1
Automatyka i podstawy
pomiarów
Stabilność liniowych układów
automatyki
Dmytro
Svyetlichny
y
1
Automatyka i podstawy
pomiarów
Stabilność liniowych układów
automatyki
Dmytro
Svyetlichny
y
2
Automatyka i podstawy pomiarów
Dmytro
Svyetlichnyy
Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych
Stabilność liniowych
układów automatyki
M
B
C
N
A
równowaga
stała
równowaga
niestała
równowaga
obojętna
N – granica
stabilności
3
Automatyka i podstawy pomiarów
Dmytro
Svyetlichnyy
Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych
Stabilność liniowych
układów automatyki
Stabilność jest cechą układu, polegającą na
powracaniu do stanu równowagi stałej po
ustaniu
działania
zakłócenia,
które
wytrąciło układ z tego stanu. Jeżeli po
zaniknięciu zakłócenia układ powraca do
tego
samego
stanu
równowagi
co
zajmowany
poprzednio,
wówczas
jest
stabilny asymptotycznie (A).
4
Automatyka i podstawy pomiarów
Dmytro
Svyetlichnyy
Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych
Stabilność liniowych
układów automatyki
Jeżeli układ ma transmitancję operatorową:
to czasowy przebieg sygnału wejściowego
y(t)
po dowolnym zakłóceniu o wartości
skończonej
opisany
jest
wzorem
o
następującej postaci ogólnej
gdzie
s
k
są
pierwiastkami
równania
charakterystycznego układu (mianownika
transmitancji operatorowej równego zeru)
A(s)=0
, a
z
st
jest wartością zakłócenia.
s
A
s
B
a
s
a
s
a
b
s
b
s
b
s
G
n
n
n
n
m
m
m
m
0
1
1
0
1
1
...
...
st
n
k
t
s
k
z
e
C
C
t
y
k
1
0
)
(
5
Automatyka i podstawy pomiarów
Dmytro
Svyetlichnyy
Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych
Stabilność liniowych
układów automatyki
Koniecznym i dostatecznym warunkiem
stabilności asymptotycznej układu jest, aby
pierwiastki równania charakterystycznego
miały ujemne części rzeczywiste
Re(s
k
)<0
.
Wówczas .
Jeżeli
chociaż
jeden
z
pierwiastków
równania ma część rzeczywistą dodatnią
Re(s
k
)<0
to , i układ jest
niestabilny.
W przypadku wielokrotnych pierwiastków
ten warunek stabilności pozostaje również
ważny.
st
t
z
C
t
y
0
)
(
lim
)
(
lim t
y
t
6
Automatyka i podstawy pomiarów
Dmytro
Svyetlichnyy
Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych
Stabilność liniowych
układów automatyki
Jeżeli równanie ma pierwiastki w lewej
półpłaszczyźnie oraz jednokrotne na osi liczb
urojonych (np. jeden pierwiastek zerowy lub
parę pierwiastków urojonych sprzężonych),
to w układzie będą występować stała
wartość odchylenia lub drgania o stałej
amplitudzie,
określonej
warunkami
początkowymi. Układ jest wówczas na
granicy stabilności, a ściśle mówiąc, nie jest
stabilny asymptotycznie. Jeżeli pierwiastki
zerowe są wielokrotne, to przebieg
y(t)
oddala
się
od
początkowego
stanu
równowagi,
układ
jest
oczywiście
niestabilny.
7
Automatyka i podstawy pomiarów
Dmytro
Svyetlichnyy
Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych
Stabilność liniowych
układów automatyki
Przy badaniu stabilności układów, których
własności dynamiczne opisane są za pomocą
równań różniczkowych wyższych rzędów,
natrafia się na duże trudności przy
obliczaniu
pierwiastków
równania
charakterystycznego. Stosuje się wtedy
jedno z kryteriów stabilności.
8
Automatyka i podstawy pomiarów
Dmytro
Svyetlichnyy
Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych
Kilka twierdzeń o
pierwiastkach równania
charakterystycznego
a) Pierwiastki
zespolone.
Pierwiastki
zespolone
rzeczywistego
równania
algebraicznego występują jako pary liczb
zespolonych sprzężonych.
b)Położenie
pierwiastków
rzeczywistych:
Reguła
znaków
Kartezjusza.
Liczba
dodatnich
pierwiastków rzeczywistych jest równa
liczbie
zmian
znaku
w
ciągu
współczynników
a
0
, a
1
, ..., a
n
lub jest
mniejsza o parzystą liczbę naturalną.
Stosując
to
twierdzenie
do
f(-x)
,
otrzymujemy podobne twierdzenie o
liczbie
ujemnych
pierwiastków
rzeczywistych.
9
Automatyka i podstawy pomiarów
Dmytro
Svyetlichnyy
Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych
Kryteria stabilności
10
Automatyka i podstawy pomiarów
Dmytro
Svyetlichnyy
Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych
Kryterium Hurwitza
Aby
wszystkie
pierwiastki
równania
charakterystycznego
miały części rzeczywiste ujemne, muszą być
spełnione następujące warunki:
a) wszystkie współczynniki równania istnieją
i są większe od zera,
b) podwyznaczniki
i
od
i=1
do
i=n
,
wyznacznika głównego
n
są większe od
zera.
0
...
0
1
1
1
a
s
a
s
a
s
a
n
n
n
n
11
Automatyka i podstawy pomiarów
Dmytro
Svyetlichnyy
Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych
Kryterium Hurwitza
Wyznacznik
n
utworzony
ze
współczynników równania ma
n
wierszy i
n
kolumn:
Ponieważ jednak zachodzi
i
=a
n-1
,
n
=a
0
n-1
, zatem sprawdzanie dodatniości
podwyznacznika
1
i wyznacznika głównego
n
jest niecelowe.
0
...
0
1
1
1
a
s
a
s
a
s
a
n
n
n
n
;
...
0
0
0
0
...
...
...
...
...
...
0
...
0
...
0
...
0
0
0
2
3
4
5
1
2
3
1
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
12
Automatyka i podstawy pomiarów
Dmytro
Svyetlichnyy
Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych
Kryterium Hurwitza
Jeżeli któryś ze współczynników równania
charakterystycznego jest ujemny lub równy
zeru albo któryś z podwyznaczników jest
ujemny lub równy zeru, to układ jest
niestabilny. W przypadku szczególnym, kiedy
któryś z podwyznaczników jest równy zeru,
równanie ma pierwiastki czysto urojone i
układ znajduje się na granicy stabilności.
13
Automatyka i podstawy pomiarów
Dmytro
Svyetlichnyy
Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych
Kryterium Hurwitza
Liczba
pierwiastków
mających
część
rzeczywistą dodatnią jest równa liczbie
zmian znaku w jednym z ciągów:
lub
Układ będzie stabilny również wtedy, gdy
wszystkie współczynniki
a
i
oraz wszystkie
mające parzysty wskaźnik (lub nieparzysty)
są dodatnie (test Liénarda-Chiparta).
1
2
3
1
2
1
,
,
,
,
n
n
n
n
n
a
a
a
...,
n
n
n
n
n
a
a
a
1
3
2
2
1
1
...,
,
,
,
,
14
Automatyka i podstawy pomiarów
Dmytro
Svyetlichnyy
Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych
Kryterium Routha
Wszystkie
pierwiastki
równania
charakterystycznego stopnia
n
mają ujemne
części rzeczywiste wtedy i tylko wtedy, gdy
własność tę ma równanie stopnia
n-1
:
.
0
...
...
4
4
5
1
4
3
3
2
3
1
2
1
1
4
)
1
(
3
3
)
1
(
2
2
)
1
(
1
1
)
1
(
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
s
s
a
a
a
a
s
a
s
a
a
a
a
s
a
s
a
s
a
s
a
s
a
15
Automatyka i podstawy pomiarów
Dmytro
Svyetlichnyy
Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych
Kryterium Routha
Stosując
wielokrotnie
to
twierdzenie
otrzymujemy schemat rekurencyjny. Liczba
pierwiastków
o
ujemnych
częściach
rzeczywistych jest dokładnie równa liczbie
ujemnych współczynników
a
n
(j)
/a
n-1
(j)
(j= 0,
1, ..., n-1; a
n
(0)
=a
n
, a
n-1
(0)
=a
n-1
)
, które pojawili
się
w
wyniku
kolejnych
zastosowań
twierdzenia.
Kryterium Routha staje bardziej wygodny
niż kryterium Hurwitza przy większych
stopniach równań.
16
Automatyka i podstawy pomiarów
Dmytro
Svyetlichnyy
Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych
Kryterium Michajłowa
Kryterium Michajłowa pozwala na wykreślne
sprawdzanie stabilności układu regulacji
automatycznej.
Równanie charakterystyczne układu można
przedstawić w postaci:
Jeżeli jako zmienną wybrać
s=j
. Równanie
przyjmuje następującą postać:
gdzie
/A(j
)/=a
n
/j
s
1
//j
s
2
/.../j
s
n
/
oznacza
moduł
funkcji,
natomiast
=argA(j
)=arg(j
s
1
)+arg(j
s
2
)+...
+arg(j
s
n
)
oznacza argument funkcji
A(j
)
.
0
...
)
(
2
1
n
n
s
s
s
s
s
s
a
s
A
j
n
n
e
j
A
s
j
s
j
s
j
a
j
A
)
(
...
)
(
2
1
17
Automatyka i podstawy pomiarów
Dmytro
Svyetlichnyy
Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych
Kryterium Michajłowa
I
m
R
e
s
k
j
j
-s
k
I
m
R
e
+
s
k
-
18
Automatyka i podstawy pomiarów
Dmytro
Svyetlichnyy
Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych
Kryterium Michajłowa
Zmiana argumentu każdego z czynników
(j
s
n
)
przy pulsacji zmieniającej się od
–
do
+
wynosi
+
dla pierwiastka położonego
w lewej półpłaszczyźnie oraz
–
dla
pierwiastka
położonego
w
prawej
półpłaszczyźnie
płaszczyzny
zmiennej
zespolonej
s
. Wtedy
gdzie
n
– liczba pierwiastków w lewej
półpłaszczyźnie, natomiast
m
- liczba
pierwiastków w prawej półpłaszczyźnie.
)
2
(
)
(
arg
m
n
j
A
19
Automatyka i podstawy pomiarów
Dmytro
Svyetlichnyy
Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych
Kryterium Michajłowa
Więc układ będzie stabilny, jeżeli
m=0
, tzn.
jeżeli
Lewą stronę zapiszemy w postaci:
Części rzeczywista i urojona wynoszą:
n
j
A
arg
0
1
1
1
)
(
...
)
(
)
(
)
(
a
j
a
j
a
j
a
j
A
n
n
n
n
...
)
(
...,
)
(
7
7
5
5
3
3
1
6
6
4
4
2
2
0
a
a
a
a
Q
a
a
a
a
P
20
Automatyka i podstawy pomiarów
Dmytro
Svyetlichnyy
Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych
Kryterium Michajłowa
Mamy zatem
P(-
)=P
,
Q(-
)=-Q(
)
.
Wystarczy więc zbadać przebieg jednej
gałęzi krzywej, dla pulsacji zniemiającej się
od
0
do
+
.
Kryterium Michajłowa można sformułować
ostatecznie jak następuje: układ jest stabilny
wtedy i tylko wtedy, gdy zmiana argumentu
krzywej
A(j
)
przy zmianie pulsacji
od
0
do
+
wynosi
n
/2
, gdzie
n
oznacza stopień
równania charakterystycznego. Krzywa
A(j
)
nazywa
się
niekiedy
krzywą
charakterystyczną
lub
hodografem
Michajłowa.
21
Automatyka i podstawy pomiarów
Dmytro
Svyetlichnyy
Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych
Kryterium Michajłowa
P(
)
jQ(
)
n=
1
=
0
→∞
→∞
n=
2
n=
3
n=
4
Przykłady krzywych układów stabilnych
22
Automatyka i podstawy pomiarów
Dmytro
Svyetlichnyy
Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych
Kryterium Michajłowa
P(
)
jQ(
)
=
0
n=
2
n=
3
n=
4
Przykłady krzywych układów
niestabilnych
23
Automatyka i podstawy pomiarów
Dmytro
Svyetlichnyy
Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych
Kryterium Nyquista
Kryterium Nyquista ma duże znaczenie
praktyczne,
ponieważ
pozwala
badać
stabilność układu zamkniętego na podstawie
przebiegu
charakterystyki
częstotliwościowej układu otwartego, którą
można wyznaczyć zarówno analitycznie, jak i
doświadczalnie.
G
1
G
2
x
y
24
Automatyka i podstawy pomiarów
Dmytro
Svyetlichnyy
Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych
Kryterium Nyquista
Transmitancja układu otwartego wynosi
G
o
(s)=G
1
(s)G
2
(s)
, lub
przy
czym
A
o
(s)=0
jest
równaniem
charakterystycznym
układu
otwartego.
Transmitancja układu zamkniętego wynosi
Równanie
charakterystyczne
układu
zamkniętego
A
z
(s)=1+G
o
(s)=A
o
(s)+B
o
(s)=0
,
jest tego samego stopnia jak i otwartego.
s
A
s
B
s
G
o
o
o
s
G
s
G
s
G
s
G
s
G
s
G
o
z
1
1
1
2
1
1
25
Automatyka i podstawy pomiarów
Dmytro
Svyetlichnyy
Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych
Kryterium Nyquista
Zbadamy zmianę argumentu funkcji
Jeżeli otwarty układ regulacji automatycznej
jest
stabilny
i
jego
charakterystyka
amplitudowo-fazowa
G
o
(j
)
dla pulsacji
od
0
do
+
nie obejmuje punktu
(-1,j0)
, to
wtedy i tylko wtedy po zamknięciu będzie
on również stabilny.
)
(
arg
)
(
arg
)
(
1
arg
0
0
0
j
A
j
A
j
G
o
z
o
s
G
s
G
s
G
z
o
1
1
26
Automatyka i podstawy pomiarów
Dmytro
Svyetlichnyy
Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych
Kryterium Nyquista
Przykłady charakterystyk ukladów
P(
)
jQ(
)
=
0
=
∞
(-1,j0)
niestabilny
stabilny
27
Automatyka i podstawy pomiarów
Dmytro
Svyetlichnyy
Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych
Kryterium Nyquista
P(
)
jQ(
)
=
0
=
∞
Przykłady charakterystyk ukladów
(-1,j0)
niestabilny
stabilny
28
Automatyka i podstawy pomiarów
Dmytro
Svyetlichnyy
Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych
Kryterium Nyquista
P(
)
jQ(
)
=
0
=
∞
Przykłady charakterystyk ukladów
(-1,j0)
niestabilny
stabilny
29
Automatyka i podstawy pomiarów
Dmytro
Svyetlichnyy
Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych
Kryterium Nyquista
Jeżeli otwarty układ jest niestabilny i ma
m
pierwiastków
swego
równania
charakterystycznego
w
prawej
półpłaszczyźnie, to po zamknięciu będzie on
stabilny
wtedy
i
tylko
wtedy,
gdy
charakterystyka
amplitudowo-fazowa
układu otwartego dla pulsacji
od
0
do
+
okrąża
m/2
razy punkt
(-1,j0)
w kierunku
dodatnim (przeciwnie do ruchu wskazówek
zegara).
30
Automatyka i podstawy pomiarów
Dmytro
Svyetlichnyy
Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych
Kryterium Nyquista
Zastosowanie kryterium Nyquista w tym
przypadku
wymaga
znajomości
liczby
pierwiastków
równania
charakterystycznego układu otwartego z
dodatnią częścią rzeczywistą, co bardzo
ogranicza jego znaczenie.
Omawiany przypadek jest bardzo rzadki,
gdyż układy automatyki spotykane w
praktyce są zwykle w stanie otwartym
stabilne (
m = 0
).
31
Automatyka i podstawy pomiarów
Dmytro
Svyetlichnyy
Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych
Logarytmiczne kryterium
Rozważmy
dwa
układy
otwarte
przedstawione na rysunku (stabilny
a
i
niestabilny
b
po zamknęciu).
P(
)
jQ(
)
=
0
=
∞
(-1,j0)
niestabilny
stabilny
A
xa
xb
1a
a
b
32
Automatyka i podstawy pomiarów
Dmytro
Svyetlichnyy
Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych
Logarytmiczne kryterium
Z kryterium Nyquista wynika warunek
stabilności:
gdzie
x
jest pulsacja, dla której
Równocześnie na wykresie określić można
tzw. zapas stabilności układu
a
, w postaci
zapasu modułu
A
i zapasu fazy
.
1
x
o
j
G
180
arg
x
o
j
G
33
Automatyka i podstawy pomiarów
Dmytro
Svyetlichnyy
Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych
Logarytmiczne kryterium
Jeżeli charakterystyka częstotliwościowa
układu otwartego podana jest w postaci
logarytmicznych
charakterystyk
amplitudowej
L(
)
i fazowej
(
)
, to
warunek można zastąpić równoważnym
warunkiem
Kryterium stabilności można sformułować
wówczas:
Zamknięty układ regulacji automatycznej
jest stabilny wtedy, gdy logarytmiczna
charakterystyka
amplitudowa
układu
otwartego ma wartość ujemną przy pulsacji
odpowiadającej przesunięciu fazowemu –
180
o
.
0
log
20
x
o
x
j
G
L
34
Automatyka i podstawy pomiarów
Dmytro
Svyetlichnyy
Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych
Logarytmiczne kryterium
-100
-50
0
50
100
M
ag
ni
tu
de
(d
B
)
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
-270
-180
-90
0
P
ha
se
(d
eg
)
Bode Diagram
Gm = 8.52 dB (at 1.73 rad/sec) , Pm = 41.7 deg (at 1.04 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
35
Automatyka i podstawy pomiarów
Dmytro
Svyetlichnyy
Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych
Logarytmiczne kryterium
Wartości
L
i
są często narzucone
projektantowi,
gdyż
zapewniają
one
określony
charakter
przebiegów
dynamicznych w układzie, a ponadto można
traktować je jako „zapas bezpieczeństwa”,
gwarantujący stabilność nawet przy pewnych
zmianach parametrów układu, zachodzących
podczas pracy.
Jako przeciętne można przyjąć:
Układy niestabilne nie mają zapasu modułu
ani zapasu fazy. Niekiedy wyznacza się
ujemne wartości, aby wiedzić, o ile
skorygować
parametry
dla
uzyskania
stabilności.
dB
12
6
L
60
30