1

Automatyka i podstawy
pomiarów

Stabilność liniowych układów
automatyki

Dmytro
Svyetlichny
y

2

Automatyka i podstawy pomiarów

Dmytro

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Stabilność liniowych

układów automatyki

M

B

C

N

A

równowaga
stała

równowaga
niestała

równowaga
obojętna

N – granica
stabilności

3

Automatyka i podstawy pomiarów

Dmytro

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Stabilność liniowych

układów automatyki

Stabilność jest cechą układu, polegającą na
powracaniu do stanu równowagi stałej po
ustaniu

działania

zakłócenia,

które

wytrąciło układ z tego stanu. Jeżeli po
zaniknięciu zakłócenia układ powraca do
tego

samego

stanu

równowagi

co

zajmowany

poprzednio,

wówczas

jest

stabilny asymptotycznie (A).

4

Automatyka i podstawy pomiarów

Dmytro

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Stabilność liniowych

układów automatyki

Jeżeli układ ma transmitancję operatorową:

to czasowy przebieg sygnału wejściowego

y(t)

po dowolnym zakłóceniu o wartości

skończonej

opisany

jest

wzorem

o

następującej postaci ogólnej

gdzie

s

k

są

pierwiastkami

równania

charakterystycznego układu (mianownika
transmitancji operatorowej równego zeru)

A(s)=0

, a

z

st

jest wartością zakłócenia.

 

 

 

s

A

s

B

a

s

a

s

a

b

s

b

s

b

s

G

n

n

n

n

m

m

m

m

























0

1

1

0

1

1

...

...

st

n

k

t

s

k

z

e

C

C

t

y

k



















1

0

)

(

5

Automatyka i podstawy pomiarów

Dmytro

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Stabilność liniowych

układów automatyki

Koniecznym i dostatecznym warunkiem
stabilności asymptotycznej układu jest, aby
pierwiastki równania charakterystycznego
miały ujemne części rzeczywiste

Re(s

k

)<0

.

Wówczas .
Jeżeli

chociaż

jeden

z

pierwiastków

równania ma część rzeczywistą dodatnią

Re(s

k

)<0

to , i układ jest

niestabilny.
W przypadku wielokrotnych pierwiastków
ten warunek stabilności pozostaje również
ważny.

st

t

z

C

t

y

0

)

(

lim















)

(

lim t

y

t

6

Automatyka i podstawy pomiarów

Dmytro

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Stabilność liniowych

układów automatyki

Jeżeli równanie ma pierwiastki w lewej
półpłaszczyźnie oraz jednokrotne na osi liczb
urojonych (np. jeden pierwiastek zerowy lub
parę pierwiastków urojonych sprzężonych),
to w układzie będą występować stała
wartość odchylenia lub drgania o stałej
amplitudzie,

określonej

warunkami

początkowymi. Układ jest wówczas na
granicy stabilności, a ściśle mówiąc, nie jest
stabilny asymptotycznie. Jeżeli pierwiastki
zerowe są wielokrotne, to przebieg

y(t)

oddala

się

od

początkowego

stanu

równowagi,

układ

jest

oczywiście

niestabilny.

7

Automatyka i podstawy pomiarów

Dmytro

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Stabilność liniowych

układów automatyki

Przy badaniu stabilności układów, których
własności dynamiczne opisane są za pomocą
równań różniczkowych wyższych rzędów,
natrafia się na duże trudności przy
obliczaniu

pierwiastków

równania

charakterystycznego. Stosuje się wtedy
jedno z kryteriów stabilności.

8

Automatyka i podstawy pomiarów

Dmytro

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Kilka twierdzeń o

pierwiastkach równania

charakterystycznego

a) Pierwiastki

zespolone.

Pierwiastki

zespolone

rzeczywistego

równania

algebraicznego występują jako pary liczb
zespolonych sprzężonych.

b)Położenie

pierwiastków

rzeczywistych:

Reguła

znaków

Kartezjusza.

Liczba

dodatnich

pierwiastków rzeczywistych jest równa
liczbie

zmian

znaku

w

ciągu

współczynników

a

0

, a

1

, ..., a

n

lub jest

mniejsza o parzystą liczbę naturalną.
Stosując

to

twierdzenie

do

f(-x)

,

otrzymujemy podobne twierdzenie o
liczbie

ujemnych

pierwiastków

rzeczywistych.

9

Automatyka i podstawy pomiarów

Dmytro

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Kryteria stabilności

10

Automatyka i podstawy pomiarów

Dmytro

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Kryterium Hurwitza

Aby

wszystkie

pierwiastki

równania

charakterystycznego

miały części rzeczywiste ujemne, muszą być
spełnione następujące warunki:
a) wszystkie współczynniki równania istnieją
i są większe od zera,
b) podwyznaczniki



i

od

i=1

do

i=n

,

wyznacznika głównego



n

są większe od

zera.

0

...

0

1

1

1















a

s

a

s

a

s

a

n

n

n

n

11

Automatyka i podstawy pomiarów

Dmytro

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Kryterium Hurwitza

Wyznacznik



n

utworzony

ze

współczynników równania ma

n

wierszy i

n

kolumn:

Ponieważ jednak zachodzi



i

=a

n-1

,



n

=a

0



n-1

, zatem sprawdzanie dodatniości

podwyznacznika



1

i wyznacznika głównego



n

jest niecelowe.

0

...

0

1

1

1















a

s

a

s

a

s

a

n

n

n

n

;

...

0

0

0

0

...

...

...

...

...

...

0

...

0

...

0

...

0

0

0

2

3

4

5

1

2

3

1

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n





















12

Automatyka i podstawy pomiarów

Dmytro

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Kryterium Hurwitza

Jeżeli któryś ze współczynników równania
charakterystycznego jest ujemny lub równy
zeru albo któryś z podwyznaczników jest
ujemny lub równy zeru, to układ jest
niestabilny. W przypadku szczególnym, kiedy
któryś z podwyznaczników jest równy zeru,
równanie ma pierwiastki czysto urojone i
układ znajduje się na granicy stabilności.

13

Automatyka i podstawy pomiarów

Dmytro

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Kryterium Hurwitza

Liczba

pierwiastków

mających

część

rzeczywistą dodatnią jest równa liczbie
zmian znaku w jednym z ciągów:

lub

Układ będzie stabilny również wtedy, gdy
wszystkie współczynniki

a

i

oraz wszystkie

mające parzysty wskaźnik (lub nieparzysty)
są dodatnie (test Liénarda-Chiparta).

1

2

3

1

2

1

,

,

,

,

















n

n

n

n

n

a

a

a

...,

n

n

n

n

n

a

a

a

















1

3

2

2

1

1

...,

,

,

,

,

14

Automatyka i podstawy pomiarów

Dmytro

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Kryterium Routha

Wszystkie

pierwiastki

równania

charakterystycznego stopnia

n

mają ujemne

części rzeczywiste wtedy i tylko wtedy, gdy
własność tę ma równanie stopnia

n-1

:

.

0

...

...

4

4

5

1

4

3

3

2

3

1

2

1

1

4

)

1

(

3

3

)

1

(

2

2

)

1

(

1

1

)

1

(



























































































n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

s

s

a

a

a

a

s

a

s

a

a

a

a

s

a

s

a

s

a

s

a

s

a

15

Automatyka i podstawy pomiarów

Dmytro

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Kryterium Routha

Stosując

wielokrotnie

to

twierdzenie

otrzymujemy schemat rekurencyjny. Liczba
pierwiastków

o

ujemnych

częściach

rzeczywistych jest dokładnie równa liczbie
ujemnych współczynników

a

n

(j)

/a

n-1

(j)

(j= 0,

1, ..., n-1; a

n

(0)

=a

n

, a

n-1

(0)

=a

n-1

)

, które pojawili

się

w

wyniku

kolejnych

zastosowań

twierdzenia.
Kryterium Routha staje bardziej wygodny
niż kryterium Hurwitza przy większych
stopniach równań.

16

Automatyka i podstawy pomiarów

Dmytro

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Kryterium Michajłowa

Kryterium Michajłowa pozwala na wykreślne
sprawdzanie stabilności układu regulacji
automatycznej.
Równanie charakterystyczne układu można
przedstawić w postaci:

Jeżeli jako zmienną wybrać

s=j



. Równanie

przyjmuje następującą postać:

gdzie

/A(j



)/=a

n

/j



s

1

//j



s

2

/.../j



s

n

/

oznacza

moduł

funkcji,

natomiast

=argA(j



)=arg(j



s

1

)+arg(j



s

2

)+...

+arg(j



s

n

)

oznacza argument funkcji

A(j



)

.





 



0

...

)

(

2

1











n

n

s

s

s

s

s

s

a

s

A





 















j

n

n

e

j

A

s

j

s

j

s

j

a

j

A

)

(

...

)

(

2

1











17

Automatyka i podstawy pomiarów

Dmytro

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Kryterium Michajłowa

I

m

R

e

s

k

j



j



-s

k

I

m

R

e

+



s

k

-



18

Automatyka i podstawy pomiarów

Dmytro

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Kryterium Michajłowa

Zmiana argumentu każdego z czynników

(j



s

n

)

przy pulsacji zmieniającej się od

–

do

+

wynosi

+



dla pierwiastka położonego

w lewej półpłaszczyźnie oraz

–



dla

pierwiastka

położonego

w

prawej

półpłaszczyźnie

płaszczyzny

zmiennej

zespolonej

s

. Wtedy

gdzie

n

– liczba pierwiastków w lewej

półpłaszczyźnie, natomiast

m

- liczba

pierwiastków w prawej półpłaszczyźnie.







)

2

(

)

(

arg

m

n

j

A

















19

Automatyka i podstawy pomiarów

Dmytro

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Kryterium Michajłowa

Więc układ będzie stabilny, jeżeli

m=0

, tzn.

jeżeli

Lewą stronę zapiszemy w postaci:

Części rzeczywista i urojona wynoszą:

 







n

j

A















arg

0

1

1

1

)

(

...

)

(

)

(

)

(

a

j

a

j

a

j

a

j

A

n

n

n

n

















































...

)

(

...,

)

(

7

7

5

5

3

3

1

6

6

4

4

2

2

0



















a

a

a

a

Q

a

a

a

a

P

20

Automatyka i podstawy pomiarów

Dmytro

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Kryterium Michajłowa

Mamy zatem

P(-



)=P









,

Q(-



)=-Q(



)

.

Wystarczy więc zbadać przebieg jednej
gałęzi krzywej, dla pulsacji zniemiającej się
od

0

do

+

.

Kryterium Michajłowa można sformułować
ostatecznie jak następuje: układ jest stabilny
wtedy i tylko wtedy, gdy zmiana argumentu
krzywej

A(j



)

przy zmianie pulsacji





od

0

do

+

wynosi

n



/2

, gdzie

n

oznacza stopień

równania charakterystycznego. Krzywa

A(j



)

nazywa

się

niekiedy

krzywą

charakterystyczną

lub

hodografem

Michajłowa.

21

Automatyka i podstawy pomiarów

Dmytro

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Kryterium Michajłowa

P(



)

jQ(



)

n=

1



=

0



→∞



→∞

n=

2

n=

3

n=

4

Przykłady krzywych układów stabilnych

22

Automatyka i podstawy pomiarów

Dmytro

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Kryterium Michajłowa

P(



)

jQ(



)



=

0

n=

2

n=

3

n=

4

Przykłady krzywych układów

niestabilnych

23

Automatyka i podstawy pomiarów

Dmytro

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Kryterium Nyquista

Kryterium Nyquista ma duże znaczenie
praktyczne,

ponieważ

pozwala

badać

stabilność układu zamkniętego na podstawie
przebiegu

charakterystyki

częstotliwościowej układu otwartego, którą
można wyznaczyć zarówno analitycznie, jak i
doświadczalnie.

G

1

G

2

x

y

24

Automatyka i podstawy pomiarów

Dmytro

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Kryterium Nyquista

Transmitancja układu otwartego wynosi

G

o

(s)=G

1

(s)G

2

(s)

, lub

przy

czym

A

o

(s)=0

jest

równaniem

charakterystycznym

układu

otwartego.

Transmitancja układu zamkniętego wynosi

Równanie

charakterystyczne

układu

zamkniętego

A

z

(s)=1+G

o

(s)=A

o

(s)+B

o

(s)=0

,

jest tego samego stopnia jak i otwartego.

 

 

 

s

A

s

B

s

G

o

o

o



 

 

   

 

 

s

G

s

G

s

G

s

G

s

G

s

G

o

z









1

1

1

2

1

1

25

Automatyka i podstawy pomiarów

Dmytro

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Kryterium Nyquista

Zbadamy zmianę argumentu funkcji

Jeżeli otwarty układ regulacji automatycznej
jest

stabilny

i

jego

charakterystyka

amplitudowo-fazowa

G

o

(j



)

dla pulsacji





od

0

do

+

nie obejmuje punktu

(-1,j0)

, to

wtedy i tylko wtedy po zamknięciu będzie
on również stabilny.













)

(

arg

)

(

arg

)

(

1

arg

0

0

0













j

A

j

A

j

G

o

z

o































 

 

 

s

G

s

G

s

G

z

o

1

1





26

Automatyka i podstawy pomiarów

Dmytro

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Kryterium Nyquista

Przykłady charakterystyk ukladów

P(



)

jQ(



)



=

0



=

∞

(-1,j0)

niestabilny

stabilny

27

Automatyka i podstawy pomiarów

Dmytro

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Kryterium Nyquista

P(



)

jQ(



)



=

0



=

∞

Przykłady charakterystyk ukladów

(-1,j0)

niestabilny

stabilny

28

Automatyka i podstawy pomiarów

Dmytro

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Kryterium Nyquista

P(



)

jQ(



)



=

0



=

∞

Przykłady charakterystyk ukladów

(-1,j0)

niestabilny

stabilny

29

Automatyka i podstawy pomiarów

Dmytro

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Kryterium Nyquista

Jeżeli otwarty układ jest niestabilny i ma

m

pierwiastków

swego

równania

charakterystycznego

w

prawej

półpłaszczyźnie, to po zamknięciu będzie on
stabilny

wtedy

i

tylko

wtedy,

gdy

charakterystyka

amplitudowo-fazowa

układu otwartego dla pulsacji





od

0

do

+

okrąża

m/2

razy punkt

(-1,j0)

w kierunku

dodatnim (przeciwnie do ruchu wskazówek
zegara).

30

Automatyka i podstawy pomiarów

Dmytro

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Kryterium Nyquista

Zastosowanie kryterium Nyquista w tym
przypadku

wymaga

znajomości

liczby

pierwiastków

równania

charakterystycznego układu otwartego z
dodatnią częścią rzeczywistą, co bardzo
ogranicza jego znaczenie.
Omawiany przypadek jest bardzo rzadki,
gdyż układy automatyki spotykane w
praktyce są zwykle w stanie otwartym
stabilne (

m = 0

).

31

Automatyka i podstawy pomiarów

Dmytro

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Logarytmiczne kryterium

Rozważmy

dwa

układy

otwarte

przedstawione na rysunku (stabilny

a

i

niestabilny

b

po zamknęciu).

P(



)

jQ(



)



=

0



=

∞

(-1,j0)

niestabilny

stabilny



A





xa



xb



1a

a

b

32

Automatyka i podstawy pomiarów

Dmytro

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Logarytmiczne kryterium

Z kryterium Nyquista wynika warunek
stabilności:

gdzie



x

jest pulsacja, dla której

Równocześnie na wykresie określić można
tzw. zapas stabilności układu

a

, w postaci

zapasu modułu



A

i zapasu fazy



.





1



x

o

j

G











 180

arg

x

o

j

G



33

Automatyka i podstawy pomiarów

Dmytro

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Logarytmiczne kryterium

Jeżeli charakterystyka częstotliwościowa
układu otwartego podana jest w postaci
logarytmicznych

charakterystyk

amplitudowej

L(



)

i fazowej



(



)

, to

warunek można zastąpić równoważnym
warunkiem

Kryterium stabilności można sformułować
wówczas:
Zamknięty układ regulacji automatycznej
jest stabilny wtedy, gdy logarytmiczna
charakterystyka

amplitudowa

układu

otwartego ma wartość ujemną przy pulsacji
odpowiadającej przesunięciu fazowemu –
180

o

.

 





0

log

20





x

o

x

j

G

L





34

Automatyka i podstawy pomiarów

Dmytro

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Logarytmiczne kryterium

-100

-50

0

50

100

M

ag

ni

tu

de

(d

B

)

10

-2

10

-1

10

0

10

1

10

2

-270

-180

-90

0

P

ha

se

(d

eg

)

Bode Diagram

Gm = 8.52 dB (at 1.73 rad/sec) , Pm = 41.7 deg (at 1.04 rad/sec)

Frequency (rad/sec)

35

Automatyka i podstawy pomiarów

Dmytro

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Logarytmiczne kryterium

Wartości



L

i



są często narzucone

projektantowi,

gdyż

zapewniają

one

określony

charakter

przebiegów

dynamicznych w układzie, a ponadto można
traktować je jako „zapas bezpieczeństwa”,
gwarantujący stabilność nawet przy pewnych
zmianach parametrów układu, zachodzących
podczas pracy.
Jako przeciętne można przyjąć:

Układy niestabilne nie mają zapasu modułu
ani zapasu fazy. Niekiedy wyznacza się
ujemne wartości, aby wiedzić, o ile
skorygować

parametry

dla

uzyskania

stabilności.

dB

12

6



L









60

30

