CIĄGI

monotoniczność

ciągów

Spotkaliśmy się z ciągami: rosnącymi,
malejącymi.
Spróbujmy się im przyjrzeć i zapisać
matematyczne warunki.

( 4, 26, 34, 57, 67,……..) - ciąg rosnący

( ¾ , ¾ , ¾ , ¾ , ¾ , ¾ , ………) - ciąg stały

( 7, -2, -23, -33, -47, -89, ……….) - ciąg malejący

( 3, 3, 3, 0, -2, -7, -7, -10, ……) - ciąg nierosnący

(2, 4, 7, 7, 7, 13, 15, 15, …….) - ciąg niemalejący

CIĄG ROSNĄCY

Ustawmy dowolne elementy w ciąg rosnący; w
ciągu liczbowym wstawmy znaki pomiędzy
wyrazami.

(



,



,



,



,



,



,



…….)

( 0, 7, 11, 12, 23,
………………………….. )

( a

1

< a

2

< a

3

< a

4

< a

5

< <

a

n

<

a

n+1

)

Patrząc na dowolne miejsca w ciągu możemy
ogólnie zapisać:

a

n

< a

n+1

i przekształcić nierówność

a

n+1

> a

n

a

n+1

-

a

n

> 0

Otrzymaliśmy warunek na to, aby ciąg (a

n

) był

rosnący:

a

n+1

-

a

n

> 0

„Różnica pomiędzy dowolnym wyrazem a

n+1

a wyrazem go bezpośrednio poprzedzającym a

n

jest dodatnia”

Ćw. Sprawdź z definicji, czy ciąg jest rosnący:

a)a

n

= 10n + 2

wyznaczmy wyraz a

n+1

oraz różnicę a

n+1

- a

n

a

n+1

= 10(n+1) + 2

a

n+1

– a

n

=

= 10(n+1) + 2 – [10n + 2] =
= 10n + 10 + 2 – 10n – 2 = 10 otrzymana liczba
jest
dodatnia, co możemy zapisać:

a

n+1

– a

n

> 0

ciąg (a

n

) jest rosnący

b)

b

n

= n

2

+ 3n + 6

wyznaczmy wyraz b

n+1

b

n+1

= (n+1)

2

+ 3(n+1) + 6 = n

2

+ 2n + 1 + 3n + 3

+ 6 = n

2

+ 5n + 10

obliczmy różnicę: b

n+1

- b

n

b

n+1

– b

n

=

= [n

2

+ 5n + 10] – [n

2

+ 3n + 6 ] =

= n

2

+ 5n + 10 – n

2

– 3n – 6 = 2n + 4 otrzymane

wyrażenie jest dodatnie ( n jest liczbą dodatnią, 2n
jest liczbą dodatnią więc 2n + 4 również dodatnie);
dlatego możemy zapisać:

b

n+1

– b

n

> 0

ciąg (b

n

) jest rosnący

CIĄG MALEJĄCY

(



,



,



,



,



, …….)

( 10, 7, 1, -5, -6, ………………………….. )

wstawmy odpowiednie znaki pomiędzy wyrazami
w ciągu:

( a

1

> a

2

> a

3

> a

4

> a

5

> >

a

n

> a

n+1

)

Patrząc na dowolne miejsca w ciągu możemy
ogólnie zapisać:

a

n

> a

n+1

i przekształcić nierówność

a

n+1

< a

n

a

n+1

-

a

n

< 0

Otrzymaliśmy warunek na to, aby ciąg (a

n

) był

malejący:

a

n+1

-

a

n

< 0

„Różnica pomiędzy dowolnym wyrazem

a wyrazem go bezpośrednio poprzedzającym

jest ujemna”

Ćw

.

Sprawdź czy ciąg jest malejący

a

n

= 20 – n

wyznaczmy wyraz a

n+1

oraz różnicę a

n+1

- a

n

a

n+1

= 20 – (n+1)

a

n+1

– a

n

=

= 20 – (n+1) – [20 – n ] =
= 20 – n – 1 – 20 + n = -1 otrzymana liczba
jest
ujemna, co możemy zapisać:

a

n+1

– a

n

< 0

ciąg (a

n

) jest malejący

CIĄG STAŁY

( 6, 6, 6, 6, 6, …………..)

a

2

– a

1

= 6 – 6 = 0

a

3

– a

2

= 6 – 6 = 0

a

4

– a

3

= 6 – 6 = 0

Widzimy, że różnica pomiędzy wyrazami jest stała,
równa 0
Matematycznie zapiszemy:

a

n+1

-

a

n

= 0

Otrzymaliśmy warunek na to, aby ciąg (a

n

) był stały

CIĄG NIEMALEJĄCY

Zbiór punktów dla tego ciągu przedstawia
wykres.

Z wykresu widzimy, że ciąg wzrasta lub jest stały.
Matematyczny warunek dla ciągu niemalejącego:

a

n+1

- a

n

≥ 0

a

n

3
2
1

-1

· ·
·
·
· · · ·
·
·

1 2 3 n

CIĄG NIEROSNĄCY

Narysujmy wykres do tego rodzaju ciągu:

Z wykresu widzimy, że ciąg maleje lub jest stały.
Matematyczny warunek dla ciągu nierosnącego:

a

n+1

- a

n

≤ 0

a

n

3
2
1

· · ·
·
· · · ·
·
·

1 2 3
n

Ćwiczenia. Określ rodzaj ciągu:

(1)

a

n

= n

3

+ 7n + 8

wyznaczmy wyraz a

n+1

a

n+1

= (n+1)

3

+ 7(n+1) + 8 = n

3

+ 3n

2

+ 3n + 1 + 7n

+ 7 + 8 = n

3

+ 3n

2

+ 10n + 16

obliczmy różnicę:
a

n+1

– a

n

=

= [n

3

+ 3n

2

+ 10n + 16] – [n

3

+ 7n + 8 ] =

= n

3

+ 3n

2

+ 10n + 16 – n

3

– 7n – 8 = 3n

2

+ 3n + 8

otrzymane wyrażenie jest dodatnie
a

n+1

– a

n

> 0

ciąg (a

n

) jest rosnący

(2)

b

n

= – n

3

– 4

wyznaczmy wyraz b

n+1

b

n+1

= – (n+1)

3

– 4 = – ( n

3

+ 3n

2

+ 3n + 1 ) – 4 =

– n

3

– 3n

2

– 3n – 1 – 4 = – n

3

– 3n

2

– 3n – 5

obliczmy różnicę:
b

n+1

– b

n

=

= [– n

3

– 3n

2

– 3n – 5 ] – [– n

3

– 4 ] =

= – n

3

– 3n

2

– 3n – 5 + n

3

+ 4 = – 3n

2

– 3n – 1

otrzymane wyrażenie jest ujemne

b

n+1

– b

n

< 0

ciąg (b

n

) jest malejący

(3)

c

n

= 102

wyznaczmy wyraz c

n+1

c

n+1

= 102

obliczmy różnicę:
c

n+1

– c

n

= 102 – 102 = 0

c

n+1

– c

n

= 0

ciąg (c

n

) jest stały

(4)

wyznaczmy wyraz d

n+1

obliczmy różnicę:

otrzymane wyrażenie jest dodatnie
d

n+1

– d

n

> 0

ciąg (d

n

) jest rosnący

(5)

wyznaczmy wyraz e

n+1

obliczmy różnicę:

e

n+1

– e

n

< 0

ciąg (e

n

) jest malejący