Zastosowanie rachunku pochodnych y-f(x0) = f’(x0) (x-x0)

Jak wyznaczyć ekstremu funkcji.

Niech dana będzie funkcja y-f(x) , która określona na pewnym otoczeniu punktu x0 o promieniu d (delta). Funkcja ma maximum lokalne <-> jeżeli E d>0 A sąsiedztwa S(x0,d) f(x) < f(x0). Funkcja ma minimum lokalne E d>0 A S(x0,d) f(x) > f(x0). Maksimum / minimum funkcji nazywamy ekstremum funkcji. ( nie mylić ekstremum z największą / najmniejszą wartością funkcji ) .

Warunek konieczny istnienia Ekstremum Funkcji. Jeżeli funkcja f(x) ma ekstremum w punkcie x0 to I pochodna w tym punkcie jest równa 0 f’(x0)=0.

Warunek wystarczający jeżeli funkcja f(x) w punkcie x0 ma pierwszą pochodną na pewnym sąsiedztwie S( x0,d) – otoczenie po wyjęciu punktu. f’(x) > 0 ( x0-d ,x0) f’(x) < 0 dla (x0,x0+d) rys.2 f’(x) < 0 dla (x0-d,x0) f’(x) > 0 dla (x0,x0-d) rys.3

Monotoniczność , funkcji a I pochodna . Pochodna funkcji y=f(x) jest w każdym przedziale a,b dodatnia to funkcja na tym przedziale jest funkcją rosnącą. Jeżeli pochodna funkcji w przedziale a, b będzie ujemna , to funkcja w tym przedziale będzie malejąca. Rys 4. Rys5.

Drugi warunek wystarczający . Jeżeli f(x) ma na pewnym otoczeniu punktu x0 pierwszą pochodną oraz drugą pochodną ciągłą nie równą zero , to f(x) ma w punkcie x0 max lokalne gdy f’’(x0) < 0 = max , f’’(x0) >0 minimum.

Tw. De Hospitala

1.Jeżeli f(x) /g(x) oraz f’(x)/g’(x) ( liczone osobno ) są określone w pewnym sąsiedztwie x0 o promieniu d( delta) 2. Limes f(x) =0 przy x->x0 i lim g(x) =0 przy x->x0 lub te granice są niewłaściwe (+- nieskończoność) 3. Istnieje granica lim f’(x) /g’(x) 9 z ilorazu pochodnych funkcji ) , może być właściwa , 0 +- niesko. To istnieje taka granica lim f(x) /g(x) =H lim f’(x)/g’(x) Przykład :Lim x->0 3x + e-x -ex/x =[0/0] a =H Lim x->0 3-e -x -ex/1 ( tam z x wstawiam 0 i mam e do 0 czyli 1 ) [1/1]=1