Analiza produkcji

Analiza produkcji

Funkcja produkcji Cobba-Douglasa

Funkcja produkcji Cobba-Douglasa

Proces produkcyjny jest najważniejszym

Proces produkcyjny jest najważniejszym

elementem działalności przedsiębiorstwa

elementem działalności przedsiębiorstwa

produkcyjnego. Proces ten może być badany z

produkcyjnego. Proces ten może być badany z

różnych punktów widzenia. Jednym z nich,

różnych punktów widzenia. Jednym z nich,

niekoniecznie najważniejszym, jest analiza

niekoniecznie najważniejszym, jest analiza

ekonometryczna. Polega ona na badaniu

ekonometryczna. Polega ona na badaniu

ilościowych relacji między różnymi zjawiskami

ilościowych relacji między różnymi zjawiskami

techniczno-ekonomicznymi występującymi w

techniczno-ekonomicznymi występującymi w

procesie produkcyjnym. Zależności między tymi

procesie produkcyjnym. Zależności między tymi

zjawiskami są (powinny być) silne i

zjawiskami są (powinny być) silne i

wielokierunkowe.

wielokierunkowe.

Narzędziem badawczym jest model

Narzędziem badawczym jest model

ekonometryczny. Może to być model jedno- lub

ekonometryczny. Może to być model jedno- lub

wielorównaniowy, w którym przynajmniej jedną

wielorównaniowy, w którym przynajmniej jedną

ze zmiennych endogenicznych nieopóźnionych w

ze zmiennych endogenicznych nieopóźnionych w

czasie jest poziom produkcji określonego dobra.

czasie jest poziom produkcji określonego dobra.

Ograniczając się w rozważaniach do modeli

Ograniczając się w rozważaniach do modeli

jednorównaniowych funkcja produkcji może mieć

jednorównaniowych funkcja produkcji może mieć

różną postać analityczną. W takim modelu zmienną

różną postać analityczną. W takim modelu zmienną

objaśnianą jest wielkość produkcji, natomiast

objaśnianą jest wielkość produkcji, natomiast

zmiennymi objaśniającymi są tzw. czynniki

zmiennymi objaśniającymi są tzw. czynniki

produkcji.

produkcji.

W teorii ekonomii wyróżnia się trzy główne

W teorii ekonomii wyróżnia się trzy główne

czynniki produkcji:

czynniki produkcji:

-

pracę żywą,

pracę żywą,

-

pracę uprzedmiotowioną (kapitał),

pracę uprzedmiotowioną (kapitał),

-

ziemię (zwłaszcza w rolnictwie).

ziemię (zwłaszcza w rolnictwie).

W przedsiębiorstwach nierolniczych zmienia

W przedsiębiorstwach nierolniczych zmienia

na ogół nie odgrywa istotnej roli, dlatego ten

na ogół nie odgrywa istotnej roli, dlatego ten

czynnik pomijamy.

czynnik pomijamy.

Najczęściej spotykaną w praktyce postacią

Najczęściej spotykaną w praktyce postacią

analityczną funkcji produkcji jest funkcja potęgowa,

analityczną funkcji produkcji jest funkcja potęgowa,

zwana funkcją produkcji

zwana funkcją produkcji

Cobba-Douglasa

Cobba-Douglasa

:

:

Zasadniczo funkcja ta przybiera postać

Zasadniczo funkcja ta przybiera postać

dwuczynnikową:

dwuczynnikową:

jeżeli , to: jeżeli , to: jeżeli , to:

Funkcja ta ma teoretyczne uzasadnienie i znalazła

Funkcja ta ma teoretyczne uzasadnienie i znalazła

potwierdzenie w praktyce.

potwierdzenie w praktyce.

.

...

ˆ

2

1

2

1

0

k

k

X

X

X

P











0

y

z

k

y

z

0

k

y

z

0

k

,

)

,

(





z

ak

z

k

f

y





.

0

,

,







a

1









1









1









Często stosowaną postacią analityczną jest

Często stosowaną postacią analityczną jest

również postać liniowa:

również postać liniowa:

Różne własności i cechy funkcji

Różne własności i cechy funkcji

produkcji opisuje się korzystając z szeregu

produkcji opisuje się korzystając z szeregu

pojęć, które określa się jako

pojęć, które określa się jako

charakterystyki

charakterystyki

funkcji produkcji

funkcji produkcji

. Kolejne definicje,

. Kolejne definicje,

interpretacje i przykłady je pokazują.

interpretacje i przykłady je pokazują.

bz

ak

y





0

, 

b

a

0

y

z

k

Do ekonometrycznej analizy procesu

Do ekonometrycznej analizy procesu

produkcyjnego stosuje się kilka mierników

produkcyjnego stosuje się kilka mierników

syntetycznych.

syntetycznych.

Produkt całkowity

Produkt całkowity

jest to teoretyczna wartość

jest to teoretyczna wartość

zmiennej objaśnianej przy znanych, prognozowanych lub

zmiennej objaśnianej przy znanych, prognozowanych lub

ustalonych wartościach wszystkich zmiennych

ustalonych wartościach wszystkich zmiennych

objaśnianych, czyli:

objaśnianych, czyli:

Oznacza on taki poziom produkcji, który powinien

Oznacza on taki poziom produkcji, który powinien

być osiągnięty przy określonych wielkościach

być osiągnięty przy określonych wielkościach

wszystkich czynników produkcji występujących w

wszystkich czynników produkcji występujących w

modelu. Miano tego czynnika jest oczywiście takie

modelu. Miano tego czynnika jest oczywiście takie

samo, jak miano zmiennej objaśnianej, czyli produkcji.

samo, jak miano zmiennej objaśnianej, czyli produkcji.

Porównanie rzeczywistego poziomu produkcji z

Porównanie rzeczywistego poziomu produkcji z

odpowiadającym mu produktem całkowitym pozwala na

odpowiadającym mu produktem całkowitym pozwala na

ocenę działalności firmy w danym okresie. W sytuacji,

ocenę działalności firmy w danym okresie. W sytuacji,

gdy rzeczywisty poziom produkcji jest większy od

gdy rzeczywisty poziom produkcji jest większy od

produktu całkowitego, ocena ta jest pozytywna, w

produktu całkowitego, ocena ta jest pozytywna, w

sytuacji odwrotnej – negatywna, co zmusza do szukania

sytuacji odwrotnej – negatywna, co zmusza do szukania

przyczyn powstania takiej sytuacji.

przyczyn powstania takiej sytuacji.

.

ˆ

P

PC 

Miano produktu przeciętnego jest

Miano produktu przeciętnego jest

stosunkiem miana produkcji do miana

stosunkiem miana produkcji do miana

i-

i-

tego

tego

czynnika produkcji. Interpretacja produktu

czynnika produkcji. Interpretacja produktu

przeciętnego jest następująca:

przeciętnego jest następująca:

produkt

produkt

przeciętny jest to przeciętna wielkość

przeciętny jest to przeciętna wielkość

produkcji przypadająca na jednostkę

produkcji przypadająca na jednostkę

i

i

-tego

-tego

czynnika produkcji przy ustalonych

czynnika produkcji przy ustalonych

wartościach wszystkich czynników produkcji

wartościach wszystkich czynników produkcji

(czyli w ustalonym punkcie).

(czyli w ustalonym punkcie).

Interpretacja ta

Interpretacja ta

jest równoważna pojęciu przeciętnej wydajności

jest równoważna pojęciu przeciętnej wydajności

(produktywności) czynnika produkcji w ustalonych

(produktywności) czynnika produkcji w ustalonych

warunkach.

warunkach.





.

,...,

,

ˆ

2

1

i

k

i

i

i

X

X

X

X

f

X

P

X

PC

PP







Produkt krańcowy (marginalny)

Produkt krańcowy (marginalny)

określa

określa

zmianę wielkości produkcji, spowodowaną zmianą

zmianę wielkości produkcji, spowodowaną zmianą

i

i

-

-

tego czynnika produkcji o jednostkę (przy ustalonym

tego czynnika produkcji o jednostkę (przy ustalonym

poziomie pozostałych czynników produkcji):

poziomie pozostałych czynników produkcji):

Jeśli znana jest postać analityczna funkcji produkcji,

Jeśli znana jest postać analityczna funkcji produkcji,

to produkt krańcowy jest pochodną cząstkową tej

to produkt krańcowy jest pochodną cząstkową tej

funkcji względem

funkcji względem

i

i

-tego czynnika produkcji:

-tego czynnika produkcji:

Miano produktu krańcowego jest takie samo jak

Miano produktu krańcowego jest takie samo jak

miano produktu przeciętnego. Interpretacja produktu

miano produktu przeciętnego. Interpretacja produktu

krańcowego jest następująca:

krańcowego jest następująca:

produkt krańcowy

produkt krańcowy

jest to oczekiwany przyrost produkcji,

jest to oczekiwany przyrost produkcji,

spowodowany przyrostem

spowodowany przyrostem

i

i

-tego czynnika

-tego czynnika

produkcji o jednostkę przy założeniu, że

produkcji o jednostkę przy założeniu, że

pozostałe czynniki produkcji nie zmieniają się.

pozostałe czynniki produkcji nie zmieniają się.

.

ˆ

i

i

X

P

PK







.

ˆ

ˆ

lim

0

i

i

X

i

X

P

X

P

PK

i

















Elastyczność produkcji

Elastyczność produkcji

względem

względem

i

i

-tego

-tego

czynnika produkcji określa względną zmianę wielkości

czynnika produkcji określa względną zmianę wielkości

produkcji (w procentach) spowodowaną względną

produkcji (w procentach) spowodowaną względną

zmianą tylko

zmianą tylko

i

i

-tego czynnika produkcji o jeden procent

-tego czynnika produkcji o jeden procent

(przy ustalonym poziomie pozostałych czynników

(przy ustalonym poziomie pozostałych czynników

produkcji):

produkcji):

Interpretacja elastyczności jest następująca:

Interpretacja elastyczności jest następująca:

elastyczność jest to oczekiwany względny przyrost

elastyczność jest to oczekiwany względny przyrost

produkcji (np. w procentach), spowodowany

produkcji (np. w procentach), spowodowany

jednostkowym względnym przyrostem

jednostkowym względnym przyrostem

i

i

-tego

-tego

czynnika produkcji (np. 1%) przy założeniu, że

czynnika produkcji (np. 1%) przy założeniu, że

pozostałe czynniki produkcji się nie zmieniają,

pozostałe czynniki produkcji się nie zmieniają,

lub:

lub:

elastyczność jest to oczekiwany względny przyrost

elastyczność jest to oczekiwany względny przyrost

produkcji (np. w procentach) spowodowany,

produkcji (np. w procentach) spowodowany,

ceteris

ceteris

paribus

paribus

, względnym przyrostem

, względnym przyrostem

i

i

-tego czynnika

-tego czynnika

produkcji o jednostkę (np. o 1%).

produkcji o jednostkę (np. o 1%).

,

ˆ

ˆ

:

ˆ

ˆ

i

i

i

i

i

i

i

PP

PK

X

P

X

P

X

X

P

P

E



















Definiując elastyczność, przyjmuje się założenie,

Definiując elastyczność, przyjmuje się założenie,

że tylko jeden czynnik produkcji wzrasta o 1%,

że tylko jeden czynnik produkcji wzrasta o 1%,

pozostałe zaś się nie zmieniają. Zakładając, że wszystkie

pozostałe zaś się nie zmieniają. Zakładając, że wszystkie

czynniki produkcji wzrastają jednocześnie o 1%, należy

czynniki produkcji wzrastają jednocześnie o 1%, należy

spodziewać się, że produkcja wzrośnie o

spodziewać się, że produkcja wzrośnie o

A

A

%:

%:

Wskaźnik ten nazywamy efektem skali produkcji

Wskaźnik ten nazywamy efektem skali produkcji

(oznacza się ją też symbolem

(oznacza się ją też symbolem

ESP

ESP

).

).

Wydaje się, że naturalne jest oczekiwanie, aby

Wydaje się, że naturalne jest oczekiwanie, aby

A=1

A=1

; w praktyce często tak się zdarza. Rzeczywista

; w praktyce często tak się zdarza. Rzeczywista

wartość efektu skali produkcji daje cenne informacje o

wartość efektu skali produkcji daje cenne informacje o

charakterze procesu produkcyjnego. Jeśli

charakterze procesu produkcyjnego. Jeśli

A<1

A<1

, oznacza

, oznacza

to, że efekty rosną wolniej niż nakłady i zasoby

to, że efekty rosną wolniej niż nakłady i zasoby

czynników produkcji. Jeśli

czynników produkcji. Jeśli

A>1

A>1

, to efekty rosną szybciej

, to efekty rosną szybciej

niż nakłady i zasoby. I wreszcie gdy

niż nakłady i zasoby. I wreszcie gdy

A=1

A=1

, wtedy

, wtedy

efekty rosną w takim samym tempie, jak nakłady i

efekty rosną w takim samym tempie, jak nakłady i

zasoby czynników produkcji.

zasoby czynników produkcji.







k

i

i

E

A

1

.

Krańcowa stopa substytucji

Krańcowa stopa substytucji

czynników

czynników

produkcji (czynnika

produkcji (czynnika

i

i

przez czynnik

przez czynnik

j

j

)

)

określa, jaki nakład (zasób) czynnika

określa, jaki nakład (zasób) czynnika

j

j

musi być

musi być

wprowadzony w miejsce wycofanej jednostki

wprowadzony w miejsce wycofanej jednostki

nakładów (zasobów) czynnika

nakładów (zasobów) czynnika

i

i

, przy założeniu, że

, przy założeniu, że

pozostałe czynniki się nie zmieniają, tak by poziom

pozostałe czynniki się nie zmieniają, tak by poziom

produkcji również nie uległ zmianie. Ponieważ

produkcji również nie uległ zmianie. Ponieważ

Δ

Δ

X

X

i

i

jest ujemne, więc

jest ujemne, więc

SS

SS

ij

ij

jest liczbą dodatnią.

jest liczbą dodatnią.

Przekształcając wzór otrzymujemy:

Przekształcając wzór otrzymujemy:

i

j

ij

X

X

SS









.

ˆ

:

ˆ

j

i

j

i

i

j

ij

PK

PK

X

P

X

P

X

X

SS























Q

1

Q

2

Q

3

X

1

X

2

Q

1

Q

2

Q

3

X

2

X

1

Q

1

Q

2

Q

3

X

2

X

1

Izokwanta produkcji

Izokwanta produkcji

jest to krzywa jednakowego

jest to krzywa jednakowego

poziomu produkcji dla wszystkich możliwych kombinacji

poziomu produkcji dla wszystkich możliwych kombinacji

nakładów (zasobów) czynników produkcji.

nakładów (zasobów) czynników produkcji.

DOSKONAŁA SUBSTYTUCYJNOŚĆ
(KOKS- GAZ)

KOMPLEMENTARNOŚĆ (PARA
BUTÓW)

RZECZYWISTA SUBSTYTUCYJNOŚĆ

Oszacowano funkcję produkcji typu Cobba-

Oszacowano funkcję produkcji typu Cobba-

Douglasa

Douglasa

gdzie:

gdzie:

P –

P –

produkcja (w tys. zł),

produkcja (w tys. zł),

X

X

1

1

– majątek trwały (w tys. zł),

– majątek trwały (w tys. zł),

X

X

2

2

– zatrudnienie (w osobach).

– zatrudnienie (w osobach).

W pewnym okresie wartość majątku trwałego wynosiła

W pewnym okresie wartość majątku trwałego wynosiła

100 000 zł, zatrudnienie 200 osób.

100 000 zł, zatrudnienie 200 osób.

Produkt całkowity:

Produkt całkowity:

Komentarz: Przy danych nakładach obu czynników

Komentarz: Przy danych nakładach obu czynników

produkcji należy się spodziewać efektów

produkcji należy się spodziewać efektów

produkcyjnych na poziomie 94,3 tys. zł.

produkcyjnych na poziomie 94,3 tys. zł.

,

654

,

0

ˆ

674

,

0

2

304

,

0

1

X

X

P 

]

.

[

3

,

94

200

100

654

,

0

ˆ

674

,

0

304

,

0

zł

tys

P

PC











Produkt przeciętny:

Produkt przeciętny:

Komentarz: przy danych wartościach zmiennych

Komentarz: przy danych wartościach zmiennych

objaśniających z 1 tys. zł majątku trwałego można

objaśniających z 1 tys. zł majątku trwałego można

uzyskać przeciętnie produkcję wartości 943 zł (jest

uzyskać przeciętnie produkcję wartości 943 zł (jest

to więc produktywność majątku trwałego), a na 1

to więc produktywność majątku trwałego), a na 1

zatrudnionego przypada produkcja o wartości

zatrudnionego przypada produkcja o wartości

przeciętnej 471,5 zł (jest to więc wydajność pracy –

przeciętnej 471,5 zł (jest to więc wydajność pracy –

oczywiście teoretyczna, wynikająca z modelu).

oczywiście teoretyczna, wynikająca z modelu).



















trwalego

majatku

zł

tys

produkcji

zł

tys

X

PC

PP

_

_

_

.

_

_

.

943

,

0

100

3

,

94

1

1















osobe

produkcji

zł

tys

X

PC

PP

_

_

.

4715

,

0

200

3

,

94

2

2

Produkt krańcowy:

Produkt krańcowy:

Komentarz: zwiększenie majątku trwałego o 1 tys. zł

Komentarz: zwiększenie majątku trwałego o 1 tys. zł

powinno,

powinno,

ceteris paribus

ceteris paribus

, spowodować wzrost

, spowodować wzrost

produkcji o 287 zł, a zwiększenie zatrudnienia o 1

produkcji o 287 zł, a zwiększenie zatrudnienia o 1

osobę o 318 zł.

osobę o 318 zł.

















trwalego

majatku

zł

tys

produkcji

zł

tys

PK

_

_

_

.

_

_

.

287

,

0

100

3

,

94

304

,

0

1

.

_

_

.

318

,

0

200

3

,

94

674

,

0

2













osobe

produkcji

zł

tys

PK

i

i

i

i

X

PC

X

P

PK













Elastyczność produkcji:

Elastyczność produkcji:

Komentarz: zwiększenie majątku trwałego o 1%

Komentarz: zwiększenie majątku trwałego o 1%

powinno,

powinno,

ceteris paribus

ceteris paribus

, spowodować wzrost

, spowodować wzrost

produkcji o 0,304%, a zwiększenie zatrudnienia o 1% -

produkcji o 0,304%, a zwiększenie zatrudnienia o 1% -

o 0,674%.

o 0,674%.

i

i

i

i

i

i

i

X

PC

X

PC

PP

PK

E











,

304

,

0

1



E

,

674

,

0

2



E

Efekt skali produkcji:

Efekt skali produkcji:

Komentarz: jednoczesne zwiększenie obu czynników

Komentarz: jednoczesne zwiększenie obu czynników

produkcji (majątku trwałego i zatrudnienia) o 1%

produkcji (majątku trwałego i zatrudnienia) o 1%

powinno dać zwiększenie produkcji o 0,978%. Ponieważ

powinno dać zwiększenie produkcji o 0,978%. Ponieważ

efekt skali produkcji jest prawie równy 1, można więc

efekt skali produkcji jest prawie równy 1, można więc

powiedzieć, że efekty (produkcja) rosną w takim samym

powiedzieć, że efekty (produkcja) rosną w takim samym

tempie jak nakłady obu czynników produkcji, czyli

tempie jak nakłady obu czynników produkcji, czyli

mamy do czynienia za stałą wydajnością czynników

mamy do czynienia za stałą wydajnością czynników

produkcji.

produkcji.

Krańcowa stopa substytucji:

Krańcowa stopa substytucji:

Komentarz: jednego pracownika można zastąpić

Komentarz: jednego pracownika można zastąpić

majątkiem trwałym wartości około 1108 zł lub majątek

majątkiem trwałym wartości około 1108 zł lub majątek

trwały wartości 1 tys. zł można zastąpić zwiększeniem

trwały wartości 1 tys. zł można zastąpić zwiększeniem

zatrudnienia o około 0,902 etatu.

zatrudnienia o około 0,902 etatu.

.

978

,

0

674

,

0

304

,

0

2

1











E

E

ESP

,

_

_

_

.

902

,

0

318

,

0

287

,

0

2

1

12



















trwalego

majatku

zł

tys

osoby

PK

PK

SS

.

_

_

_

.

109

,

1

287

,

0

318

,

0

1

2

21















osobe

trwalego

majatku

zł

tys

PK

PK

SS