02

02

RUCH JEDNOSTAJNY PO OKRĘGU

RUCH JEDNOSTAJNY PO OKRĘGU

Ruch jednostajny po okręgu należy do klasy ruchów krzywoliniowych ze stałą

Ruch jednostajny po okręgu należy do klasy ruchów krzywoliniowych ze stałą

szybkością i zmiennym w czasie kierunkiem wektora prędkości. Wektor ten jest

szybkością i zmiennym w czasie kierunkiem wektora prędkości. Wektor ten jest

w każdym punkcie styczny do toru ruchu I prostopadły do wektora chwilowego

w każdym punkcie styczny do toru ruchu I prostopadły do wektora chwilowego

położenia będącego promieniem okręgu.

położenia będącego promieniem okręgu.

v

r

2

T





Okres obiegu

Okres obiegu:

T

1









 r

2

v

Częstotliwość:

Częstotliwość:

t







Szybkość kątową definiujemy:

Szybkość kątową definiujemy:

T

2





v

r

2

T





lub

lub

Ponieważ

Ponieważ

[s

[s

-1

-1

]

]

to

to

r

r

T

2

v









Pamiętając, że mamy tu jednak wielkości wektorowe musimy zapisać powyższy

Pamiętając, że mamy tu jednak wielkości wektorowe musimy zapisać powyższy

związek jako iloczyn wektorowy:

związek jako iloczyn wektorowy:

Wektor prędkości kątowej - - jest prostopadły do płaszczyzny

Wektor prędkości kątowej - - jest prostopadły do płaszczyzny

okręgu i leży na osi przechodzącej przez jego środek.

okręgu i leży na osi przechodzącej przez jego środek.





Wektor przyspieszenia dośrodkowego, , ma – dla ruchu jednostajnego po

Wektor przyspieszenia dośrodkowego, , ma – dla ruchu jednostajnego po

okręgu – w każdym punkcie kierunek zgodny z kierunkiem promienia okręgu i

okręgu – w każdym punkcie kierunek zgodny z kierunkiem promienia okręgu i

zwrot skierowany do środka okręgu

zwrot skierowany do środka okręgu

r

a



r

v

v

r

v

r

v

a

2

2

r













Wartość przyspieszenia dośrodkowego:

Wartość przyspieszenia dośrodkowego:

W zapisie wektorowym mamy:

W zapisie wektorowym mamy:

(Znak minus oznacza, że wektor

a

r

jest przeciwnie skierowany niż wektor

r

)

Ilustracja pokazująca dlaczego wektor jest skierowany wzdłuż

Ilustracja pokazująca dlaczego wektor jest skierowany wzdłuż

promienia okręgu w kierunku jego środka.

promienia okręgu w kierunku jego środka.

Im mniejszy kąt

Im mniejszy kąt





tym idealniej pokrywa się wektor

tym idealniej pokrywa się wektor





V

V

z promieniem

z promieniem

okręgu

okręgu

r

r

.

.

r

mv

F

2

r



Zgodnie z II zasadą dynamiki przyspieszenie dośrodkowe ciała w ruchu po

Zgodnie z II zasadą dynamiki przyspieszenie dośrodkowe ciała w ruchu po

okręgu związane jest z istnieniem siły – „siły dośrodkowej”.

okręgu związane jest z istnieniem siły – „siły dośrodkowej”.

Siłą dośrodkową

Siłą dośrodkową

jest w tym przykładzie

jest w tym przykładzie

siła reakcji

siła reakcji

sznurka.

sznurka.

Zgodnie z trzecią zasadą dynamiki

Zgodnie z trzecią zasadą dynamiki

Newtona,

Newtona,

jeśli na kamień działa za pośrednictwem

jeśli na kamień działa za pośrednictwem

naprężonego sznurka siła dośrodkowa

naprężonego sznurka siła dośrodkowa

F

F

r

r

to również kamień działa na naszą rękę

to również kamień działa na naszą rękę

trzymającą drugi koniec sznurka z siłą

trzymającą drugi koniec sznurka z siłą

-F

-F

r

r

.

.

Pamiętajmy o różnych punktach

Pamiętajmy o różnych punktach

przyłoże-

przyłoże-

nia sił akcji i reakcji

nia sił akcji i reakcji

.

.

Przykład 1

Przykład 1

Przykład 2

Przykład 2

Ruch Księżyca (lub sztucznego satelity) po orbicie kołowej wokół Ziemi.

Ruch Księżyca (lub sztucznego satelity) po orbicie kołowej wokół Ziemi.

Rolę

Rolę

siły dośrodkowej

siły dośrodkowej

pełni w tym przypadku

pełni w tym przypadku

siła grawitacji

siła grawitacji

z jaką Ziemia

z jaką Ziemia

przyciąga obiegające ją ciała.

przyciąga obiegające ją ciała.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Przykład 3

Przykład 3

Ruch samochodu na zakręcie. Porusza się on po łuku będącym fragmentem okręgu

Ruch samochodu na zakręcie. Porusza się on po łuku będącym fragmentem okręgu

W tym przypadku rolę

W tym przypadku rolę

siły dośrodkowej

siły dośrodkowej

odgrywa

odgrywa

siła tarcia

siła tarcia

(tarcie opon kół toczących się po jezdni).

(tarcie opon kół toczących się po jezdni).

Siła tarcia zależy od siły nacisku (związanej z masą

Siła tarcia zależy od siły nacisku (związanej z masą

pojazdu) oraz od współczynnika tarcia. Tak więc przy

pojazdu) oraz od współczynnika tarcia. Tak więc przy

zbyt dużej prędkości

zbyt dużej prędkości

v

v

i przy małym promieniu

i przy małym promieniu

skrętu

skrętu

r

r

a dodatkowo przy tzw. „łysych oponach”

a dodatkowo przy tzw. „łysych oponach”

na mokrej jezdni siła tarcia może być zbyt mała w

na mokrej jezdni siła tarcia może być zbyt mała w

stosunku do wymaganej wartości .

stosunku do wymaganej wartości .

Wówczas samochód wypadnie z zakrętu.

Wówczas samochód wypadnie z zakrętu.

r

mv

2

Siła dośrodkowa a siła odśrodkowa.

Siła dośrodkowa a siła odśrodkowa.

Często myli się te dwa pojęcia – siły dośrodkowej oraz odśrodkowej – bowiem
zarówno wielkość siły dośrodkowej jak i odśrodkowej opisuje się takim samym wzorem
matematycznym

r

mv

2

Układ odniesienia związany z ciałem poruszającym się po okręgu jest

Układ odniesienia związany z ciałem poruszającym się po okręgu jest

układem nieinercjalnym.

układem nieinercjalnym.

Jego ruch po okręgu wymusza jakaś realna

Jego ruch po okręgu wymusza jakaś realna

siła dośrodkowa

siła dośrodkowa

.

.

Natomiast w opisie ruchu względem takiego układu odniesienia pojawia się siła

Natomiast w opisie ruchu względem takiego układu odniesienia pojawia się siła

o charakterze bezwładnościowym nazywana

o charakterze bezwładnościowym nazywana

SIŁĄ ODŚRODKOWĄ

SIŁĄ ODŚRODKOWĄ

o zwrocie

o zwrocie

przeciwnym do zwrotu siły dośrodkowej czyli

przeciwnym do zwrotu siły dośrodkowej czyli

Siła odśrodkowa jest siłą pozorną

Siła odśrodkowa jest siłą pozorną

wynikającą z faktu, że rozpatrujemy ruch względem

wynikającą z faktu, że rozpatrujemy ruch względem

nieinercjalnego układu odniesienia. Natomiast siła

nieinercjalnego układu odniesienia. Natomiast siła

dośrodkowa jest siłą realną

dośrodkowa jest siłą realną

i

i

występuje w układzie inercjalnym (np. nieruchomym) ,względem którego analizowany

występuje w układzie inercjalnym (np. nieruchomym) ,względem którego analizowany

obiekt porusza się po okręgu lub innym torze krzywoliniowym.

obiekt porusza się po okręgu lub innym torze krzywoliniowym.

Natura siły odśrodkowej jest taka sama jak siły bezwładności pojawiającej się przy

Natura siły odśrodkowej jest taka sama jak siły bezwładności pojawiającej się przy

niejednostajnym ruchu prostoliniowym, np. w układzie związanym z hamującym lub

niejednostajnym ruchu prostoliniowym, np. w układzie związanym z hamującym lub

przyspieszającym pojazdem na prostej ulicy.

przyspieszającym pojazdem na prostej ulicy.

Rotacja Ziemi wokół osi powoduje, że każde ciało leżące na jej powierzchni

Rotacja Ziemi wokół osi powoduje, że każde ciało leżące na jej powierzchni

znajduje się w nieinercjalnym układzie odniesienia i w związku z tym

znajduje się w nieinercjalnym układzie odniesienia i w związku z tym

„odczuwa” działanie siły odśrodkowej. Siła odśrodkowa zmniejsza nieco

„odczuwa” działanie siły odśrodkowej. Siła odśrodkowa zmniejsza nieco

wartość siły ciężkości dla ciał na powierzchni Ziemi – najbardziej na równiku.

wartość siły ciężkości dla ciał na powierzchni Ziemi – najbardziej na równiku.

Zgodnie z trzecią zasadą dynamiki Newtona oddziaływania między

Zgodnie z trzecią zasadą dynamiki Newtona oddziaływania między

różnymi obiektami są zawsze wzajemne. Działanie siłą jednego ciała

różnymi obiektami są zawsze wzajemne. Działanie siłą jednego ciała

na drugie może odbywać się np. poprzez wzajemny bezpośredni kontakt.

na drugie może odbywać się np. poprzez wzajemny bezpośredni kontakt.

Na co dzień obserwujemy wiele takich sytuacji.

Na co dzień obserwujemy wiele takich sytuacji.

Istnieją jednak w przyrodzie oddziaływania nie wymagające wzajemnego

Istnieją jednak w przyrodzie oddziaływania nie wymagające wzajemnego

bezpośredniego kontaktu – czyli

bezpośredniego kontaktu – czyli

oddziaływania na odległość

oddziaływania na odległość

.

.

Fizycy do opisu obserwowanych w naturze zjawisk wprowadzili cztery

Fizycy do opisu obserwowanych w naturze zjawisk wprowadzili cztery

podstawowe rodzaje oddziaływań tego typu:

podstawowe rodzaje oddziaływań tego typu:

- grawitacyjne,

- grawitacyjne,

- elektromagnetyczne,

- elektromagnetyczne,

- silne (jądrowe),

- silne (jądrowe),

- słabe.

- słabe.

Do opisu oddziaływań na odległość używa się pojęcia

Do opisu oddziaływań na odległość używa się pojęcia

POLA

POLA

.

.

O D D Z I A Ł Y W A N I A

O D D Z I A Ł Y W A N I A

ODDZIAŁYWANIA GRAWITACYJNE

ODDZIAŁYWANIA GRAWITACYJNE

Pole grawitacyjne

Pole grawitacyjne

- obszar przestrzeni, w którym na każde ciało o masie

m

działa siła, nawet wtedy gdy nie jest ono w bezpośrednim kontakcie z żadnym
innym ciałem.

Pole grawitacyjne wytwarza wokół siebie każde ciało mające masę

Pole grawitacyjne wytwarza wokół siebie każde ciało mające masę

.

.

Jeśli w pewnej odległości od siebie znajdą się dwie masy to każda z nich –

Jeśli w pewnej odległości od siebie znajdą się dwie masy to każda z nich –

wytwarzając wokół siebie pole grawitacyjne – oddziałuje na tą drugą.

wytwarzając wokół siebie pole grawitacyjne – oddziałuje na tą drugą.

Zgodnie z III zasadą dynamiki oddziaływanie grawitacyjne dwóch mas jest

Zgodnie z III zasadą dynamiki oddziaływanie grawitacyjne dwóch mas jest

Wzajemne.

Wzajemne.

Wartość siły grawitacyjnej

Wartość siły grawitacyjnej

F

F

g

g

z jaką przyciągają się dwa ciała o masach

z jaką przyciągają się dwa ciała o masach

m

m

1

1

i

i

m

m

2

2

w odległości

w odległości

r

r

od siebie wyraża się :

od siebie wyraża się :

2

2

1

g

r

m

m

G

F 

gdzie

G

G to tzw.

stała grawitacji

stała grawitacji równa

G=6.67*10-

G=6.67*10-

11

11

Nm

Nm

2

2

/kg

/kg

2

2

.

PRAWO POWSZECHNEGO CIĄŻENIA

PRAWO POWSZECHNEGO CIĄŻENIA

(1)

(1)

Wektor siły grawitacji

Wektor siły grawitacji

działającej pomiędzy masami m

działającej pomiędzy masami m

1

1

i m

i m

2

2

leży na prostej

leży na prostej

łączącej obie masy.

łączącej obie masy.

Wzór Newtona (1) stosuje się w zasadzie dla tzw. punktów materialnych

Wzór Newtona (1) stosuje się w zasadzie dla tzw. punktów materialnych

.

Formułę Newtona można także stosować dla mas kulistych o jednorodnej gęstości
wewnętrznej lub gdy rozkład gęstości wewnątrz kuli jest sferycznie symetryczny.
W takim przypadku odległość r oznacza odległość pomiędzy środkami kul

(KONWENCJA ZNAKÓW I ZWROTÓW)

(KONWENCJA ZNAKÓW I ZWROTÓW)

Nie wolno stosować prawa powszechnego ciążenia w
postaci (1) dla mas (nawet sferycznie symetrycznych)
umieszczonych jedna wewnątrz drugiej tak jak na rysunku.
Odległość między środkami tych ciał wynosi tu zero.
Jeśli zastosujemy wprost wzór (1) to otrzymamy absur-
dalny wynik sugerujący nieskończenie wielką siłę
przyciągania.
Tymczasem sumaryczna siła grawitacji działająca na
wewnętrzną masę kulistą m

1

i powodowana przez

oddziaływanie z otaczającą ją warstwą sferyczną o masie
m

2

wynosi zero .

Wyjaśnia to drugi rysunek.
Masa wewnętrzna m

1

jest przyciągana z każdego

kierunku zawsze przez dwie identyczne masy m
z identyczną wartością sił grawitacji lecz przeciwnie
skierowanych.
Suma sił grawitacyjnego przyciągania działających na
masę m

1

wynosi więc zero.

UWAGA!!!

UWAGA!!!

Przyspieszenie grawitacyjne,

Przyspieszenie grawitacyjne,

g,

g,

w kulistosymetrycznym polu grawwitacyjnym –

w kulistosymetrycznym polu grawwitacyjnym –

np: wokół Ziemi o masie

np: wokół Ziemi o masie

M

M

Z

Z

w odległosci

w odległosci

r

r

od jej środka

od jej środka

Z

R

r 

Przyspieszenie grawitacyjne jest

Przyspieszenie grawitacyjne jest wielkością wektorową

wielkością wektorową

.

.

Dla dowolnej masy kulistej

Dla dowolnej masy kulistej M

M

o promieniu

o promieniu

R

wektor

wektor

skierowany jest do środka tej kuli a jego wartość

skierowany jest do środka tej kuli a jego wartość

maleje z kwadratem odległości r od tego środka

maleje z kwadratem odległości r od tego środka

.

.

g



Wielkość jako wartość przyspieszenia

Wielkość jako wartość przyspieszenia

grawitacyjnego ma wymiar

grawitacyjnego ma wymiar

[metr/s

[metr/s

2

2

],

],

Można także – patrząc na tą formułę powiedzieć, że wielkość

Można także – patrząc na tą formułę powiedzieć, że wielkość

g

g

ma

ma

wymiar

wymiar

czyli wymiar

czyli wymiar

siły liczonej

siły liczonej

na jednostkową masę

na jednostkową masę

.

.

2

g

r

GM

m

F

g





]

kg

[

]

N

[

]

s

/

metr

[

]

kg

[

]

s

/

metr

kg

[

]

kg

[

]

N

[

2

2







Wielkość wektorową o wartości identycznej jak wartość przyspie-

Wielkość wektorową o wartości identycznej jak wartość przyspie-

szenia grawitacyjnego

szenia grawitacyjnego

g

g

nazywa się

nazywa się

NATĘŻENIEM POLA GRAWITACYJNEGO

NATĘŻENIEM POLA GRAWITACYJNEGO

w odległoci

w odległoci

r

r

od środka kulistej masy

od środka kulistej masy

M

M

Czyli: przyspieszenie

Czyli: przyspieszenie

g

g

dotyczy cząstki o masie

dotyczy cząstki o masie

m

m

umieszczonej w polu

umieszczonej w polu

grawitacyjnym masy

grawitacyjnym masy

M

M

natomiast natężenie pola,

natomiast natężenie pola,





, dotyczy samego

, dotyczy samego

pola grawitacyjnego wokół masy

pola grawitacyjnego wokół masy

M

M

w odległości

w odległości

r

r

od jej środka.

od jej środka.

ENERGIA POTENCJALNA CIĘŻKOŚCI

ENERGIA POTENCJALNA CIĘŻKOŚCI

Aby podnieść jakiś obiekt o masie

Aby podnieść jakiś obiekt o masie

m

m

na pewną wysokość

na pewną wysokość





h

h

musimy wykonać

musimy wykonać

pracę. Musimy na ten obiekt działać siłą pokonując siłę ciążenia o wartości

pracę. Musimy na ten obiekt działać siłą pokonując siłę ciążenia o wartości

mg

mg

.

.

Z kolei gdy podniesione wcześniej na wysokość

Z kolei gdy podniesione wcześniej na wysokość





h

h

ciało spadnie to wówczas siła

ciało spadnie to wówczas siła

ziemskiego przyciągania działająca na drodze

ziemskiego przyciągania działająca na drodze





h

h

wykona taką samą co do

wykona taką samą co do

wartości pracę (której jednak przypisujemy przeciwny do poprzedniego znak).

wartości pracę (której jednak przypisujemy przeciwny do poprzedniego znak).

Z definicji praca wyraża się

Z definicji praca wyraża się

W pobliżu powierzchni Ziemi dla małych wartości

W pobliżu powierzchni Ziemi dla małych wartości





h << R

h << R

Z

Z

będzie to :

będzie to :

Mówiąc inaczej, gdy ciało o masie

Mówiąc inaczej, gdy ciało o masie

m

m

leży spokojnie na jakiejś wysokości

leży spokojnie na jakiejś wysokości

h

h

o

o

w polu

w polu

grawitacyjnym to istnieje

grawitacyjnym to istnieje

potencjalna możliwość

potencjalna możliwość

, że jeśli ono spadnie z wysokości

, że jeśli ono spadnie z wysokości

h

h

o

o

na wysokość

na wysokość

h

h

1

1

pod wpływem siły ciężkości to zostanie przez tą siłę wykonana

pod wpływem siły ciężkości to zostanie przez tą siłę wykonana

pewna praca

pewna praca

W

W

.

.

Tą „

Tą „

potencjalną możliwość

potencjalną możliwość

” wykonania pracy wyraża ilościowo wielkość zwana

” wykonania pracy wyraża ilościowo wielkość zwana

energią

energią

potencjalną ciężkości E

potencjalną ciężkości E

p

p

.

.

Dlatego praca oraz energia wyraża się w tych samych jednostkach – w

Dlatego praca oraz energia wyraża się w tych samych jednostkach – w

dżulach

dżulach

(

(

1dżul = 1N * 1m = kg*m

1dżul = 1N * 1m = kg*m

2

2

/s

/s

2

2

).

).

Wykonana przez siłę ciężkości praca

Wykonana przez siłę ciężkości praca

W

W

zależy od

zależy od

zmiany wysokości

zmiany wysokości

,

,





h

h

a nie od bezwzględnej wartości wysokości początkowej lub końcowej.

a nie od bezwzględnej wartości wysokości początkowej lub końcowej.

Gdy analizowane ciało znajdowało się najpierw na jakiejś wysokości początkowej

Gdy analizowane ciało znajdowało się najpierw na jakiejś wysokości początkowej

to miało jakąś energię potencjalną

to miało jakąś energię potencjalną

E

E

p

p

. Była potencjalna możliwość wykonania

. Była potencjalna możliwość wykonania

pewnej pracy. Po spadku o wartość

pewnej pracy. Po spadku o wartość





h

h

potencjalna możliwość wykonania pracy

potencjalna możliwość wykonania pracy

zmalała o wartość pracy już wykonanej na drodze

zmalała o wartość pracy już wykonanej na drodze





h

h

czyli o .

czyli o .

O tyle samo zmalała więc energia potencjalna. Znaczy to, że wielkość

O tyle samo zmalała więc energia potencjalna. Znaczy to, że wielkość

W

W

określa

określa

nam

nam

zmianę energii potencjalnej

zmianę energii potencjalnej

spadającego ciała,

spadającego ciała,

h

mg

W







h

mg

E

p









nie mówi natomiast jaka jest wartość tej energii na wysokości początkowej oraz

nie mówi natomiast jaka jest wartość tej energii na wysokości początkowej oraz

końcowej. O wartości energii potencjalnej jakiegoś ciała możemy sensownie

końcowej. O wartości energii potencjalnej jakiegoś ciała możemy sensownie

mówić dopiero gdy ustalimy sobie jakąś wysokość odniesienia ,

mówić dopiero gdy ustalimy sobie jakąś wysokość odniesienia ,

h

h

o

o

, względem

, względem

której będziemy określali wszelkie zmiany wysokości . Wysokością odniesienia

której będziemy określali wszelkie zmiany wysokości . Wysokością odniesienia

może być np: poziom morza, lokalny poziom ulicy, poziom podłogi w pokoju itp.

może być np: poziom morza, lokalny poziom ulicy, poziom podłogi w pokoju itp.

h

mg

E

p









Formuła

Formuła

jest dobrym przybliżeniem np. w pobliżu powierzchni

jest dobrym przybliżeniem np. w pobliżu powierzchni

Ziemi gdy

Ziemi gdy





h << R

h << R

Z

Z

. Natomiast dla dowolnych wartości zmianę

. Natomiast dla dowolnych wartości zmianę

energii potencjalnej opisuje ogólniejsza formuła:

energii potencjalnej opisuje ogólniejsza formuła:

1

2

r

r

h

























2

1

p

r

1

r

1

GMm

E

Sprawdzimy więc poprawność naszego przybliżenia.

Sprawdzimy więc poprawność naszego przybliżenia.

Oznaczmy sobie r

Oznaczmy sobie r

1

1

= r, zaś r

= r, zaś r

2

2

= r +

= r +





h. Podstawiamy te wielkości do formuły (*)

h. Podstawiamy te wielkości do formuły (*)

i wykonujemy działanie w nawiasie;

i wykonujemy działanie w nawiasie;

(*)

(*)











































)

h

r

(

r

r

)

h

r

(

GMm

)

h

r

(

1

r

1

GMm

Gdy to możliwe jest przybliżenie . .

Gdy to możliwe jest przybliżenie . .

Wówczas mamy

Wówczas mamy

r

h



2

r

)

h

r

(

r







h

mg

h

r

GM

m

)

h

r

(

r

r

)

h

r

(

GMm

2































Aby określić jednoznacznie wartość energii potencjalnej dla

Aby określić jednoznacznie wartość energii potencjalnej dla

dowolnych odległości

dowolnych odległości

od centrum masy

od centrum masy

M

M

umówiono się

umówiono się

,

,

że rolę „wysokości

że rolę „wysokości

odniesienia” będzie

odniesienia” będzie

spełniała odległość początkowa r

spełniała odległość początkowa r

1

1

równa nieskończoności.

równa nieskończoności.

Odwrotność takiej wielkości, równa się wówczas zero.

Odwrotność takiej wielkości, równa się wówczas zero.

Tym samym wartość energii potencjalnej ciała o masie

Tym samym wartość energii potencjalnej ciała o masie

m

m

w polu

w polu

grawitacyjnym

grawitacyjnym

kulistej masy

kulistej masy

M

M

w odległości

w odległości

r = r

r = r

2

2

od jej środka wyniesie:

od jej środka wyniesie:



















2

1

p

r

1

r

1

GMm

E

r

GMm

)

r

(

E

p





Według tak przyjętej konwencji energia potencjalna ciała w polu grawitacyjnym

Według tak przyjętej konwencji energia potencjalna ciała w polu grawitacyjnym

jest liczbą ujemną zaś jej

jest liczbą ujemną zaś jej

największa możliwa wartość

największa możliwa wartość

- dla odległości

- dla odległości

r

r

zmierzającej do nieskończoności -

zmierzającej do nieskończoności -

wynosi zero

wynosi zero

.

.

0

)

r

(

E

p







Niech nas nie zaskakuje to stwierdzenie gdyż

Niech nas nie zaskakuje to stwierdzenie gdyż

zero jest liczbą większą od każdej

zero jest liczbą większą od każdej

liczby ujemnej.

liczby ujemnej.

A więc ze wzrostem odległości

A więc ze wzrostem odległości

r

r

energia potencjalna rzeczywiście rośnie!

energia potencjalna rzeczywiście rośnie!





1

r





















2

1

p

r

1

r

1

GMm

E

W

Zauważmy, że praca w polu grawitacyjnym:

Zauważmy, że praca w polu grawitacyjnym:

zależy jedynie od położenia początkowego

zależy jedynie od położenia początkowego

r

r

1

1

oraz końcowego r

oraz końcowego r

2

2

nie zaś od kształtu

nie zaś od kształtu

drogi między r

drogi między r

1

1

i r

i r

2

2

.

.

Gdy tor cząstki w polu grawitacyjnym jest

Gdy tor cząstki w polu grawitacyjnym jest

linią zamkniętą

linią zamkniętą

to całkowita praca

to całkowita praca

na takiej drodze

na takiej drodze

równa się zero!

równa się zero!

-----------------------------------------------------------------------------------------

Wielkość: nazywamy

Wielkość: nazywamy

POTENCJAŁEM

POTENCJAŁEM

pola w punkcie r.

pola w punkcie r.

r

GM

m

)

r

(

E

:

)

r

(

V

p

def







Energia potencjalna charakteryzuje cząstkę w polu

Energia potencjalna charakteryzuje cząstkę w polu

grawitacyjnym zaś

grawitacyjnym zaś

potencjał charakteryzuje samo pole grawitacyjne w punkcie

potencjał charakteryzuje samo pole grawitacyjne w punkcie

r.

r.

Jednostką potencjału grawitacyjnego jest

Jednostką potencjału grawitacyjnego jest

[dżul/kg = m

[dżul/kg = m

2

2

/s

/s

2

2

]

]

Zauważmy też, że pochodna potencjału:

Zauważmy też, że pochodna potencjału:

daje wektor natężenia pola grawitacyjnego.

daje wektor natężenia pola grawitacyjnego.

ZACHOWANIE ENERGII

ZACHOWANIE ENERGII

MECHANICZNEJ

MECHANICZNEJ

PRZY SPADKU SWOBODNYM W JEDNO-

PRZY SPADKU SWOBODNYM W JEDNO-

RODNYM POLU GRAWITACYJNYM.

RODNYM POLU GRAWITACYJNYM.

H

H

calk

p

2

k

E

mgH

E

0

2

mv

E









0

0

mg

E

E

2

mv

E

p

calk

2

k











V = 0

V = 0

h = 0

h = 0

p

kin

calk

E

E

E





d

d

h(t) = H – d(t)

h(t) = H – d(t)

Mamy tu ruch jednostajnie przyspieszony

Mamy tu ruch jednostajnie przyspieszony

ze stałym przyspieszeniem o wartości

ze stałym przyspieszeniem o wartości

g

g

t

g

)

t

(

v





2

gt

d

2



czyli energia całkowita nie jest tu

czyli energia całkowita nie jest tu

funkcją czasu!:

funkcją czasu!:

2

gt

2

H

)

t

(

h





2

t

g

p

2

2

m

mgH

)

t

(

E





2

t

g

k

2

2

m

)

t

(

E



.

const

mgH

m

mgH

m

)

t

(

E

)

t

(

E

E

2

t

g

2

t

g

p

kin

calk

2

2

2

2



















(1)

(1)

(2)

(2)

(3)

(3)

(4)

(4)

J. Sikorski, IFD

J. Sikorski, IFD

Uniwersytet Gdański

Uniwersytet Gdański