dr Krzysztof Kisiel
Badanie monotoniczno´sci funkcji. Ekstrema
funkcji
Warunki wystarczaj ˛
ace monotoniczno´sci funkcji
Twierdzenie 1. Niech
I
oznacza dowolny przedział. Je˙zeli dla ka˙zdego
x ∈ I
funkcja
f
spełnia warunek:
1.
f
0
(x) = 0
, to
f
jest stała na
I
;
2.
f
0
(x) > 0
, to
f
jest rosn ˛
aca na
I
;
3.
f
0
(x) ≥ 0
, to
f
jest niemalej ˛
aca na
I
;
4.
f
0
(x) < 0
, to
f
jest malej ˛
aca na
I
;
5.
f
0
(x) ≤ 0
, to
f
jest nierosn ˛
aca na
I
;
Definicja 2. Funkcja
f
ma w punkcie
x
0
minimum lokalne wła´sciwe, je˙zeli:
∃
U (x
0
)
∀
x∈U (x
0
)
f (x
0
) < f (x).
Definicja 3. Funkcja
f
ma w punkcie
x
0
minimum lokalne niewła´sciwe, je˙zeli:
∃
U (x
0
)
∀
x∈U (x
0
)
f (x
0
) ≤ f (x).
Definicja 4. Funkcja
f
ma w punkcie
x
0
maksimum lokalne wła´sciwe, je˙zeli:
∃
U (x
0
)
∀
x∈U (x
0
)
f (x
0
) > f (x).
Definicja 5. Funkcja
f
ma w punkcie
x
0
maksimum lokalne niewła´sciwe, je˙zeli:
∃
U (x
0
)
∀
x∈U (x
0
)
f (x
0
) ≥ f (x).
Warunek konieczny istnienia ekstremum - Twierdzenie Fermata
Twierdzenie 6. Je˙zeli funkcja
f
ma:
1. ekstremum (minimum lub maksimum) lokalne w punkcie
x
0
;
2. pochodn ˛
a
f
0
(x
0
)
;
to
f
0
(x
0
) = 0.
Lokalizacja ekstremów funkcji
Uwaga 7. Funkcja mo˙ze mie´c ekstrema lokalne jedynie w punktach zerowania
si˛e jej pochodnej albo w punktach, w których ta pochodna nie istnieje.
I warunek wystarczaj ˛
acy istnienia ekstremum
Twierdzenie 8. Je˙zeli funkcja
f
spełnia warunki:
1.
f
0
(x
0
) = 0
2.
∃
δ>0
f
0
(x) > 0 ∀
x∈S(x
−
0
,δ)
f
0
(x) < 0 ∀
x∈S(x
+
0
,δ)
,
to w punkcie
x
0
ma maksimum lokalne wła´sciwe.
I warunek wystarczaj ˛
acy istnienia ekstremum
Twierdzenie 9. Je˙zeli funkcja
f
spełnia warunki:
1.
f
0
(x
0
) = 0
2.
∃
δ>0
f
0
(x) < 0 ∀
x∈S(x
−
0
,δ)
f
0
(x) > 0 ∀
x∈S(x
+
0
,δ)
,
to w punkcie
x
0
ma minimum lokalne wła´sciwe.
II warunek wystarczaj ˛
acy istnienia ekstremum
Twierdzenie 10. Je˙zeli funkcja
f
spełnia warunki:
1.
f
0
(x
0
) = 0
2.
f ”(x
0
) < 0
to w punkcie
x
0
funkcja
f
ma maksimum lokalne wła´sciwe.
II warunek wystarczaj ˛
acy istnienia ekstremum
Twierdzenie 11. Je˙zeli funkcja
f
spełnia warunki:
1.
f
0
(x
0
) = 0
2.
f ”(x
0
) > 0
to w punkcie
x
0
ma minimum lokalne wła´sciwe.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
6 Granica ciągu liczbowego Ciągi monotoniczne Zbieżność ciągów monotonicznych Liczba ex
ekstremum,monotonicznosc,hospital
1 druk czynniki psychofiz stres,monotonia
Znajdź przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji
Walka z monotonią, BHP
Monotoniczność, ekstrema i wykresy funkcji
pochodne i monotoniczność
Monotonicznosc i ekstrema Zad Rozwiazanie zadania domowego id
odp monotoniczność ciągów
METODY WALKI Z MONOTONIA W MIEJSCU PRACY[1], BHP, Technik BHP Egzamin Zawodowy, Podstawy ergonomi i
cw7 ns Pochodne monotonicznosc i ekstrema lokalne
monotonicznosc
pochodna, monotoniczność, wypukłość
monotoniczność funkcji
Monotonia, BHP
Cw Terapia monotorowana glikozydy nasercowe przeciwarytmiczne materialy
Monotonicznosc i ekstrema Zad Zadanie domowe id 780890
więcej podobnych podstron