Mapa numeryczna 

w zastosowaniach inżynierskich

Mapa numeryczna 

– monitoring i analiza zmian 

w układzie dynamicznym

 

 

T

t

1

t

2

t

3

Zmiany rejestrowane  w mapie numerycznej

 

 

  

t

1 

    t

2

               t

n

Szereg czasowy

Zmiany rejestrowane w opisowej części 

bazy danych jako szeregi czasowe

 

 

  

t

1 

    t

2

               

t

n

Szereg czasowy

T

t

1

t

2

t

3

Analiza  zmian położenia i cech 

zarejestrowanych w opisowej bazie danych

i mapie numerycznej

 

 

Etapy analizy zmienności

- przybliżone określenie charakteru zjawiska 

- dobór układu (systemu) odniesienia 

- stałość punktów odniesienia

- niezmienność względem analizowanych obiektów

- dobór materiałów źródłowych

- dobór metod pomiaru

- przygotowanie danych do analizy

- opracowanie algorytmów analiz statystycznych 

- określenie form wizualizacji

- interpretacja wyników

 

 

Obiekty punktowe:

- przesunięcie (L)

- kierunek zmian(A lub X,  Y, Z)

Obiekty liniowe:

-zmiana kształtu (zmiana położenia punktów 

 reprezentujących obiekt liniowy)

-zmiana długości

Obiekty powierzchniowe:

-zmiana kształtu (zmiana położenia punktów 

 reprezentujących granice obiektu)

-zmiana obwodu

-zmiana pola

ZMIANY 

GEOMETRYCZN

E

 

 

Określenie zmian topologicznych między 
obiektami punktowymi, linowymi 
i powierzchniowymi typu:

-zawierania się,

-przecinania,

-sąsiedztwa,

ZMANY TOPOLOGICZNE

 

 

GRID

Analizy 

przestrzenne

TIN

   

 

Transformacja

Zapytania

SQL 

Analizy 

statystyczne

Wizualizacja

ZMANY OBIEKTÓW 

POWIERZCHNIOWYCH

 

 

Własności obiektów

-fizyczne
-konstrukcyjne 
-mechaniczne
-warunki 

zewnętrzne

Zdefiniowanie

obiektu

Określenie metod 

pomiaru i analiz

Pomiar

System informacji 

przestrzennej

Struktura bazy 

danych

Obliczenia 

statystyczne i 

analizy 

przestrzenne

Opracowanie 

wyników

Tworzenie i funkcjonowanie systemu 

monitoringu

 

 

Cechy ilościowe

Cechy jakościowe

Pomiar wielkości w 
ustalonych 
interwałach 
czasowych

Stwierdzenie 
wystąpienia zmian

Ustalenie 
klasyfikacji i 
przyporządkowanie 
cech do 
odpowiednich klas

Analizy zmienności

- szereg szczegółowy 
- szereg rozdzielczy punktowy 
- szereg rozdzielczy z przedziałami klasowymi 

 

 

Miary przeciętne

 

Średnia arytmetyczna

 

Średnią arytmetyczną - definiuje się jako sumę wartości cechy 
mierzalnej podzieloną przez liczbę jednostek skończonej 
zbiorowości statystycznej. 

Własności
suma odchyleń poszczególnych wartości cechy od średniej równa się zero 
- suma kwadratów odchyleń poszczególnych wartości cechy od średniej 
  jest minimalna
- średnia arytmetyczna jest wrażliwa na skrajne wartości cechy, 
- średnia arytmetyczna z próby jest dobrym przybliżeniem 
  wartości przeciętnej. 















n

1

i

i

n

2

1

x

n

1

n

x

....

x

x

x

 

 

Średnią geometryczną

 - stosuje się w badaniach średniego

 tempa zmian zjawisk, a więc gdy zjawiska są ujmowane dynamicznie. 

Modalna 

Modalna Mo (dominanta D, moda, wartość najczęstsza) – 
jest to wartość cechy statystycznej, która w danym rozkładzie 
empirycznym występuje najczęściej.

n

x

1

i

i

n

n

2

1

G

x

x

....

x

x

x















 

 

Miary zmienności (rozproszenia, dyspersji) 

Miary klasyczne

wariancja
odchylenie standardowe
odchylenie przeciętne
współczynnik zmienności 

Miary pozycyjne

rozstęp
odchylenie ćwiartkowe
współczynnik zmienności 

 

 

Rozstęp

 - różnica pomiędzy wartością maksymalną, 

a minimalną cechy - jest miarą charakteryzującą empiryczny
obszar zmienności badanej cechy, nie daje on jednak 
informacji o zróżnicowaniu poszczególnych wartości cechy 
w zbiorowości.

Wariancja

 - jest to średnia arytmetyczna kwadratów odchyleń

 poszczególnych wartości cechy od średniej arytmetycznej zbiorowości. 

Odchylenie standardowe s

 - jest to pierwiastek kwadratowy z wariancji. 

Stanowi miarę zróżnicowania o mianie zgodnym z mianem badanej 
cechy, określa przeciętne zróżnicowanie poszczególnych wartości 
cechy od średniej arytmetycznej. 

Odchylenie przeciętne d

 - jest to średnia arytmetyczna bezwzględnych 

odchyleń wartości cechy od średniej arytmetycznej. Określa o ile 
jednostki danej zbiorowości różnią się średnio, ze względu na wartość
cechy, od średniej arytmetycznej. 

 

 

Współczynnik zmienności

 jest ilorazem bezwzględnej miary 

zmienności cechy i średniej wartości tej cechy, 
jest wielkością niemianowaną, najczęściej podawaną w procentach. 

Klasyczne współczynniki zmienności: 

x

s

V

s



x

d

V

d



 

 

Miary koncentracji

 

Współczynnik skupienia (koncentracji) (kurtoza) K

 - jest miarą 

skupienia poszczególnych obserwacji wokół średniej. 
Im wyższa wartość współczynnika tym bardziej wysmukła krzywa 
liczebności, większa koncentracja wartości cech wokół średniej.





4

4

n

1

i

i

s

x

x

n

1

K









 

 

Współczynnik korelacji

 jest miernikiem siły zależności między 

badanymi zmiennymi. Korelacja może dotyczyć cech mierzalnych 
jak i cech jakościowych. Współzależność między zmiennymi 
może mieć charakter liniowy lub nieliniowy. Badania związku między 
zmiennymi jest możliwe przy założeniu, że czynnik losowy występujący 
w modelu regresji nie będzie brany pod uwagę, czyli nie wpływa na te
 zmienne. Przyjmuje się, że zmienne porównywane są zmiennymi 
losowymi. 

 

 

Współczynnik korelacji liniowej Pearsona

 

- jest opisową miarą 

siły i kierunku zależności korelacyjnej dwóch cech mierzalnych
 będących cechami statystycznymi x i y, gdzie:
X=(x1,x2,...,xn),
Y=(y1,y2,...,yn).
Można wówczas posłużyć się wzorem obrazującym współczynnik 
korelacji liniowej Pearsona: 

  

Współczynnik przybiera wartości z przedziału [-1,1]. 
Gdy r=1 lub -1 wówczas między zmiennymi x i y zachodzi zależność
 funkcyjna - punkty empiryczne układają się na linii prostej. 
Gdy r=0 wówczas brak jest zależności między zmiennymi, 
nie są one wtedy skorelowane. W praktyce nie zdarza się aby r=-1,1 
lub 0, zazwyczaj podaje się, że gdy |r| należy do przedziału: [0,2; 0,9] to istnieje 
współzależność między zmiennymi (większa lub mniejsza w zależności od wartości r). 
Natomiast gdy |r|<0,2 mówi się, że brak jest zależności między zmiennymi. 

 

 

Współczynnik korelacji rang Spearmana

 - miernik ten służy do 

mierzenia korelacji rang dwóch zmiennych. Nie jest konieczne 
dysponowanie wartościami cechy X i cechy Y, wystarczy znać ich 
rangi (pozycje) co często zdarza się w analizach zjawisk społecznych 
i ekonomicznych. Zaletą tej miary jest fakt, że może być ona stosowana 
do mierzenia siły korelacji zmiennych mierzalnych jak i porządkowych. 
Ma on zastosowanie gdy: 
obie porównywane cechy są mierzalne ale zbiorowość jest mało liczna, 
obie względnie jedna cecha ma charakter jakościowy i jest możliwość 
ustalenia w kolejności poszczególnych obiektów analizy względem 
natężenia tych cech. 

 

 

Etapy wyznaczania współczynnika korelacji rang 
Spearmana: 

- uporządkowanie obiektów rosnąco lub malejąco (w 
zależności od   
  rodzaju cechy) ze względu na obie cechy (tworzenie 
podwójnego 
  rankingu), 

- każdemu obiektowi zostaje przypisana ranga (kolejna 
liczba) w 
   zależności od miejsca zajmowanego przez obiekt po 
uporządkowaniu
   dla obydwu cech. Ze względu na cechę x wyznacza się 
rangę c

i

x (jest 

   to pozycja i-tego obiektu w rankingu ze względu na 
cechę x).  
   Podobnie się postępuje dla cechy y wyznaczając rangę 
c

i

y. 

 - wyznacza się zmienną d

i

, która powstaje w wyniku 

różnicy rangi c

i

x 

   i c

i

y:

y

c

x

c

d

i

i

i





 

 

Mając powyższe dane można wyznaczyć współczynnik 
korelacji rang Spearmana wg. wzoru: 

Współczynnik korelacji rang Spearmana przyjmuje 
wartość [-1,1] a interpretacja wyników jest podobna jak 
dla współczynnika korelacji liniowej Pearsona. 





1

n

n

d

6

1

r

2

n

1

i

2

i

s











 

 

Metody statystyczne wykorzystywane w analizach 

zmienności szeregów czasowych

przyrost absolutny

tempo

wskaźnik jednopodstawowy

-wskaźnik łańcuchowy

100

y

y

y

T

1

i

1

i

i











o

i

o

y

y

i 

1





i

i

o

y

y

i

1

i

i

ab

y

y

P







 

 

Linie regresji ( trend zjawiska)

y

i

=a+

bt

i

y

i

-y

i

’





min

y

y

2

'
i

i















min

bt

a

y

2

i































min

t

b

t

ab

2

na

ty

b

2

y

a

2

y

2

2

2

i

i

2

i

Różniczkując względem a i b



































0

t

b

2

t

a

2

ty

2

0

t

b

2

na

2

y

2

2

i

i





























0

t

b

t

a

ty

2

t

b

na

y

2

i

i

 







 







2

2

i

i

t

t

n

y

t

ty

n

b

n

t

b

y

a

i







