„Matematyka wyposaża
nas w coś jakby nowy
zmysł.”
Charles Robert Darwin
„Matematyka wyposaża
nas w coś jakby nowy
zmysł.”
Charles Robert Darwin
LICZBY SPEŁNIAJĄCE
RÓWNANIA
Liczby spełniające równanie to po prostu
rozwiązania tego równania. Każde równanie
ma określoną liczbę rozwiązań, czasem tą
liczbą jest 0, czasem jest to nieskończona
ilość.
LICZBY SPEŁNIAJĄCE
RÓWNANIA.
Liczba spełnia równanie (jest
rozwiązaniem równania; pierwiastkiem
równania) jeśli po podstawieniu jej w
miejsce niewiadomej otrzymujemy równość
prawdziwą.
PRZYKŁAD:
Liczbą spełniającą równanie 3x + 5 = 32 jest
9 ponieważ po podstawieniu 9 za x
otrzymamy równość prawdziwą:
3 ∙ 9 + 5 = 32
Prawa i lewa strona równania są równe 32.
PRZYKŁADY.
PRZYKŁAD 1.
4x – 6 = 14
Liczbą spełniającą to równanie jest 5
ponieważ
4 ∙ 5 – 6 = 14
PRZYKŁAD 2.
x
2
= 16
Liczbami spełniającymi to równanie są 4 i -4
ponieważ
4
2
= 16; (-4)
2
= 16
PRZYKŁAD 3.
x(x - 2)(x + 1) = 0
Liczbami spełniającymi to równanie są 0, 2 i
-1 ponieważ
0(0 – 2)(0 + 1) = 0; 2(2 – 2)(2 + 1) = 0;
-1((-1) – 2)((-1) + 1) = 0
PRZYKŁADY
PRZYKŁAD 4.
5x = 3x + 2x
Każda liczba spełnia to równanie, inaczej
mówiąc ma ono nieskończenie wiele
rozwiązań.
PRZYKŁAD 5.
x = x -1
Tego równania nie spełnia żadna liczba czyli
nie ma ono rozwiązań.
RÓWNANIA
TOŻSAMOŚCIOWE I
RÓWNANIA SPRZECZNE.
Równaniem sprzecznym nazywamy
równanie, którego nie spełnia żadna liczba
(które nie ma rozwiązań).
PRZYKŁADY RÓWNAŃ SPRZECZNYCH:
x = 2x;
x
2
= -4;
|x| = -2; 2x +2 = 2x +
3
Równaniem tożsamościowym nazywamy
równanie, które spełnia każda liczba (które
ma nieskończenie wiele rozwiązań).
PRZYKŁADY RÓWNAŃ
TOŻSAMOŚCIOWYCH:
x + x = 2x;
3(x + 1) = 3x + 3; 0 ∙ x =
0;
x + 1 = 1 + x
ZBIÓR ROZWIĄZAŃ
RÓWNANIA.
PRZYKŁADY:
x + 5 = 12
Zbiorem rozwiązań tego równania jest zbiór
jedno elementowy {6};
x
2
= 25
Zbiorem rozwiązań tego równania jest zbiór
dwuelementowy {-5; 5};
x
2
= -1
Zbiorem rozwiązań tego równania jest zbiór
pusty Ø.
Zbiorem rozwiązań równania nazywamy
zbiór wszystkich liczb spełniających to
równanie.
RÓWNANIA RÓWNOWAŻNE.
Równania nazywamy równaniami
równoważnymi, gdy mają ten sam zbiór
rozwiązań.
PRZYKŁADY:
Równania: x – 2 = 3;
6x = 30; 2x + 4 =
14
są równaniami równoważnymi, ponieważ ich
zbiór rozwiązań to {5}.
Równania: x = 2x;
x
2
= -4;
|x| = -2;
są równaniami równoważnymi, ponieważ są
to równania sprzeczne (ich zbiór rozwiązań
jest pusty).
Równania: x + x = 2x;
3(x + 1) = 3x + 3;
0 ∙ x = 0;
są równaniami równoważnymi, ponieważ są
to równania tożsamościowe (spełnia je każda
liczba)
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
ZADANIE1.
Sprawdź, czy któraś z liczb -2 lub 3 jest
rozwiązaniem podanego równania.
5(x + 1) – 10 = 3x + 1
Rozważamy osobno lewą (L) i prawą (P)
stronę
równania.
Podstawiamy
kolejno
sprawdzane liczby.
Dla x = -2 mamy:
L = 5(-2 + 1) – 10 = 5 ∙ (-1) – 10 = -5 – 10 =
-15
P = 3 ∙ (-2) + 1 = -6 + 1 = -5
L ≠ P, a więc -2 nie spełnia naszego równania
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
PRZYKŁAD 1 – ciąg dalszy.
Dla x = 3 mamy:
L = 5(3 + 1) – 10 = 5 ∙ 4 – 10 = 20 – 10 = 10
P = 3 ∙ 3 + 1 = 9 + 1 = 10
L = P, a więc 3 spełnia nasze równanie.
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
ZADANIE 2.
Jaką liczbę należy wstawić zamiast litery a, aby
otrzymać równanie, którego rozwiązaniem
jest liczba 10?
3x – 6 = x + a
Rozpiszmy obie strony równania dla x = 10
L = 3 ∙ 10 – 6 = 30 – 6 = 24
P = 10 + a
Aby rozwiązaniem równania była liczba 10, dla
x = 10 obie strony równania muszą być sobie
równe (L = P). Żeby P = 24 zamiast litery a
należy wstawić 14.
3x – 6 = x + 14
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
ZADANIE 3.
Zastąp literę a w równaniu takim wyrażeniem,
aby otrzymać równanie:
a)sprzeczne
b)tożsamościowe
2x + 3 = x + a
a)Aby otrzymać równanie sprzeczne, po prawej
stronie musi stać 2x i liczba inna niż 3. Np. a
= x, mamy wtedy: 2x + 3 = x + x
b)Aby otrzymać równanie tożsamościowe,
prawa i lewa strona równania muszą być
takie
same.
Np.
a = x + 3, mamy wtedy 2x + 3 = x + x + 3
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
ZADANIE 4.
Do podanego równania dopisz dwa równania
równoważne.
x – 3 = 5
Rozwiązaniem tego równania jest liczba 8.
Równania równoważne danemu to takie,
których rozwiązaniem jest również liczba 8.
Np.
2x = 16
3x – 5 = 19