CIĄGI
monotoniczność
ciągów
CIĄGI
monotoniczność
ciągów
Spotkaliśmy się z ciągami: rosnącymi,
malejącymi.
Spróbujmy się im przyjrzeć i zapisać
matematyczne warunki.
( 4, 26, 34, 57, 67,……..) - ciąg rosnący
( ¾ , ¾ , ¾ , ¾ , ¾ , ¾ , ………) - ciąg stały
( 7, -2, -23, -33, -47, -89, ……….) - ciąg malejący
( 3, 3, 3, 0, -2, -7, -7, -10, ……) - ciąg nierosnący
(2, 4, 7, 7, 7, 13, 15, 15, …….) - ciąg niemalejący
CIĄG ROSNĄCY
Ustawmy dowolne elementy w ciąg rosnący; w
ciągu liczbowym wstawmy znaki pomiędzy
wyrazami.
(
,
,
,
,
,
,
…….)
( 0, 7, 11, 12, 23,
………………………….. )
( a
1
< a
2
< a
3
< a
4
< a
5
< <
a
n
<
a
n+1
)
Patrząc na dowolne miejsca w ciągu możemy
ogólnie zapisać:
a
n
< a
n+1
i przekształcić nierówność
a
n+1
> a
n
a
n+1
-
a
n
> 0
Otrzymaliśmy warunek na to, aby ciąg (a
n
) był
rosnący:
a
n+1
-
a
n
> 0
„Różnica pomiędzy dowolnym wyrazem a
n+1
a wyrazem go bezpośrednio poprzedzającym a
n
jest dodatnia”
Ćw. Sprawdź z definicji, czy ciąg jest rosnący:
a)a
n
= 10n + 2
wyznaczmy wyraz a
n+1
oraz różnicę a
n+1
- a
n
a
n+1
= 10(n+1) + 2
a
n+1
– a
n
=
= 10(n+1) + 2 – [10n + 2] =
= 10n + 10 + 2 – 10n – 2 = 10 otrzymana liczba
jest
dodatnia, co możemy zapisać:
a
n+1
– a
n
> 0
ciąg (a
n
) jest rosnący
b)
b
n
= n
2
+ 3n + 6
wyznaczmy wyraz b
n+1
b
n+1
= (n+1)
2
+ 3(n+1) + 6 = n
2
+ 2n + 1 + 3n + 3
+ 6 = n
2
+ 5n + 10
obliczmy różnicę: b
n+1
- b
n
b
n+1
– b
n
=
= [n
2
+ 5n + 10] – [n
2
+ 3n + 6 ] =
= n
2
+ 5n + 10 – n
2
– 3n – 6 = 2n + 4 otrzymane
wyrażenie jest dodatnie ( n jest liczbą dodatnią, 2n
jest liczbą dodatnią więc 2n + 4 również dodatnie);
dlatego możemy zapisać:
b
n+1
– b
n
> 0
ciąg (b
n
) jest rosnący
CIĄG MALEJĄCY
(
,
,
,
,
, …….)
( 10, 7, 1, -5, -6, ………………………….. )
wstawmy odpowiednie znaki pomiędzy wyrazami
w ciągu:
( a
1
> a
2
> a
3
> a
4
> a
5
> >
a
n
> a
n+1
)
Patrząc na dowolne miejsca w ciągu możemy
ogólnie zapisać:
a
n
> a
n+1
i przekształcić nierówność
a
n+1
< a
n
a
n+1
-
a
n
< 0
Otrzymaliśmy warunek na to, aby ciąg (a
n
) był
malejący:
a
n+1
-
a
n
< 0
„Różnica pomiędzy dowolnym wyrazem
a wyrazem go bezpośrednio poprzedzającym
jest ujemna”
Ćw
.
Sprawdź czy ciąg jest malejący
a
n
= 20 – n
wyznaczmy wyraz a
n+1
oraz różnicę a
n+1
- a
n
a
n+1
= 20 – (n+1)
a
n+1
– a
n
=
= 20 – (n+1) – [20 – n ] =
= 20 – n – 1 – 20 + n = -1 otrzymana liczba
jest
ujemna, co możemy zapisać:
a
n+1
– a
n
< 0
ciąg (a
n
) jest malejący
CIĄG STAŁY
( 6, 6, 6, 6, 6, …………..)
a
2
– a
1
= 6 – 6 = 0
a
3
– a
2
= 6 – 6 = 0
a
4
– a
3
= 6 – 6 = 0
Widzimy, że różnica pomiędzy wyrazami jest stała,
równa 0
Matematycznie zapiszemy:
a
n+1
-
a
n
= 0
Otrzymaliśmy warunek na to, aby ciąg (a
n
) był stały
CIĄG NIEMALEJĄCY
Zbiór punktów dla tego ciągu przedstawia
wykres.
Z wykresu widzimy, że ciąg wzrasta lub jest stały.
Matematyczny warunek dla ciągu niemalejącego:
a
n+1
- a
n
≥ 0
a
n
3
2
1
-1
· ·
·
·
· · · ·
·
·
1 2 3 n
CIĄG NIEROSNĄCY
Narysujmy wykres do tego rodzaju ciągu:
Z wykresu widzimy, że ciąg maleje lub jest stały.
Matematyczny warunek dla ciągu nierosnącego:
a
n+1
- a
n
≤ 0
a
n
3
2
1
· · ·
·
· · · ·
·
·
1 2 3
n
Ćwiczenia. Określ rodzaj ciągu:
(1)
a
n
= n
3
+ 7n + 8
wyznaczmy wyraz a
n+1
a
n+1
= (n+1)
3
+ 7(n+1) + 8 = n
3
+ 3n
2
+ 3n + 1 + 7n
+ 7 + 8 = n
3
+ 3n
2
+ 10n + 16
obliczmy różnicę:
a
n+1
– a
n
=
= [n
3
+ 3n
2
+ 10n + 16] – [n
3
+ 7n + 8 ] =
= n
3
+ 3n
2
+ 10n + 16 – n
3
– 7n – 8 = 3n
2
+ 3n + 8
otrzymane wyrażenie jest dodatnie
a
n+1
– a
n
> 0
ciąg (a
n
) jest rosnący
(2)
b
n
= – n
3
– 4
wyznaczmy wyraz b
n+1
b
n+1
= – (n+1)
3
– 4 = – ( n
3
+ 3n
2
+ 3n + 1 ) – 4 =
– n
3
– 3n
2
– 3n – 1 – 4 = – n
3
– 3n
2
– 3n – 5
obliczmy różnicę:
b
n+1
– b
n
=
= [– n
3
– 3n
2
– 3n – 5 ] – [– n
3
– 4 ] =
= – n
3
– 3n
2
– 3n – 5 + n
3
+ 4 = – 3n
2
– 3n – 1
otrzymane wyrażenie jest ujemne
b
n+1
– b
n
< 0
ciąg (b
n
) jest malejący
(3)
c
n
= 102
wyznaczmy wyraz c
n+1
c
n+1
= 102
obliczmy różnicę:
c
n+1
– c
n
= 102 – 102 = 0
c
n+1
– c
n
= 0
ciąg (c
n
) jest stały
(4)
wyznaczmy wyraz d
n+1
obliczmy różnicę:
otrzymane wyrażenie jest dodatnie
d
n+1
– d
n
> 0
ciąg (d
n
) jest rosnący
(5)
wyznaczmy wyraz e
n+1
obliczmy różnicę:
e
n+1
– e
n
< 0
ciąg (e
n
) jest malejący