prof. Józef Lisowski

PODSTAWY

AUTOMATYKI_VI_Wymagania

1

VI. WYMAGANIA DLA

UKŁADÓW AUTOMATYKI

prof. Józef Lisowski

PODSTAWY

AUTOMATYKI_VI_Wymagania

2

W zastosowaniach praktycznych układom

automatyki stawiane są następujące
wymagania:

- zapewnienia odpowiedniego

zapasu

stabilności

- osiągnięcia właściwej

jakości regulacji

w

stanach przejściowych

- nie przekroczenia dopuszczalnego

uchybu

ustalonego

.

prof. Józef Lisowski

PODSTAWY

AUTOMATYKI_VI_Wymagania

3

Do analizy

stabilności

liniowych układów

automatyki wykorzystuje się:

 kryterium analityczne Hurwitza,

 kryterium graficzne Nyquista.

Do oceny

jakości regulacji

w stanie

przejściowym stosuje się:

 parametry odpowiedzi skokowej,

 wskaźnik regulacji,

 kryteria całkowe.

Do określenia

uchybu ustalonego

regulacji

służy twierdzenie o wartości końcowej
przekształcenia Laplace’a.

prof. Józef Lisowski

PODSTAWY

AUTOMATYKI_VI_Wymagania

4

Stabilność wyraża własność pozostawania

rozwiązań równań różniczkowych opisujących

układ dynamiczny w określonym obszarze

ograniczonym.

Układ sterowania jest

stabilny

, jeżeli po

wytrąceniu ze stanu równowagi sam wraca do

stanu poprzedniego.

Pojęcie to odnosi się zarówno do zamkniętych

jak i otwartych liniowych układów sterowania.

O stabilności układu sterowania można

wnioskować na podstawie równania

różniczkowego, opisującego związek między

wielkością wyjściową y(t) a wejściową x(t).

ZAPAS STABILNOŚCI

prof. Józef Lisowski

PODSTAWY

AUTOMATYKI_VI_Wymagania

5

Dokonując przekształcenia Laplace'a równania
różniczkowego można wyznaczyć transformatę
odpowiedzi układu Y(s) w postaci:

Wielomian M(s) w mianowniku transmitancji G(s)

określa właściwości dynamiczne tego układu i

nazywa się

wielomianem

charakterystycznym

.

 

   

 

 

   

s

X

s

M

s

L

s

X

s

a

s

b

s

X

s

G

s

Y

l

n

0

l

l

k

m

0

k

k

















































m

0

k

k

k

k

n

0

l

l

l

l

dt

x

d

b

dt

y

d

a

prof. Józef Lisowski

PODSTAWY

AUTOMATYKI_VI_Wymagania

6

Rozwiązanie równania różniczkowego,

stanowiące odpowiedź układu sterowania, jest

sumą składowej wymuszonej y

w

(t) i składowej

przejściowej y

p

(t):

y(t)= y

w

(t) +

y

p

(t)

Składowa wymuszona jest określona przez

parametry układu oraz przebieg wymuszenia i

nie musi być brana pod uwagę przy badaniu

stabilności układu.
O tym czy układ nadąża za zmianami wielkości

sterującej, decyduje przebieg składowej

przejściowej, zależny od właściwości

dynamicznych układu.
Badanie stabilności układu sterowania można

zatem ograniczyć do analizy składowej

przejściowej, która jest rozwiązaniem

jednorodnego równania różniczkowego badanego

układu.

prof. Józef Lisowski

PODSTAWY

AUTOMATYKI_VI_Wymagania

7

Przebieg składowej przejściowej jest określony

przez

równanie charakterystyczne

, które

otrzymuje się poprzez przyrównanie wielomianu

charakterystycznego do zera:

M(s) = a

n

s

n

+ a

n-1

s

n-1

+ ... + a

1

s +

a

o

= 0

Jeżeli pierwiastki równania charakterystycznego

s

i

są jednokrotne, to składowa przejściowa

wyraża się kombinacją liniową funkcji

wykładniczych:

 







n

0

i

t

s

i

p

i

e

c

t

y

Na przebieg składowej przejściowej i stabilność

układu sterowania ma wpływ położenie

pierwiastków równania charakterystycznego s

i

na

płaszczyźnie zmiennej zespolonej.

prof. Józef Lisowski

PODSTAWY

AUTOMATYKI_VI_Wymagania

8

Pierwiastki rzeczywiste:

 















t

przy

0

e

c

t

y

a

s

at

1

p

1

 













t

przy

e

c

t

y

a

s

at

1

p

1

 

1

t

0

1

p

1

c

e

c

t

y

0

s









prof. Józef Lisowski

PODSTAWY

AUTOMATYKI_VI_Wymagania

9

Pierwiastki zespolone:

 







































bt

cos

e

c

e

c

e

c

t

y

jb

a

s

at

t

jb

a

2

t

jb

a

1

p

2

,

1

 































bt

cos

e

c

e

c

e

c

t

y

jb

a

s

at

t

jb

a

2

t

jb

a

1

p

2

,

1

 





















bt

cos

c

e

c

e

c

t

y

jb

s

jbt

2

jbt

1

p

2

,

1

prof. Józef Lisowski

PODSTAWY

AUTOMATYKI_VI_Wymagania

10

Aby procesy przejściowe zanikały, czyli żeby

badany układ był

stabilny

, wszystkie pierwiastki

rzeczywiste muszą być ujemne, a zespolone mieć

ujemną część rzeczywistą.
Jeżeli chociażby jeden z pierwiastków równania

charakterystycznego ma dodatnią część

rzeczywistą, to układ sterowania jest

niestabilny

.

W przypadku, w którym istnieją pierwiastki

jednokrotne o części rzeczywistej równej zeru,

układ znajduje się na

granicy stabilności

.

Przy czym dla pierwiastków rzeczywistych

odpowiedź jest aperiodyczna, a dla pierwiastków

zespolonych odpowiedź układu ma charakter

oscylacyjny.

Koniecznym i dostatecznym warunkiem

stabilności asymptotycznej (układ wraca

do poprzedniego stanu ustalonego) jest

aby Re(s

i

)<0

prof. Józef Lisowski

PODSTAWY

AUTOMATYKI_VI_Wymagania

11

Liniowy układ sterowania jest stabilny

jeżeli wszystkie pierwiastki równania

charakterystycznego mają część

rzeczywistą mniejszą od zera, czyli leżą w

lewej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej

s.

Twierdzenia, pozwalające ocenić stabilność bez
obliczania pierwiastków równania
charakterystycznego układu (biegunów),
nazywane są

kryteriami stabilności

.

Wyróżnia się:

• kryteria analityczne, np. Hurwitza lub Routha

• kryteria graficzne częstotliwościowe, np.
Nyquista

• kryteria grafo-analityczne, np. Michajłowa.

prof. Józef Lisowski

PODSTAWY

AUTOMATYKI_VI_Wymagania

12

Określa warunki, jakie powinny spełniać

współczynniki równania charakterystycznego,

aby pierwiastki tego równania miały ujemne

części rzeczywiste.

Kryterium Hurwitza

Adolf Hurwitz (1859-1919)
Niemiecki matematyk.

prof. Józef Lisowski

PODSTAWY

AUTOMATYKI_VI_Wymagania

13

Układ automatyki jest stabilny tylko wówczas,

Układ automatyki jest stabilny tylko wówczas,

gdy współczynniki równania charakterystycznego

gdy współczynniki równania charakterystycznego

M(s)=a

M(s)=a

n

n

s

s

n

n

+ a

+ a

n-1

n-1

s

s

n-1

n-1

+ ... + a

+ ... + a

1

1

s + a

s + a

0

0

= 0

= 0

układu zamkniętego

układu zamkniętego

: (a

: (a

n

n

, a

, a

n-1

n-1

, ..., a

, ..., a

0

0

)

)

oraz podwyznaczniki W

oraz podwyznaczniki W

1

1

, W

, W

2

2

, ... ,W

, ... ,W

n-1

n-1

wyznacznika Hurwitza W

wyznacznika Hurwitza W

n

n

są większe od zera.

są większe od zera.

prof. Józef Lisowski

PODSTAWY

AUTOMATYKI_VI_Wymagania

14

0

...

...

...

...

a

a

...

a

a

W

...

0

a

a

a

a

W

0

a

W

...

...

...

...

...

...

...

a

a

0

...

...

a

a

a

...

...

a

a

a

W

2

n

n

3

n

1

n

1

n

2

n

n

3

n

1

n

2

1

n

1

2

n

n

4

n

2

n

n

5

n

3

n

1

n

n







































































prof. Józef Lisowski

PODSTAWY

AUTOMATYKI_VI_Wymagania

15

W przypadku, gdy układ jest niestabilny,
kryterium Hurwitza nie pozwala określić liczby
pierwiastków równania charakterystycznego
leżących w prawej półpłaszczyźnie zmiennej
zespolonej s.

Kryterium Hurwitza nie pozwala określić zapasu
stabilności, ale umożliwia znalezienie wartości
parametrów układu automatyki przy których
będzie stabilny, np. wartości nastaw regulatora.

prof. Józef Lisowski

PODSTAWY

AUTOMATYKI_VI_Wymagania

16

Przykład

Transmitancja układu otwartego ma postać:

Należy wyznaczyć graniczną wartość
współczynnika wzmocnienia k, taką aby układ
zamknięty był stabilny dla: T

1

= 5 sek, T

2

= 2

sek, T

3

= 1,4 sek

  







s

T

1

s

T

1

s

T

1

k

s

G

3

2

1

o









Transmitancja układu

zamkniętego:

Równanie charakterystyczne układu:

T

1

T

2

T

3

s

3

+(T

1

T

2

+T

1

T

3

+T

2

T

3

)s

2

+(T

1

+T

2

+T

3

)s+1+k = 0

  







k

s

T

1

s

T

1

s

T

1

k

s

G

3

2

1

z











prof. Józef Lisowski

PODSTAWY

AUTOMATYKI_VI_Wymagania

17

stąd k > -1, zaś w praktyce k >
0

Wyznacznik Hurwitza:

gdzie:

a

3

= T

1

T

2

T

3

> 0 a

2

= T

1

T

2

+ T

1

T

3

+ T

2

T

3

> 0

a

1

= T

1

+ T

2

+ T

3

> 0 a

0

= 1+k > 0

W

1

= a

2

= 5 · 2 + 2 · 1.4 + 1.4 · 5= 19.8 > 0

W

2

= a

2

a

1

- a

0

a

3

= 19.8 · 8.4 - 14(1 + k) > 0

K< 10.88

Układ zamknięty będzie stabilny dla:
0 < k < 10.88

0

2

1

3

0

2

3

a

a

0

0

a

a

0

a

a

W 

prof. Józef Lisowski

PODSTAWY

AUTOMATYKI_VI_Wymagania

18

Kryterium Nyquista

Kryterium pozwala określić zapas stabilności
układu zamkniętego na podstawie
charakterystyki amplitudowo-fazowej (wykresu
Nyquista)
układu otwartego.

Harry Nyquist (1889-1976)
Amerykański fizyk i inżynier telekomunikacji
pochodzenia szwedzkiego.

prof. Józef Lisowski

PODSTAWY

AUTOMATYKI_VI_Wymagania

19

Transmitancja układu otwartego G

o

(s):

G

o

(s) = G

r

(s) G

ob

(s) G

p

(s)

 

 

   

 

 

 





















o

o

o

p

ob

r

o

jQ

P

j

G

j

G

j

G

j

G

j

G

prof. Józef Lisowski

PODSTAWY

AUTOMATYKI_VI_Wymagania

20

Transmitancja układu zamkniętego:

Równanie charakterystyczne:

M(j)=1 + G

o

(j)=0

stąd G

o

(j) = -1

Warunek graniczny stabilności:

Warunek graniczny stabilności:
-

amplituda: |G

amplituda: |G

o

o

(j

(j





= 1

= 1

-

faza: φ = -π

faza: φ = -π

czyli przejście charakterystyki amplitudowo-

czyli przejście charakterystyki amplitudowo-

fazowej układu otwartego przez punkt (-1, j0)

fazowej układu otwartego przez punkt (-1, j0)

prof. Józef Lisowski

PODSTAWY

AUTOMATYKI_VI_Wymagania

21

Jeżeli układ otwarty jest stabilny, to
układ zamknięty jest również
stabilny, jeżeli charakterystyka
amplitudowo-fazowa układu
otwartego nie obejmuje punktu (-1,
j0).

Jeżeli układ otwarty jest niestabilny i ma k

Jeżeli układ otwarty jest niestabilny i ma k

pierwiastków na prawej półpłaszczyźnie, to układ

pierwiastków na prawej półpłaszczyźnie, to układ

zamknięty jest stabilny, jeżeli charakterystyka

zamknięty jest stabilny, jeżeli charakterystyka

amplitudowo-fazowa układu otwartego obejmuje

amplitudowo-fazowa układu otwartego obejmuje

punkt (-1, j0) k/2 razy.

punkt (-1, j0) k/2 razy.

prof. Józef Lisowski

PODSTAWY

AUTOMATYKI_VI_Wymagania

22

Kryterium Nyquista dla układów statycznych

prof. Józef Lisowski

PODSTAWY

AUTOMATYKI_VI_Wymagania

23

Kryterium Nyquista dla układów astatycznych

prof. Józef Lisowski

PODSTAWY

AUTOMATYKI_VI_Wymagania

24

Logarytmiczne kryterium Nyquista















0

A

lg

20

1

A















0

A

lg

20

1

A

prof. Józef Lisowski

PODSTAWY

AUTOMATYKI_VI_Wymagania

25

Dla dobrze

dobranego

regulatora

zapas

zapas

amplitudy

amplitudy

powinien

wynosić

od 6 do 12 dB,

a zapas fazy

zapas fazy

od 30

o

do 60

o

  







3

2

1

o

T

j

1

T

j

1

T

j

1

k

j

G

















prof. Józef Lisowski

PODSTAWY

AUTOMATYKI_VI_Wymagania

26

JAKOŚĆ REGULACJI

W STANACH PRZEJŚCIOWYCH

Kryteria czasowe

Kryteria czasowe

Tworzą parametry odpowiedzi układu (uchybu

regulacji e lub wielkości regulowanej y) na

skokowe zmiany wielkości zadanej lub zakłóceń:

czas regulacji

t

r

jako czas po upływie którego uchyb

regulacji staje się mniejszy niż przyjęta wartość

dopuszczalna e, najczęściej przyjmuje się t

r

 min oraz

e = (0,02 ÷ 0,05) y

z

przeregulowanie

æ = e

2

/ e

1

· 100% = 10 ÷ 30 % ,

najczęściej przyjmuje się 20%

Czas regulacji określający szybkość działania układu, w
praktyce można ocenić w przybliżeniu jako: t

r

= (3 ÷ 5)

T

zast ob

prof. Józef Lisowski

PODSTAWY

AUTOMATYKI_VI_Wymagania

27

Skokowa
zmiana wartości zadanej

Skokowy
wpływ zakłóceń

prof. Józef Lisowski

PODSTAWY

AUTOMATYKI_VI_Wymagania

28

Wskaźnik regulacji

Wskaźnik regulacji

Za wskaźnik regulacji przyjmuje się stosunek
transformaty Laplace`a uchybu regulacji układu
zamkniętego E

E

r

r

(s) (z regulatorem)

(s) (z regulatorem)

do transformaty Laplace`a uchybu sterowania
układu otwartego E

E

o

o

(s) (bez regulatora)

(s) (bez regulatora)

:

Jest wskaźnikiem efektywności tłumienia
zakłóceń przez układ ze sprzężeniem zwrotnym.

 

 

s

G

1

1

s

q

o





 

 

 

s

E

s

E

s

q

o

r



prof. Józef Lisowski

PODSTAWY

AUTOMATYKI_VI_Wymagania

29

Wskaźnik regulacji w postaci widmowej:

 

 

 









j

E

j

E

j

q

o

r

prof. Józef Lisowski

PODSTAWY

AUTOMATYKI_VI_Wymagania

30

W paśmie tłumienia zakłóceń 0<ω<ω

1

,

dla którego |

q(jω)|<1, wpływ zakłóceń na wielkość regulowaną
jest q razy słabszy dla obiektu regulowanego niż
dla obiektu nieregulowanego.

W paśmie rezonansowym ω

1

<ω<ω

2

, dla którego |

q(jω)|>1, wpływ zakłóceń jest q razy silniejszy dla
obiektu regulowanego.

W paśmie nad rezonansowym ω>ω

2

, dla którego |

q(jω)|=1, wpływ zakłóceń na wielkość regulowaną
jest taki sam jak dla obiektu nieregulowanego.

prof. Józef Lisowski

PODSTAWY

AUTOMATYKI_VI_Wymagania

31

Kryteria całkowe

Kryteria całkowe

Całkowe kryteria jakości pozwalają ocenić:

- zarówno jakość regulacji w stanie nieustalonym
(zapas stabilności i szybkość działania układu),

- jak i w stanie ustalonym (dokładność
statyczna).

prof. Józef Lisowski

PODSTAWY

AUTOMATYKI_VI_Wymagania

32

 

min

dt

t

e

t

I

0

2

3









 

min

dt

t

e

I

0

4









 

min

dt

t

e

t

I

0

5









ITSE - integral of time multiplied

by squared error

IAE - integral value of error

ITAE - integral of time multiplied

by absolute value of error

 









0

2

2

min

dt

t

e

I

 

min

dt

t

e

I

0

1









IE - integral error

ISE - integral squared error

prof. Józef Lisowski

PODSTAWY

AUTOMATYKI_VI_Wymagania

33

DOPUSZCZALNY UCHYB USTALONY

DOPUSZCZALNY UCHYB USTALONY

Za miarę dokładności statycznej regulacji

przyjmuje się wartość uchybu regulacji w stanie

ustalonym:

e(t) = y

z

(t) – y(t)

Wartość tą można wyznaczyć analitycznie

wykorzystując twierdzenia o wartości końcowej

rachunku operatorowego Laplace’a.

Oczywistym jest, że najbardziej pożądaną

wartością tego uchybu jest wartość zero.

prof. Józef Lisowski

PODSTAWY

AUTOMATYKI_VI_Wymagania

34

Transformata wielkości wyjściowej y(t) jest sumą

składowej wywołanej zmianą wartości zadanej i

składowej spowodowanej oddziaływaniem

zakłóceń:

Y(s) = G

1

(s) G

2

(s) E(s) + G

2

(s) Z

1

(s)+Z

2

(s)

nastepnie

E(s) = Y

z

(s) – Y(s)

E(s) = Y

z

(s) – G

1

(s) G

2

(s) E(s) – G

2

(s) Z

1

(s)-Z

2

(s)

G

o

(s) = G

1

(s) G

2

(s)

 

   

 

   

   

s

Z

s

G

1

1

s

Z

s

G

1

s

G

s

Y

s

G

1

1

s

E

2

o

1

o

2

z

o













prof. Józef Lisowski

PODSTAWY

AUTOMATYKI_VI_Wymagania

35

Biorąc pod uwagę, że zakłócenia są
przypadkowe i nie można przewidzieć, jaki
będzie moduł i argument transformat Z

1

(s) i

Z

2

(s), dlatego znak minus można zastąpić

znakiem plus:

E(s) = G

u

(s) Y

z

(s) + G

u

(s) G

2

(s) Z

1

(s)+G

u

(s) Z

2

(s)

gdzie

nazywa się

transmitancją uchybową

układu

zamkniętego.

 

 

s

G

1

1

s

G

o

u





prof. Józef Lisowski

PODSTAWY

AUTOMATYKI_VI_Wymagania

36

Uchyb nadążania i zakłóceniowy

Na podstawie ostatniej zależności można wyrazić

składową transformaty uchybu wnoszoną przez

zmiany wielkości zadanej y

z

(t) jako

uchyb

nadążania

za zmianami wartości zadanej:

E

y

(s) = G

u

(s) Y

z

(s)

a składową wywołaną oddziaływaniem zakłóceń

w postaci

uchybu zakłóceniowego

:

E

z

(s) = G

u

(s) G

2

(s) Z

1

(s)+G

u

(s) Z

2

(s)

Wartość tych składowych w stanie ustalonym

wyznacza się korzystając z twierdzenia o

wartości końcowej przekształcenia Laplace’a.

prof. Józef Lisowski

PODSTAWY

AUTOMATYKI_VI_Wymagania

37

Wartości składowych uchybu ustalonego

wyznacza się z następujących zależności:

Dla układów z całkowaniem

Dla układów z całkowaniem

uchyb ustalony jest równy zero

uchyb ustalony jest równy zero

(1/s w G

(1/s w G

1

1

(s) - regulator lub w G

(s) - regulator lub w G

2

2

(s) - obiekt)

(s) - obiekt)

 

 

 

   

s

G

s

G

1

s

Y

s

lim

s

E

s

lim

t

e

lim

e

2

1

z

0

s

y

0

s

y

t

ust

y

















 

 

   

   

 

   

































s

G

s

G

1

s

Z

s

G

s

G

1

s

Z

s

G

s

lim

s

E

s

lim

t

e

lim

e

2

1

2

2

1

1

2

0

s

z

0

s

z

t

ust

z