Pomiary kątowe

Zagadnienia:



Kąt poziomy – definicja



Kąt pionowy – definicja



Teodolit

•

Teodolity o niskiej dokładności

•

Teodolity o średniej dokładności

•

Teodolity o wysokiej dokładności



Przygotowanie teodolitu do pomiaru



Podstawowe metody pomiaru kąta poziomego

•

Pomiar pojedynczego kąta poziomego,

•

Kolejne czynności,

•

Sposób prowadzenia dziennika pomiarowego,

•

Pomiar kilku kątów metodą kierunkową,

•

Kolejne czynności

•

Sposób prowadzenia dziennika pomiarowego,

•

Metoda reprtycyjna pomiaru kąta poziomego

•

Kolejne czynności

•

Zalety i wady metody



Pomiar kątów pionowych

•

Wstęp

•

Koło pionowe teodolitu

•

Błąd indeksu

•

Wzory i obliczenia

•

Zapis w dzienniku pomiarowym



Literatura

Kąt poziomy

Kątem poziomym



nazywamy kąt dwuścienny

utworzony

przez

dwie

płaszczyzny

pionowe

utworzony

przez

dwie

płaszczyzny

pionowe

przechodzące przez dwa kierunki wychodzące z

jednego punktu

(rys.). Miarą kąta dwuściennego jest

kąt płaski między rzutami kierunków na płaszczyznę

poziomą.

Kąt pionowy

Będziemy nazywali

kąt zawarty między danym kierunkiem

a jego rzutem na płaszczyznę poziomą zwaną horyzontem

instrumentu

. Kąt pionowy jest

dodatni

, gdy dany kierunek

znajduje się

nad

płaszczyzną poziomą, a

ujemny

, gdy leży

poniżej

płaszczyzny poziomej. W praktyce spotyka się też

pojęcie kąta zenitalnego Z. Jest to kąt zawarty między linią

pionową poprowadzoną przez wierzchołek kąta a danym

kierunkiem. W astronomii i nawigacji stosuje się też nazwę kąt

wysokości i oznacza go literą h

Teodolity o małej

dokładności

Zalicza się do nich instrumenty o dokładności odczytu 0,5'

lub 1’ (1

lub 2

). Są to tzw. teodolity budowlane, a typowym

przedstawicielem tej klasy jest instrument firmy Zeiss Theo 080
(rys.). Odczyty wykonuje się za pomocą mikroskopu szacunkowego
z dokładnością do 1' lub 2

. Teodolit ten może być także używany w

pozycji  wiszącej  (pomiary  w  kopalniach),  stąd  w  mikroskopie
odczytowym  widoczne  są  dwa  opisy:  jeden  prosty,  a  drugi
odwrócony. Luneta daje obraz prosty o powiększeniu 18-krotnym, a
na  płytce  ogniskowej  oprócz  typowego  krzyża  nitek  znajduje  się
jeszcze w jego środku okrąg, którym celuje się na tarczę słoneczną
w przypadku wyznaczania azymutu geograficznego.

Teodolity o średniej

dokładności

Typowym przykładem tej klasy instrumentów jest Theo 020

(rys.).  Dokładność  odczytu  za  pomocą  mikroskopu  skalowego  wynosi
0,1' lub 0.2c (rys.). Luneta o powiększeniu 25x (Theo 020B - 30x) daje
obraz  prosty.  Centrowanie  instrumentu  odbywa  się  za  pomocą  pionu
optycznego  wbudowanego  w  alidadę.  Do  poziomowania  instrumentu
służy  libella  rurowa  o  przewadze  30".  umieszczona  między
wspornikami  lunety.  Spodarka  teodolitu  jest  wymienna,  można  więc
tym  instrumentem  wykonywać  pomiary  sposobem  trzech  statywów.
Instrument jest zaopatrzony w automatyczny indeks kręgu poziomego
o  dokładności  kompensacji  ±1".  W  modelu  Theo  01  OB  na
wspornikach  lunety  jest  umieszczony  uchwyt  do  przenoszenia
instrumentu,  który  służy również jako miejsce  do  przytwierdzenia tar
czy celowniczej, nasadki dalmierczej lub busoli.

Teodolity precyzyjne i

laserowe

Spośród precyzyjnych teodolitów optycznych należy wymienić

takie instrumenty, jak: Zeiss Theo 010 (010 A/B), Wild T2, Kern DKM2,
a spośród elektronicznych: Zeiss ETh2, Wild T3000. Sokkisha DT2.
Charakteryzują je: dokładność odczytu l

- 2

. powiększenie lunety 30

x - 45x i przewaga libelli rurkowych - 20".

Specyficzną

grupę

teodolitów

stanowią

instrumenty

wyposażone w światło laserowe. Rozszerza to zakres ich stosowania,
ponieważ w przestrzeni jest widoczny kierunek osi celowej lunety w
postaci wiązki światła laserowego.

Przygotowanie teodolitu do

pomiaru

Kąty poziome mierzy się pomiędzy kierunkami

trwale oznaczonymi w terenie. W przypadku

pomiaru pojedynczego kąta poziomego należy

zasygnalizować końce obu ramion kąta za pomocą

tyczek mierniczych bądź za pomocą tarcz

celowniczych ustawionych na statywach. Nad

wierzchołkowym punktem kąta ustawia się teodolit

na statywie, zwracając uwagę na to, aby głowica

statywu znajdowała się w miarę w poziomie, a nogi

statywu

były

tak

rozstawione,

aby

nie

statywu

były

tak

rozstawione,

aby

nie

przeszkadzały obserwatorowi w czasie pomiaru.

Centrowanie

teodolitu

wykonujemy

Centrowanie

teodolitu

wykonujemy

pomocą pionu sznurkowego, drążkowego lub

optycznego. Jeżeli centrujemy instrument za

pomocą pionu optycznego, to sposób postępowania

jest następujący:



ustawiamy instrument w przybliżeniu nad punktem za

pomocą pionu sznurkowego.



za pomocą trzech śrub nastawczych naprowadzamy

znaczek pionu optycznego na centr znaku naziemnego,



wbijając nogi statywu w ziemię lub zmieniając ich długość

(jeżeli statyw stoi na twardym podłożu), doprowadzamy

libellę okrągłą do górowania,



wykonujemy dokładne poziomowanie libelli rurkowej za

pomocą trzech śrub nastawczych.



sprawdzamy, czy znaczek pionu optycznego nie zszedł z

punktu, jeżeli tak to po odkręceniu śruby sprzęgającej

przesuwani teodolit na głowicy statywu do momentu, aż

znaczek pionu optycznego znajdzie się nad punktem.



sprawdzamy i ewentualnie korygujemy spoziomowanie

instrumentu.

W podobny sposób centrujemy tarcze sygnalizacyjne, które na

czas centrowania wyjmujemy ze spodarki i wstawiamy tam teodolit

bądź samodzielny

pionownik optyczny

(rys. z lewej).

Jeżeli ramiona kąta sygnalizujemy za pomocą tyczek, to

ustawiamy    je  nad  punktem  za  pomocą  lekkich  stojaków  metalowych
(rys.  po  prawej).  Po  zakończeniu  sygnalizacji  punktów  stosownie  do
wzroku obserwatora ustawiamy w ostrości obraz siatki celowniczej oraz
obraz  skali  w  mikroskopie  odczytowym,  jeżeli  używamy  teodolitu
optycznego.

Kolejne czynności

Po wycelowaniu w I położeniu lunety na cel lewy

sprzęgamy alidadę z kołem poziomym i po ustawieniu

ostrości naprowadzamy nitkę pionową dokładnie na cel za

pomocą leniwki. Jeżeli celujemy na tyczkę, staramy się

ustawić krzyż nitek jak najniżej, u dołu tyczki, gdyż góra

może być odchylona od pionu. Wykonujemy odczyt O’

zapisujemy go w formularzu. Wykonując pól obrotu

leniwką, wyprowadzamy krzyż nitek z celu i ponownie go

naprowadzamy oraz dokonujemy odczytu O’’

LI.

Obliczamy średnia wartość odczytu:





Następnie celujemy na punkt prawy, ustawiamy

jego ostrość i postępując tak samo jak przy punkcie
lewym, odczytujemy O’

i O’’

. Stąd średni odczyt

Obliczamy wartość kąta w I położeniu lunety. Z

uwagi na to, że podział kątowy rośnie zgodnie z ruchem
wskazówek zegara





O 





Po zakończeniu pomiaru w pierwszym położeniu

lunety możemy sprawdzić scentrowanie i spoziomowanie
instrumentu oraz sygnałów. Po przerzuceniu lunety przez
zenit rozpoczynamy pomiar w drugim położeniu od
wycelowania

punktu

lewego.

Wykonujemy

zapisujemy dwa odczyty O’

LII

i O’’

LII

i obliczamy odczyt

średni:

LII

PII

O 





LII





Podobnie postępujemy z punktem prawym i

otrzymujemy:

PII





Kąt poziomy w drugim położeniu lunety:

Kąt poziomy w pełnej serii obliczymy:







Ten kąt, w przeciwieństwie do wartości

zmierzonych  w  jednym  położeniu  koła,  jest  wolny  od
wpływu  błędów  instrumentalnych,  w  szczególności
kolimacji  i  inklinacji.  Pomiar  kąta  poziomego  możemy
dla kontroli powtórzyć, tj. wykonać go w drugiej serii po
przesunięciu  o  pewien  kąt  limbusa.  W  tym  celu
wciskamy  zatrzask  i  podłączamy  limbus  do  alidady.  Po
jej  obrocie  o  pewien  kąt  zatrzask  zwalniamy.  Sposób
zapisu wyników w formularzu przedstawia kolejny slajd.

Metodę kierunkową stosujemy wówczas, gdy z

wierzchołka kąta wychodzi pęk promieni i należy określić

kąty

między

nimi (rys. a). W pierwszej kolejności dokonuje

się pomiaru kierunków, a następnie stosownie do potrzeb

oblicza się kąty między kierunkami (rys. b, c, d).

Kolejne czynności

Jako początkowy kierunek wybieramy daleki i

dobrze oświetlony punkt, najlepiej leżący w północnej

części widnokręgu. Pomiar rozpoczynamy w I

położeniu lunety od punktu 1, następnie poprzez

punkty 2, 3, 4, 5, po czym powtórnie celujemy na

punkt 1. Różnica odczytów początkowego i

końcowego na punkcie pierwszym powinna się

mieścić w granicach dopuszczalnych dla danego

instrumentu, tzn. w granicach błędów celowania i

odczytywania. Różnica ta nosi nazwę odchyłki

zamknięcia horyzontu. Stanowi ona kontrolę, czy w

czasie pomiarów instrument nie został poruszony lub

czy

nie

oddziaływały

niego

czynniki

atmosferyczne (np. skręty statywu pod wpływem

słońca).

Odchyłkę zamknięcia horyzontu Z, o ile nie

przekroczy podwójnego nominalnego błędu różnicy
kierunków (dla Theo 020 mamy: m

≈

, czyli Z

max

), rozrzucamy proporcjonalnie do numerów kierunków.

Kierunek zamykający otrzymuje poprawkę równą całej
odchyłce Z, tzn.













Kierunek przedostatni:





 1



Kolejny:

itd. przy czym n jest liczbą kierunków.

Pierwszy

kierunek

nie

otrzymuje żadnej

poprawki. Jeżeli odchyłka zamknięcia horyzontu

przekracza wartość Z

max

, pomiar należy

powtórzyć

Po wykonaniu pomiaru w I położeniu lunety w

podobny sposób postępuje się przy II położeniu

lunety. Między I i II położeniem, a także między

seriami,

można

poprawić

poziomowanie

poprawić

poziomowanie

centrowanie instrumentu oraz sygnałów. Kąty

poziome oblicza się najczęściej względem pierwszego

kierunku, dla którego przyjmuje się wartość 0

Można również obliczać kąty poziome między

kierunkami,

zależnie

potrzeb,

innych

kierunkami,

zależnie

potrzeb,

innych

kombinacjach. Sposób zapisu formularza dla metody

kierunkowej przedstawia następny slajd.

Metodę

repetycyjną:

•

tosujemy

wówczas,

gdy

chcemy

tosujemy

wówczas,

gdy

chcemy

zmierzyć kąt poziomy z jak największą

dokładnością, a teodolitem uzyskujemy małą

dokładność odczytu (np. 1' lub

2").

•

Do pomiaru kątów tą metodą można

użyć

wyłącznie

teodolitu repetycyjnego (np.

Bordy).

Przebieg pomiaru kąta np. 2-3-4

(rys.) metodą repetycyjną

teodolitem z podziałem stopniowym

jest następujący:

W pierwszym położeniu lunety sprzęgamy alidadę z limbusem za

pomocą urządzenia sprzęgającego, w taki sposób, aby odczyt

limbusa wyniósł 0°.

Kierujemy lunetę wraz z alidadą sprzęgniętą z limbusem na cel

lewy, zaciskamy alidadę i obrotem leniwki ruchu poziomego

naprowadzamy dokładnie oś celową na ten cel, kontrolując

niezmienność odczytu limbusa 0°.

Zwalniamy alidadę (wyłączając urządzenie sprzęgające) i

naprowadzamy oś celową lunety na cel prawy (punkt 2) znów

obrotem leniwki ruchu poziomego, odczytując limbus (O

), co

da przybliżoną wartość mierzonego kąta



Sprzęgamy znów alidadę z limbusem i powtarzamy czynności

pomiarowe wymienione w punktach 2 i 3 jeszcze dwukrotnie.

Po trzecim skierowaniu osi celowej do prawego celu notujemy

wartość odczytu na limbusie (O

) w dzienniku pomiaru kątów.

W ten sposób mierzymy kąt



trzykrotnie (można i więcej

razy) odkładając go za każdym razem na limbusie obrotem

lunety z alidadą w prawo (zgodnie z ruchem wskazówek

zegara).

W podobny sposób wykonujemy trzykrotny pomiar kąta w

drugim położeniu lunety, zaczynając obserwacje od punktu

prawego przy nie zmienionym odczycie limbusa O

powtarzając cały pomiar w odwrotnym kierunku przesuwając

alidadę na limbusie w lewo do punktu lewego, zaś limbus ze

sprzęgniętą alidadą w prawo do punktu prawego. Po trzech

seriach notujemy odczyt limbusa, który powinien być bliski 0°.

Ogólnie, wartość mierzonego kąta w pierwszym położeniu

lunety jest następująca:











gdzie:

odczyt początkowy i końcowy limbusa,

- liczba serii pomiarów kąta.

Ponieważ n = 3,

= O

, a O

, = 0°, zatem

Wartość tę porównujemy z odczytem orientacyjnym

, przy

czym różnica nie powinna przekraczać dokładności odczytu.

Jeśli indeks odczytowy w czasie pomiaru przekroczy

zero limbusa, to przy m przesunięciach wzór zmieni się na:

360















W podobny sposób obliczamy kąt



zmierzony w

drugim położeniu lunety. Ostateczna wartość kąta jest

zatem:

Zalety i wady metody:

•

Ten sposób pomiaru znacznie zmniejsza wpływ błędu

odczytu, gdyż różnicę dwóch odczytów dzielimy przez

liczbę repetycji n, zatem błąd różnicy odczytów zmniejszy

się n-krotnie. Natomiast, stosując metodę pojedynczego

pomiaru kąta przy zwiększaniu liczby serii, zwiększamy

dokładność odczytu tylko proporcjonalnie do pierwiastka

kwadratowego z ogólnej liczby serii (błąd średni średniej

artymetycznej),

•

Jeśli mamy zatem teodolit o małej dokładności odczytu, to

możemy znacznie zwiększyć dokładność pomiaru kąta, jeśli

zmierzymy go metodą repetycyjną 2 większą liczbą

repetycji.

•

Wadą metody repetycyjnej jest konieczność ciągłego

sprzęgania i zwalniania alidady i limbusa, co może

spowodować

błędy

porywania

alidady

limbusa,

spowodować

błędy

porywania

alidady

limbusa,

szczególnie w zużytym instrumencie.

Wstęp:

W niwelacji trygonometrycznej, a także do optycznego

określenia odległości za pomocą dalmierza kreskowego

teodolitu mierzy się kąty: pionowy h lub zenitalny z, między

którymi zachodzi związek:

w podziale gradowym: z = 100

— h lub h = 100

—z,

w podziale stopniowym: z = 90° — h lub h = 90° — z.

Jeśli na pukcie O chcemy zmierzyć kąt pionowy kierunku

OA, to będzie to kąt, jaki tworzy oś celowa OA z poziomem. Gdy

punkt, do którego celujemy, leży powyżej poziomu osi celowej,

to uważamy, że kąt pionowy jest dodatni - oś celowa jest

skierowana ku górze; odwrotnie, kąt pionowy jest ujemny, gdy

os celowa jest skierowana ku dołowi

Koło pionowe teodolitu:

Kąty pionowe mierzymy na

kole pionowym

teodolitu, które podobnie jak koło poziome, składa

się z limbusa i alidady. Koło pionowe ma nieco inną

budowę niż poziome. Limbus jest na stałe połączony

z poziomą osią obrotu lunety, a więc obraca się

razem z lunetą w płaszczyźnie pionowej, natomiast

alidada koła pionowego pozostaje podczas obrotu

lunety nieruchoma.

Sposób obliczania kąta pionowego

zależy od sposobu oznaczenia podziału koła

pionowego. Dwa najczęściej napotykane

opisy

limbusa

koła

pionowego

są

opisy

limbusa

koła

pionowego

są

następujące:

W teodolitach noniuszowych, obecnie już nie produkowanych,

limbus jest opisany od 0 do 360° w taki sposób, aby przy

poziomym położeniu osi celowej w pierwszym położeniu lunety

odczytywało się na limbusie koła pionowego 0°. Taki opis koła

pionowego nazywa się podziałem

horyzontalnym.

W produkowanych obecnie teodolitach optycznych limbus jest

opisany od 0 do 400

(rzadziej od 0 do 360°) w kierunku zgodnym

(lub przeciwnym) z ruchem wskazówek zegara przy kole lewym

(KL) w pierwszym położeniu lunety (opis odwrotny przy kole

prawym w pierwszym położeniu). Przy poziomym położeniu osi

celowej w pierwszym położeniu lunety odczytuje się na indeksie

100

. Odczyty oznaczają bezpośrednio kąty zenitalne. Taki opis

koła pionowego nazywa się podziałem

zenitalnym.

Do kontroli właściwego położenia indeksu odczytowego

służy

libela

umieszczona równolegle do płaszczyzny celowej na

alidadzie koła pionowego. Libelę tę nazywamy

libelą koła

pionowego

lub

kolimacyjną

Przy rektyfikacji koła pionowego

położenie osi libeli względem indeksu regulujemy za pomocą

śrubek rektyfikacyjnych libeli

. Przed każdorazowym odczytem

koła pionowego należy sprawdzić,

czy oś libeli kolimacyjnej

pozostała pozioma; w przeciwnym razie trzeba doprowadzić

pęcherzyk libeli do położenia środkowego

za pomocą leniwki

alidady koła pionowego, która obraca alidadę razem z libelą w

płaszczyźnie pionowej.

Błąd indeksu

Rozpatrzmy teorię koła pionowego dla podziału zenitalnego

od 0 do 400

W czasie pomiaru kąta pionowego indeks alidady powinien

zajmować takie położenie, aby przy poziomej osi celowej odczyty na

kole pionowym wynosiły: 100

w pierwszym położeniu lunety (koło

lewe KL) i 300

w jej drugim położeniu (koło prawe KP).

Gdy przy pionowej osi instrumentu i poziomym położeniu osi

celowej w pierwszym położeniu lunety odczyt na kole pionowym

zamiast 100

wynosi 100

+ x lub 100

- x, to tę niewielką

wartość

nazywamy

błędem indeksu

(rys. obszar zakreskowany).

Wzory i obliczenia

Wprowadzamy oznaczenia:

z i h - kąty zenitalny i pionowy przy lunecie

skierowanej do obranego celu A,

OL i OP - odczyty z limbusa koła pionowego przy położeniach
lunety KL i KP oraz osi celowej skierowanej do punktu A,

x - błąd indeksu.





Gdy skierujemy oś celową dwukrotnie na punkt A w

pierwszym i drugim położeniu lunety przy spoziomowanej libeli
kolimacyjnej i dokonamy odczytów O

i O

przy występowaniu błędu

indeksu, to kąt zenitalny w pierwszym położeniu lunety (KL):

W drugim położeniu lunety (KP):









 400

Dodając i odejmując stronami wzory z poprzedniego slajdu

otrzymamy:





400







Zatem, średnia arytmetyczna z odczytów koła pionowego w

pierwszym i drugim położeniu lunety oznacza kąt zenitalny nie
obarczony błędem indeksu, zaś sam błąd indeksu x możemy obliczyć
z połowy różnicy odczytów koła pionowego w pierwszym i drugim
położeniu lunety.

Suma odczytów OL + OP jest zawsze wielkością stałą i

wynosi:

400 





oraz:





400





Co jest kontrolą poprawności odczytów koła pionowego.

Po usunięciu błędu indeksu wartości kątów zenitalnych oraz

katów pionowych są następujące:

w położeniu I lunety: z =

, zaś h = 100

—

w położeniu II lunety: z = 400

- O

, zaś h = O

– 300

Błąd indeksu można usunąć z teodolitu przez podwójny

pomiar kąta zenitalnego przy KL i KP, celując do wyraźnego punktu

w terenie - położonego daleko, przy spoziomowanej libeli koła

pionowego. Jeśli kąty zenitalne w obu położeniach lunety nie są

równe, tzn. z

≠ (400

— z

), to po obliczeniu średniego kąta

zenitalnego nastawiamy na ten średni odczyt indeks za pomocą

leniwki libeli koła pionowego. Powstałe wychylenie pęcherzyka

usuwamy, doprowadzając go do położenia środkowego za pomocą

śrubek rektyfikacyjnych libeli kolimacyjnej. Po powtórnym

wycelowaniu do punktu terenowego w pierwszym położeniu lunety

powinniśmy znów otrzymać kąt zenitalny z.

Mimo usunięcia błędu indeksu, pomiar kątów pionowych o

wymaganej większej dokładności wykonujemy zawsze w dwóch

położeniach lunety

W pracach, w których możemy mierzyć wielokrotnie

kąty pionowe na jednym stanowisku z ograniczoną

dokładnością (np. w tachymetrii), dokonujemy takich

pomiarów w jednym położeniu lunety. Wówczas należy

sprawdzać i ewentualnie usuwać błąd indeksu przed

rozpoczęciem pomiaru na każdym stanowisku. Do takich prac

należą pomiary tachymetryczne polegające na wyznaczaniu

wysokości charakterystycznych punktów terenu na pewnym

obszarze sposobem punktów rozproszonych przy użyciu

teodolitu, w celu sporządzenia mapy warstwicowej.

W wielu nowoczesnych teodolitach (np. Zeiss Theo

020) stosuje się samopoziomujący indeks koła pionowego

ułatwiający pomiar kątów zenitalnych.

Document Outline