Metoda Lagrange’a – badanie ruchu

wybranej cząstki płynu

















.

)

,

,

,

(

,

)

,

,

,

(

,

)

,

,

,

(

t

Z

Y

X

z

z

t

Z

Y

X

y

y

t

Z

Y

X

x

x

.

,

,

t

z

V

t

y

V

t

x

V

z

y

x













































































.

,

,

2

2

2

2

2

2

t

z

t

V

w

t

y

t

V

w

t

x

t

V

w

z

z

y

y

x

x

x

z

0

0

x

V

0

z

V

0

y

V

1

y

V

1

z

V

1

x

V

0

x

0

z

0

y

1

x

1

z

1

y

y

Metoda Eulera

x

z

0

0

x

V

0

z

V

0

y

V

x

z

y

1

y

V

1

z

V

1

x

V

)

,

,

(

z

y

x

H

H 

)

,

,

,

(

t

z

y

x

H

H 

Badanie ruchu płynu w określonych punktach przestrzeni:

y

Pojęcia związane z ruchem płynu

Obszar płynny – wyodrębniona masa płynu, którą tworzą wciąż te
same elementy
płynu.

Obszar kontrolny – wyodrębniona masa płynu którą tworzą wciąż
te same punkty przestrzenne, natomiast znajdują się w niej, w miarę
upływu czasu, coraz to inne elementy płynu.

Powierzchnia płynna – powierzchnia zamknięta, ograniczająca
obszar płynny.
Powierzchnia kontrolna – powierzchnia zamknięta, ograniczająca
obszar kontrolny.

Linia prądu

Niech będzie dane pole wektora prędkości płynu:

.

)

,

,

,

(

)

,

,

,

(

)

,

,

,

(

t

z

y

x

V

z

d

t

z

y

x

V

y

d

t

z

y

x

V

x

d

z

y

x





.

]

,

,

[

,

)

,

,

,

(

z

y

x

V

V

V

t

z

y

x





V

V

V







Linie tego pola wektorowego (styczne w każdym swym punkcie do
wektora pola) nazywają się liniami prądu.

Oznaczając element linii prądu przez

,

]

,

,

[

z

d

y

d

x

d

d 

s

równanie linii prądu możemy napisać w postaci iloczynu
wektorowego

0



 s

V





d

lub też w postaci równoważnej

Powierzchnia i rurka prądu

Powierzchnia prądu – powierzchnia utworzona z linii prądu,
przecinających dowolną linię, nie będącą linią prądu.
Rurka prądu – powierzchnia utworzona z linii prądu,
przecinających dowolną linię zamkniętą, nie będącą linią prądu.

Tor elementu płynu

Linia, po której porusza się pojedynczy element płynu. Jest ona
graficzną reprezentacją matematycznego opisu ruchu w zmiennych
Lagrange’a.

.

t

d

V

z

d

V

y

d

V

x

d

z

y

x







Oznaczając element toru przez

]

,

,

[

z

d

y

d

x

d

d 

s

otrzymujemy równanie różniczkowe toru

,

)

,

,

,

(

t

d

t

z

y

x

d

V

s







albo po przekształceniu

Przyspieszenie elementu płynu, traktowanego jako punkt, jest
pochodną prędkości elementu względem czasu, wyraża się zatem
wzorem:

.

)

,

,

,

(

t

d

t

z

y

x

dV

w







Różniczka zupełna prędkości jest określona
następująco:

.

t

d

t

z

d

z

y

d

y

x

d

x

d

























V

V

V

V

V











Przyspieszenie elementu płynu można zapisać w postaci:

.

z

V

y

V

x

V

t

z

y

x

























V

V

V

V

w











V



d





t

z

y

x

,

,

,

V

V







Przy zastosowaniu operatora Hamiltona

z

y

x





















k

j

i









przyspieszenie można zapisać w postaci





,

V

V

V

V

w



























t

t

d

d

gdzie

.

z

V

y

V

x

V

z

y

x



























V

dt

dV



pochodna

substancjalna prędkości – określa zmiany

zachodzące
w poruszającym się, ale wciąż tym samym elemencie płynu

t



V



pochodna

lokalna – określa zmiany zachodzące z upływem

czasu w stałym
punkcie przestrzeni





V

V











pochodna

konwekcyjna – określa zmiany prędkości

związane z samym
tylko przesunięciem elementu płynu w inne położenie

Ruch płynu został określony za pomocą pola prędkości i pola
gęstości płynu:

]

,

,

[

,

)

,

,

,

(

z

y

x

V

V

V

t

z

y

x





V

V

V







.

)

,

,

,

(

t

z

y

x







Zmiana masy płynu
wynikająca ze zmiany jego
gęstości wynosi

t

d

z

d

y

d

x

d

t







– masa
wpływająca

,

t

d

z

d

x

d

V

y







.

t

d

z

d

x

d

y

d

V

y

V

y

y



















Różnica masy wpływającej i
wypływającej:





.

t

d

z

d

y

d

x

d

V

y

y









– masa
wypływająca

Porównując zmiany masy na wszystkich ściankach otrzymamy
różniczkowe równanie ciągłości przepływu













.

0

































z

y

x

V

z

V

y

V

x

t

Forma wektorowa

 

.

0

div

ρ











V



t

Formy uproszczone:

 

;

0

0

div























t

V



( ciecz )

.

)

const.

(

0

div







V



( ruch stacjonarny )

Stacjonarny przepływ jednowymiarowy

Rozważamy ruch przez kanał ograniczony ściankami kontrolnymi

σ

1

i

σ

2

Prędkość
średnia

,

1

śr











d

V

V

n

masa płynu zawarta
wewnątrz kanału musi
być stała

;

)

(

)

(

śr

2

2

2

śr

1

1

1

V

V











Wydatek
masowy

















s

kg

.

const

śr

V

m



Wydatek
objętościowy



















s

m

const.

3

śr

V

Q

V

 - strumień masy,