„Matematyka wyposaża

nas w coś jakby nowy

zmysł.”

Charles Robert Darwin

LICZBY SPEŁNIAJĄCE

RÓWNANIA

Liczby spełniające równanie to po prostu
rozwiązania tego równania. Każde równanie
ma określoną liczbę rozwiązań, czasem tą
liczbą jest 0, czasem jest to nieskończona
ilość.

LICZBY SPEŁNIAJĄCE

RÓWNANIA.

Liczba spełnia równanie (jest

rozwiązaniem równania; pierwiastkiem

równania) jeśli po podstawieniu jej w

miejsce niewiadomej otrzymujemy równość

prawdziwą.

PRZYKŁAD:

Liczbą spełniającą równanie 3x + 5 = 32 jest
9 ponieważ po podstawieniu 9 za x
otrzymamy równość prawdziwą:

3 ∙ 9 + 5 = 32

Prawa i lewa strona równania są równe 32.

PRZYKŁADY.

PRZYKŁAD 1.
4x – 6 = 14
Liczbą spełniającą to równanie jest 5
ponieważ

4 ∙ 5 – 6 = 14

PRZYKŁAD 2.
x

2

= 16

Liczbami spełniającymi to równanie są 4 i -4
ponieważ

4

2

= 16; (-4)

2

= 16

PRZYKŁAD 3.
x(x - 2)(x + 1) = 0
Liczbami spełniającymi to równanie są 0, 2 i
-1 ponieważ

0(0 – 2)(0 + 1) = 0; 2(2 – 2)(2 + 1) = 0;

-1((-1) – 2)((-1) + 1) = 0

PRZYKŁADY

PRZYKŁAD 4.
5x = 3x + 2x
Każda liczba spełnia to równanie, inaczej
mówiąc ma ono nieskończenie wiele
rozwiązań.

PRZYKŁAD 5.
x = x -1
Tego równania nie spełnia żadna liczba czyli
nie ma ono rozwiązań.

RÓWNANIA

TOŻSAMOŚCIOWE I

RÓWNANIA SPRZECZNE.

Równaniem sprzecznym nazywamy

równanie, którego nie spełnia żadna liczba

(które nie ma rozwiązań).

PRZYKŁADY RÓWNAŃ SPRZECZNYCH:

x = 2x;

x

2

= -4;

|x| = -2; 2x +2 = 2x +

3

Równaniem tożsamościowym nazywamy

równanie, które spełnia każda liczba (które

ma nieskończenie wiele rozwiązań).

PRZYKŁADY RÓWNAŃ

TOŻSAMOŚCIOWYCH:

x + x = 2x;

3(x + 1) = 3x + 3; 0 ∙ x =

0;

x + 1 = 1 + x

ZBIÓR ROZWIĄZAŃ

RÓWNANIA.

PRZYKŁADY:

x + 5 = 12
Zbiorem rozwiązań tego równania jest zbiór
jedno elementowy {6};
x

2

= 25

Zbiorem rozwiązań tego równania jest zbiór
dwuelementowy {-5; 5};
x

2

= -1

Zbiorem rozwiązań tego równania jest zbiór
pusty Ø.

Zbiorem rozwiązań równania nazywamy

zbiór wszystkich liczb spełniających to

równanie.

RÓWNANIA RÓWNOWAŻNE.

Równania nazywamy równaniami

równoważnymi, gdy mają ten sam zbiór

rozwiązań.

PRZYKŁADY:

Równania: x – 2 = 3;

6x = 30; 2x + 4 =

14
są równaniami równoważnymi, ponieważ ich
zbiór rozwiązań to {5}.
Równania: x = 2x;

x

2

= -4;

|x| = -2;

są równaniami równoważnymi, ponieważ są
to równania sprzeczne (ich zbiór rozwiązań
jest pusty).
Równania: x + x = 2x;

3(x + 1) = 3x + 3;

0 ∙ x = 0;

są równaniami równoważnymi, ponieważ są
to równania tożsamościowe (spełnia je każda
liczba)

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE1.
Sprawdź, czy któraś z liczb -2 lub 3 jest
rozwiązaniem podanego równania.
5(x + 1) – 10 = 3x + 1
Rozważamy osobno lewą (L) i prawą (P)
stronę

równania.

Podstawiamy

kolejno

sprawdzane liczby.
Dla x = -2 mamy:
L = 5(-2 + 1) – 10 = 5 ∙ (-1) – 10 = -5 – 10 =
-15
P = 3 ∙ (-2) + 1 = -6 + 1 = -5
L ≠ P, a więc -2 nie spełnia naszego równania

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

PRZYKŁAD 1 – ciąg dalszy.
Dla x = 3 mamy:
L = 5(3 + 1) – 10 = 5 ∙ 4 – 10 = 20 – 10 = 10
P = 3 ∙ 3 + 1 = 9 + 1 = 10
L = P, a więc 3 spełnia nasze równanie.

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 2.
Jaką liczbę należy wstawić zamiast litery a, aby

otrzymać równanie, którego rozwiązaniem
jest liczba 10?

3x – 6 = x + a
Rozpiszmy obie strony równania dla x = 10
L = 3 ∙ 10 – 6 = 30 – 6 = 24
P = 10 + a
Aby rozwiązaniem równania była liczba 10, dla

x = 10 obie strony równania muszą być sobie
równe (L = P). Żeby P = 24 zamiast litery a
należy wstawić 14.

3x – 6 = x + 14

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 3.
Zastąp literę a w równaniu takim wyrażeniem,

aby otrzymać równanie:

a)sprzeczne
b)tożsamościowe

2x + 3 = x + a

a)Aby otrzymać równanie sprzeczne, po prawej

stronie musi stać 2x i liczba inna niż 3. Np. a
= x, mamy wtedy: 2x + 3 = x + x

b)Aby otrzymać równanie tożsamościowe,

prawa i lewa strona równania muszą być
takie

same.

Np.

a = x + 3, mamy wtedy 2x + 3 = x + x + 3

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 4.
Do podanego równania dopisz dwa równania
równoważne.
x – 3 = 5
Rozwiązaniem tego równania jest liczba 8.
Równania równoważne danemu to takie,
których rozwiązaniem jest również liczba 8.
Np.
2x = 16
3x – 5 = 19