Materiały pochodzą z Platformy 

Edukacyjnej Portalu 

www.szkolnictwo.pl

Wszelkie  treści  i  zasoby  edukacyjne  publikowane  na  łamach  Portalu  www.szkolnictwo.pl    mogą  być  wykorzystywane  przez  jego 
Użytkowników 

wyłącznie 

w  zakresie  własnego  użytku  osobistego  oraz  do  użytku  w  szkołach  podczas  zajęć  dydaktycznych.  Kopiowanie,  wprowadzanie  zmian, 
przesyłanie, 

publiczne 

odtwarzanie 

i  wszelkie  wykorzystywanie  tych  treści  do  celów  komercyjnych  jest  niedozwolone.  Plik  można  dowolnie  modernizować  na  potrzeby 
własne 

oraz 

do 

wykorzystania 

w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

„Co to jest geniusz? Gen i 

już.”

Hugo Steinhaus

UKŁAD WSPÓŁRZĘDNYCH.

Układy  współrzędnych  zostały  stworzone  po 
to,  by  móc  w  dokładny  sposób  określić 
położenie  ciała  fizycznego  czy  po  prostu 
punktu.  Oprócz  układów  współrzędnych 
kojarzonych  bezpośrednio  z  matematyką 
takich  jak  oś  liczbowa,  kartezjański  układ 
współrzędnych 

na 

płaszczyźnie 

i 

w 

przestrzeni istnieje wiele innych układów, np. 
szerokość 

i 

długość 

geograficzna, 

numerowane pola na planszy do gry w szachy 
czy nawet w popularne „statki” itp. 

UKŁAD WSPÓŁRZĘDNYCH.

KARTEZJAŃSKICH.

Prostokątny układ współrzędnych to 

dwie wzajemnie prostopadłe osie liczbowe 

o wspólnym punkcie (0, 0) zwanym 

początkiem układu współrzędnych 

UKŁAD WSPÓŁRZĘDNYCH.

KARTEZJAŃSKICH.

Oś poziomą (OX) nazywamy osią odciętych, 
natomiast oś pionową (OY) – osią rzędnych.
Osie  układu  dzielą  płaszczyznę  na  cztery 
części –ćwiartki układu.

WSPÓŁRZĘDNE.

Położenie 

każdego 

punktu  w  układzie 
współrzędnych 
można  określi  za 
pomocą 
współrzędnych.
Zawszę 

jako 

pierwszą  podajemy 
współrzędną 
odczytywaną  na  osi 
X,  a  jako  drugą  tę, 
którą 

odczytujemy 

na osi Y.

P = (x, 

y)

WSPÓŁRZĘDNE. 

Na 

układzie 

zamieszczonym 
obok  zaznaczono 
punkty 

o 

następujących 
współrzędnych:
A = (3, 4)
B = (0, 3)
C = (1, 0)
D = (-4, 2)
E = (-3, 0)
F = (-2, -5)
G = (0, -2)
H = (5, -3)

WSPÓŁRZĘDNE.

Znak  współrzędnych  pozwala  określić  w 
której ćwiarce układu znajduje się punkt:

(+, +)

I ćwiartka

(-, +)

II ćwiartka

(-, -)

III 

ćwiartka

(+, -)

IV 

ćwiartka

WSPÓŁRZĘDNE.

Punkty,  których  pierwsza  współrzędna  jest 
równa zero, leżą na osi OY.

Np.: 
(0, 5)
(0, 2)
(0, 
-1)
(0, 
-7)

WSPÓŁRZĘDNE.

Punkty,  których  druga  współrzędna  jest 
równa zero, leżą na osi OX.

Np.:
(-5, 
0)
(-4, 
0)
(2, 0)
(5, 0) 

WSPÓŁRZĘDNE.

Punkty,  których  pierwsze  współrzędne  są 
liczbami przeciwnymi a drugie są takie same 
leżą  w  takiej  samej  odległości  od  osi  OY  po 
przeciwnych  jej  stronach  (są  do  siebie 
symetryczne względem osi OY)

      Np.: (-3, 2) i (3, 2)

WSPÓŁRZĘDNE.

Punkty,  których  drugie  współrzędne  są 
liczbami  przeciwnymi  a  pierwsze  są  takie 
same  leżą  w  takiej  samej  odległości  od  osi 
OX po przeciwnych jej stronach (są do siebie 
symetryczne względem osi OX)

      Np.: (1, 3) i (1, -3)

WSPÓŁRZĘDNE.

Odcinki,  których  końce  mają  takie  same 
pierwsze  współrzędne  są  równoległe  do  osi 
OY.  Aby  policzyć  ich  długość  wystarczy 
obliczyć 

wartość 

bezwzględną 

różnicy 

drugich współrzędnych.

Np.: A = (3, 4) i B = (3, -2)
|AB| = |4 – (-2)| = |6| = 6

WSPÓŁRZĘDNE.

Odcinki,  których  końce  mają  takie  same 
drugie współrzędne są równoległe do osi OX. 
Aby  policzyć  ich  długość  wystarczy  obliczyć 
wartość  bezwzględną  różnicy  pierwszych 
współrzędnych.

Np.: A = (-3, -2) i B = (2, -2)
|AB| = |-3 – 2| = |-5| = 5

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

Zadanie 1.
Odczytaj z rysunku współrzędne punktów.

Przy punkcie A 
zaznaczyliśmy 
sposób 
odczytywania 
współrzędnych. 
Mamy więc:
A = (-3, 1)
B = (-2, 4)
C = (-2, -2)
D = (1, 1)
E = (4, -3)

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

Zadanie 2.
Narysuj 

układ 

współrzędnych, 

dobierz 

odpowiednią jednostkę i zaznacz punkty: 

Żeby  w  łatwy  sposób  zaznaczyć  podane 
punkty, należy obrać jednostkę, która będzie 
się  składała  z  6  mniejszych  części,  np.  1  na 
układzie 

to 

6 

kratek 

w 

zeszycie. 

Współrzędne  punktu  B  łatwo  sprowadzić  do 
postaci z mianownikiem 6:

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

Zadanie 2 – ciąg dalszy.

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

Zadanie 3.
Punkty A, B i C są wierzchołkami prostokąta. 
Podaj współrzędne czwartego wierzchołka.

A = (-3, -1), B = (2, -1), C = (2, 4)

Najłatwiej  jest  zaznaczyć  te  punkty  w 
układzie 

współrzędnych, 

dorysować 

brakujący 

punkt 

i 

odczytać 

jego 

współrzędne.

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

Zadanie 3 – ciąg dalszy.

Z  rysunku  wynika, 
że 

współrzędne 

czwartego 
wierzchołka  D  =  (-
3, 4).

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

Zadanie 4.
Określ, w której ćwiartce układu leżą punkty:
A = (45, 78) ; B = (-257, 1209) ;  C = (123, 
-4) ; 
D = (- 26; -65) ; E = (345; -243) ; F = (500; 
321) ; 
G = (-43; 56) ; H = (23; 89)

Wystarczy spojrzeć na znaki współrzędnych i 
skorzystać z tabeli z planszy 7.

(+, +)

I 

ćwiartka

A; F; H

(-, +)

II 

ćwiartka

B; G

(-, -)

III 

ćwiartka

D

(+, -)

IV 

ćwiartka

C; E

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

Zadanie 5.
Oblicz obwód narysowanego wielokąta.

Jedna  kratka  na 
rysunku 
odpowiada 
odcinkowi 
jednostkowemu  (o 
długości 

1), 

wystarczy 

więc 

policzyć  ile  kratek 
zajmuje  każdy  z 
boków  wielokąta  a 
następnie dodać je 
do siebie.
Ob = 28.

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

Zadanie 5.
Oblicz długość odcinków o podanych 
końcach bez rysowania ich.

a)A = (-6, 3) ; B = (10, 3)
Drugie  współrzędne  tych  punktów  są  takie 
same,  więc  aby  obliczyć  długość  tego 
odcinka  wystarczy  podać  odległość  między 
pierwszymi współrzędnymi:
|AB| = |-6 – 10| = |-16| = 16

b) C = (2, -9) ; D = (2, 8)
|CD| = |-9 – 8| = |-17| = 17