02
02
02
02
RUCH JEDNOSTAJNY PO OKRĘGU
RUCH JEDNOSTAJNY PO OKRĘGU
Ruch jednostajny po okręgu należy do klasy ruchów krzywoliniowych ze stałą
Ruch jednostajny po okręgu należy do klasy ruchów krzywoliniowych ze stałą
szybkością i zmiennym w czasie kierunkiem wektora prędkości. Wektor ten jest
szybkością i zmiennym w czasie kierunkiem wektora prędkości. Wektor ten jest
w każdym punkcie styczny do toru ruchu I prostopadły do wektora chwilowego
w każdym punkcie styczny do toru ruchu I prostopadły do wektora chwilowego
położenia będącego promieniem okręgu.
położenia będącego promieniem okręgu.
v
r
2
T
Okres obiegu
Okres obiegu:
T
1
r
2
v
Częstotliwość:
Częstotliwość:
t
Szybkość kątową definiujemy:
Szybkość kątową definiujemy:
T
2
v
r
2
T
lub
lub
Ponieważ
Ponieważ
[s
[s
-1
-1
]
]
to
to
r
r
T
2
v
Pamiętając, że mamy tu jednak wielkości wektorowe musimy zapisać powyższy
Pamiętając, że mamy tu jednak wielkości wektorowe musimy zapisać powyższy
związek jako iloczyn wektorowy:
związek jako iloczyn wektorowy:
Wektor prędkości kątowej - - jest prostopadły do płaszczyzny
Wektor prędkości kątowej - - jest prostopadły do płaszczyzny
okręgu i leży na osi przechodzącej przez jego środek.
okręgu i leży na osi przechodzącej przez jego środek.
Wektor przyspieszenia dośrodkowego, , ma – dla ruchu jednostajnego po
Wektor przyspieszenia dośrodkowego, , ma – dla ruchu jednostajnego po
okręgu – w każdym punkcie kierunek zgodny z kierunkiem promienia okręgu i
okręgu – w każdym punkcie kierunek zgodny z kierunkiem promienia okręgu i
zwrot skierowany do środka okręgu
zwrot skierowany do środka okręgu
r
a
r
v
v
r
v
r
v
a
2
2
r
Wartość przyspieszenia dośrodkowego:
Wartość przyspieszenia dośrodkowego:
W zapisie wektorowym mamy:
W zapisie wektorowym mamy:
(Znak minus oznacza, że wektor
a
r
jest przeciwnie skierowany niż wektor
r
)
Ilustracja pokazująca dlaczego wektor jest skierowany wzdłuż
Ilustracja pokazująca dlaczego wektor jest skierowany wzdłuż
promienia okręgu w kierunku jego środka.
promienia okręgu w kierunku jego środka.
Im mniejszy kąt
Im mniejszy kąt
tym idealniej pokrywa się wektor
tym idealniej pokrywa się wektor
V
V
z promieniem
z promieniem
okręgu
okręgu
r
r
.
.
r
mv
F
2
r
Zgodnie z II zasadą dynamiki przyspieszenie dośrodkowe ciała w ruchu po
Zgodnie z II zasadą dynamiki przyspieszenie dośrodkowe ciała w ruchu po
okręgu związane jest z istnieniem siły – „siły dośrodkowej”.
okręgu związane jest z istnieniem siły – „siły dośrodkowej”.
Siłą dośrodkową
Siłą dośrodkową
jest w tym przykładzie
jest w tym przykładzie
siła reakcji
siła reakcji
sznurka.
sznurka.
Zgodnie z trzecią zasadą dynamiki
Zgodnie z trzecią zasadą dynamiki
Newtona,
Newtona,
jeśli na kamień działa za pośrednictwem
jeśli na kamień działa za pośrednictwem
naprężonego sznurka siła dośrodkowa
naprężonego sznurka siła dośrodkowa
F
F
r
r
to również kamień działa na naszą rękę
to również kamień działa na naszą rękę
trzymającą drugi koniec sznurka z siłą
trzymającą drugi koniec sznurka z siłą
-F
-F
r
r
.
.
Pamiętajmy o różnych punktach
Pamiętajmy o różnych punktach
przyłoże-
przyłoże-
nia sił akcji i reakcji
nia sił akcji i reakcji
.
.
Przykład 1
Przykład 1
Przykład 2
Przykład 2
Ruch Księżyca (lub sztucznego satelity) po orbicie kołowej wokół Ziemi.
Ruch Księżyca (lub sztucznego satelity) po orbicie kołowej wokół Ziemi.
Rolę
Rolę
siły dośrodkowej
siły dośrodkowej
pełni w tym przypadku
pełni w tym przypadku
siła grawitacji
siła grawitacji
z jaką Ziemia
z jaką Ziemia
przyciąga obiegające ją ciała.
przyciąga obiegające ją ciała.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Przykład 3
Przykład 3
Ruch samochodu na zakręcie. Porusza się on po łuku będącym fragmentem okręgu
Ruch samochodu na zakręcie. Porusza się on po łuku będącym fragmentem okręgu
W tym przypadku rolę
W tym przypadku rolę
siły dośrodkowej
siły dośrodkowej
odgrywa
odgrywa
siła tarcia
siła tarcia
(tarcie opon kół toczących się po jezdni).
(tarcie opon kół toczących się po jezdni).
Siła tarcia zależy od siły nacisku (związanej z masą
Siła tarcia zależy od siły nacisku (związanej z masą
pojazdu) oraz od współczynnika tarcia. Tak więc przy
pojazdu) oraz od współczynnika tarcia. Tak więc przy
zbyt dużej prędkości
zbyt dużej prędkości
v
v
i przy małym promieniu
i przy małym promieniu
skrętu
skrętu
r
r
a dodatkowo przy tzw. „łysych oponach”
a dodatkowo przy tzw. „łysych oponach”
na mokrej jezdni siła tarcia może być zbyt mała w
na mokrej jezdni siła tarcia może być zbyt mała w
stosunku do wymaganej wartości .
stosunku do wymaganej wartości .
Wówczas samochód wypadnie z zakrętu.
Wówczas samochód wypadnie z zakrętu.
r
mv
2
Siła dośrodkowa a siła odśrodkowa.
Siła dośrodkowa a siła odśrodkowa.
Często myli się te dwa pojęcia – siły dośrodkowej oraz odśrodkowej – bowiem
zarówno wielkość siły dośrodkowej jak i odśrodkowej opisuje się takim samym wzorem
matematycznym
r
mv
2
Układ odniesienia związany z ciałem poruszającym się po okręgu jest
Układ odniesienia związany z ciałem poruszającym się po okręgu jest
układem nieinercjalnym.
układem nieinercjalnym.
Jego ruch po okręgu wymusza jakaś realna
Jego ruch po okręgu wymusza jakaś realna
siła dośrodkowa
siła dośrodkowa
.
.
Natomiast w opisie ruchu względem takiego układu odniesienia pojawia się siła
Natomiast w opisie ruchu względem takiego układu odniesienia pojawia się siła
o charakterze bezwładnościowym nazywana
o charakterze bezwładnościowym nazywana
SIŁĄ ODŚRODKOWĄ
SIŁĄ ODŚRODKOWĄ
o zwrocie
o zwrocie
przeciwnym do zwrotu siły dośrodkowej czyli
przeciwnym do zwrotu siły dośrodkowej czyli
Siła odśrodkowa jest siłą pozorną
Siła odśrodkowa jest siłą pozorną
wynikającą z faktu, że rozpatrujemy ruch względem
wynikającą z faktu, że rozpatrujemy ruch względem
nieinercjalnego układu odniesienia. Natomiast siła
nieinercjalnego układu odniesienia. Natomiast siła
dośrodkowa jest siłą realną
dośrodkowa jest siłą realną
i
i
występuje w układzie inercjalnym (np. nieruchomym) ,względem którego analizowany
występuje w układzie inercjalnym (np. nieruchomym) ,względem którego analizowany
obiekt porusza się po okręgu lub innym torze krzywoliniowym.
obiekt porusza się po okręgu lub innym torze krzywoliniowym.
Natura siły odśrodkowej jest taka sama jak siły bezwładności pojawiającej się przy
Natura siły odśrodkowej jest taka sama jak siły bezwładności pojawiającej się przy
niejednostajnym ruchu prostoliniowym, np. w układzie związanym z hamującym lub
niejednostajnym ruchu prostoliniowym, np. w układzie związanym z hamującym lub
przyspieszającym pojazdem na prostej ulicy.
przyspieszającym pojazdem na prostej ulicy.
Rotacja Ziemi wokół osi powoduje, że każde ciało leżące na jej powierzchni
Rotacja Ziemi wokół osi powoduje, że każde ciało leżące na jej powierzchni
znajduje się w nieinercjalnym układzie odniesienia i w związku z tym
znajduje się w nieinercjalnym układzie odniesienia i w związku z tym
„odczuwa” działanie siły odśrodkowej. Siła odśrodkowa zmniejsza nieco
„odczuwa” działanie siły odśrodkowej. Siła odśrodkowa zmniejsza nieco
wartość siły ciężkości dla ciał na powierzchni Ziemi – najbardziej na równiku.
wartość siły ciężkości dla ciał na powierzchni Ziemi – najbardziej na równiku.
Zgodnie z trzecią zasadą dynamiki Newtona oddziaływania między
Zgodnie z trzecią zasadą dynamiki Newtona oddziaływania między
różnymi obiektami są zawsze wzajemne. Działanie siłą jednego ciała
różnymi obiektami są zawsze wzajemne. Działanie siłą jednego ciała
na drugie może odbywać się np. poprzez wzajemny bezpośredni kontakt.
na drugie może odbywać się np. poprzez wzajemny bezpośredni kontakt.
Na co dzień obserwujemy wiele takich sytuacji.
Na co dzień obserwujemy wiele takich sytuacji.
Istnieją jednak w przyrodzie oddziaływania nie wymagające wzajemnego
Istnieją jednak w przyrodzie oddziaływania nie wymagające wzajemnego
bezpośredniego kontaktu – czyli
bezpośredniego kontaktu – czyli
oddziaływania na odległość
oddziaływania na odległość
.
.
Fizycy do opisu obserwowanych w naturze zjawisk wprowadzili cztery
Fizycy do opisu obserwowanych w naturze zjawisk wprowadzili cztery
podstawowe rodzaje oddziaływań tego typu:
podstawowe rodzaje oddziaływań tego typu:
- grawitacyjne,
- grawitacyjne,
- elektromagnetyczne,
- elektromagnetyczne,
- silne (jądrowe),
- silne (jądrowe),
- słabe.
- słabe.
Do opisu oddziaływań na odległość używa się pojęcia
Do opisu oddziaływań na odległość używa się pojęcia
POLA
POLA
.
.
O D D Z I A Ł Y W A N I A
O D D Z I A Ł Y W A N I A
ODDZIAŁYWANIA GRAWITACYJNE
ODDZIAŁYWANIA GRAWITACYJNE
Pole grawitacyjne
Pole grawitacyjne
- obszar przestrzeni, w którym na każde ciało o masie
m
działa siła, nawet wtedy gdy nie jest ono w bezpośrednim kontakcie z żadnym
innym ciałem.
Pole grawitacyjne wytwarza wokół siebie każde ciało mające masę
Pole grawitacyjne wytwarza wokół siebie każde ciało mające masę
.
.
Jeśli w pewnej odległości od siebie znajdą się dwie masy to każda z nich –
Jeśli w pewnej odległości od siebie znajdą się dwie masy to każda z nich –
wytwarzając wokół siebie pole grawitacyjne – oddziałuje na tą drugą.
wytwarzając wokół siebie pole grawitacyjne – oddziałuje na tą drugą.
Zgodnie z III zasadą dynamiki oddziaływanie grawitacyjne dwóch mas jest
Zgodnie z III zasadą dynamiki oddziaływanie grawitacyjne dwóch mas jest
Wzajemne.
Wzajemne.
Wartość siły grawitacyjnej
Wartość siły grawitacyjnej
F
F
g
g
z jaką przyciągają się dwa ciała o masach
z jaką przyciągają się dwa ciała o masach
m
m
1
1
i
i
m
m
2
2
w odległości
w odległości
r
r
od siebie wyraża się :
od siebie wyraża się :
2
2
1
g
r
m
m
G
F
gdzie
G
G to tzw.
stała grawitacji
stała grawitacji równa
G=6.67*10-
G=6.67*10-
11
11
Nm
Nm
2
2
/kg
/kg
2
2
.
PRAWO POWSZECHNEGO CIĄŻENIA
PRAWO POWSZECHNEGO CIĄŻENIA
(1)
(1)
Wektor siły grawitacji
Wektor siły grawitacji
działającej pomiędzy masami m
działającej pomiędzy masami m
1
1
i m
i m
2
2
leży na prostej
leży na prostej
łączącej obie masy.
łączącej obie masy.
Wzór Newtona (1) stosuje się w zasadzie dla tzw. punktów materialnych
Wzór Newtona (1) stosuje się w zasadzie dla tzw. punktów materialnych
.
Formułę Newtona można także stosować dla mas kulistych o jednorodnej gęstości
wewnętrznej lub gdy rozkład gęstości wewnątrz kuli jest sferycznie symetryczny.
W takim przypadku odległość r oznacza odległość pomiędzy środkami kul
(KONWENCJA ZNAKÓW I ZWROTÓW)
(KONWENCJA ZNAKÓW I ZWROTÓW)
Nie wolno stosować prawa powszechnego ciążenia w
postaci (1) dla mas (nawet sferycznie symetrycznych)
umieszczonych jedna wewnątrz drugiej tak jak na rysunku.
Odległość między środkami tych ciał wynosi tu zero.
Jeśli zastosujemy wprost wzór (1) to otrzymamy absur-
dalny wynik sugerujący nieskończenie wielką siłę
przyciągania.
Tymczasem sumaryczna siła grawitacji działająca na
wewnętrzną masę kulistą m
1
i powodowana przez
oddziaływanie z otaczającą ją warstwą sferyczną o masie
m
2
wynosi zero .
Wyjaśnia to drugi rysunek.
Masa wewnętrzna m
1
jest przyciągana z każdego
kierunku zawsze przez dwie identyczne masy m
z identyczną wartością sił grawitacji lecz przeciwnie
skierowanych.
Suma sił grawitacyjnego przyciągania działających na
masę m
1
wynosi więc zero.
UWAGA!!!
UWAGA!!!
Przyspieszenie grawitacyjne,
Przyspieszenie grawitacyjne,
g,
g,
w kulistosymetrycznym polu grawwitacyjnym –
w kulistosymetrycznym polu grawwitacyjnym –
np: wokół Ziemi o masie
np: wokół Ziemi o masie
M
M
Z
Z
w odległosci
w odległosci
r
r
od jej środka
od jej środka
Z
R
r
Przyspieszenie grawitacyjne jest
Przyspieszenie grawitacyjne jest wielkością wektorową
wielkością wektorową
.
.
Dla dowolnej masy kulistej
Dla dowolnej masy kulistej M
M
o promieniu
o promieniu
R
wektor
wektor
skierowany jest do środka tej kuli a jego wartość
skierowany jest do środka tej kuli a jego wartość
maleje z kwadratem odległości r od tego środka
maleje z kwadratem odległości r od tego środka
.
.
g
Wielkość jako wartość przyspieszenia
Wielkość jako wartość przyspieszenia
grawitacyjnego ma wymiar
grawitacyjnego ma wymiar
[metr/s
[metr/s
2
2
],
],
Można także – patrząc na tą formułę powiedzieć, że wielkość
Można także – patrząc na tą formułę powiedzieć, że wielkość
g
g
ma
ma
wymiar
wymiar
czyli wymiar
czyli wymiar
siły liczonej
siły liczonej
na jednostkową masę
na jednostkową masę
.
.
2
g
r
GM
m
F
g
]
kg
[
]
N
[
]
s
/
metr
[
]
kg
[
]
s
/
metr
kg
[
]
kg
[
]
N
[
2
2
Wielkość wektorową o wartości identycznej jak wartość przyspie-
Wielkość wektorową o wartości identycznej jak wartość przyspie-
szenia grawitacyjnego
szenia grawitacyjnego
g
g
nazywa się
nazywa się
NATĘŻENIEM POLA GRAWITACYJNEGO
NATĘŻENIEM POLA GRAWITACYJNEGO
w odległoci
w odległoci
r
r
od środka kulistej masy
od środka kulistej masy
M
M
Czyli: przyspieszenie
Czyli: przyspieszenie
g
g
dotyczy cząstki o masie
dotyczy cząstki o masie
m
m
umieszczonej w polu
umieszczonej w polu
grawitacyjnym masy
grawitacyjnym masy
M
M
natomiast natężenie pola,
natomiast natężenie pola,
, dotyczy samego
, dotyczy samego
pola grawitacyjnego wokół masy
pola grawitacyjnego wokół masy
M
M
w odległości
w odległości
r
r
od jej środka.
od jej środka.
ENERGIA POTENCJALNA CIĘŻKOŚCI
ENERGIA POTENCJALNA CIĘŻKOŚCI
Aby podnieść jakiś obiekt o masie
Aby podnieść jakiś obiekt o masie
m
m
na pewną wysokość
na pewną wysokość
h
h
musimy wykonać
musimy wykonać
pracę. Musimy na ten obiekt działać siłą pokonując siłę ciążenia o wartości
pracę. Musimy na ten obiekt działać siłą pokonując siłę ciążenia o wartości
mg
mg
.
.
Z kolei gdy podniesione wcześniej na wysokość
Z kolei gdy podniesione wcześniej na wysokość
h
h
ciało spadnie to wówczas siła
ciało spadnie to wówczas siła
ziemskiego przyciągania działająca na drodze
ziemskiego przyciągania działająca na drodze
h
h
wykona taką samą co do
wykona taką samą co do
wartości pracę (której jednak przypisujemy przeciwny do poprzedniego znak).
wartości pracę (której jednak przypisujemy przeciwny do poprzedniego znak).
Z definicji praca wyraża się
Z definicji praca wyraża się
W pobliżu powierzchni Ziemi dla małych wartości
W pobliżu powierzchni Ziemi dla małych wartości
h << R
h << R
Z
Z
będzie to :
będzie to :
Mówiąc inaczej, gdy ciało o masie
Mówiąc inaczej, gdy ciało o masie
m
m
leży spokojnie na jakiejś wysokości
leży spokojnie na jakiejś wysokości
h
h
o
o
w polu
w polu
grawitacyjnym to istnieje
grawitacyjnym to istnieje
potencjalna możliwość
potencjalna możliwość
, że jeśli ono spadnie z wysokości
, że jeśli ono spadnie z wysokości
h
h
o
o
na wysokość
na wysokość
h
h
1
1
pod wpływem siły ciężkości to zostanie przez tą siłę wykonana
pod wpływem siły ciężkości to zostanie przez tą siłę wykonana
pewna praca
pewna praca
W
W
.
.
Tą „
Tą „
potencjalną możliwość
potencjalną możliwość
” wykonania pracy wyraża ilościowo wielkość zwana
” wykonania pracy wyraża ilościowo wielkość zwana
energią
energią
potencjalną ciężkości E
potencjalną ciężkości E
p
p
.
.
Dlatego praca oraz energia wyraża się w tych samych jednostkach – w
Dlatego praca oraz energia wyraża się w tych samych jednostkach – w
dżulach
dżulach
(
(
1dżul = 1N * 1m = kg*m
1dżul = 1N * 1m = kg*m
2
2
/s
/s
2
2
).
).
Wykonana przez siłę ciężkości praca
Wykonana przez siłę ciężkości praca
W
W
zależy od
zależy od
zmiany wysokości
zmiany wysokości
,
,
h
h
a nie od bezwzględnej wartości wysokości początkowej lub końcowej.
a nie od bezwzględnej wartości wysokości początkowej lub końcowej.
Gdy analizowane ciało znajdowało się najpierw na jakiejś wysokości początkowej
Gdy analizowane ciało znajdowało się najpierw na jakiejś wysokości początkowej
to miało jakąś energię potencjalną
to miało jakąś energię potencjalną
E
E
p
p
. Była potencjalna możliwość wykonania
. Była potencjalna możliwość wykonania
pewnej pracy. Po spadku o wartość
pewnej pracy. Po spadku o wartość
h
h
potencjalna możliwość wykonania pracy
potencjalna możliwość wykonania pracy
zmalała o wartość pracy już wykonanej na drodze
zmalała o wartość pracy już wykonanej na drodze
h
h
czyli o .
czyli o .
O tyle samo zmalała więc energia potencjalna. Znaczy to, że wielkość
O tyle samo zmalała więc energia potencjalna. Znaczy to, że wielkość
W
W
określa
określa
nam
nam
zmianę energii potencjalnej
zmianę energii potencjalnej
spadającego ciała,
spadającego ciała,
h
mg
W
h
mg
E
p
nie mówi natomiast jaka jest wartość tej energii na wysokości początkowej oraz
nie mówi natomiast jaka jest wartość tej energii na wysokości początkowej oraz
końcowej. O wartości energii potencjalnej jakiegoś ciała możemy sensownie
końcowej. O wartości energii potencjalnej jakiegoś ciała możemy sensownie
mówić dopiero gdy ustalimy sobie jakąś wysokość odniesienia ,
mówić dopiero gdy ustalimy sobie jakąś wysokość odniesienia ,
h
h
o
o
, względem
, względem
której będziemy określali wszelkie zmiany wysokości . Wysokością odniesienia
której będziemy określali wszelkie zmiany wysokości . Wysokością odniesienia
może być np: poziom morza, lokalny poziom ulicy, poziom podłogi w pokoju itp.
może być np: poziom morza, lokalny poziom ulicy, poziom podłogi w pokoju itp.
h
mg
E
p
Formuła
Formuła
jest dobrym przybliżeniem np. w pobliżu powierzchni
jest dobrym przybliżeniem np. w pobliżu powierzchni
Ziemi gdy
Ziemi gdy
h << R
h << R
Z
Z
. Natomiast dla dowolnych wartości zmianę
. Natomiast dla dowolnych wartości zmianę
energii potencjalnej opisuje ogólniejsza formuła:
energii potencjalnej opisuje ogólniejsza formuła:
1
2
r
r
h
2
1
p
r
1
r
1
GMm
E
Sprawdzimy więc poprawność naszego przybliżenia.
Sprawdzimy więc poprawność naszego przybliżenia.
Oznaczmy sobie r
Oznaczmy sobie r
1
1
= r, zaś r
= r, zaś r
2
2
= r +
= r +
h. Podstawiamy te wielkości do formuły (*)
h. Podstawiamy te wielkości do formuły (*)
i wykonujemy działanie w nawiasie;
i wykonujemy działanie w nawiasie;
(*)
(*)
)
h
r
(
r
r
)
h
r
(
GMm
)
h
r
(
1
r
1
GMm
Gdy to możliwe jest przybliżenie . .
Gdy to możliwe jest przybliżenie . .
Wówczas mamy
Wówczas mamy
r
h
2
r
)
h
r
(
r
h
mg
h
r
GM
m
)
h
r
(
r
r
)
h
r
(
GMm
2
Aby określić jednoznacznie wartość energii potencjalnej dla
Aby określić jednoznacznie wartość energii potencjalnej dla
dowolnych odległości
dowolnych odległości
od centrum masy
od centrum masy
M
M
umówiono się
umówiono się
,
,
że rolę „wysokości
że rolę „wysokości
odniesienia” będzie
odniesienia” będzie
spełniała odległość początkowa r
spełniała odległość początkowa r
1
1
równa nieskończoności.
równa nieskończoności.
Odwrotność takiej wielkości, równa się wówczas zero.
Odwrotność takiej wielkości, równa się wówczas zero.
Tym samym wartość energii potencjalnej ciała o masie
Tym samym wartość energii potencjalnej ciała o masie
m
m
w polu
w polu
grawitacyjnym
grawitacyjnym
kulistej masy
kulistej masy
M
M
w odległości
w odległości
r = r
r = r
2
2
od jej środka wyniesie:
od jej środka wyniesie:
2
1
p
r
1
r
1
GMm
E
r
GMm
)
r
(
E
p
Według tak przyjętej konwencji energia potencjalna ciała w polu grawitacyjnym
Według tak przyjętej konwencji energia potencjalna ciała w polu grawitacyjnym
jest liczbą ujemną zaś jej
jest liczbą ujemną zaś jej
największa możliwa wartość
największa możliwa wartość
- dla odległości
- dla odległości
r
r
zmierzającej do nieskończoności -
zmierzającej do nieskończoności -
wynosi zero
wynosi zero
.
.
0
)
r
(
E
p
Niech nas nie zaskakuje to stwierdzenie gdyż
Niech nas nie zaskakuje to stwierdzenie gdyż
zero jest liczbą większą od każdej
zero jest liczbą większą od każdej
liczby ujemnej.
liczby ujemnej.
A więc ze wzrostem odległości
A więc ze wzrostem odległości
r
r
energia potencjalna rzeczywiście rośnie!
energia potencjalna rzeczywiście rośnie!
1
r
2
1
p
r
1
r
1
GMm
E
W
Zauważmy, że praca w polu grawitacyjnym:
Zauważmy, że praca w polu grawitacyjnym:
zależy jedynie od położenia początkowego
zależy jedynie od położenia początkowego
r
r
1
1
oraz końcowego r
oraz końcowego r
2
2
nie zaś od kształtu
nie zaś od kształtu
drogi między r
drogi między r
1
1
i r
i r
2
2
.
.
Gdy tor cząstki w polu grawitacyjnym jest
Gdy tor cząstki w polu grawitacyjnym jest
linią zamkniętą
linią zamkniętą
to całkowita praca
to całkowita praca
na takiej drodze
na takiej drodze
równa się zero!
równa się zero!
-----------------------------------------------------------------------------------------
Wielkość: nazywamy
Wielkość: nazywamy
POTENCJAŁEM
POTENCJAŁEM
pola w punkcie r.
pola w punkcie r.
r
GM
m
)
r
(
E
:
)
r
(
V
p
def
Energia potencjalna charakteryzuje cząstkę w polu
Energia potencjalna charakteryzuje cząstkę w polu
grawitacyjnym zaś
grawitacyjnym zaś
potencjał charakteryzuje samo pole grawitacyjne w punkcie
potencjał charakteryzuje samo pole grawitacyjne w punkcie
r.
r.
Jednostką potencjału grawitacyjnego jest
Jednostką potencjału grawitacyjnego jest
[dżul/kg = m
[dżul/kg = m
2
2
/s
/s
2
2
]
]
Zauważmy też, że pochodna potencjału:
Zauważmy też, że pochodna potencjału:
daje wektor natężenia pola grawitacyjnego.
daje wektor natężenia pola grawitacyjnego.
ZACHOWANIE ENERGII
ZACHOWANIE ENERGII
MECHANICZNEJ
MECHANICZNEJ
PRZY SPADKU SWOBODNYM W JEDNO-
PRZY SPADKU SWOBODNYM W JEDNO-
RODNYM POLU GRAWITACYJNYM.
RODNYM POLU GRAWITACYJNYM.
H
H
calk
p
2
k
E
mgH
E
0
2
mv
E
0
0
mg
E
E
2
mv
E
p
calk
2
k
V = 0
V = 0
h = 0
h = 0
p
kin
calk
E
E
E
d
d
h(t) = H – d(t)
h(t) = H – d(t)
Mamy tu ruch jednostajnie przyspieszony
Mamy tu ruch jednostajnie przyspieszony
ze stałym przyspieszeniem o wartości
ze stałym przyspieszeniem o wartości
g
g
t
g
)
t
(
v
2
gt
d
2
czyli energia całkowita nie jest tu
czyli energia całkowita nie jest tu
funkcją czasu!:
funkcją czasu!:
2
gt
2
H
)
t
(
h
2
t
g
p
2
2
m
mgH
)
t
(
E
2
t
g
k
2
2
m
)
t
(
E
.
const
mgH
m
mgH
m
)
t
(
E
)
t
(
E
E
2
t
g
2
t
g
p
kin
calk
2
2
2
2
(1)
(1)
(2)
(2)
(3)
(3)
(4)
(4)
J. Sikorski, IFD
J. Sikorski, IFD
Uniwersytet Gdański
Uniwersytet Gdański