Biostatystyka – Wykład 6

Biostatystyka – Wykład 6

2

Wybrane metody wnioskowania  statystycznego

Wybrane metody wnioskowania  statystycznego

1. Estymacja

• Punktowa
• Przedziałowa

2. Weryfikowanie hipotez

3

POPULACJA

P1 P2 P3

Pn

μ  
б

x  
s

We wnioskowaniu statystycznym interesuje nas 
POPULACJA
Wykorzystujemy próbę do uzyskania informacji na temat 
populacji

4

Estymacja

Estymacja

• Z prób reprezentatywnych obliczamy wielkości 

statystyk

,  które są 

estymatorami

 

określonych 

parametrów

 populacji 

• Przykładowo średnia arytmetyczna z próby jest 

dobrym estymatorem wartości oczekiwanej 
(wartości przeciętnej) populacji

5

• estymację punktową:

–  czyli metodę szacunku, za pomocą której jako wartość 

parametru zbiorowości generalnej przyjmuje się 

konkretną wartość estymatora wyznaczonego na 

podstawie n-elementowej próby (zakładamy, że wartość 

statystki z próby leży  blisko wartości parametru 

populacji)

• estymację przedziałową:

– za pomocą której wyznacza się przedział liczbowy, który z 

ustalonym prawdopodobieństwem zawiera nieznaną 

wartość szacowanego parametru zbiorowości generalnej. 

Wyróżnia się dwa rodzaje estymacji:

Wyróżnia się dwa rodzaje estymacji:

6

Statystki z próby jako estymatory parametrów populacji

Statystki z próby jako estymatory parametrów populacji

• Parametr populacji

, lub po prostu parametr, 

to liczbowa charakterystyka populacji

• Statystyka z próby

, lub po prostu statystyka, 

to liczbowa charakterystyka z próby

7

Estymatory punktowe

Estymatory punktowe

Estymator (statystyka 

z próby)

Parametr 

populacji

X

S

P

μ

σ

p

8

Przykład

Przykład

• zbiór: (1, 2, 3, ..., 8)
• prawdopodobieństwo wylosowania 

każdej liczby = 1/8

• losujemy dwie liczby ze zwracaniem 

(ważna kolejność) i obliczamy ich 
średnią arytmetyczną

• jaki jest rozkład tych średnich?

9

Obliczymy średnią i odchylenie 

standardowe z populacji X:

29

,

2

5

,

4









Natomiast wartość oczekiwana 

i odchylenie zmiennej losowej X

śr

62

,

1

5

,

4





x

x



Zauważymy, że oczekiwana 

wartość jest równa średniej z 

populacji, natomiast 

odchylenie standardowe 

n

x

/







x = μ

10

Poniżej na rysunku pokazano krzywą Gaussa dla populacji i krzywe normalne 
dla zm.los. średniej , dla różnych liczebności prób.

Poniżej na rysunku pokazano krzywą Gaussa dla populacji i krzywe normalne 
dla zm.los. średniej , dla różnych liczebności prób.

rozkład normalny

(w populacji)

rozkład zmiennej

Xśr przy n=2

rozkład zmiennej

Xśr przy n=4

rozkład zmiennej

Xśr przy n=16

11

Z rysunku widać, że jeśli liczebność próby wzrasta, to 

odchylenie standardowe zmiennej maleje, dzięki czemu 

zbliżenie się wartości średniej do  staje się coraz bardziej 

prawdopodobne. I tak doszliśmy do jednego z głównych 

twierdzeń w teorii statystyki: 

centralnego twierdzenia 

granicznego

, które mówi:

Jeżeli pobieramy próbę z populacji o średniej   μ i 

skończonym odchyleniu standardowym σ , to rozkład 

średniej z próby     , dąży do rozkładu normalnego o 

średniej μ i odchyleniu            , gdy liczebność próby 

wzrasta nieograniczenie, czyli dla „dostatecznie dużych n

X

n

/



12

Na rysunku poniżej pokazano kilka rozkładów w macierzystych 
populacjach i wynikające stąd rozkłady , dla prób o różnej liczebności.

Rozkład

macierzystej

populacji

normalny

prawoskośny

jednostajny

Rozkład Xśr

n=2

n=10

n=30

13

W ogólnym przypadku próbę uważa się za 

dostatecznie dużą, by stosowane były reguły 
tw. granicznego, jeśli zawiera ona 30 i więcej 
elementów

14

2

/



2

/



2

/

z



2

/

1

z





n

z

x

2

/







Przedział ufności dla μ przy (1-α) poziomie ufności, 
gdy σ jest znane, a próba została pobrana z populacji 
normalnej lub jest „dużą próbą”, wyznacza wzór:

15

gdzie t

α/2

 - jest wartością z rozkładu t-

Studenta 
               o n-1 stopniach swobody, która 
odcina   

   pod krzywą gęstości pole o 

mierze α/2 z     prawej strony 

Przedział ufności dla μ przy (1-α) poziomie ufności, gdy σ 
nie jest znane, a próba została pobrana z populacji 
normalnej lub jest „małą próbą”, wyznacza wzór:

16

• Przykład 
• Chcemy oszacować średni wiek pielęgniarek 

zatrudnionych w wiejskich ośrodkach 
zdrowia. W tym celu ze zbiorowości tych 
pielęgniarek wylosowano próbę liczącą 121 
osób i otrzymano następujące wyniki: średnia 
wieku pielęgniarek pracujących w wiejskich 
ośrodkach zdrowia wynosi 45 lat oraz 
odchylenie wynosi 13,5 lat. Oszacować średni 
wiek pielęgniarek pracujących w wiejskich 
ośrodkach zdrowia. 

17

• Dane: n=121,  M=45 lat, SD= 13,5 lat 
Otrzymujemy następujący przedział ufności:
(45 – 1,96*13,5/121^0,5;   45 + 

1,96*13,5/121^0,5) 

po wyliczeniu mamy około:(42;   48 lat)

18

Przedziały ufności dla wariancji w populacji

Przedziały ufności dla wariancji w populacji

• W wielu sytuacjach interesuje nas wariancja lub odchylenie 

standardowe w populacji. Tak jest np. w analizie procesu 

produkcyjnego, w badaniach procesów masowej obsługi. 

Jak już mówiliśmy nieobciążonym estymatorem wariancji w 

populacji, 

2

 jest wariancja z próby S

2

• Do wyznaczenia przedziału ufności dla wariancji w 

populacji musimy poznać nowy rozkład, tzw. rozkład 

chi-

kwadrat

 

lub 



2

 

19

Rozkład chi-kwadrat

Rozkład chi-kwadrat

• Rozkład ten podobnie jak rozkład t, charakteryzuje się 

liczba stopni swobody, df ( df=n-1 )

• W przeciwieństwie do rozkładu t, rozkład chi-kwadrat nie 

jest symetryczny

df = 10

df = 30

df = 50

20

Rozkład chi-kwadrat

Rozkład chi-kwadrat

• Rozkład chi-kwadrat

 jest rozkładem 

prawdopodobieństwa sumy kwadratów niezależnych, 
standaryzowanych, normalnych zmiennych losowych.

– Średnia rozkładu

 jest równa liczbie stopni swobody df

– Wariancja

 zaś jest równa liczbie stopni swobody 

pomnożonej przez dwa.

21

Przedziały ufności dla wariancji w populacji 

Przedziały ufności dla wariancji w populacji 

(1-



)100%  przedział  ufności  dla  wariancji  w  populacji, 

2



,  gdy  rozkład  w 

populacji jest normalny, wyznacza wzór: 



















2

2

/

1

2

2

2

/

2

)

1

(

;

)

1

(









S

n

S

n

 

gdzie: 

2

2

/





 jest wartością zmiennej w rozkładzie chi-kwadrat o n-1 stopniach 

swobody, która odcina pole o mierze 

2

/



 z prawej strony; 

2

2

/

1







 jest wartością 

zmiennej w rozkładzie chi-kwadrat, która odcina pole o mierze 

2

/



 lewej strony 

(a tym samym 1-

2

/



 z prawej strony). 

Weryfikowanie hipotez 

statystycznych

Weryfikowanie hipotez 

statystycznych

23

• Podobnie jak testy w życiu codziennym, test 

statystyczny też ma jednobitowy wynik: 
„

jest OK albo nie jest OK”

– Wąchamy wczorajszą wędlinkę i kierujemy ją na stół 

albo pod stół (do kosza;-)

– Nie ma trzeciej drogi, chyba że mamy psa, który nam 

się opatrzył. 

24

• Zwróćmy przy okazji uwagę na to, że przy 

testowaniu możemy popełnić dwa rodzaje błędów:

– możemy wyrzucić dobrą szynkę 

• jest to błąd pierwszego rodzaju

– albo zjeść zepsutą 

• błąd drugiego rodzaju

• Kalkulacja ekonomiczna kosztu tych błędów jest bardzo 

ważna przy projektowaniu testu, aczkolwiek może ona nie 

być łatwa do przeprowadzenia

25

• W zarządzaniu jakością często stawiane jest pytanie 

– czy wartość określonej statystyki uzyskana z próbki  losowej 

(szczególnie jeśli próbka ma małą liczność), pozwala sądzić, że 

odpowiada ona wartości wymaganej (spodziewanej)

– lub też, czy uzyskana w  wyniku działań doskonalących 

poprawa jest tylko pozorna – wynika z małej liczby pomiarów 

sprawdzających – czy rzeczywista

• Odpowiedzi na tak i podobnie postawione pytanie 

uzyskuje się w tzw. testach statystycznych

 

Przykładowo:

26

Stosuje się dwie grupy testów:

Stosuje się dwie grupy testów:

• parametryczne i nieparametryczne

– stosowanie pierwszych wymaga przyjęcia założeń o 

postaci rozkładu testowanej zmiennej losowej oraz 
znajomości wybranych statystyk

– testy nieparametryczne

 takich założeń nie wymagają, 

ale nie są tak mocne jak parametryczne 

27

Hipotezy statystyczne

Hipotezy statystyczne

• Hipoteza statystyczna to każde 

przypuszczenie dotyczące rozkładu 
zmiennej losowej weryfikowane na 
podstawie n-krotnej realizacji tej 
zmiennej

– Wyróżniamy:

• Hipotezy 

– parametryczne i nieparametryczne
– proste i złożone

28

Weryfikowanie hipotez

Weryfikowanie hipotez

• Hipotezą zerową

, oznaczoną przez H

0

, jest hipoteza 

w  wartości    jednego  z  parametrów  populacji  (lub 
wielu)

–

Tę  hipotezę  traktujemy  jako  prawdziwą,  dopóki  nie  uzyskamy 
informacji 

statystycznych  dostatecznych  do  zmiany  naszego 

stanowiska

• Hipotezą  alternatywną

,  oznaczoną  przez  H

1

,  jest 

hipoteza  przypisująca  parametrowi  (parametrom) 
populacji wartość inną niż podaje to hipoteza zerowa

 

29

• Hipoteza zerowa:

– często opisuje sytuację, która istniała do tej pory 

lub jest wyrazem naszego przekonania, które 
chcemy sprawdzić

• Sprawdzenia dokonuje się 

korzystając z informacji 
zawartej w próbie losowej

30

• Sprawdzianem lub statystyką testu 

– nazywamy statystkę z próby, której wartość obliczona 

na podstawie wyników obserwacji jest wykorzystywana 
do ustalenia czy możemy hipotezę zerową odrzucić czy 
jej odrzucić nie możemy

31

Przykład 1:

Przykład 1:

Firma rozwożąca paczki zapewnia, że 
średni czas dostarczenia przesyłki od drzwi 
klienta do odbiorcy wynosi 28 minut. By 
sprawdzić to stwierdzenie pobrano próbę 
n=100 przesyłek i obliczono średni czas 
dostawy 31,5 minut oraz odchylenie 
standardowe 5 minut.

32

Test dla średniej

Test dla średniej

H

0

 : µ  =  28

H

1

 : µ    28

zbudujmy 95% przedział ufności dla średniej:

]

48

,

32

;

52

,

30

[

100

5

96

,

1

5

,

31

n

u

x

2

/













Jeżeli mamy 95% ufności, że średni czas dostawy zawiera się 
w przedziale [30.52;  32.48] minuty, to mamy 95% zaufania, 
że czas ten nie znajdzie się poza tym przedziałem. 
Wartość sprawdzana: 28 minut, leży poza tym przedziałem, 
zatem odrzucamy hipotezę zerową.

1- = 0,95
 = 5

33

Czego się nauczyliśmy z przykładu?

Czego się nauczyliśmy z przykładu?

Po pierwsze:

 przy weryfikowaniu testów można 

budować przedział ufności wokół wartości 

statystyki z próby i sprawdzać, czy weryfikowana 

wartość parametru należy do przedziału

28

31,5

30,52

32,48

95% przedział ufności



0

x

34

Z drugiej strony:

Z drugiej strony:

Można jako centrum traktować średnią populacji i 
sprawdzać wartość statystyki z próby względem 
przedziału ufności wokół parametru populacji

]

98

,

28

;

02

,

27

[

100

5

96

,

1

28

n

s

96

,

1

0











Wartość średnia z próby =31,5, zatem nie należy 
do przedziału ufności. Hipotezę zerową odrzucamy.

35

28

31,5

30,52

32,48

95% przedział ufności



0

=2

8

x

28,98

27,02

95% 

obszar 

przyjęcia 

Średnia z próby 
znajduje się poza 
obszarem 
przyjęcia 

x

36

Interpretacja graficzna 

Interpretacja graficzna 



0

rozkład populacji

x

Pytanie: Czy ta średnia 
może pochodzić z populacji 
o średniej 

0 

i odchyleniu ?

n

σ

u

2

/

α

Jeśli średnia z próby 
leży powyżej granicy, to 
przypuszczenie że 
populacja ma średnią 

0

 

musi zostać odrzucone

37

Standaryzowana forma testu statystycznego 

Standaryzowana forma testu statystycznego 

n

/

σ

μ

x

0



0

rozkład standaryzowany

Standaryzujemy średnią 
z próby, czyli obliczamy 

statystykę (sprawdzian)

Jeżeli obliczona wartość 
statystyki leży poniżej 
granicy u

/2

, to nie ma 

podstaw do odrzucenia 
hipotezy zerowej

2

/

α

u

38

obszar nieodrzucenia

obszar

odrzucenia

obszar

odrzucenia

0

-1,96

1,96

Miara pola = 0,025

Miara pola = 0,025

Miara pola = 0,95

z = 7,0

wartość
sprawdzianu
znajduje się w
polu odrzucenia

u

H

0

 : µ  =  28

H

1

 : µ    28

7

100

/

5

28

5

,

31

u







Obszar krytyczny:

 

R = (-; -1,96)  (1,96; +)

Wracając do przykładu: 

39

Prawdopodobieństwo odrzucenia/przyjęcia hipotezy

Prawdopodobieństwo odrzucenia/przyjęcia hipotezy

)

falszywa

H

/

na

nieodrzuco

H

(

P

)

prawdziwa

H

/

odrzucona

H

(

P

0

0

0

0









Hipoteza

Decyzja

Prawdziwa

Fałszywa

Przyjąć

Właściwe 

postępowani

e

1-α

Błąd II-go 

rodzaju

β

Odrzucić

Błąd I-go 

rodzaju

α

Właściwe 

postępowani

e

1-β

40

ponieważ założyliśmy, że hipoteza zerowa 
odzwierciedla nasze przekonanie, to chcemy śledzić 
pradwopodobieńswto I-go rodzaju

świadomość, że istnieje małe prawdopodobieństwo 
popełnienia błędu I-go rodzaju, czyli odrzucenia 
hipotezy zerowej, gdy nie powinna być ona 
odrzucona,

 

czyni odrzucenie hipotezy zerowej 

wnioskiem stanowczym

41

Nie można tego powiedzieć o  akceptowaniu (czyli 
nie odrzuceniu) hipotezy zerowej

Jeżeli akceptujemy hipotezę zerową (nie 
odrzucamy jej) czujemy tylko, że 

nie mamy 

podstaw do jej odrzucenia

42

Przykład 2:

Przykład 2:

Przypuszcza się, że przeciętny czas jaki potrzebuje 

komputer do wykonania pewnego zadania wynosi 3,24 

sekundy.
Grupa naukowców z Bell Laboratories testowała 

algorytmy, które mogłyby zmienić czas obliczeń. 

Przeprowadzono badania: wybrano losowo próbę 200 

cykli obliczeń komputera według nowych algorytmów i 

otrzymano średni czas obliczeń 3,48 s przy odchyleniu 2,8 

sekundy. 
Jaki wniosek wyciągną naukowcy przy poziomie istotności 

0,05?

43

H

0

 : µ  =  3,24

H

1

 : µ    3,24

21

,

1

200

/

8

,

2

24

,

3

48

,

3

u







Obszar krytyczny: 

R



0 05

 = (-; -1,96)  (1,96; +)

Obszar krytyczny: 

R



0 1

 = (-; -1,65)  (1,65; +)

Otrzymana wartość u nie należy do obszaru krytycznego. 

Zatem nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.
Oznacza to jedynie, że na przyjętym poziomie istotności 

nie mamy dostatecznych powodów do odrzucenia H

0

.

44

Test dwustronny dla średniej w populacji dla dużej 
próby 

Test dwustronny dla średniej w populacji dla dużej 
próby 

H

0

: = 

0

H

1

:  ≠ 

0

Poziom istotności: 





 

(zazwyczaj przyjmowany: 0,05;  0,01)

Statystyka testu:

n

σ

μ

x

u

0





Obszar krytyczny:  R



 = (-; -u

/2

)  (u

/2

; +) 

Reguła decyzyjna:  hipotezę zerową odrzucić, jeśli
statystyka u należy do R



 

45

Test dwustronny dla średniej w populacji dla małej 
próby 

Test dwustronny dla średniej w populacji dla małej 
próby 

H

0

: = 

0

H

1

:  ≠ 

0

Poziom istotności: 





 

(zazwyczaj przyjmowany: 0,05;  0,01)

Statystyka testu:

n

s

μ

x

t

0





Obszar krytyczny:  R



 = (-; 

-t

/2

)  (t

/2

; +) 

Reguła decyzyjna:  hipotezę zerową odrzucić, jeśli
statystyka u należy do R



 

ma rozkład t o n-1 stopniach swobody

46

Test dla porównania dwóch wartości oczekiwanych dwóch 
populacji przy dużych próbach

Test dla porównania dwóch wartości oczekiwanych dwóch 
populacji przy dużych próbach

H

0

: 

1

= 

2

H

1

: 



 ≠ 



Poziom istotności: 





 

(zazwyczaj przyjmowany: 0,05;  0,01)

Statystyka testu:

2

2
2

1

2

1

2

1

n

σ

n

σ

x

x

u







Obszar krytyczny:  R



 = (-; -u

/2

)  (u

/2

; +) 

Reguła decyzyjna:  hipotezę zerową 
odrzucić, jeśli
statystyka u należy do R



 

dwie badane populacje mają 
rozkład normalny N(

1

, 

1

) oraz 

N(

2

, 

2

)

47

Test dla porównania dwóch wartości oczekiwanych dwóch 
populacji przy małych próbach

Test dla porównania dwóch wartości oczekiwanych dwóch 
populacji przy małych próbach

H

0

: 



= 



H

1

: 



 ≠ 



Poziom istotności: 





 

(zazwyczaj przyjmowany: 0,05;  0,01)

Statystyka testu:





























2

1

2

1

2
2

2

2

1

1

2

1

n

1

n

1

2

n

n

s

)

1

n

(

s

)

1

n

(

x

x

t

Obszar krytyczny:  R



 = (-; -u

/2

)  (u

/2

; +) 

Reguła decyzyjna:  hipotezę zerową odrzucić, 
jeśli
statystyka u należy do R



 

dwie badane populacje mają 
rozkład normalny N(

1

, 

1

) oraz 

N(

2

, 

2

), nieznane odchylenia

48

Test hipotezy o frakcji w populacji w przypadku dużej próby

Test hipotezy o frakcji w populacji w przypadku dużej próby

n

/

q

p

p

p

u

0

0

0





H

0

: p= p

0

H

1

: p ≠ p

0

jeśli próba jest duża, to rozkład 
frakcji w próbie jest rozkładem 
normalnym o średniej p i 
odchyleniu pq/n

Poziom istotności: 





 

(zazwyczaj przyjmowany: 0,05;  0,01)

Statystyka testu:

Obszar krytyczny:  R



 = (-; -u

/2

)  (u

/2

; +) 

Reguła decyzyjna:  hipotezę zerową 
odrzucić, jeśli
statystyka u należy do R



 

49

Testy jednostronne

Testy jednostronne

• Wybór rodzaju testu podyktowany jest potrzebą działania
• Jeżeli działanie (np. korygujące) będzie podjęte, gdy 

parametr przekroczy pewną wartość a, to stosujemy test 
prawostronny:

H

0

: μa

H

1

: μ>a

• Jeżeli działanie będzie podjęte, gdy parametr przyjmie 

wartość mniejszą niż a, to stosujemy test lewostronny:

H

0

: μa

H

1

: μ<a

50

H

0

: μa

H

1

: μ>a

H

0

: μ=a

H

1

: μa

51

Test hipotezy o wariancji populacji

Test hipotezy o wariancji populacji

• bardzo często chcemy dowiedzieć się czegoś o wariancji 

w populacji 

2

:

• np. czy wariancja liczby sztuk wyrobu nie 

przekroczyła pewnej granicy?

• np. o wariancji czasu obróbki na linii (powinna 

być niewielka, aby nie tworzyły się przestoje)

• z reguły obawiamy się, że wariancja w populacji 

przekroczy pewien poziom

• dlatego z reguły stosujemy test prawostronny

52

Test hipotezy o wariancji w populacji

Test hipotezy o wariancji w populacji

2

0

2

2

s

)

1

n

(









H

0

:  

 



0

H

1

: 

 > 

0

Poziom istotności: 





 

(zazwyczaj przyjmowany: 0,05;  0,01)

Statystyka testu:

Obszar krytyczny:  R



 

= (



; +) 

Reguła decyzyjna:  hipotezę zerową 
odrzucić, jeśli
statystyka 

2

należy do R



 

53

Prawdopodobieństwo błędu II-go rodzaju

Prawdopodobieństwo błędu II-go rodzaju

• w testach zakładamy błąd 
• co z błędem ?

Stan rzeczy

Decyzje

H

0

H

1

H

0

H

1

słuszna 

decyzja





słuszna 

decyzja

bład I-go rodzaju jest poważniejszy

H

0

: 

niewinna
H

1

: winna

54

Prawdopodobieństwo błędu II-go rodzaju

Prawdopodobieństwo błędu II-go rodzaju

• niestety prawdopodobieństwo  jest trudne do 

wyznaczenia „a priori”

• zależy ono od tego, którą z możliwych wartości 

przyjmie inetersujący nas parametr

• przykładowo dla testów dotyczących  błąd  

jest funkcją : 

55

Przykład wyznaczania :

Przykład wyznaczania :

H

0 

= 60

H

1 

= 65

Mamy do czynienia z hipoteza prostą. Albo dojdziemy do 
wniosku, że średnia populacji jest równa 60, albo że jest 
równa 65.
W praktyce takie sytuacje zdarzają się rzadko.

n = 100
 = 20

 = 0,05

60

0





65

1









63,29

29

63

645

1

0

,

n

,

C











56

Jakie jest prawdopodobieństwo ?

Jakie jest prawdopodobieństwo ?

)

/

C

X

(

P

0













)

/

C

X

(

P

1













 z góry ustalamy, zatem :

1963

,

0

)

855

,

0

U

(

P

)

n

/

C

n

/

X

(

P

)

/

C

X

(

P

1

1

1





































Zatem prawdopodobieństwo  przyjęcia błędnej hipotezy, że 

średnia w populacji jest 60, podczas gdy w rzeczywistości wynosi 
65, jest równe 0,1963.
Przeprowadzony test dopuszcza 5% ryzyko odrzucenia Ho gdy 
jest ona prawdziwa i 19,63% ryzyko przyjęcia Ho gdy jest ona 
fałszywa.

57

Moc testu

Moc testu

Mocą testu hipotezy statystycznej jest 
prawdopodobieństwo odrzucenia hipotezy zerowej, 
gdy jest ona fałszywa.

moc testu = 1-

W przykładzie: moc testu=1-0,1963=0,8037
Mamy 80,37% szans, że odrzucimy Ho gdy 
średnia populacji jest równa 65, a nie 60.

58

Dla testów złożonych

Dla testów złożonych

przykładowo w przypadku testu jednostronnego

H

0 

 60

H

1 

> 60

Jak zdefiniować moc testu w takiej sytuacji?

Moc testu = P( odrzucenia Ho/ Ho jest fałszywa )

W przykładzie Ho może być fałszywa na nieskończenie 
wiele sposobów: 61, 62, 67, 72.893 itd...

59

Moc testu dla wybranych wartości 

1

Moc testu dla wybranych wartości 

1



1



Moc=1-

61
62
63
64
65
66
67
68
69

0,8739
0,7405
0,5577
0,3613
0,1963
0,0877
0,0318
0,0092
0,0021

0,1262
0,2595
0,4423
0,6387
0,8037
0,9123
0,9682
0,9908
0,9979

załóżmy liczebność próby n=100, s=20, a=0.05

60

Własności mocy testu:

Własności mocy testu:

1.

Moc zależy od odległości między wartością 
parametru zakładaną w hipotezie zerowej a 
prawdziwą wartością parametru. Im większa 
odległość tym większa moc.

2.

Moc zależy od wielkości odchylenia standardowego 
w populacji. Im mniejsze odchylenie tym większa 
moc.

3.

Moc zależy od liczebności próby. Im liczniejsza 
próba, tym większa moc.

4.

Moc zależy od poziomu istotności testu. Im niższy 
poziom istotności tym mniejsza moc testu.

nie możemy kontrolować punktu 1 i 2
kształtujemy jedynie pkt. 3 i 4

61

Podsumowując:

Podsumowując:

• w przypadku prowadzenia testu statystycznego dla 

parametru populacji posługiwaliśmy się:

– przedziałem ufności (wokół 

0

 lub x

śr

)

– standaryzowanym przedziałem

• Istnieje 3 droga: wyznaczanie wartości 

prawdopodobieństwa na prawo/lewo od wartości 

sprawdzianu

62

Wartość p – co to takiego?

Wartość p – co to takiego?

to najniższy poziom istotności, przy którym hipoteza 

zerowa mogłaby być odrzucona przy otrzymanej 

wartości sprawdzianu

to prawdopodobieństwo otrzymania takiej wartości 

sprawdzianu, jaką otrzymaliśmy przy założeniu, że 

hipoteza zerowa jest prawdziwa

63

Wartość p – co to takiego?

0

rozkład Z

Wartość sprawdzianu u=2,5

Wartość p = miara pola na prawo od u
p = 0.0062

H

0

: 

 

 60

H

1

: 



> 60

 = 0.01
stąd u

kryt

=2,326

u=2,326

64

Interpretacja:

Interpretacja:

• jeśli otrzymana wartość sprawdzianu jest mało 

prawdopodobna przy założeniu, że Ho jest 
prawdziwa, to hipoteza Ho powinna być odrzucona

• jeśli otrzymana wartość sprawdzianu jest dosyć 

prawdopodobna (większa od 0.05; 0.1) to 
powinniśmy przyjąć hipotezę Ho

65

Wartość p

Wartość p

Jest czymś w rodzaju zindywidualizowanego 
poziomu istotności

Załóżmy, że wartość p dla 
wyznaczonego sprawdzianu 
wynosi 0.0002

Informacja dla użytkownika 
testu:

1)

Ho musiałaby być odrzucona 
przy a=0.01

2)

Ho musiałaby być odrzucona 
przy a=0.001 i przy wszystkich 
poziomach aż do 0.0002!!

Informacja zawarta w p=0.0002 jest bogatsza niż w stwierdzeniu, 
że Ho odrzucona na poziome =0.05

Dziękuję za uwagę

Dziękuję za uwagę