3. Analiza modelu dynamiki statku jako wielowymiarowego obiektu sterowania.

Dla utrzymania statku na zadanym kursie, wyboru bezpiecznego manewru w sytuacji kolizyjnej lub sterowania według ustalonej trajektorii, w tym sterowania optymalnego na wodach ograniczonych wymaga znajomo­ści charakterystyk statycznych i dynamicznych statku (modelu matematycznego obiektu sterowania), oddziałujących na układ sterowania zakłóceń, ograniczeń sterowania, doboru struktury i nastawień regulatora kursu oraz regulatora napędu, określenia algorytmów ste­rowania i doboru urządzeń do ich wykonania.

3.1. Model matematyczny ruchu statku.

Statek jest tzw. wielowymiarowym obiektem sterowania. Zarówno na jego wejściu jak i wyjściu, występuje na ogół kilka sygnałów. Sygnałami wejściowymi (sterującymi) są nu przykład: [1]

1) wychylenie steru (δ),

2) położenie listwy paliwowej (tłokowy silnik spalinowy) (h), lub natężenie dopływu pa­liwa (turbina gazowa), lub natężenie przepływu pary (turbina parowa),

3) skok śruby nastawnej (H),

4) napór steru strumieniowego (P_SS),

5) moment sterujący w układzie stabilizacji kołysań statku, lub kąt nachylenia płetwy (M_St
lub α),

Sygnałami wyjściowymi są:

1) kurs statku (ψ),

2) prędkość ruchu statku (ν),

3) kąt dryfu (β),

4) kąt kołysania (Θ).

Rys.3.1. Uproszczony schemat modelu statku, jako obiektu sterowania [1].

δ - wychylenie steru, h - położenie listwy paliwowej, H- skok śruby nastawnej, P_SS – napór steru strumieniowego, M_St (α) - moment sterujący w układzie stabilizacji kołysań statku (lub kąt nachylenia płetwy), ψ - kurs statku, V- prędkość ruchu, β - kąt dryfu, Θ- kąt kołysania

Rysunek 3.1 przedstawia uproszczony model zależności pomiędzy sygnałami wej­ściowymi a wyjściowymi statku. Model matematyczny statku, jako wielowymiarowego obiektu sterowania, jest skomplikowany ze względu na złożone równania oraz zmienność występujących w nich współczynników. Jest z tego powodu trudny do sformułowania i zastosowania. W związku z tym, często rozważa się modele cząstkowe, ujmujące zależno­ści pomiędzy niektórymi tylko sygnałami. Przy czym przyjmuje się, że te cząstkowe mode­le są wyodrębnione, niezależne jedne od drugich. Takimi cząstkowymi modelami są na przykład:

1. Model sterowania kursu statku

Zależność pomiędzy wychyleniem steru (sygnał wejściowy) δ kursem statku (sygnał wyjściowy) ψ, przyjmuje się, że prędkość liniowa statku V jest stała.

ψ = ψ(δ);      V = const.

2. Model sterowania prędkości statku

Zależność pomiędzy położeniem listwy paliwowej (tłokowy silnik spalinowy) h, i sko­kiem śruby H (h oraz H - sygnały wejściowe) a prędkością liniową statku V, pomija się wpływ, na przykład, ewentualnych zmian kursu statku.

V = V(h,H);      ψ = const.

3. Model sterowania ruchu statku przy pomocy steru strumieniowego (na wodach ograniczonych)

Zależność pomiędzy naporem lub prędkością wody (sygnał wejściowy) P_SS a kursem statku ψ:

ψ = ψ(P_SS).

4. Model stabilizacji kołysań statku

Zależność pomiędzy momentem sterującym M_St w układzie stabilizacji kołysań, lub ką­tem nachylenia płetwy α (M_St oraz α - sygnały wejściowe) a kątem kołysania (sygnał wyjściowy) Θ:

θ = θ(M_St) lub θ = θ(α).

Na rysunku 3.1 sygnały występujące w wymienionych modelach cząstkowych ozna­czono liniami ciągłymi. Linie przerywane przedstawiają sobą zależności pomiędzy sygna­łami, pomijane w modelach cząstkowych.

Sterowanie kursu statku według określonej trajektorii, sterowanie antykolizyjne, ste­rowanie na wodach ograniczonych - wymagają jednoczesnego sterowania kursu i prędko­ści liniowej statku. Na te obydwa sygnały wpływają wówczas zarówno sygnał wychylenia steru, jak i sygnał natężenia dopływu paliwa oraz sygnał skoku śruby nastawnej.

3.2. Ogólna postać równań ruchu statku.

Badanie ruchu okrętu na drodze teoretycznej wymaga napisania i rozwiązania równań ruchu. W dynamice statku zwykle zakłada się, że statek jest ciałem sztywnym, posiadającym wzdłużną płaszczyznę symetrii kształtu, która jednocześnie jest płaszczyzną symetrii rozkładu masy. Poza tym przyjmuje się, że masa, współrzędne środka masy, momenty bezwładności i momenty dewiacyjne masy względem osi układu współrzędnych związanego ze statkiem są znane [2].

Rys.3.2. Układ współrzędnych położenia i pozycji statku.

W ruchu statku występuje 6 stopni swobody, tzn. w opisie ruchu występuje 6 niezależnych zmiennych. Inaczej mówiąc, określenie stanu ruchu statku wymaga znajomości 6 współrzędnych.

Składowe ruchu statku

Lp.	Składowa ruchu	Siły i momenty wymuszające	Prędkości liniowe i kątowe	Współrzędne linio­we i kątowe (Eulera)
1	Wzdłużna, kierunek osi x	X	vx	x
2	Poprzeczna, kierunek osi y	Y	vy	y
3	Pionowa, kierunek osi z	Z	vz	z
4	Obrót wokół osi wzdłużnej x	K	p	φ
5	Obrót wokół osi porzecznej y	M	q	Θ
6	Obrót wokół osi pionowej z	N	r	ψ

Opisując ruch statku za pomocą sześciu współrzędnych (stopni swobody), odróżnia się dwa układy współrzędnych: [1]

- związany z ustalonym punktem statku (najczęściej środkiem ciężkości) – x₀, y₀, z₀,

- związany z ustalonym punktem ziemi - x, y, z,

Rys. 3.3. Układy współrzędnych (układy odniesienia), związany z ustalonym punktem ziemi i związany z ustalonym punktem statku.

Klasyczny model matematyczny ruchu statku opiera się na drugiej zasadzie mechaniki Newtona:

$\sum_{}^{}{F_{i} = m} \bullet \dot{v}$ (3.1)

gdzie F_i jest wektorem sił i momentów, m macierzą bezwładności statku, a $\dot{v}$ uogólnio­nym wektorem prędkości:

$\dot{\upsilon} = \lbrack\upsilon_{x},\upsilon_{y},\upsilon_{z},w,p,q,r\rbrack^{T}$ (3.2)

F_i = [X_i,Y_i,Z_i,K_i,M_i,N_i]^T;      i = 1, 2, …, n. (3.3)

Na przykład, dla n = 1:

$$\begin{matrix} X_{1} = - X_{v_{x}}v_{x} - X_{v_{y}}v_{y} - X_{v_{z}}v_{z} - X_{p}p - X_{q}q - X_{r}r \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ - X_{{\dot{v}}_{x}}{\dot{v}}_{x} - X_{{\dot{v}}_{y}}{\dot{v}}_{y} - X_{{\dot{v}}_{z}}{\dot{v}}_{z} - X_{\dot{p}}\dot{p} - X_{\dot{q}}\dot{q} - X_{\dot{r}}\dot{r} \\ \vdots \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\cdots\text{\ \ \ \ \ }\cdots\text{\ \ \ \ \ }\cdots\text{\ \ \ \ \ }\cdots\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ \end{matrix}$$ $$\begin{matrix} N_{1} = - N_{v_{x}}v_{x} - N_{v_{y}}v_{y} - N_{v_{z}}v_{z} - X_{p}p - N_{q}q - N_{r}r \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ - N_{{\dot{v}}_{x}}{\dot{v}}_{x} - N_{{\dot{v}}_{y}}{\dot{v}}_{y} - N_{{\dot{v}}_{z}}{\dot{v}}_{z} - N_{\dot{p}}\dot{p} - N_{\dot{q}}\dot{q} - N_{\dot{r}}\dot{r} \\ \end{matrix}$$

(3.4)

gdzie: X_vx, X_vy,…, N_r – to współczynniki tłumienia liniowego, a $X_{{\dot{v}}_{x}}$, $X_{{\dot{v}}_{y}}$,…, $N_{\dot{r}}$ - to współczynniki hydrodynamicznej masy dodanej (wody towarzyszącej).

Układ równań (3.4) zawiera 6 równań z 72 współczynnikami. Dla n = 2, 3, itd. złożo­ność modelu zwiększa się. Dlatego typu model nie jest przydatny do analizy i projektowa­nia układu sterowania ruchu statku. W związku z tym należałoby poszukiwać innej postaci modelu matematycznego ruchu statku.

Model matematyczny ruchu statku można również zbudować na podstawie równań Lagrange'a:

$\frac{d}{\text{dt}}\left( \frac{\partial L}{\partial\dot{\eta}} \right) - \frac{\partial L}{\partial\eta} + \frac{\partial P}{\partial\dot{\eta}} = Q_{\eta}$ (3.5)

gdzie

L = T − V (3.6)

przy czym T oznacza energię kinetyczną statku, V- energię potencjalną, P - energię strat,

L - funkcję Lagrange'a, η - wektor współrzędnych uogólnionych.

Obydwa sposoby formułowania równań różniczkowych ruchu statku są znane jako ogólne metody formułowania modeli matematycznych elementów układów sterowania. Gdy statek nie jest poddany żadnym ograniczeniom ruchu, to liczba niezależnych współrzędnych uogólnionych jest równa liczbie stopni swobody. Wówczas wektor współrzęd­nych uogólnionych ma postać:

η = [x,y,z,ϕ,Θ,ψ]^T (3.7)

Równanie Lagrange'a ma zastosowanie bez względu na to, jaka jest liczba rozważa­nych mas w modelowanym obiekcie. Ponadto, równanie (3.5) ma zastosowanie w każdym z wymienionych wcześniej układów współrzędnych: związanym z ustalonym punktem bierni, związanym z ustalonym punktem statku, pod warunkiem, że współrzędnymi są współrzędne uogólnione. Bardzo często jest dogodne formułowanie równań ruchu statku we współrzędnych związanych z ustalonym punktem statku. Jednakże, wiązany z ustalo­nym punktem statku wektor prędkości:

v = [v_x,v_y,v_z,p,q,r]^T (3.8)

nie może służyć do określenia współrzędnych uogólnionych pozycji i orientacji statku, ponieważ na przykład całka ∫₀^tv • dt nie wystarcza do określenia odpowiedniej składowej położenia statku. Zastosowanie prędkości w układzie współrzędnych związanym z ustalo­nym punktem statku wymaga modyfikacji równań Lagrange'a do postaci nazywanej rów­naniami Kirchhoffa lub innej, nazywanej równaniami quasi-Lagrange'a.

Model matematyczny przydatny do zastosowania w analizie i projektowaniu układu sterownia ruchu statku można sformułować podobnie do modelu matematycznego przed­stawionego dla manipulatorów robotów (opracowany przez Craiga, 1989), zaprezentowany przez Fossena [3, 4].

Przyjmuje się, że przyspieszenie w ruchu statku, wynikające z ruchu ziemi, jest pomijalne. Oznacza to, że układ współrzędnych X, Y, Z może być traktowany jako układ iner­cjalny. Wynika stąd, że położenie i orientację statku powinno się określać względem wy­mienionego inercjalnego układu współrzędnych X, Y, Z, natomiast prędkości liniowe i ką­towe statku można określać w układzie współrzędnych związanych ze statkiem, X₀, Y₀,Z₀.

Przyjęło się określać ogólny ruch statku za pomocą następujących wektorów:

$\begin{matrix} \backslash t\eta = \left\lbrack \eta_{1}^{T},\eta_{2}^{T} \right\rbrack^{T}; & \eta_{1} = \left\lbrack x,y,z \right\rbrack^{T}; & \eta_{2} = \left\lbrack \phi,\theta,\psi \right\rbrack^{T} \\ \end{matrix}$ (3.9)

$\begin{matrix} v = \left\lbrack v_{1}^{T},v_{2}^{T} \right\rbrack^{T}; & v_{1} = \left\lbrack v_{x},v_{y},v_{z} \right\rbrack^{T}; & v_{2} = \left\lbrack p,q,r \right\rbrack^{T} \\ \end{matrix}$ (3.10)

Wektor η określa pozycję i orientację statku w układzie współrzędnych związanym z ustalonym punktem ziemi. Wektor v określa prędkość liniową i kątową statku w układzie współrzędnych związanych z ustalonym punktem statku.

$\begin{matrix} \backslash t\tau = \left\lbrack \tau_{1}^{T},\tau_{2}^{T} \right\rbrack^{T}; & \tau_{1} = \left\lbrack X,Y,Z \right\rbrack^{T}; & \tau_{2} = \left\lbrack K,M,N \right\rbrack^{T} \\ \end{matrix}$ (3.11)

Można wykazać, że nieliniowe równania dynamiki ruchu statku, w ramach 6 stopni swobody, mają następującą postać:

$M \bullet \dot{v} + C\left( v \right) \bullet v + D\left( v \right) \bullet v + g\left( \eta \right) = \tau$ (3.12)

gdzie: M - macierz bezwładności inercji, obejmująca masę statku wraz z masą tzw. wody towarzyszącej.

C(v) - macierz Coriolisa, odnosząca się do masy statku i masy wody towarzy­szącej,

D(v) - macierz tłumienia hydromehanicznego,

g(T]) - wektor sił i momentów grawitacyjnych,

T - wektor wejść sterujących.

Wektor τ określa siły i momenty sił działające w układzie współrzędnych związanych z ustalonym punktem statku.

Wymienione wyżej wektorowe równanie różniczkowe ruchu statku (układ skalar­nych równań różniczkowych) wynika z zastosowania zasad mechaniki - równań Newtona i Lagrange'a.

3.3. Uproszczone postaci modelu ruchu statku.

W rozważaniach z zakresu sterowania i nawigacji statku przyjmuje się pewne założenia uproszczające: [1]

1. początek układu współrzędnych leży na osi wzdłużnej statku, co oznacza, że y_G=0;

z_G=0, gdzie x_G, y_G, z_G są współrzędnymi środka ciężkości statku;

1. rozkład masy statku jest jednorodny, a ponadto symetryczny względem płaszczyzny xz, co oznacza, że I_xy=I_yz=0;

2. prędkość i przyspieszenie liniowe w kierunku pionowym oraz prędkość i przyspieszenie kątowe wokół osi wzdłużnej i poprzecznej zaniedbuje się (przyjmując, że są równe zero), tzn. $v_{z} = p = q = \dot{v_{z}} = \dot{p} = \dot{q} = 0$,

Przy tych założeniach, równanie ruchu statku można przedstawić w postaci:

- w kierunku wzdłużnym:

$m \bullet \left( {\dot{v}}_{x} - v_{y} \bullet r - x_{G} \bullet r^{2} \right) = X$ (3.13)

- w kierunku poprzecznym:

$m \bullet \left( {\dot{v}}_{y} - v_{x} \bullet r + x_{G} \bullet \dot{r} \right) = Y$ (3.14)

- w kierunku pionowym:

$I_{z} \bullet \dot{r} + m \bullet x_{G} \bullet \left( {\dot{v}}_{y} - v_{x} \bullet r \right) = N$ (3.15)

gdzie X, Y, N są wymuszeniami w kierunkach osi odpowiednio, wzdłużnej, poprzecznej i pionowej.

Rozważając odchylenia ruchu od stanu ustalonego, przyjmuje się, że prędkość statku w kierunku poprzecznym, v_y, prędkość kątowa wokół osi pionowej, r, wychylenie steru, δ, są małe. Pozwala to na wyodrębnienie równania ruchu w kierunku osi wzdłużnej, poprzez założenie, że wartość średnia prędkości wzdłużnej statku, v_x0, jest stała przy stałej wartości wymuszeń pochodzących od napędu statku. Podobnie zakłada się, że wartości średnie prędkości liniowej w kierunku poprzecznym i prędkości kątowej wokół osi pionowej są równe zero, v_y0=r₀=0. Wobec tego, można napisać:

$\begin{matrix} v_{x} = v_{x0} + \Delta_{x}, & v_{y} = {\Delta v}_{y}, & r = \Delta r, \\ X = X_{0} + \Delta X, & Y = \Delta Y, & N = \Delta N, \\ \end{matrix}$ (3.16)

gdzie Δv_x, Δv_y, Δr oznaczają małe odchylenia, odpowiednio, prędkości liniowej wzdłużnej i poprzecznej, prędkości kątowej wokół osi pionowej, od wartości średnich (nominalnych) v_x0, v_y0, r₀ natomiast ΔX, ΔY, ΔN są małymi odchyleniami wymuszeń od nominalnych war­tości X₀, Y₀, N₀.

Po zaniedbaniu małych wielkości wyższego rzędu, równania ruchu statku przyjmują postać:

$\begin{matrix} {m \bullet \Delta\dot{v}}_{x} = X_{0} + \Delta X \\ m \bullet \left( {\Delta\dot{v}}_{y} + v_{x0} \bullet \Delta r + x_{G} \bullet \Delta\dot{r} \right) = \Delta Y \\ I_{z} \bullet \Delta\dot{r} + m \bullet x_{G} \bullet \left( \Delta{\dot{v}}_{y} + v_{x0} \bullet \Delta r \right) = \Delta N \\ \end{matrix}$ (3.17)

Jeżeli pierwsze z powyższych równań ruchu statku nazwać równaniem prędkości liniowej, a dwa pozostałe równaniami kursu, to zauważa się, że równanie prędkości liniowej statku jest całkowicie niezależne od równań kursu statku. Otóż

- równanie prędkości statku:

$m \bullet \Delta{\dot{v}}_{x} = X,$ (3.18)

- równanie kursu statku:

$\begin{matrix} m \bullet \left( {\dot{v}}_{y} + v_{x0} \bullet \Delta r + x_{G} \bullet \dot{r} \right) = Y, \\ I_{z} \bullet \dot{r} + m \bullet x_{G} \bullet \left( {\dot{v}}_{y} + v_{x0} \bullet r \right) = N, \\ \end{matrix}$ (3.19)

przy czym założenie stałej wartości średniej prędkości liniowej statku oznacza, że powyższe równania są ważne tylko przy małych wychyleniach steru.

Przyjmuje się, że występujące w równaniach ruchu wymuszenia mają postać:

$\begin{matrix} X = X\left( v_{x}{,v}_{y},r,{\dot{v}}_{x},\delta_{R},T \right), \\ Y = Y\left( v_{y},r,{\dot{v}}_{y},\dot{r},\delta_{R} \right), \\ N = N\left( v_{y},r,{\dot{v}}_{y},\dot{r},\delta_{R} \right), \\ \end{matrix}$ (3.20)

gdzie δ_R oznacza wychylenie steru w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara, natomiast T jest naporem pędnika.

3.4. Model Nomoto.

W równaniach kursu statku (3.19) załóżmy następującą liniową postać funkcji wymuszeń (3.18): [1]

$\begin{matrix} Y = Y_{{\dot{v}}_{y}} \bullet {\dot{v}}_{y} + Y_{\dot{r}} \bullet \dot{r} + Y_{v_{y}} \bullet v_{y} + Y_{r} \bullet r + Y_{\delta} \bullet \delta_{R}, \\ N = N_{{\dot{v}}_{y}} \bullet {\dot{v}}_{y} + N_{\dot{r}} \bullet \dot{r} + N_{v_{y}} \bullet v_{y} + N_{r} \bullet r + N_{\delta} \bullet \delta_{R}, \\ \end{matrix}$ (3.21)

gdzie $Y_{{\dot{v}}_{y}},\ Y_{\dot{r}},\ Y_{v_{y}},\ Y_{r},\ Y_{\delta},\ N_{{\dot{v}}_{y}},\ N_{\dot{r}},\ N_{v_{y}},\ N_{r},\ N_{\delta}$ są stałymi współczynnikami. Zauważmy,

że obecnie równanie kursu statku (3.19), z uwzględnieniem relacji (3.21), można przedsta­wić w następującej postaci wektorowej:

$M \bullet \dot{w} + N\left( v_{x0} \right) \bullet w = b \bullet \delta_{R},$ (3.22)

gdzie w = [v_y, r]^T jest wektorem stanu oraz

$\begin{matrix} M = \begin{bmatrix} m - Y_{{\dot{v}}_{y}} & m \bullet x_{G} - Y_{\dot{r}} \\ m \bullet x_{G} - N_{{\dot{v}}_{y}} & I_{z} - N_{\dot{r}} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} m_{11} & m_{12} \\ m_{21} & m_{22} \\ \end{bmatrix}, \\ N_{\left( v_{x0} \right)} = \begin{bmatrix} - Y_{v_{y}} & m \bullet v_{x0} - Y_{r} \\ - N_{v_{y}} & m \bullet {x_{G} \bullet v}_{x0} - N_{r} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} n_{11} & n_{12} \\ n_{21} & n_{22} \\ \end{bmatrix}, \\ b = \begin{bmatrix} Y_{\delta} \\ N_{\delta} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \end{bmatrix}, \\ \end{matrix}$ (3.23)

Odpowiadające równaniu (3.22) równanie stanu w postaci standardowej można przedstawić następująco:

$\dot{x} = A \bullet x + b_{1} \bullet u,$ (3.24)

gdzie

$\begin{matrix} x = \left\lbrack v_{y},r \right\rbrack^{T}, \\ u = \delta_{R}, \\ \begin{matrix} A = M^{- 1}N = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{bmatrix} \\ b_{1} = M^{- 1}b = \begin{bmatrix} b_{11} \\ b_{12} \\ \end{bmatrix}, \\ \end{matrix} \\ \end{matrix}$ (3.25)

Dokonując transformacji Laplace'a równania (3.22), można określić transmitancje obiektu sterowania ze względu na wychylenie steru - ilorazy transformat zmiennych stanu i transformaty wychylenia steru.

Transmitancja

$\frac{r\left( s \right)}{\delta_{R}\left( s \right)} = \frac{K_{R} \bullet \left( 1 + T_{3} \bullet s \right)}{\left( 1 + T_{1} \bullet s \right) \bullet \left( 1 + T_{2} \bullet s \right)},$ (3.25)

gdzie

$$\begin{matrix} \\ \\ \begin{matrix} \\ \\ \end{matrix} \\ \end{matrix}$$