Metodologia a
statystyka

Zmienna losowa



Zmienne które mierzymy w badaniach, to zmienne
losowe. Przed wykonaniem pomiaru nie wiemy,
jaka będzie jej wartość, ale prawdopodobieństwo
wylosowania z populacji różnych wartości może
być różne. Prawdopodobieństwo to określone jest
przez rozkład zmiennej w populacji



Populacja: zbór wszystkich elementów podlegających
badaniu statystycznemu (np. wszystkich ludzi albo
wszystkich wyników pomiaru inteligencji testem
Wechslera)



Próba losowa: podzbiór elementów wylosowanych z
populacji

Rozkład zmiennej



Pojęcie rozkładu zmiennej

Prawdopodobieństwo / częstość wystąpienia

poszczególnych wartości zmiennej



Dla zmiennych dwuwartościowych będzie to
prawdopodobieństwo wystąpienia każdej
wartości, np. orzeł i reszka w rzucie monetą
(jeżeli moneta jest „prawdziwa”, to p(o) = p(r) =
0,5), albo proporcja płci w całej populacji
Europejskiej (p(m)=0,48, p(k)=0,52). Są to tzw.
rozkłady dwumianowe.

Rozkład płci w populacji
europejskiej

Rozkłady dla zmiennych
wielowartościowych i ciągłych



Wraz ze wzrostem liczby możliwych
wartości zmiennej rozkład zazwyczaj
przestaje mieć charakter liniowy

Rozkład płci w populacji
europejskiej

Rozkład liczby dziewcząt w
rodzinach z 6 dzieci

Rozkład normalny



W miarę jak rośnie liczba wartości (np.
wielkość rodziny w której badamy liczbę
córek), rozkład dąży do pewnego
idealnego rozkładu ciągłego. Dla
rozkładów olbrzymiej większości
zmiennych losowych przybliżeniem jest
rozkład normalny, w którym
prawdopodobieństwo odpowiada części
powierzchni pod krzywą Gaussa (krzywą
dzwonową)

Rozkład normalny II



Rozkład normalny jest
symetryczny, średnia (μ)
jest zarazem modalną i
medianą, a
prawdopodobieństwo
wyznaczane jest przez
odległość od średniej w
jednostkach odchylenia
standardowego (σ), np.
w odległości 2 odchyleń
od średniej mieści się
95,6% wszystkich
przypadków

Najważniejsze parametry
rozkładu



Kształt (ciągły/nieciągły,
symetryczny/niesymetryczny,
jednomodalny/wielomodalny,
płaski/spiczasty)



Miary położenia centralnego: średnia,
mediana, modalna



Miary rozrzutu: wariancja, odchylenie
standardowe

Próba reprezentatywna



To próba, której właściwości (częstości,
średnia, rozrzut wyników itp.) są
dobrym przybliżeniem parametrów
rozkładu w populacji
Np.:



kobiety stanowią ok. 52% próby



średnia wynik w teście inteligencji w próbie
wynosi ok. 100, a odchylenie standardowe
ok. 10

Jak uzyskać próbę
reprezentatywną



Można ją dobrać celowo, ale do tego trzeba

znać parametry rozkładu w populacji, a to jest

spełnione tylko dla nielicznych zmiennych



Można ją wybrać losowo, ponieważ PRAWO

WIELKICH LICZB mówi, że

wraz ze wzrostem

liczebności próby jej właściwości dążą do

parametrów rozkładu w populacji

. Tak więc

dostatecznie duża próba będzie przybliżeniem

rozkładu w populacji



Co to znaczy dostatecznie duża próba?



Jak dobrym przybliżeniem rozkładu w populacji jest

próba?

Duża próba



Brak jednoznacznego kryterium określającego, co to jest

dostatecznie duża próba, ponieważ zależy to



Od właściwości rozkładu w populacji, zwłaszcza rozrzutu

(wariancji). Im większa wariancja, tym większa próba będzie

potrzebna



Od celu badania – czy jest nim dokładne poznanie

parametrów rozkładu w populacji, czy tylko ogólnych

tendencji (np. kierunku różnic w zależności od innej

zmiennej)



Wielkości dopuszczalnego błędu



W badaniach eksperymentalnych często wystarcza próba ok. 24

osób



W sondażach preferencji politycznych (zakładany dopuszczalny

błąd ok. 3%) bada się zwykle próby ok. 1000 osób



Przy normalizacji testów psychologicznych próby mogą liczyć

nawet kilka lub kilkanaście tysięcy osób

Reprezentatywność próby
losowej



Próba losowa prawie nigdy nie będzie dokładnym

obrazem populacji



Prawdopodobieństwo tego, na ile dana właściwość próby

(np. średnia) odpowiada parametrowi rozkładu w

populacji, jest wyznaczane przez

rozkład z próby

, czyli

teoretyczny rozkład nieskończonej liczby losowań próby

o zadanej wielkości (N) z danej populacji. Rozkład z próby

zależy m. in. od wielkości próby i wariancji zmiennej w

populacji



Zgodnie z CENTRALNYM TWIERDZENIEM

GRANICZNYM

wraz ze wzrostem liczebności próby

rozkład z próby dąży do rozkładu normalnego o średniej

równej średniej (proporcji) w populacji i wariancji równej

wariancji w populacji podzielonej przez pierwiastek z

liczebności próby

Konsekwencje Centralnego
Twierdzenia Granicznego



Jeżeli próba jest dostatecznie duża, to
nawet nie znając rozkładu w populacji (i
bez względu na jego kształt) możemy
przybliżyć rozkład z próby i określić
prawdopodobieństwo losowego błędu
oszacowania opartego na tej próbie.
Wykorzystano to w konstrukcji wielu
testów statystycznych.

Wariancja



Wariancja jest parametrem rozkładu, który
określa rozrzut wartości zmiennej



Dla zmiennych przedziałowych wariancja
określona jest wzorem



Pierwiastek kwadratowy z wariancji nazywa
się odchyleniem standardowym, które jest
wygodną miarą przeciętnego odchylenia
wartości zmiennej od średniej w populacji

Podział wariancji na składniki



Wartość większości zmiennych wyznaczana jest przez

wiele czynników (dlatego też wiele zmiennych z mocy

Centralnego Twierdzenia Granicznego ma rozkład

normalny), przez co wartości zmiennej są zróżnicowane

(wariancja)



Typowa hipoteza badawcza mówi o tym, że część

wariancji zmiennej można wyjaśnić wariancją jednego

lub kilku wyróżnionych czynników – innych zmiennych

kontrolowanych w badaniu



Celem procedur statystycznych jest oddzielenie wariancji

wyjaśnionej przez inne kontrolowane zmienne (np.

zmienne niezależne) od wariancji powodowanej przez

czynniki niekontrolowane, czyli losowe, czyli od tzw.

wariancji niewyjaśnionej lub wariancji błędu

Podział wariancji, c.d.



W eksperymencie



wariancja wewnątrz grup pochodzi wyłącznie ze źródeł

losowych (niekontrolowanych; wariancja błędu) – o ile

spełniony został warunek randomizacji II



na różnice między grupami składa się przede wszystkim

wariancja wyjaśniona zmienną(-ymi) niezależną(-ymi)

oraz w pewnym (możliwym do oszacowania) stopniu

wariancja błędu



W schematach korelacyjnych obliczany jest zazwyczaj

współczynnik korelacji - miara tego, w jakim stopniu

zmiana wartości jednej zmiennej wiąże się z odpowiednią

zmianą wartości innej zmiennej. Najbardziej typowy

współczynnik korelacji r Pearsona podniesiony do

kwadratu określa proporcję wariancji wspólnej zmiennych

(wariancji wyjaśnionej)

Test statystyczny



Test statystyczny to oszacowanie prawdopodobieństwa, że uzyskany

wynik (np. różnica między grupą eksperymentalną i kontrolną, albo

korelacja między dwoma zmiennymi) powstał w wyniku błędu losowego



Do oszacowania tego prawdopodobieństwa trzeba znać niektóre

parametry rozkładu zmiennej (np. częstość występowania danej

wartości, tak jak w rozkładzie płci, średnią, wariancję i in.). Wariancję

błędu można oszacować na podstawie wariancji w próbie, wtedy jednak

nie można już wykorzystać próby do oszacowania innych parametrów

populacji (oszacowania nie byłyby niezależne - raz popełniony błąd

byłby „dziedziczony” w kolejnych obliczeniach). Zauważmy jednak, że

hipotezy badawcze przewidują istnienie różnic między grupami

eksperymentalnymi lub niezerową korelację między zmiennymi. Jeżeli

założymy, że wartość zmiennej niezależnej nie różnicuje wartości

zmiennej zależnej w populacji (albo, że w populacji nie ma korelacji

między zmiennymi), to ewentualne różnice między grupami (lub

korelacja) w przeprowadzonym badaniu wynikają wyłącznie z błędu

losowego. Jeżeli założenie o braku różnic (korelacji) nazywane hipotezą

zerową jest prawdziwe, to rozkład różnic (korelacji) jest rozkładem z

próby o średniej 0 (z założenia) i wariancji oszacowanej jako wariancja

z próby podzielona przez pierwiastek z N-1 (Centralne Twierdzenie

Graniczne; N –liczebność próby; odejmujemy 1 bo nie mamy pełnego

zaufania do oszacowania). W ten sposób znamy rozkład dla hipotezy

zerowej i możemy określić prawdopodobieństwo tego, że uzyskany

wynik pochodzi z tego rozkładu. Jeżeli prawdopodobieństwo to jest

niewielkie, to odrzucamy hipotezę zerową i tym samym, drogą

wnioskowania nie wprost przyjmujemy hipotezę badawczą

Test statystyczny c.d.



Co to znaczy niewielkie prawdopodobieństwo błędu?



Umowna wartość dopuszczalnego prawdopodobieństwa błędu

określa się jako poziom istotności testu. Najczęściej przyjmowany

jest poziom istotności alfa=0,05, ale zależy to między innymi od

celu badania, np. w badaniach eksploracyjnych lub pilotażowych

można zaakceptować wyższe prawdopodobieństwo błędu (np.

alfa=0,1), podczas gdy niektórych badaniach (np. przy

dopuszczaniu do użytku leków o silnym działaniu) przyjmuje się

bardziej restrykcyjny poziom istotności (np. 0,001)



Wynik, którego prawdopodobieństwo przy założeniu hipotezy

zerowej jest mniejsze od założonego poziomu istotności nazywamy

istotnym statystycznie. Wynik istotny statystycznie upoważnia do

odrzucenia hipotezy zerowej i pośrednio przyjęcia hipotezy

badawczej



Czasem wynik, dla którego prawdopodobieństwo losowego

uzyskania przekracza nieznacznie założony poziom istotności (np.

wynosi 0,08 przy alfa=0,05) nazywamy marginalnie istotnym, lub

istotnym na poziomie tendencji. Taki wynik nie upoważnia do

odrzucenia hipotezy zerowej, ale uzasadnia powtórzenie badania

np. z udziałem większej próby lub z poprawioną procedurą

Moc testu



Test statystyczny pozwala oszacować

prawdopodobieństwo fałszywości hipotezy zerowej, ale nie

jej prawdziwości. Możliwa, a nawet dość prawdopodobna

jest więc sytuacja, że hipoteza zerowa nie zostanie

odrzucona, pomimo że jest fałszywa. Błąd taki nazywamy

błędem drugiego rodzaju (błędem beta).

Prawdopodobieństwo odrzucenia fałszywej hipotezy

zerowej wynosi 1-beta i nazywane jest mocą testu. Mocy

testu nie daje się zwykle dokładnie określić, ale zależy ona

m. in. od:



Wielkości próby



Wariancji w populacji



Siły badanego związku pomiędzy zmiennymi



Różnych właściwości samego testu statystycznego



Sposobu postawienia hipotezy (hipoteza kierunkowa -

przewiduje kierunek zależności)

UWAGA!!!



Brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej

nie oznacza że jest ona prawdziwa
inaczej:



Wynik nieistotny statystycznie nie upoważnia

do przyjęcia hipotezy zerowej

(choć w metodologii występują różne stanowiska w tej sprawie)



Metody statystyczne nie umożliwiają

testowania hipotez o braku związku jako

hipotez badawczych (można jednak wyznaczać

przedziały ufności dla H0, tzn. przy założonym

poziomie błędu wykazać, że maksymalna siła

efektu w populacji (różnica lub korelacja) nie

przekracza jakiejś (niewielkiej) wartości)

Poziom istotności a siła
badanego efektu



To, że wynik jest istotny statystycznie nie oznacza, że

uzyskany związek między zmiennymi jest silny. Nawet bardzo

słaby związek, jeżeli tylko próba była duża, może okazać się

istotny na bardzo restrykcyjnym poziomie istotności



Aby określić siłę związku trzeba oddzielnej miary. W

przypadku badań korelacyjnych jest nią współczynnik

korelacji, przybierający wartości z przedziału <-1,1>.

Istotność statystyczna współczynnika korelacji r oznacza tyle,

że z prawdopodobieństwem błędu = alfa ro (korelacja w

populacji) <0 jeżeli r<0 lub ro>0 jeżeli r>0, przy czym

istotność r przy założonym alfa (np. alfa=0,05) zależy tylko od

r i od N (wielkości próby). Sam współczynnik korelacji

interpretujemy natomiast jako miarę siły związku. |r|<0,5

uważamy za związek słaby, |r|>0,71 za bardzo silny

(zauważmy, że r

2

określa część wariancji jednej zmiennej

wyjaśnioną drugą zmienną, więc dla r=0,71 lub -0,71 r

2

=0,5,

czyli zmienność jednej zmiennej pozwala wyjaśnić aż połowę

zmienności drugiej zmiennej)

Wybór testu statystycznego



Wybór testu statystycznego zależy od



Jakich właściwości rozkładu dotyczy hipoteza (najczęściej

średniej lub korelacji)



Skali i rozkładu zmiennych



Schematu badania:



niezależne grupy czy powtarzany pomiar



liczby zmiennych i liczby grup/powtarzanych pomiarów



W schematach eksperymentalnych najczęściej używane

są test t-Studenta (różnice średnich), test dokładny

Fishera lub chi

2

gdy zmienna zależna jest wyrażona na

skali nominalnej, analizy wariancji gdy zmienna zależna

mierzona na skali interwałowej, a zmienna niezależna

przybiera więcej niż dwie wartości lub występuje więcej

niż jedna zmienna niezależna. Analiza wariancji pozwala

testować hipotezy o interakcyjnym wpływie zmiennych

niezależnych na zmienną zależną