Podstawy Projektowania

Podstawy Projektowania

Inżynierskiego

Inżynierskiego

Wały i osie – część I

Wały i osie – część I

Prowadzący:

Prowadzący:

dr inż. Piotr

dr inż. Piotr

Chwastyk

Chwastyk

e-mail: [e-mail]

e-mail: [e-mail]

www.chwastyk.po.opole.pl

www.chwastyk.po.opole.pl

P o l i t e c h n i k a O p o l s k a

P o l i t e c h n i k a O p o l s k a

Wydział Zarządzania i Inżynierii Produkcji

Wydział Zarządzania i Inżynierii Produkcji

Instytut Innowacyjności Procesów i Produktów

Wały i osie – nr 2

Wały i osie

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Charakterystyka osi i wałów

Charakterystyka osi i wałów

Osią lub wałem nazywa się element maszyny podparty w

łożyskach i podtrzymujący osadzone na nim części maszyn. Na
wale mogą być osadzone różne elementy wykonujące ruchy
obrotowe (np. koła zębate, piasty, tarcze hamulcowe itp.) lub
ruchy wahadłowe (np. koło zębate współpracujące z zębatką).

Wały i osie – nr 3

Wały i osie

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Charakterystyka osi i wałów

Charakterystyka osi i wałów

Głównym zadaniem wału jest przenoszenie momentu
obrotowego, zatem wał wykonuje zawsze ruch obrotowy. W
związku z tym wał jest narażony jednocześnie na skręcanie
oraz - pod wpływem sił poprzecznych - na zginanie. W
niektórych przypadkach wał może być narażony tylko na
skręcanie (np. samochodowy wał napędowy w sprzęgle
Cardana).

Rys.1. Przykładowy wał maszynowy

Wały i osie – nr 4

Wały i osie

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Charakterystyka osi i wałów

Charakterystyka osi i wałów

Oś jest element mechanizmu lub maszyny, służący utrzymaniu
w określonym położeniu osadzonych na niej wirujących
elementów, najczęściej kół, oraz do przenoszenia na podpory sił
działających na te elementy. Oś nie przenosi momentu
obrotowego i jest narażona na zginanie. Oś może być
nieruchoma, utwierdzona w miejscach podparcia, lub ruchoma
(wykonuje ruch obrotowy), osadzona w łożyskach. Oś
nieruchomą mocuje się w podporach za pomocą połączeń
wpustowych, gwintowanych itp. Krótką oś nazywa się czasami
sworzniem.

Zarówno osie, jak i wały mogą być dodatkowo obciążone siłą
poosiową (rozciągającą lub ściskającą), np. gdy elementami
osadzonymi na nich są koła zębate skośne lub stożkowe.

Rys. 2. Schematy: a, b) wału, c) osi nieruchomej, d) osi ruchomej

Wały i osie – nr 5

Wały i osie

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Rodzaje osi i wałów

Rodzaje osi i wałów

Osie i wały sztywne są ustrojami prętowymi o przekroju
poprzecznym okrągłym albo (znacznie rzadziej) sześciokątnym
lub innym. Można wyróżnić osie i wały gładkie (rys. 3a) mające
prawie niezmienny przekrój poprzeczny na całej długości oraz
kształtowe - o zmiennych przekrojach, wynikających z
obciążenia i funkcji osi lub wału (rys. 3b, c, e). Osie są z reguły
proste, natomiast wały mogą być proste lub wykorbione (rys.
3d).

Rys. 3. Rodzaje wałów i osi: a) wał gładki, b, c) wały schodkowe,
d) wał wykorbiony, e) oś nieruchoma

Wały i osie – nr 6

Wały i osie

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Rodzaje osi i wałów

Rodzaje osi i wałów

W niektórych urządzeniach (szlifierkach ręcznych,
wiertarkach dentystycznych itp.) stosuje się wały
giętkie, służące do przenoszenia napędu na elementy
wykonujące ruchy przestrzenne względem źródła
napędu. Zależnie od liczby łożysk, będących podporami
wałów, rozróżnia się wały dwu- i wielopodporowe oraz
bardzo rzadko stosowane - jednopodporowe. W
zależności od spełnianych funkcji wału często stosuje
się nazwy: wał główny (wrzeciono robocze - WR),
pomocniczy, rozrządczy, napędzający itp. Wały mogą
być pełne lub drążone. Wały drążone stosuje się w celu
zmniejszenia ciężaru konstrukcji lub gdy otwór
umożliwia mocowanie i obróbkę długich prętów (np. w
tokarkach). Większość wałów maszynowych stanowią
wały schodkowe, w których średnice zmieniają się
stopniowo. Sposób kształtowania zależy od względów
wytrzymałościowych oraz od przewidywanego sposobu
montażu.

Wały i osie – nr 7

Wały i osie

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Rodzaje osi i wałów

Rodzaje osi i wałów

Stopniowanie średnic narastająco od środka wału (rys. 4a)
stosuje się przeważnie wówczas, gdy korpus maszyny
(urządzenia) jest dzielony, przy czym podział przebiega wzdłuż
osi wału; stopniowanie średnic w jednym kierunku (rys. 4b)
umożliwia montaż wału w otworach niedzielonych kadłubów.

Rys. 4. Stopniowanie średnic wałów: a) do środka wału, b) w
jednym kierunku

a)

b)

Wały i osie – nr 8

Wały i osie

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Rodzaje osi i wałów

Rodzaje osi i wałów

Czopami nazywa się odcinki osi lub wału, których powierzchnie
stykają się ze współpracującymi elementami: łożyskami, kołami
zębatymi itd. Rozróżnia się czopy ruchowe i czopy spoczynkowe.
Czopy ruchowe 1 (rys. 5) współpracują z panewkami łożysk
ślizgowych, z kołami przesuwnymi lub obracającymi się
względem nieruchomej osi itp., natomiast czopy spoczynkowe 2
(rys. 5) współpracują z elementami osadzonymi na stałe
względem wału i obracającymi się wraz z nim.

Rys. 5. Rodzaje czopów: a, b) czopy wzdłużne wał gładki, c, d, e) czopy
poprzeczne

Wały i osie – nr 9

Wały i osie

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Rodzaje osi i wałów

Rodzaje osi i wałów

Kształty czopów ustala się w zależności od wartości i kierunku
reakcji w podporach oraz od wymagań konstrukcyjno-
technologicznych.

Jeżeli czop jest umieszczany na końcu wału lub osi to

nazywamy się go czopem końcowym, a jeśli umieszczony jest w
części środkowej, to wówczas nazywa się go czopem
środkowym. W zależności od kierunku przenoszonych sił
rozróżniamy czopy poprzeczne, wzdłużne i poprzeczno-
wzdłużne.

Czopy wymagają dokładnej obróbki, dlatego ich średnice

należy dobierać wg wymiarów normalnych (PN-78/M-02041).
Wymiary swobodne wałów (np. średnice nie stykające się z
innymi elementami) mogą być niezgodne z wymiarami
normalnymi, jeżeli wpłynie to korzystnie np. na ułatwienie
montażu.

Wały i osie – nr 10

Wały i osie

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Materiały stosowane na wały i osie

Materiały stosowane na wały i osie

Dobór materiału na wał jest ważnym elementem
projektowania urządzenia. Od wymiarów wału zależą
wymiary łożysk, wymiary części osadzonych na wale, a
czasami i sprawność urządzenia. Wybór materiału jest
szczególnie ważny w przypadku wałów kształtowych
obrabianych cieplnie, ponieważ wały pracują przeważnie
pod

obciążeniem

zmiennym.

Z

drugiej

strony

uszkodzenia lub odkształcenia wałów wpływają bardzo
istotnie na trwałość części na nich osadzonych. Tak na
przykład wirniki obracające się z dużymi prędkościami
obrotowymi i tworzące z obudową małe szczeliny, mogą
przy deformacjach wału zniszczyć całe urządzenie. Na
dobór materiałów mają wpływ: wymagana wytrzymałość,
sztywność, przeznaczenie osi i wałów oraz cena
produktu.

Wały i osie – nr 11

Wały i osie

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Materiały stosowane na wały i osie

Materiały stosowane na wały i osie

Osie i wały wykonuje się najczęściej ze stali:

•

konstrukcyjnej węglowej

konstrukcyjnej węglowej

zwykłej jakości

zwykłej jakości (najczęściej St3, St4, St5),

gdy elementy są mało obciążone w maszynach mniej ważnych, stosowane
bez obróbki cieplnej i gdy bardziej wymagana jest sztywność elementu niż
jego wytrzymałość;

•

konstrukcyjnej węglowej wyższej jakości

konstrukcyjnej węglowej wyższej jakości (najczęściej 25, 35 i 45).
Stale 25 i 35 stosuje się w stanie normalizowanym i ulepszonym lub
hartowanym powierzchniowo (45);

•

konstrukcyjnej stopowej do ulepszania cieplnego

konstrukcyjnej stopowej do ulepszania cieplnego, najczęściej
chromoniklowej, gdy wymagana jest mała średnica wału (w tym
przypadku zalecane jest ulepszanie cieplne) oraz gdy na wale są odkute
elementy pracujące jak koła zębate lub połówki sprzęgła, wymagające
powierzchni odpornych na ścieranie;

•

konstrukcyjnej stopowej do nawęglania lub azotowania

konstrukcyjnej stopowej do nawęglania lub azotowania - jak w
powyższym punkcie, ale gdy bardziej zależy nam na twardości
powierzchni niż na wytrzymałości rdzenia elementu (zawsze nawęglone
lub azotowane oraz zawsze hartowane przynajmniej na niektórych
powierzchniach);

•

konstrukcyjnej stopowej o szczególnych własnościach

konstrukcyjnej stopowej o szczególnych własnościach, gdy
wymagane są szczególne cechy, jak żaroodporność, nierdzewność,
kwasoodporność itp.

W wyjątkowych przypadkach wykonuje się wały odlewane, staliwne lub
żeliwne (głównie do wykonania wałów wykorbionych). Najczęściej stosuje
się żeliwo modyfikowane lub sferoidalne (Zs 65002, Zs 70002).

Wały i osie – nr 12

Wały i osie

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Obciążenia osi i wałów

Obciążenia osi i wałów

W trakcie eksploatacji maszyny jej części mogą ulec
uszkodzeniu lub zniszczeniu pod wpływem czynników
zewnętrznych, np. w wyniku działania sił zewnętrznych,
nadmiernego nagrzania, korozji itd. Zadaniem konstruktora jest
więc takie zaprojektowanie części, aby prawdopodobieństwo ich
zniszczenia było jak najmniejsze. Podstawą do obliczeń
wytrzymałościowych części maszyn jest określenie charakteru
sił zewnętrznych, czyli obciążeń mechanicznych. Przy
obciążeniach nieustalonych (rys. 6d) można je przyrównać do
zbliżonych obciążeń zmiennych.

Obciążenia dzieli się ogólnie na:

• stałe (statyczne, niezmienne, trwałe), których wartość i

kierunek są niezmienne w ciągu dość długiego czasu
pracy;

• zmienne, o różnym charakterze zmienności w czasie pracy.

Wały i osie – nr 13

Wały i osie

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Obciążenia osi i wałów

Obciążenia osi i wałów

Rys. 6. Rodzaje cykli obciążeń i naprężeń: a) stały, b) jednostronnie

zmienny (1 - tętniący odzerowo, 2 - tętniący jednostronny), c) obustronnie

zmienny (3 - wahadłowy symetryczny, 4 - dwustronny niesymetryczny), d)

nieustalony

Wały i osie – nr 14

Wały i osie

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Obciążenia osi i wałów

Obciążenia osi i wałów

Wśród obciążeń zmiennych wyróżnia się obciążenia
okresowe - najczęściej szybkozmienne - jako typowe
obciążenia pracujących części maszyn. Należą do nich
obciążenia:

• wahadłowe, przy których bezwzględne wartości F

max

i

F

min

są sobie równe (rys. 6.c) - np. obciążenie tłoczyska

w

pompach

tłokowych

obustronnego

działania,

obciążenie wałów itd.;

• tętniące odzerowo, przy których w każdym cyklu pracy

F

min

(lub F

max

) = 0 (rys. 6.b) - np. obciążenie zębów w

kołach zębatych itd.

Wały i osie – nr 15

Wały i osie

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Obliczanie osi i wałów

Obliczanie osi i wałów

Podstawą obliczania wytrzymałości osi lub wału jest
wyznaczenie wszystkich sił i momentów działających na wał
(oś).
Rozróżnia się:

• obciążenia zmienne co do wartości i kierunku, wywołujące

naprężenia zmienne;

• obciążenia stałe (statyczne), wywołujące w osiach

nieruchomych naprężenia stałe, a w osiach ruchomych i
wałach - naprężenia zmienne;

• obciążenia zmieniające swoje położenie (w płaszczyźnie

prostopadłej do osi wału) wraz z obrotem wału - np. siły
odśrodkowe, które wywołują naprężenia stałe.

Osie nieruchome oblicza się na wytrzymałość statyczną, a osie
ruchome i wały - na wytrzymałość zmęczeniową. Zwrot
"obliczanie na wytrzymałość..." oznacza dokonanie (drogą
obliczeń) takiego wyboru kształtu, wymiarów i rodzaju
materiału części, aby mogła ona - z uwzględnieniem
odpowiedniego współczynnika bezpieczeństwa - pracować bez
obawy uszkodzenia w określonych warunkach obciążeniowych.

Wały i osie – nr 16

Wały i osie

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Obliczanie osi i wałów

Obliczanie osi i wałów

Projektowanie osi i wałów obejmuje:

• Obliczenia wstępne, umożliwiające ustalenie kształtu i

przybliżonych wymiarów osi lub wału. Obliczenia te
wykonuje się w zasadzie na wytrzymałość statyczną,
uwzględniając jednak wpływ zmienności obciążeń przez
przyjęcie odpowiednich naprężeń dopuszczalnych (np. k

gj

,

k

go

).

• Obliczenia

dokładne

(sprawdzające),

uwzględniające

czynniki decydujące o wytrzymałości zmęczeniowej (min.
działanie karbów) oraz sztywność giętną i skrętną wału.

Wały i osie – nr 17

Wały i osie

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Obliczanie osi i wałów

Obliczanie osi i wałów

Ruch obrotowy wału (osi ruchomej) jest wywołany siłami
działającymi na obwodzie elementu napędzającego osadzonego na
wale (koła zębatego, pasowego itp.) i jest przekazywany np. na inne
wały za pośrednictwem kół napędzanych. Dla ustalenia wpływu
działania siły obwodowej F na wał, w jego osi zaczepia się tzw. układ
zerowy sił, tj. dwie siły F, których suma jest równa zeru (rys. 7.a). Z
otrzymanego układu sił wynika, ze wał jest obciążony momentem
skręcającym (równym momentowi obrotowemu) oraz siłą F,
wywołującą zginanie wału. Na rysunku 7.b, c, d podano przykłady
obciążenia wałów i osi.

Rys. 7. Przykłady obciążenia wałów i osi

Wały i osie – nr 18

Wały i osie

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Obliczanie osi i wałów

Obliczanie osi i wałów

Przy wstępnym obliczaniu wałów uwzględnia się tylko

wartość siły obwodowej F (pomijając wpływ pozostałych
obciążeń) wyznaczaną ze wzoru na moment obrotowy.

Wartość momentu obrotowego oblicza się z zależności:

gdzie:

P - moc [W],
ω – prędkość kątowa [rad/s],
M – moment obrotowy [Nm].

Podstawiając P w kW oraz ω=2πn/60, otrzymuje się:

gdzie:
M – moment obrotowy [Nm],
n – prędkość obrotowa [obr/min].

W obliczeniach osi i wałów z reguły pomija się ciężar wału (osi) i
osadzonych na nim części.

Wały i osie – nr 19

Wały i osie

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Obliczanie osi i wałów

Obliczanie osi i wałów

Zarówno siły wewnętrzne, jak i reakcje w łożyskach obciążają wały

(osie) w różny sposób, zależnie od kształtu piasty koła i rodzaju łożyska.

Rys. 8. Wyznaczanie reakcji w czopach wału w

przypadku: a) łożyska tocznego, b) łożyska

ślizgowego, c, d) kół pasowych

Przykłady wyznaczenia
punktu

zaczepienia

reakcji

oraz

wyznaczenie punktów
zaczepienia obciążenia,
przenoszonego na wał
przez części na nim
osadzone, podano na
rys. 8.
Przy

wstępnych

obliczeniach

wału

wymiary

czopów

i

osadzonych na nich
elementów

nie

są

znane. Przyjmuje się
wówczas, że obciążenia
czopów stanowią siły
skupione, zaczepione w
środku długości piasty
koła lub w środku
długości łożyska.

Wały i osie – nr 20

Wały i osie

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Zasady obliczania wytrzymałości osi i wałów

Zasady obliczania wytrzymałości osi i wałów

dwupodporowych

dwupodporowych

Obliczenia wytrzymałości części maszyn wykonuje się:

a) w projektowaniu nowych konstrukcji - w celu

ustalenia optymalnych wymiarów części; jeżeli
kształt i wymiary części są ustalone na podstawie
wymagań

konstrukcyjno-technologicznych,

wówczas obliczenia te mają na celu sprawdzenie
nośności części,

b) podczas badań kontrolnych części pracujących -

badania te wykonuje się np. w razie wystąpienia
zmiany obciążenia (rodzaju lub wartości) albo przy
ustalaniu przyczyn zniszczenia części.

Wały i osie – nr 21

Wały i osie

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Obliczenia wytrzymałościowe

Obliczenia wytrzymałościowe

Obliczenia wytrzymałościowe wykonuje się na podstawie
warunku: naprężenia rzeczywiste muszą być mniejsze od
naprężeń dopuszczalnych lub najwyżej im równe.
Podstawowe wzory wytrzymałościowe uwzględniające ten
warunek można przedstawić w postaci uogólnionej jako

gdzie:

σ - naprężenia rzeczywiste normalne przy rozciąganiu, ściskaniu i
zginaniu [Pa],
τ - naprężenia rzeczywiste styczne przy ścinaniu i skręcaniu [Pa],
p - naciski powierzchniowe [Pa],
F - obciążenia rozciągające, ściskające, ścinające lub nacisk [N],
S - pole powierzchni przekroju narażonego na zniszczenie lub pole
powierzchni nacisku [m

2

]

M - obciążenie momentem (przy zginaniu Mg, przy skręcaniu Ms)
[Nm],
W - wskaźnik wytrzymałości przekroju (przy zginaniu W

x

, przy

skręcaniu W

o

) [m

3

],

k - naprężenia (lub naciski) dopuszczalne [Pa].

Wały i osie – nr 22

Wały i osie

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Obliczenia wytrzymałościowe

Obliczenia wytrzymałościowe

W celu odróżniania naprężeń odpowiadających poszczególnym

rodzajom obciążeń, przy symbolach naprężeń podaje się następujące
wskaźniki (indeksy): rozciąganie - r, ściskanie - c, ścinanie - t, zginanie - g,
skręcanie - s (np. σ

g

, τ

s

, k

r

, k

c

itd.). W przypadku naprężeń wywołanych

obciążeniami zmiennymi w zapisie symbolowym umieszcza się drugi
wskaźnik (indeks): j - przy obciążeniach tętniących (jednostronnie
zmiennych) lub o - przy obciążeniach wahadłowych (obustronnie
zmiennych), np. k

rj

, k

gj

, k

so

. Przy obciążeniach rozciągająco-ściskających

łączy się wskaźniki r i c (k

rc

).

W przypadku występowania złożonego stanu naprężeń wyznacza się
naprężenia zastępcze według następujących wzorów:

stosowany przy
naprężeniach o tym samym
kierunku (w stosunku do
przekroju pracującego

oparty na hipotezie
wytrzymałościowej Hubera - w
przypadku naprężeń o różnych
kierunkach (np. przy
jednoczesnym zginaniu i
skręcaniu)

We wzorze współczynnik α określa stosunek naprężeń dopuszczalnych
normalnych do stycznych, np. α = k

r

/k

s

; α = k

go

/k

sj

itp.

Wały i osie – nr 23

Wały i osie

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Obliczenia wytrzymałościowe – naprężenia dopuszczalne

Obliczenia wytrzymałościowe – naprężenia dopuszczalne

Wszystkie obliczenia prowadzi się w jednostkach układu SI.

Jednostką naprężenia w tym układzie jest pascal (1Pa = N/m

2

).

Stosuje się też jego krotności (kPa, MPa). Dla uproszczenia
obliczeń można stosować wzory liczbowe, umożliwiające wyliczenie
naprężeń od razu w żądanych jednostkach przy odpowiednim
(wygodniejszym

w

obliczeniu)

podstawianiu

wartości

poszczególnych czynników.

Naprężenia dopuszczalne przy obciążeniach stałych

.

Naprężenia, które mogą wystąpić w materiale bez obawy
naruszenia warunku wytrzymałości i warunku sztywności, nazywa
się naprężeniami dopuszczalnymi.

Przyjęcie właściwych naprężeń dopuszczalnych jest jednym z

ważniejszych zagadnień w obliczeniach wytrzymałościowych.
Ustalenie niewłaściwych naprężeń dopuszczalnych może stać się
przyczyną zniszczenia elementów (np. złamania, trwałego
odkształcenia) lub marnotrawstwa surowca wskutek nadmiernego
zwiększenia wymiarów (i masy) zarówno elementów, jak i
konstruowanej maszyny lub urządzenia.

Wartości naprężeń dopuszczalnych ustala się głównie w

zależności od własności materiałów i charakteru obciążenia.
Ogólnie rozróżnia się materiały plastyczne i kruche.

Wały i osie – nr 24

Wały i osie

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Obliczenia wytrzymałościowe – naprężenia dopuszczalne

Obliczenia wytrzymałościowe – naprężenia dopuszczalne

Dla większości materiałów w normach (PN) jako podstawowe
własności

wytrzymałościowe

są

podawane:

minimalna

wytrzymałość na rozciąganie - tzw. wytrzymałość doraźna - R

m

min

(dla materiałów kruchych i plastycznych) oraz granica
plastyczności - R

e min

(tylko dla materiałów plastycznych). Za

podstawę doboru naprężeń dopuszczalnych przy obciążeniach
stałych przyjmuje się: R

e

- dla materiałów plastycznych (np. stali)

oraz R

m

- dla materiałów kruchych (np. żeliwa). Przy

poszczególnych rodzajach obciążeń jako podstawę doboru
naprężeń dopuszczalnych można przyjmować odpowiednie
specyficzne własności, np. wytrzymałość (doraźną) przy ścinaniu
- R

t

, granicę plastyczności przy zginaniu - R

eg

itd. W celu

uzyskania określonego stopnia pewności, że dana część nie
ulegnie zniszczeniu lub trwałemu odkształceniu, wprowadza się
współczynniki bezpieczeństwa, w związku z czym naprężenia
dopuszczalne wyznacza się z wzorów:

w których:
x

e

- współczynnik bezpieczeństwa dla materiałów

plastycznych,

x

m

- współczynnik bezpieczeństwa dla materiałów

kruchych.

Wały i osie – nr 25

Wały i osie

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Obliczenia wytrzymałościowe – naprężenia dopuszczalne

Obliczenia wytrzymałościowe – naprężenia dopuszczalne

Wartości przyjmowanych współczynników uzależnia się od

przeznaczenia

konstrukcji

lub

urządzenia

(możliwość

wystąpienia nieprzewidzianego wzrostu obciążenia części,
stopień ,,odpowiedzialności" konstrukcji lub urządzenia).
Przeciętne wartości współczynników bezpieczeństwa podano w
tabeli 1.

Tabela 1. Przeciętne wartości współczynników bezpieczeństwa

Materiał

x

e

x

m

x

z

Stale, staliwa, żeliwa

ciągliwe

2÷2,

3

-

3,5÷

4

Żeliwa szare

-

3,5

3

Stopy miedzi

3÷4

-

4,5÷

6

Stopy aluminium

3,5÷

4

-

5÷7

Wały i osie – nr 26

Wały i osie

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Obliczenia wytrzymałościowe – naprężenia dopuszczalne

Obliczenia wytrzymałościowe – naprężenia dopuszczalne

Naprężenia

dopuszczalne

przy

obciążeniach

zmiennych.

Części maszyn poddane obciążeniom zmiennym

(tętniącym, wahadłowym lub o nieustalonym przebiegu)
wykazują znacznie niższą wytrzymałość niż przy obciążeniach
stałych. Proces zmian występujący w materiale pod wpływem
zmiennych obciążeń i wywołanych nimi zmiennych naprężeń
nosi nazwę zmęczenia materiału. W przypadku obciążeń
okresowo zmiennych dla każdego materiału można ustalić
doświadczalnie wartość największych naprężeń, przy których
badane próbki nie ulegają zniszczeniu w ciągu określonej liczby
zmian obciążenia (i wywołanych nimi naprężeń), określanych
jako cykl naprężeń zmiennych. Wartość tych naprężeń nazywa
się ogólnie wytrzymałością na zmęczenie i - w zależności od
rodzaju obciążenia - oznacza się następująco:

• Z

go

, Z

rc

, Z

so

- przy obciążeniach działających w cyklu

wahadłowym,

• Z

gj

, Z

rj

, Z

cj

, Z

sj

- przy obciążeniach działających w cyklu

odzerowo tętniącym,

• Z

g

, Z

r

, Z

c

, Z

s

- przy obciążeniach działających w dowolnym,

jednoznacznie określonym cyklu niesymetrycznym.

Wały i osie – nr 27

Wały i osie

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Obliczenia wytrzymałościowe – naprężenia dopuszczalne

Obliczenia wytrzymałościowe – naprężenia dopuszczalne

Zależności umożliwiające wyznaczenie wytrzymałości na

zmęczenie

w

przypadku

obciążeń

okresowo

zmiennych

(symetrycznych) są podane w tabeli 2.

Tabela 2. Wyznaczone doświadczalnie zależności umożliwiające określenie
wytrzymałości zmęczeniowej podstawowych materiałów konstrukcyjnych

Rodzaj

obciążenia

Symb

ol

Stale,

staliwa

Żeliwa

szare

Stopy

miedzi

Stopy

aluminiu

m

Rozciąganie i

ściskanie

Z

rj

(0,55÷0,63)

R

m

~1,5 Z

rc

śr. 0,50

R

m

śr. 0,48 R

m

Z

rc

(0,28÷0,4)

R

m

śr. 0,7 Z

go

śr. 0,28

R

m

0,7 Z

go

≈0,25

R

m

Z

cj

Z

rj

(3,4÷4)

Z

rj

Z

rj

Z

rj

Zginanie

Z

gj

(0,66÷0,75)

R

m

~1,5 Z

go

~1,8 Z

go

~1,8 Z

go

Z

go

śr. 0,45 R

m

śr. 0,4 R

m

śr. 0,35

R

m

śr. 0,34 R

m

Skręcanie i

ścinanie

Z

sj

(0,46÷0,5)

R

m

~1,5 Z

so

~1,7 Z

so

~1,7 Z

so

Z

so

(0,22÷0,25)

R

m

~0,8 Z

go

~0,58 Z

go

~0,56 Z

go

Wały i osie – nr 28

Wały i osie

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Obliczenia wytrzymałościowe – naprężenia dopuszczalne

Obliczenia wytrzymałościowe – naprężenia dopuszczalne

Przyjmując za podstawę odpowiednią wytrzymałość

zmęczeniowa, wartość naprężeń dopuszczalnych w przypadku
obciążeń okresowo zmiennych wyznacza się z wzoru:

gdzie:

x

z

- współczynnik bezpieczeństwa przy obciążeniach zmiennych.

W tabelach 3 i 4 podano wartości liczbowe naprężeń

dopuszczalnych w przypadku obciążeń stałych i zmiennych dla
wybranych materiałów przy założeniu następujących wartości
współczynników bezpieczeństwa:

•dla stali i staliwa - x

e

= 1,9 - 2,1; x

z

= 3,4 - 3,7 ,

•dla żeliwa - x

m

= 3,5; x

z

= 3.

Wały i osie – nr 29

Wały i osie

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Obliczenia wytrzymałościowe – naprężenia dopuszczalne

Obliczenia wytrzymałościowe – naprężenia dopuszczalne

Tabela 3. Orientacyjne własności wytrzymałościowe niektórych gatunków
stali: R

m

i R

e

wg PN oraz naprężenia dopuszczalne obliczone z zastosowaniem

współczynników bezpieczeństwa podanych w tablicach 1 i 2.

Materiał

Znak

stali

Stan

obróbki

cieplnej

R

m

min.
MPa

R

e

min.
MPa

Naprężenia dopuszczalne MPa

k

r

k

rj

k

rc

k

g

k

gj

k

go

k

s

k

sj

k

so

Stal niestopowa
konstrukcyjna zwykłej
jakości PN-88/H-84020

St0S
St3S
St4S

St5
St6
St7

320
380
440
490
590
690

195
235
275
295
335
365

100
120
130
145
160
175

55
65
70
80
95

110

30
35
40
45
55
60

120
145
155
170
195
210

65
75
85
95

115
130

40
50
55
60
75
85

65
75
85
90

105
115

44
50
60
65
75
85

23
27
30
35
40
45

Stal węglowa
konstrukcyjna wyższej
jakości PN-75/H-84019

10
15
20
25
35
45
55

N
N
N
N
N
N
N

340
380
420
460
540
610
660

210
230
250
280
320
360
390

105
115
125
140
155
170
185

55
65
70
80
85
95

105

30
35
40
45
50
55
60

125
140
150
170
185
205
225

70
75
85
90

100
115
125

45
50
55
60
65
75
80

65
75
80
90

100
110
120

45
50
60
65
70
80
85

24
27
30
33
36
40
45

10
15
20
25
35
45
55

H
H
H

T
T
T
T

420
500
550
500
590
670
750

250
300
360
310
370
420
470

125
150
180
150
180
200
225

70
85
95
85
95

105
120

40
45
50
45
50
60
65

150
180
215
180
215
240
270

85

100
110
100
110
125
140

55
65
70
65
70
80
90

80
95

115

95

115
130
145

60
70
75
70
75
85
95

30
35
40
35
40
45
50

k

c

=k

r

; k

cj

=k

rj

; k

t

≈k

s

; k

tj

≈k

sj

; k

to

≈k

so

N - normalizowana
H - nawęglane i hartowane
T - ulepszane cieplnie (hartowanie i wysokie odpuszczanie)

Wały i osie – nr 30

Wały i osie

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Obliczenia wytrzymałościowe – naprężenia dopuszczalne

Obliczenia wytrzymałościowe – naprężenia dopuszczalne

Materiał

Znak

stali

Stan

obróbki

cieplnej

R

m

min.
MPa

R

e

min.
MPa

Naprężenia dopuszczalne MPa

k

r

k

rj

k

rc

k

g

k

gj

k

go

k

s

k

sj

k

so

Stale stopowe konstr.
do nawęglania PN-
89/H-84030

15H
20H

20HG
15HG

M

H
H
H
H

690
780

1080

930

490
640
740
780

250
325
375
400

120
135
185
160

65
75

105

90

300
390
450
480

140
160
220
190

90
10

5

14

0

12

0

16

0

21

0

24

0

25

5

95
11

0

15

0

13

0

50
55
80
70

Stale stopowe
konstrukcyjne do
ulepszania cieplnego
PN-89/H-84030

30G2
45G2

N
N

650
780

390
480

190
235

105
120

60
65

230
280

125
140

80
90

12

0

15

0

85
95

45
50

30G2
45G2

30H
40H
50H

40HM

35HGS

T
T
T
T
T
T
T

780
880
880
980

1080
1030
1620

540
690
740
780
930
880

1280

260
335
335
380
450
430
620

130
145
145
160
175
165
265

70
80
80
90

100

95

145

315
400
430
455
545
515
745

150
170
170
190
210
200
310

95
11

0

11

0

12

0

13

5

13

0

20

0

17

0

21

5

23

0

24

5

29

0

27

5

39

5

10

5

11

5

11

5

13

0

14

5

13

5

21

5

55
60
60
65
75
70
11

0

k

c

=k

r

; k

cj

=k

rj

; k

t

≈k

s

; k

tj

≈k

sj

; k

to

≈k

so

N - normalizowana
H - nawęglane i hartowane
T - ulepszane cieplnie (hartowanie i wysokie odpuszczanie)

Tabela 3. (cd). Orientacyjne własności wytrzymałościowe niektórych gatunków
stali: R

m

i R

e

wg PN oraz naprężenia dopuszczalne obliczone z zastosowaniem

współczynników bezpieczeństwa podanych w tablicach 1 i 2.

Wały i osie – nr 31

Wały i osie

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Obliczenia wytrzymałościowe – naprężenia dopuszczalne

Obliczenia wytrzymałościowe – naprężenia dopuszczalne

Tabela 4. Orientacyjne własności wytrzymałościowe niektórych gatunków
staliw i żeliw: R

m

, R

g

, R

e

- wg PN, naprężenia dopuszczalne - na podstawie

tablic 1 i 2

Materiał

Znak

R

m

min.

MPa

R

e

min.

MPa

R

gsr

MPa

Naprężenia dopuszczalne MPa

k

r

k

rj

k

rc

k

g

k

gj

k

go

k

s

k

sj

k

so

k

c

k

cj

Staliwa

węglowe

konstrukcyj

ne PN-

86/H-83152

L400

L450

L500

L600

L650

400

450

500

600

650

250

260

320

360

380

125

130

150

170

180

65

75

80

95

105

38

42

45

55

60

150

155

185

205

215

80

90

95

115

125

50

58

61

75

80

80

83

95

110

115

55

62

65

80

85

29

32

34

40

45

=k

r

=k

rj

Żeliwa

szare PN-

86/H-83101

Zl

150

Zl

200

Zl

250

Zl

300

Zl

350

150

200

250

300

350

300

360

420

480

540

45

55

70

85

100

20

30

35

45

50

15

20

25

30

35

70

85

115

130

145

30

40

50

60

70

20

25

35

40

45

55

70

90

105

115

25

30

40

50

55

15

20

25

30

35

145

195

245

290

340

70

95

120

145

165

Osie oblicza się na zginanie, a wały - na skręcanie z

równoczesnym zginaniem lub (w nielicznych przypadkach) -
tylko na skręcanie.

Wały i osie – nr 32

Wały i osie

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Projektowanie osi i wałów

Projektowanie osi i wałów

Projektowanie osi i wałów polega na:

• wyznaczeniu metodami statyki wszystkich sił czynnych

(obciążeń) i biernych (reakcji podpór lub utwierdzeń)
działających na oś lub wał;

• obliczeniu wartości momentów zginających (dla osi i

wałów) oraz skręcających i zastępczych (dla wałów) co
najmniej dla punktów przyłożenia sił zewnętrznych i dla
punktów podparcia (łożysk);

• obliczeniu średnic wału w podstawowych przekrojach i

ustaleniu kształtu wału (osi);

• wykonaniu (w razie potrzeby) obliczeń sprawdzających (np.

z uwzględnieniem osłabienia wału lub osi karbami) i
uzupełniających, polegających na obliczeniu sztywności
wału itp.

Wały i osie – nr 33

Wały i osie

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Projektowanie osi dwupodporowych

Projektowanie osi dwupodporowych

Obliczanie osi dwupodporowych na zginanie. Oś oblicza się jako
belkę podpartą na dwóch podporach (łożyskach) i obciążoną siłami
skupionymi. Reakcje w podporach wyznacza się na podstawie warunków
równowagi. W przypadku osi tylko obciążonej tylko jedną siłą poprzeczną
F (rysunek) reakcje oblicza się z zależności:

Maksymalny moment zginający wynosi

Wały i osie – nr 34

Wały i osie

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Projektowanie osi dwupodporowych

Projektowanie osi dwupodporowych

Na podstawie warunku wytrzymałościowego na zginanie oblicza
się minimalną średnicę osi

stąd

Osie nieruchome często wykonuje się jako gładkie (rysunek), o
średnicy odpowiadającej obliczonej średnicy maksymalnej.

Wały i osie – nr 35

Wały i osie

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Projektowanie osi dwupodporowych

Projektowanie osi dwupodporowych

Podczas

projektowania

osi

drążonych

(o

przekroju

pierścieniowym) wstępnie zakłada się stosunek średnicy otworu
do zewnętrznej średnicy osi: β=d

o

/d; najczęściej przyjmuje się

β=0,4÷0,6, jeżeli średnica otworu nie jest uzależniona od
wymagań związanych z przeznaczeniem osi. Dla osi drążonej
wskaźnik wytrzymałości przekroju wynosi:

Średnicę osi oblicza się wg wzoru:

Wały i osie – nr 36

Wały i osie

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Projektowanie osi dwupodporowych

Projektowanie osi dwupodporowych

Z wykresu momentów zginających (rys. 9c) wynika, że w przypadku
stosowania osi gładkiej (o stałym przekroju poprzecznym - rys. 9d)
własności materiału są w pełni wykorzystane tylko w przekroju
niebezpiecznym,

natomiast

w

przekrojach,

w

których

M

g

< M

g max

, materiał osi jest niedociążony.

Rys. 9. Obliczanie osi na zginanie: a) schemat osi, b) schemat
obciążenia, c) wykres momentów zginających, d) oś gładka, e)
teoretyczny kształt osi o równej wytrzymałości, f) rzeczywisty kształt
osi schodkowej (wg d1 na rys. e)

Wały i osie – nr 37

Wały i osie

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Projektowanie osi dwupodporowych

Projektowanie osi dwupodporowych

W celu właściwego wykorzystania materiału ustala się teoretyczny

kształt osi (wału), odpowiadający belce o równomiernej wytrzymałości na
zginanie (rys. 9e); wartości średnic w poszczególnych przekrojach oblicza
się wg odpowiednich wartości momentów zginających. Na podstawie
teoretycznego kształtu ustala się rzeczywiste kształty osi lub wału.
Najczęściej wykonuje się osie i wały schodkowe, projektowane w taki
sposób, aby kształt rzeczywisty był opisany na kształcie teoretycznym (rys.
9f). Naprężenia rzeczywiste w każdym przekroju poprzecznym będą
wówczas mniejsze od naprężeń dopuszczalnych.

Rys. 9. Obliczanie osi
na zginanie: a) schemat
osi,

b)

schemat

obciążenia, c) wykres
momentów zginających,
d)

oś

gładka,

e)

teoretyczny kształt osi
o

równej

wytrzymałości,

f)

rzeczywisty kształt osi
schodkowej (wg d

1

na

rys. e)

Wały i osie – nr 38

Wały i osie

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Obliczanie wałów na skręcanie

Obliczanie wałów na skręcanie

Wały oblicza się tylko na skręcanie w następujących

przypadkach:

1. Gdy moment skręcający jest znacznie większy od

momentów zginających wał. Przypadek ten ma miejsce dla
wałów krótkich występujących np. w reduktorach, w
których elementy odbierające napęd (sprzęgła, koła pasowe
itd.) znajdują się tuz przy łożysku reduktora, a średnice kół
osadzonych na tym wale są dość duże. W takich
przypadkach

można

pominąć

wpływ

momentów

zginających, ewentualnie zwiększając nieco obliczoną
średnicę wału.

2. Gdy wał jest obciążony tylko momentem skręcającym.

Przykład takiego obciążenia stanowią drążki skrętne,
stosowane w niektórych pojazdach, na stanowiskach
badawczych, itp.

3. Gdy wielkość projektowanego urządzenia zależy m.in. od

wymiarów wału, a jego wymiary długościowe nie są
ustalone. W takich przypadkach po wstępnym obliczeniu
wału

na

skręcanie

ustala

się

wymiary

wału

i

projektowanego urządzenia, a następnie oblicza się
dokładnie wał (co najmniej w przekrojach niebezpiecznych),
wprowadzając w razie potrzeby odpowiednie zmiany.

Wały i osie – nr 39

Wały i osie

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Obliczanie wałów na skręcanie

Obliczanie wałów na skręcanie

stąd

W podanych przypadkach średnicę wału oblicza się w

warunku wytrzymałościowego na skręcanie

Wały drążone oblicza się podobnie jak osie drążone

oraz d

o

=β

d

Wały i osie – nr 40

Wały i osie

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Obliczanie wałów na skręcanie

Obliczanie wałów na skręcanie

Podstawiając do wzoru wartość momentu skręcającego podaną
w zależności:

można obliczyć średnicę wału na podstawie mocy P
przenoszonej przez wał i jego prędkości obrotowej oraz
założonego materiału:

w którym:

P - moc [kW],
n – prędkość obrotowa [obr/min],
k

s

– dopuszczalne naprężenia na skręcanie [MPa]

d – średnica wału [m].

Wały i osie – nr 41

Wały i osie

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Obliczanie wałów na skręcanie

Obliczanie wałów na skręcanie

W zależności od rodzaju obciążenia wartości naprężeń

dopuszczalnych na skręcanie przyjmuje się następująco:

• k

s

- przy prawie ciągłej pracy wału (bardzo rzadkie zmiany

prędkości obrotowej itd.);

• k

sj

- przy częstych zmianach prędkości obrotowej i mocy

odbieranej (np. w obrabiarkach skrawających) oraz przy
częstym uruchamianiu i zatrzymywaniu urządzenia;
naprężenia dopuszczalne tętniące (ksj) są najczęściej
przyjmowane w praktyce;

• k

so

- jw. przy równie częstych zmianach kierunku ruchu

obrotowego.

Wartości liczbowe wymienionych naprężeń są podane w tabeli

3.

Wały i osie – nr 42

Wały i osie

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Obliczanie wałów dwupodporowych na równoczesne zginanie i

Obliczanie wałów dwupodporowych na równoczesne zginanie i

skręcanie

skręcanie

Obciążenie wałów wywołuje w nich naprężenia normalne

(zginające) i styczne (skręcające), zatem wały oblicza się ze
wzoru na naprężenia zastępcze (σ

z

) opartego na hipotezie

wytrzymałościowej Hubera:

Podstawiając zależności: σ

g

=M

g

/W

x

, τ

s

=M

s

/W

o

oraz W

o

=2W

x

,

otrzymuje się po przekształceniach wzór:

w którym moment zastępczy (zredukowany):

Wały i osie – nr 43

Wały i osie

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Obliczanie wałów dwupodporowych na równoczesne zginanie i

Obliczanie wałów dwupodporowych na równoczesne zginanie i

skręcanie

skręcanie

Współczynnik redukcyjny α określa, w jakim stopniu

uwzględnia się w obliczeniach naprężenia styczne. Jego
wartość oblicza się z zależności: α=k

go

/k

sj

lub α=k

go

/k

so

.

Podstawiając do wzoru wskaźnik wytrzymałości przekroju
W

x

≈0,1d

3

, otrzymuje się wzór:

lub dla wału drążonego:

Wały i osie – nr 44

Wały i osie

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Obliczanie wałów dwupodporowych na równoczesne zginanie i

Obliczanie wałów dwupodporowych na równoczesne zginanie i

skręcanie

skręcanie

W podanych wzorach pominięto wpływ obciążeń wzdłużnych na
wytrzymałość wału, ponieważ są one z reguły nieznaczne. Gdy
zachodzi potrzeba ich uwzględnienia, sprawdza się wartość
naprężeń zastępczych w poszczególnych przekrojach wg wzoru:

Podstawą

do

obliczenia

średnic

wału

z

warunków

wytrzymałościowych jest prawidłowe obliczenie momentów
zastępczych w poszczególnych przekrojach. Obliczenia te
wykonuje się metoda rachunkowa lub metoda półwykreślną.