Dr inż. Robert Krzyżek

Akademia Górniczo – Hutnicza

Wydział Geodezji Górniczej i Inżynierii Środowiska

Katedra Geomatyki

Al. Mickiewicza 30, 30-059 Kraków

Pawilon C-4, pokój 305 III piętro, tel. [phone]

[e-mail]

WYKŁADY Z GEODEZJI II

POMIARY KĄTOWE

W SZCZEGÓŁOWYCH

OSNOWACH POZIOMYCH

- Pomiary kątowe w szczegółowych osnowach poziomych -

Metody pomiarów kątowych:

Metoda kierunkowa

Metoda wypełnienia horyzontu

- Pomiary kątowe w szczegółowych osnowach poziomych -

Metoda kierunkowa

•Od 3 do 8 kierunków

•Wybór kierunku początkowego – cel o
najlepszych warunkach celowania (dobrze
oświetlony, na tle kontrastowym, o ostrych
zarysach – może to być dowolny cel, który
potem eliminujemy)

•Celowa nie powinna przechodzić w pobliżu
przeszkód (refrakcja boczna)

•Zrównanie instrumentu z temperaturą
otoczenia (15min)

•Właściwe ustawienie ostrości obrazu i siatki
celowniczej (zjawisko paralaksy)

•Sprawdzenie zamknięcia horyzontu

2

2

k

p

m

f

=

k

m

- średni błąd pomiaru kierunku w obu
położeniach lunety

k

s

m

f

2

=

- dla serii

- dla półserii

•Problematyczna zasada rozrzucenia odchyłki
zamknięcia horyzontu (zjawisko porywania
limbusa dla dawnych typach teodolitu)

- Pomiary kątowe w szczegółowych osnowach poziomych -

- Pomiary kątowe w szczegółowych osnowach poziomych -

Wyrównanie stacyjne

Służy do określenia wartości najprawdopodobniejszych poszczególnych kierunków - K

i

- i do

oceny dokładności – błędu m

K

- (w cyklu pełnych lub niepełnych serii)

Etapy wyrównania stacyjnego

1. Pomiar

k’’’

1z

k’’

1z

k’

1z

1

k’’’

i

k’’

i

k’

i

i

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

k’’’

2

k’’

2

k’

2

2

k’’’

1

k’’

1

k’

1

1

S III

S II

S I

Nr kier.

- Pomiary kątowe w szczegółowych osnowach poziomych -

2. Obliczamy stałą wartość kątową dla każdej serii

2

'

'

1

'

1

z

k

k

L

+

=

2

''

''

1

''

1

z

k

k

L

+

=

2

''

'

''

'

1

''

'

1

z

k

k

L

+

=

dla serii I

dla serii II

dla serii III

3. Obliczamy kierunki skręcone – (k

i

) = k

i

– L dla każdej serii

k’’’

1z

- L’’’

k’’

1z

- L’’

k’

1z

- L’

1

k’’’

i

- L’’’

k’’

i

- L’’

k’

i

- L’

i

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

k’’’

2

- L’’’

k’’

2

- L’’

k’

2

- L’

2

k’’’

1

- L’’’

k’’

1

- L’’

k’

1

– L’

1

S III

S II

S I

Nr kier.

- Pomiary kątowe w szczegółowych osnowach poziomych -

4. Obliczamy kierunki uzgodnione – (K

i

) dla każdego kierunku

( ) ( )

[

]

s

k

k

K

z

2

1

1

1

+

=

( )

[ ]

s

k

K

i

i

=

- dla pierwszego (i zamykającego) kierunku

- dla i-tego kierunku

5. Kontrola poprawności obliczeń kierunków uzgodnionych K

i

( )

∑

∑

⋅

=

i

i

k

s

K

1

6. Obliczenie poprawek v

i

do obserwacji dla każdej serii

( )

i

i

i

k

K

v

−

=

K

1

- k’’’

1z

K

1

- k’’

1z

K

1

- k’

1z

1

K

i

- k’’’

i

K

i

- k’’

i

K

i

- k’

i

i

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

K

2

- k’’’

2

K

2

- k’’

2

K

2

- k’

2

2

K

1

- k’’’

1

K

1

- k’’

1

K

1

- k’

1

1

S III

S II

S I

Nr kier.

- Pomiary kątowe w szczegółowych osnowach poziomych -

7. Obliczamy błędy kierunków uzgodnionych

- błąd pojedynczego spostrzeżenia

- błąd pierwszego kierunku

- błąd i-tego kierunku

[ ]

(

)

1

0

−

−

±

=

n

ns

vv

m

s

m

m

K

2

1

0

1

±

=

s

m

m

Ki

1

0

±

=

n – liczba wszystkich kierunków razem z kierunkiem zamykającym

s – liczba serii

(n-1) – liczba niewiadomych (wyznaczanych kierunków)

8. Zestawienie kierunków uzgodnionych z oceną dokładności

1

1

........

K

m

K

±

=

Ki

m

K

±

=

........

2

Ki

i

m

K

±

=

........

- Pomiary kątowe w szczegółowych osnowach poziomych -

Zalety i wady metody kierunkowej:

Pełne serie (nie zawsze jest to możliwe)

Eliminacja błędów grubych

Kilka serii eliminuje błędy podziału limbusa i mimośrodu

Czas pracy 20-30 min (do 8 kierunków)

W nowych instrumentach nie występuje porywanie limbusa (brak rozrzucenia odchyłki
zamknięcia horyzontu)

Błędy kierunków nie zawsze miarodajne

- Pomiary kątowe w szczegółowych osnowach poziomych -

Metoda wypełnienia horyzontu

•Pomiar każdego kąta metodą zwykłą w n seriach

•Przesunięcie limbusa i skali mikrometru

•Sprawdzenie zamknięcia horyzontu – tylko kontrola bez
rozrzucenia odchyłki

•Niezależność pomiarów kątowych w stosunku do metody
kierunkowej

•Możliwość pomiaru tych kątów, dla których w danej chwili
występują korzystne warunku atmosferyczne

- Pomiary kątowe w szczegółowych osnowach poziomych -

Wyrównanie stacyjne

- uzgodnione wartości kątów

- kąty obserwowane w I serii

- kąty obserwowane w II serii

i

α

α

α

,...,

,

2

1

'

'

2

'

1

,...,

,

i

l

l

l

''

''

2

''

1

,...,

,

i

l

l

l

Zakładając jednakową dokładność pomiaru każdego z kątów (pomiar w jednakowej
liczbie serii)

i

i

i

l

v

−

=

α

Przyjmując oznaczenia:

Równania poprawek:

Ponieważ przyjmujemy jednakową dokładność pomiaru to otrzymujemy:

1

...

...

''

'

''

2

'

2

''

1

'

1

=

=

=

=

=

=

=

=

i

i

p

p

p

p

p

p

[ ] [ ]

[ ]

s

p

p

p

i

=

=

=

=

...

2

1

- błąd pojedynczego spostrzeżenia

- Pomiary kątowe w szczegółowych osnowach poziomych -

[ ]

s

l

i

i

=

α

[ ]

(

)

1

0

−

±

=

s

i

vv

m

s

m

m

i

1

0

±

=

α

- średni błąd kąta

- średnia wartość kąta z s serii

Wnioski z obliczeń i wyrównania stacyjnego dla metody kierunkowej i

wypełnienia horyzontu:

1.

Obliczenie wartości kątów w metodzie kierunkowej i wypełnienia horyzontu sprowadza
się do obliczenia średniej arytmetycznej ze wszystkich obserwacji

2.

Otrzymana z wyrównania stacyjnego ocena dokładności pomiarów kątów (dla metody
wypełnienia horyzontu) i kierunków (dla metody kierunkowej) ma znaczenie
orientacyjne; określa bowiem dokładność pomiaru na podstawie wewnętrznej zgodności
wyników a więc może służyć tylko do oceny poprawności przeprowadzonych
pomiarów na stanowisku

- Pomiary kątowe w szczegółowych osnowach poziomych -

Analiza wpływu różnych czynników na średni

błąd pomiaru kąta poziomego

1.

Czynniki instrumentalne

2.

Czynniki osobowe

3.

Czynniki związane z warunkami
zewnętrznymi

Czynniki instrumentalne

-Eliminujemy przez: rektyfikację, sposób pomiaru (2 położenia lunety), pomiar w wielu
seriach, celowanie środkiem krzyża kresek (unikamy błędu skręcenia siatki celowniczej)

-Błąd niepionowości osi głównej instrumentu (niedokładność poziomowania libeli,
niedokładność rektyfikacji libeli, naruszenie poziomowania w trakcie pomiaru, niestabilność
osi alidady w tulei limbusa lub spodarki przy obrocie instrumentu wokół tej osi)

- Pomiary kątowe w szczegółowych osnowach poziomych -

β

α

ε

sin

''

''

⋅

⋅

=

tg

v

v

''

v

ε

''

v

α

β

- wpływ wychylenia osi głównej instrumentu od pionu na wartość pomierzonego kąta poziomego

- wychylenie osi głównej instrumentu od pionu

- kąt nachylenia osi celowej do poziomu

- kąt dwusieczny pomiędzy płaszczyzną wychylenia osi obrotu instrumentu od pionu a płaszczyzną
celową

- Pomiary kątowe w szczegółowych osnowach poziomych -

Ekstrema wpływu wychylenia osi głównej instrumentu od pionu

na wartość pomierzonego kąta poziomego

0

''

max

90

=

−

α

ε

gdy

v

0

0

''

min

0

lub

0

=

=

−

β

α

ε

gdy

v

α

ε

tg

v

v

⋅

=

''

''

max

0

90

=

β

0

0

=

α

0

0

=

β

- strome celowe

- gdy oś celowa jest pozioma

- płaszczyzna pionowa pokrywa się z płaszczyzną celowania

Dla rozważań praktycznych przyjmuje się

Maksymalne błędy kierunku spowodowane niedokładnym spoziomowanie instrumentu w zależności od

kąta nachylenia osi celowej do poziomu

- Pomiary kątowe w szczegółowych osnowach poziomych -

Czynniki osobowe

-Błędy odczytu

-Błędy celowania

-Błędy centrowania teodolitu i sygnału

Błąd odczytu

•Koincydencja – Odczyty O

i

(n razy)

•Obliczenie odczytu średniego O

ś

r

•Obliczenie poprawek v

i

•Kontrola poprawek [v

i

]

•Obliczenie średniego błędu pojedynczego odczytu m

0

•Obliczenie średniego błędu kąta spowodowanego
błędem odczytu

n

O

O

O

O

n

ś

r

+

+

+

=

...

2

1

ś

r

i

i

O

O

v

−

=

[ ]

0

=

i

v

[ ]

1

0

−

±

=

n

vv

m

2

0

0

m

m

±

=

α

- Pomiary kątowe w szczegółowych osnowach poziomych -

Błąd celowania

•Celowanie - Koincydencja – Odczyty C

i

(n razy).

Odczyty C

i

obarczone są błędem celowania i odczytu

•Obliczenie odczytu średniego C

ś

r

•Obliczenie poprawek v

i

•Kontrola poprawek [v

i

]

•Obliczenie średniego błędu kierunku z tytułu tych
dwóch błędów

•Obliczenie średniego błędu kąta w jednym położeniu
lunety spowodowanego błędem celowania

n

C

C

C

C

n

ś

r

+

+

+

=

...

2

1

ś

r

i

i

C

C

v

−

=

[ ]

0

=

i

v

2

0

2

m

m

C

+

±

=

µ

2

0

2

m

m

C

−

±

=

µ

[ ]

1

−

±

=

n

vv

µ

gdzie

2

C

C

m

m

=

α

- Pomiary kątowe w szczegółowych osnowach poziomych -

Błąd centrowania teodolitu i sygnału

(

)









+

⋅

−

+

+

±

=

2

2

2

2

2

2

2

2

2

''

cos

2

1

1

1

2

1

et

ep

el

e

m

b

bc

c

c

b

m

b

m

c

m

α

ρ

α

Wpływ błędów centrowania teodolitu i sygnałów na średni błąd pomiaru kąta – wzór
Helmerta

Zakładając, że:

es

ep

el

m

m

m

=

=

(

)

(

)

[

]

2

2

2

2

2

2

''

cos

2

2

1

et

es

e

m

b

bc

c

m

c

b

c

b

m

+

⋅

−

+

+

⋅

±

=

α

ρ

α

α

b, c – długości ramion kąta

m

el

, m

ep

– błąd liniowycentrowania sygnału na lewym i prawym ramieniu kąta

m

es

– błąd liniowy centrowania sygnałów

m

et

- błąd centrowania teodolitu

- kąt pomiędzy ramionami

- Pomiary kątowe w szczegółowych osnowach poziomych -

Wnioski:

Wpływ błędów centrowania sygnałów na błąd kąta nie zależy od wielkości mierzonego
kąta i jest odwrotnie proporcjonalny do długości ramion kąta oraz wielokrotności
zróżnicowania długości ramion

Wpływ błędu centrowania teodolitu na błąd kąta zależy od wielkości mierzonego kąta i
jest odwrotnie proporcjonalny do długości ramion kąta

Wraz ze wzrostem kąta od 0

0

do 180

0

rośnie wpływ błędu centrowania teodolitu:

- minimalną wartość uzyskamy dla kątów bliskich 0

0

gdyż wówczas

1

cos

=

α

(

)

(

)

[

]

2

2

2

2

2

''

min

2

1

et

es

e

m

b

c

m

c

b

c

b

m

−

+

+

⋅

±

=

ρ

α

- maksymalną wartość uzyskamy dla kątów bliskich 180

0

gdyż wówczas

1

cos

−

=

α

(

)

(

)

[

]

2

2

2

2

2

''

max

2

1

et

es

e

m

b

c

m

c

b

c

b

m

+

+

+

⋅

±

=

ρ

α

- przy założeniu, że:

b = c = d

oraz m

es

= m

et

= m

e

d

m

m

e

e

3

''

max

⋅

±

=

ρ

α

- Pomiary kątowe w szczegółowych osnowach poziomych -

Aby określić błąd m

e

musimy znać wartości błędów liniowych m

es

i m

et

, które

przyjmujemy odpowiednio w zależności od rodzaju pionownika:

Pionownik optyczny 0.2 – 0.3mm

Pionownik optyczny wbudowany w alidade lub spodarkę 0.3 – 0.5mm

Pionownik drążkowy 0.5 – 1.0mm

Pionownik sznurkowy 2 – 3mm

Czynniki związane z warunkami zewnętrznymi

- refrakcja powietrza

- wibracja

- oświetlenie sygnałów

- nasłonecznienie

- deszcz

- mgła

- wiatry