznanych wartości parametrów
poprzez podanie przedziałów liczbowych, o
których zakłada się, że będą zawierać
prawdziwe wartości poszukiwanych
parametrów z ustalonym z góry
prawdopodobieństwem

 



 -

współczynnik ufności,



Przedział ufności dla parametru



i





P{ a

i

- t



d(a

i

)

i

< a

i

+ t



d(a

i

) } =



 
 t



wartość krytyczna dla zmiennej losowej

o rozkładzie
t – Studenta dla n-k stopni swobody, przy
ustalonym poziomie istotności .

Analiza wybranych własności rozkładu

reszt

Reszty modelu powinny spełniać

następujące warunki:

•

Losowość

•

Symetria

•

Brak autokorelacji

•

Stałość wariancji

•

Normalność

TEST SERII

H

O

: RESZTY MODELU SĄ LOSOWE

(trafnie dobrano postać analityczną
modelu)
H

1

: RESZTY MODELU NIE SĄ LOSOWE

Oznaczenia:
A gdy u

t

> 0,

B gdy u

t

< 0,

u

t

= 0, pomijamy.

 

SERIA – KAŻDY PODCIĄG RESZT,
UPORZĄDKO-WANYCH W CZASIE LUB
WEDŁUG WARTOŚCI OKREŚLONEJ
ZMIENNEJ OBJAŚNIAJĄCEJ, ZŁOŻONY
WYŁĄCZNIE Z ELEMENTÓW JEDNEGO
RODZAJU (DODATNICH LUB UJEMNYCH).

C – empiryczna liczba serii,
 
n

1

= liczba reszt dodatnich

n

2

= liczba reszt ujemnych,

Dla poziomów istotności

( 



i

  

 



odczytujemy odpowiednio

C

1

i

C

2

Jeśli C

1

< C < C

2

to H

0

Jeśli CC

1

lub CC

2

to

H

0

odrzucamy

Uproszczona analiza reszt

LOSOWOŚĆ

Rozkład reszt

-15

-10

-5

0

5

10

15

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27

t

S

k

ła

d

n

ik

i

re

s

z

to

w

e

Jeżeli ciąg reszt jest losowy to liczba serii
jest w przybliżeniu równa połowie liczby
obserwacji.

Rozkład reszt

-15

-10

-5

0

5

10

15

1

7

13

19

25

t

n = 27 , c =
14 



TEST SYMETRII (dla małej próby)

H

O

:

m/n = 1/2

RESZTY MODELU MAJĄ ROZKŁAD
SYMETRYCZNY
H

1

:

m/n  ½

RESZTY MODELU NIE MAJĄ ROZKŁADU
SYMETRYCZNEGO
(m liczba reszt dodatnich, n liczba reszt )



n

)

n

m

(

n

m





n

m

t









Sprawdzian
hipotezy
t ma rozkład
Studenta o n-1
stopniach
swobody

jeżeli

t  t



nie ma podstaw do

odrzucenia H

o

gdy

t

>t



odrzucamy H

o

na

korzyść H

1,

rozkład

nie jest symetryczny

Uproszczona analiza reszt

SYMETRIA

Symetria oznacza równe
prawdopodobieństwa występowania reszt
dodatnich i ujemnych.
 
Jeśli liczba reszt dodatnich jest w
przybliżeniu równa liczbie reszt ujemnych
to można przyjąć, że reszty spełniają
warunek symetrii.

n

1

= 15 (liczba reszt dodatnich) 

 n

2

= 12 (liczba reszt ujemnych)

TEST DURBINA WATSONA

H

O

:



=

0
H

1

:



 0















n

t

t

u

n

t

)

t

u

t

u

(

d

1

2

2

2

1

d [ 0 ; 4 ]

Jeżeli:

r

1

=0 to

d=2,

r

1

=1 to

d=0,

r

1

=-1 to

d=4.

Dla ustalonego

, k`=k-1

i

n

na ogół

n

>15

,

z tablic odczytujemy

d

L

i d

U

.

Gdy:

d> d

U

,

to

.

H

O

przyjmujemy,

d< d

L

, to

.

H

O

odrzucamy,

d

L

 d  d

U

,

test nie daje odpowiedzi,

gdy

r

1

< 0,

obliczamy

d*=4-d.

Gdy H

O

jest prawdziwa to E(d)=2.

 
Jeśli d  2 to prawdopodobnie 



 

0

TEST JEDNORODNOŚCI WARIANCJI

GOLDFELDA QUANDTA

CZYNNOŚCI:

•PODZIAŁ PRÓBY NA DWIE
RÓWNOLICZNE CZĘŚCI,
OPUSZCZAMY PRZECIĘTNIE OKOŁO
4-8 ŚRODKOWYCH ELEMENTÓW,

•SZACUJEMY PARAMETRY MODELI,

y

1

=X

1









i

y

2

=X

2









(W OBU PODPRÓBACH),

•OBLICZAMY WARIANCJE RESZTOWE
DLA OBU MODELI, czyli

s

1

2

i

s

2

2

OZNACZENIA:
   n – liczba obserwacji,

   c – liczba opuszczonych środkowych

elementów,
   n

1

= n

2

. – liczebność w badanych podpróbach,

   n=n1+n2+c

TEST

H

O

: 











H

1

: 











JEŻELI H

O

JEST PRAWDZIWA TO STATYSTYKA

2

1

S

2

2

S

F 

 

MA ROZKŁAD F FISCHERA SNEDECORA

O

m

1

=(n

2

-k) i m

2

= (n

1

-k)

STOPNIACH

SWOBODY.

 JEŻELI, PRZY POZIOMIE ISTOTNOŚCI





F>F



TO HIPOTEZĘ

O JEDNORODNOŚCI WARIANCJI NALEŻY

ODRZUCIĆ

Test istotności współczynnika korelacji

modułu reszt z czasem

H

O

: r=0

H



: r ≠ 0

,

2

1

2







n

r

r

t

Sprawdzian testu

t ma rozklad Studenta,

o n-2 stopniach

swobody

Uproszczona analiza reszt

Jednorodność wariancji

Wykres reszt według następstwa czasowego
pozwala
ocenić czy wariancja jest stała

Rozkład reszt

-20,00

-15,00

-10,00

-5,00

-

5,00

10,00

15,00

0

10

20

30

t

S

k

ła

d

n

ik

i

re

s

z

to

w

e

Z rysunku wyraźnie widać, że odchylenie
standardowe reszt wzrasta co świadczy o
wzroście wariancji w czasie, nie jest spełnione
założenie o niejednorodności wariancji.

TEST NORMALNOŚCI ROZKŁADU

SKŁADNIKA

LOSOWEGO – JARQUE - BERA

H

O

: składnik losowy modelu ma rozkład

normalny
H

1

: składnik losowy modelu nie ma

rozkładu normalnego

Statystyka
testu

]

)

B

(

B

[

n

JB

2

3

2

24

1

1

6

1













n

t

t

u

n

S

1

2

1

2

1 3

3

1

1



































n

t S

t

u

n

B







n

t S

t

u

n

B

1 4

4

1

2

DOWODZI SIĘ, ŻE STATYSTYKA JB MA ROZKŁAD



2

(chi-kwadrat) Z DWOMA STOPNIAMI SWOBODY.

DLA  



0 05 WARTOŚĆ KRYTYCZNA TESTU WYNOSI

5,991

, CZYLI GDY:

JB>5,991

H

O

O NORMALNOŚCI ROZKŁADU NALEŻY ODRZUCIĆ

Uproszczona analiza reszt

Normalność rozkładu

Rozkład prawdopodobieństwa normalnego

0

50

100

150

200

0

50

100

150

Percentyl próbki

Y