Podstawy

metrologii

Wykład 10

Szacowanie niepewności

pomiarowych

Pomiar

Pomiar

— pewna sekwencja czynności

doświadczalnych i obliczeniowych, prowadząca do
wyznaczenia liczbowej wartości wielkości fizycznej.

Wynik pomiaru to wartość przypisana wielkości

mierzonej uzyskana drogą pomiaru.

• W realnych warunkach wynik pomiaru jest tylko

pewnym przybliżeniem lub estymatą
(oszacowaniem) wartości wielkości mierzonej.

• Dlatego też jest on pełny jeśli podamy także

niepewność tej estymaty.

Wynik pomiaru

Gdy nie jest jednoznaczne czego dotyczy

pomiar należy zawsze podać czy wynik
pomiaru dotyczy:

• wskazania
• wyniku surowego
• wyniku poprawionego
• i czy jest to wynik pojedynczego

pomiaru , czy też stanowi wartość średnią
 z wielu pomiarów.

•

Pomiar jest zawsze operacją niedokładną

, to znaczy

estymata wartości prawdziwej mezurandu
otrzymana jako wynik pomiaru różni się na ogół od
wartości prawdziwej, równość estymaty i
estymowanej wartości jest zdarzeniem wyjątkowym,
a fakt jego zajścia pozostaje nieznany.

•

Istotą pomiaru jest jednak to, że

niedokładność

wyniku pomiaru można zawsze oszacować

, to

znaczy można zawsze określić graniczną odległość
między znanym wynikiem pomiaru a nieznaną
wartością prawdziwą mezurandu.

BŁĄD  NIEPEWNOŚĆ

Omyłka, uchyb, błąd, -

niepewność ?

Szacowanie niedokładności

pomiaru jest jedną z

podstawowych czynności,

która powinna być

wykonywana w procesie

mierzenia.

Analiza danych

eksperymentalnych

Przyczyny niepewności wyników

eksperymentu:

• błędy grube
• błędy systematyczne
• błędy przypadkowe

Wszystkie wyniki pomiarów, włączając te

uzyskane instrumentem o bardzo dużej

precyzji i przy wysokiej dbałości

eksperymentalnej, nie są dokładne, lecz

mają przybliżony charakter.

Błąd gruby

• wynika z niedbałości lub ewidentnej

pomyłki

eksperymentatora,

wyraźnej

niesprawności sprzętu albo nieoczekiwanego
zaburzenia układu pomiarowego

• objawia się istnieniem jednego wyniku

znacząco

odstającego

od

pozostałych,

uzyskanych w danej serii pomiarów

• wynik pomiaru obarczony błędem grubym

jest zazwyczaj łatwo zauważalny i należy go
odrzucić.

23,3 mm; 24,5 mm; 27,9 mm ; 33,5 mm;
4,2 mm

W wątpliwych sytuacjach trzeba stosować

czasami skomplikowane testy statystyczne !!!!

x

i

– wyniki pomiarów

(oznaczone
symbolem )

x

0

– wartość

prawdziwa

błąd
gruby

BŁĘDY „GRUBE”
ODRZUCAMY

Błędy grube

Błąd systematyczny

• błąd polegający na

stałym lub

zmiennym,

systematycznym

odchyleniu wyniku pomiaru od
rzeczywistej

wartości

wielkości

mierzonej

• przesunięcie wyniku następuje zwykle

w tę sama stronę

• metody statystyczne nie mają tu

zastosowania.

 niedoskonałość przyrządów pomiarowych

 błędne wyskalowanie, złe zerowanie

 błąd paralaksy

 złe wzorce

 nieuwzględnienie zmiany warunków pomiaru
do warunków skalowania (inne warunki pomiaru
obiektu i wzorca)

Oddziaływania systematyczne:

x

i

– wyniki pomiarów

(oznaczone
symbolem )

x

0

– wartość

prawdziwa

Z błędem systematycznym mamy do
czynienia, gdy przy powtarzaniu pomiaru
występuje ta sama różnica między
wartościami zmierzonymi a wartością
prawdziwą, natomiast rozrzut wyników
poszczególnych pomiarów jest mały. Błędy te
są powodowane

oddziaływaniami

systematycznymi

Błędy (niepewności) systematyczne

Błędy przypadkowe

 powstaje na skutek działania

czynników

losowych



jest miarą rozrzutu

otrzymywanych

wyników
wokół wartości najbardziej prawdopodobnej.

 błędu przypadkowego w zasadzie

nie da się

wyeliminować

a także nie da się go

oszacować
przed dokonaniem pomiaru

 staramy się tak zaprojektować i
przeprowadzić pomiar,
aby wartość błędu przypadkowego była jak
najmniejsza

 po zakończeniu pomiaru dokonujemy oceny
wielkości
błędu losowego przy użyciu narzędzi
statystycznych.

x

i

– wyniki pomiarów

(oznaczone
symbolem )

x

0

– wartość

prawdziwa

Błąd przypadkowy spowodowany jest losowym
odchyleniem wyniku pomiaru od wartości
rzeczywistej. Fluktuacje czasowe i przestrzenne
wielkości nie mierzonej. Charakter losowy.
Źródłem błędów przypadkowych są tzw.

oddziaływania przypadkowe

Błędy (niepewności) przypadkowe



niedokładność odczytu (niedokładna ocena części

działki miernika, niezbyt staranne wyznaczenie
optimum ostrości obrazu w pomiarach optycznych)

 fluktuacja warunków pomiaru (temperatura,
ciśnienie, wilgotność, napięcie w sieci elektrycznej)

 obecność źródeł zakłócających;

 nieokreśloność mierzonej wielkości;

 niedoskonałość zmysłów obserwatora;

Oddziaływania przypadkowe:

WIELKOŚCI MIERZONE

W pomiarach bezpośrednich

W pomiarach pośrednich

Pomiar kilku wielkości x

1

,x

2

,

…x

n

Obliczenie wielkości
pośredniej
zgodnie ze wzorem
funkcyjnym:

y=f(x

1

,x

2

,…x

n

)

Na przykład pomiar okresu
drgań
i długości wahadła
matematycznego. Obliczenie
wartości przyspieszenia
ziemskiego g.

Pomiar jednej
wielkości
(np. pomiar masy
ciała,
pomiar
temperatury, itd.

NIEPEWNOŚĆ POMIAROWA

• dotyczy każdego pomiaru,
• jest nieunikniona nawet przy

największej staranności,

• zależy od używanego narzędzia

pomiarowego,

• zależy od staranności człowieka,
• wynika z faktu, że pomiar jest

ingerencją w świat i zmienia go.

Niepewność standardowa

pomiaru

 –

 niepewność wyniku pomiaru

wyrażona w formie odchylenia
standardowego (bądź  estymaty 
odchylenia standardowego ).

Oznaczana zwykle jako

u

c

 (y)

.

• Należy zwrócić przy tym uwagę, że

niepewność standardowa może być
związana nie tylko z wynikiem pomiaru ale
także z każdą estymatą parametru
prawdopodobieństwa zmiennej losowej.

• Przy pomiarach rzeczywistego

zjawiska fizycznego występuje zwykle kilka

źródeł niepewności pomiaru i

dlatego 

niepewność standardowa całkowita

pomiaru 

(oznaczana jako

 u

c

)

jest zwykle

złożona z kilku pojedynczych niepewności

standardowych pomiaru

. Przy czym nie jest

to prosta suma algebraiczna.

• Do szacowania współczynnika oddziaływania

danej niepewności standardowej na złożoną

niepewność standardową całkowitą używa się

praw propagacji niepewności (przeważnie

jest to rachunek różniczkowy zależny

od funkcji równania opisującego mierzone

zjawisko).

Niepewność standardowa

całkowita

W przypadkach szacunku

uproszczonego jest to zwykle
pierwiastek sumy kwadratów
niepewności standardowych
(pomnożonych przez oszacowane
współczynniki ich wpływu na
niepewność całkowitą).

2

2

2

2

2

1

1

...

n

n

c

u

k

u

k

u

k

u









Niepewność rozszerzona

pomiaru

 

– 

wielkość definiująca przedział wokół  wyniku

pomiaru, który zgodnie z oczekiwaniami może

obejmować dużą część rozkładu wartości,

które w uzasadniony sposób można przypisać 

wielkości mierzonej.

• Niepewność rozszerzoną    otrzymujemy przez

pomnożenie  niepewności standardowej pomiaru

przez współczynnik rozszerzenia   dla

określonego rozkładu błędów  :

gdzie:
- jest współczynnikiem rozszerzenia. 
-  oznacza poziom ufności  pomiaru danej

wielkości.

 

Wyznaczanie niepewności pomiaru

składa się z następujących kroków:

1. Określenie wielkości mierzonej (wielkość

wyjściowa), wielkości wpływających na wynik
pomiaru i jego niepewność (wielkości
wejściowe) oraz zależności pomiędzy
wielkościami wejściowymi a wielkością
wyjściową (model pomiaru)

2. Zebranie informacji o wartościach i

niepewności wielkości wejściowych (np. błędy
graniczne przyrządów pomiarowych,
niepewności wzorców lub materiałów
odniesienia, serie wyników powtarzalnych
pomiarów)

Wyznaczanie niepewności pomiaru

składa się z następujących kroków:

3. Wyrażenie niepewności związanych z wielkościami

wejściowymi za pomocą odchyleń standardowych
(niepewności standardowe wielkości wejściowych).
Stosowane są metody: A – statystyczne oraz B –
inne

4. Przeliczenie standardowych niepewności wielkości

wejściowych na standardowe niepewności składowe
wielkości wyjściowej (wyniku pomiaru) z
wykorzystaniem modelu pomiaru i obliczanych
automatycznie pochodnych cząstkowych

5. Połączenie standardowych niepewności składowych

w standardową niepewność złożoną wyniku pomiaru

6. Obliczenie niepewności rozszerzonej wyniku

pomiaru

Zgodnie z

Przewodnikiem

niepewności

klasyfikujemy na dwie kategorie

w zależności od metody ich obliczania:

TYP A

TYP B

METODA TYPU A

Błędy (niepewności)

przypadkowe

Metoda szacowania
niepewności, która
opiera się na obliczeniach
statystycznych
(statystyczna analiza serii
pomiarów –
n  4)

Metoda A

• Gdy wyniki poszczególnych pomiarów tej samej

wielkości różnią się, wówczas niepewność obliczana

jest na drodze analizy statystycznej wyników serii

pojedynczych pomiarów.

• Zakłada się przy tym pewien rozkład statystyczny

poszczególnych prób. Jeżeli błędy pomiarowe są

losowe, tym rozkładem jest rozkład normalny.

Wówczas, dla dużej ilości prób (powyżej 30),

estymatorem niepewności pomiarowej

jest odchylenie standardowe średniej (średni błąd

średniej).

• Dla mniejszej ilości prób niepewność jest większa i

równa iloczynowi odchylenia standardowego średniej

i współczynnika wynikającego z rozkładu Studenta,

który zależy od przyjętego poziomu ufności i liczby

pomiarów.

Rozkład Studenta

Rozkład Studenta – (rozkład t lub rozkład t Studenta) 

ciągły rozkład prawdopodobieństwa stosowany często

w statystyce w procedurach testowanie hipotez

statystycznych i przy ocenie błędów pomiaru.

• Przy opracowaniu wyników pomiarów często powstaje

zagadnienie oszacowania przedziału, w którym leży, z

określonym prawdopodobieństwem, rzeczywista

wartość mierzona, jeśli dysponujemy tylko wynikami n

pomiarów, dla których możemy wyznaczyć takie

parametry, jak średnia   iodchylenie standardowe

 lub wariancja   

(„z próby”), nie znamy natomiast odchylenia

standardowego   w populacji.

Najczęściej pomiar jednokrotny

METODA TYPU B

Błędy (niepewności)
systematyczne

Metoda szacowania niepewności,
która
Wykorzystuje inne metody niż
statystyczne:

 doświadczenie eksperymentatora

 porównanie z wcześniej
wykonywanymi
podobnymi pomiarami

 certyfikat producenta
wykorzystywanych
w pomiarach przyrządów

 analiza materiału wzorcowego
(odniesienia)

Metoda B 

• Gdy wyniki pomiarów są takie same lub

podlegają systematycznym zmianom, wówczas

metody statystyczne nie mogą być

zastosowane. Sytuacja taka występuje np. gdy:

- klasa przyrządu jest niska w danych warunkach

pomiaru (na przykład przy pomiarze długości

ołówka linijką ze skalą centymetrową).

Wówczas o niepewności pomiarowej decyduje

klasa przyrządu (w przykładzie z linijką będzie

to 1 cm).

• - mierzona wielkość zmienia się znacząco w

czasie pomiaru z powodu warunków

zewnętrznych, np. zmiany temperatury.

Klasa przyrządu

pomiarowego

 określa wartość 

błędu

maksymalnego

, jaki może wystąpić

podczas wykonywanego nim pomiaru.

Klasę przyrządu można dodatkowo

podzielić na

klasę laboratoryjną

(przyrządy o klasie 0,2 i 0,5) i

klasę

techniczną

(przyrządy o klasach

równych 1 i większych)

Wyznaczając niepewność

pomiaru należy

uwzględnić wszystkie

składowe mające wpływ

na wynik pomiaru,

obliczony obiema

metodami.

OCENA NIEPEWNOŚCI TYPU A W POMIARACH BEZPOŚREDNICH

n

x

x

n

1

i

i























n

1

i

2

i

x

x

x

1

n

1

S

)

x

(

u

1. Wykonujemy serię (skończoną)

pomiarów

2. Wielkością najbardziej

prawdopodobną
jest średnia arytmetyczna :

3.

Niepewność standardowa

pojedynczego pomiaru u(x)

(tzw.

odchylenie standardowe
pojedynczego

pomiaru S

x

)

Eksperymentatora bardziej interesuje niepewność
wyniku czyli wartości średniej

Niepewność standardowa
średniej:

 









1

n

n

x

x

n

S

S

x

u

n

1

i

2

i

x

x















OCENA NIEPEWNOŚCI TYPU A W POMIARACH POŚREDNICH

)

x

,...

x

,

x

(

f

y

K

2

1



K

2

1

x

,...

x

,

x

)

x

(

u

),...

x

(

u

),

x

(

u

K

2

1

x

1

, x

2

,…,x

K

– wielkości wejściowe nieskorelowane,

każde określone w pomiarach
bezpośrednich. Znamy: oraz
niepewności standardowe średnich:

PYTANIE 1. Jak obliczyć wielkość y ?

PYTANIE 2. Jak obliczyć niepewność standardową
wielkości y ?





K

2

1

x

,...,

x

,

x

f

y 

1

x

2

x

K

x

y

1.

Schemat przenoszenia wielkości wejściowych

2.

Niepewność y nazywa się złożoną niepewnością

standardową (ang. combined standard uncertainty)























K

1

i

i

2

2

i

c

)

x

(

u

x

f

)

y

(

u

)

x

(

u

1

)

x

(

u

2

)

x

(

u

K

)

y

(

u

c

Schemat przenoszenia niepewności

wielkości wejściowych

Metoda szacowania niepewności
wykorzystująca
inne metody niż statystyczne:

- wcześniejsze doświadczenie
eksperymentatora
- specyfikacja producenta odnośnie
używanego
w pomiarach przyrządu (klasa
przyrządu)
- z kalibracji (wcześniej wykonanej)
- badania na materiale odniesienia
(chemia
analityczna)

Najczęściej jeden lub dwa pomiary

METODA TYPU B

100

pomiaru

zakres

K

x

k







Parametry metrologiczne
aparatury:

Klasa przyrządu K

(dana przez

producenta)
Niepewność pomiaru wynikająca z
klasy
przyrządu kx:

Dla woltomierza klasy 0,2 na
zakresie 50 V
popełniamy „błąd” kx = 0,1 V

Rozdzielczość przyrządu :

Dla pomiarów długości:
1 mm dla linijki ; 0,1; 0,05; 0,02 mm dla
suwmiarki; 0,01 mm dla śruby
mikrometrycznej

Dla pomiarów temperatury:
0,1 °C dla termometru lekarskiego;
10 °C dla termometru „zaokiennego”

Dla mierników wychyłowych – „odstęp”
pomiędzy kreskami (ew. połowa)

x

x

x

k

d

g











Rozdzielczość przyrządu:

Dla mierników analogowych - zmiana
ostatniej cyfry np. 5,23 V ( niepewność
0,01 V)

Niepewność wynikająca z rozdzielczości
aparatury 

d

Maksymalna (graniczna) niepewność
pomiaru szacowana metodą typu B
wynosi:

OCENA NIEPEWNOŚCI TYPU B W POMIARACH POŚREDNICH

x

1

y

x

2

x

K





K

2

1

x

,...,

x

,

x

f

y 

x

1,

x

2

, …,x

K

– wielkości pomiarów

jednokrotnych

Maksymalna (graniczna) niepewność pomiaru 

g

(y)

może być oszacowana tzw. metodą różniczki zupełnej



g

x

1



g

x

2



g

x

K



g

(y)

i

g

K

1

i

i

g

x

x

f

y

















UWAGA: Metoda „różniczki zupełnej” prowadzi do
zawyżonych wyników niepewności (zwłaszcza dla K> 3)

W jaki sposób obliczyć niepewność wielkości, która
uzależniona jest od oddziaływań systematycznych i
przypadkowych ?

2

B

2

A

c

u

u

)

x

(

u





Standardowa
niepewność
całkowita

PAMIĘTAJ !!!

Do obliczania wielkości pośrednich i
niepewności używaj wielkości
niezaokrąglonych

ANALIZA NIEPEWNOŚCI

• Odrzucenie błędów grubych lub

decyzja o powtórzeniu pomiarów.

• Obliczenie średniej z wyników

pomiarów - x

śr

.

• Znalezienie pomiaru najbardziej

odchylonego od średniej (największego
lub najmniejszego) - x

max

.

• Obliczenie odchylenia, czyli różnicy - |

x

śr

-x

max

| = σ

METODY OGRANICZANIA

BŁĘDÓW

• wykonywanie doświadczeń przez kilku

niezależnych eksperymentatorów,

• wykonywanie wielokrotnego pomiaru

przy użyciu kilku przyrządów.

• stosowanie kilku metod pomiarowych

(kilku różnych doświadczeń) do
wyznaczenia tej samej wielkości
fizycznej.

• prawidłowe wykonywanie pomiarów

(staranność).

Przedstawianie błędów

pomiarowych

i zaokrąglanie wyników

W ogólnym przypadku wynik pomiaru przedstawiamy
w postaci:

X

P

= X

M

± ΔX

gdzie:
X

P

- wartość reprezentująca wynik pomiaru

wielkości mierzonej,
X

M

- wartość uzyskana w wyniku pomiaru,

ΔX - niepewność lub błąd pomiaru.
 
 Powyższy zapis oznacza, że:
- najlepszym przybliżeniem wartości mierzonej jest
według eksperymentatora liczba X

M

;

- z rozsądnym prawdopodobieństwem szukana
wartość znajduje się gdzieś pomiędzy X

m

- ΔX i X

m

+

ΔX.

Przedstawianie błędów

pomiarowych

i zaokrąglanie wyników

Błąd pomiaru ΔX

jest wielkością oszacowaną

.

Nie ma więc sensu podawać wszystkich cyfr, które
otrzymujemy z obliczeń. Obliczone wartości X

m

i

ΔX podajemy zaokrąglone. Oznacza to, że
przybliżamy wartości otrzymane z obliczeń.
  

Cyframi znaczącymi

danej liczby różnej od zera

nazywamy wszystkie jej cyfry z wyjątkiem
występujących na początku zer.
Do cyfr znaczących zalicza się również zera końcowe,
jeśli są one wynikiem obliczeń, a nie zaokrągleń.
Oznacza to, że pierwsza liczba znacząca musi być
różna od zera, natomiast druga, trzecia i dalsze mogą
być zerami.

Przedstawianie błędów

pomiarowych

i zaokrąglanie wyników

Przy zaokrąglaniu

wyniku pomiaru

stosowane są

powszechnie przyjęte zasady zaokrągleń : liczbę
kończącą się cyframi 0-4 zaokrąglamy w dół, a 5 - 9
w górę .
Oszacowane

błędy

zaokrąglamy zawsze w górę,

ponieważ

w żadnym przypadku nie wolno

pomniejszać błędów

. Zawsze lepiej podać zawyżoną

wartość błędu niż go niedoszacować .

Obliczenia wykonujemy zawsze z większą liczbą cyfr,
niż chcemy podać wynik.

Zaokrągleń dokonujemy

dopiero po zakończeniu obliczeń.

Błędy pomiarów zaokrąglane są do pierwszej cyfry
znaczącej (wyjątek: 1, 2). Ostatnia cyfra znacząca w
każdym wyniku pomiaru powinna stać na tym samym
miejscu dziesiętnym, co błąd pomiaru.

DLACZEGO MUSIMY

ZAOKRĄGLAĆ BŁĘDY I WYNIKI

KOŃCOWE

:

PRZYKŁAD:

PRZYKŁAD:

W

pewnym

eksperymencie

wykonano

kilkaset

pomiarów

grubości włosa i uzyskano średni
wynik:

100,543

100,543

6

6

787

787

2

2

341

341

1

1





5,800

5,800

2

2

341

341

7

7

894

894

4

4

3

3





m

m

rozmiar
atomu

rozmiar jądra

rozmiar kwarka

Liczbę cyfr znaczących danego wyniku znajdujemy licząc z

lewa na prawo cyfry: od pierwszej cyfry niezerowej.

ZAPAMIĘTAJ POJĘCIE: CYFRA ZNACZĄCA!

0,12501 może być tylko 0,2 lub 0,13

Którą wybieramy?

Sprawdzamy:

(0,2 – 0,12501)/0,12501=0,5998 ( blisko 60%)

3. W zależności od wartości tej cyfry
postępujemy

według następujących zasad:



Jeśli jest to 0,1,2,3 lub 4 to zaokrąglamy w dół

tzn. gdyby wynik był 123,37489 to dostaniemy

123,37  0,13



Jeśli jest to 6,7,8 lub 9 to zaokrąglamy w

górę tzn. dla wyniku 123,37602 zostanie:

123,38 0,13

 Również zaokrąglamy w górę jeśli jest to 5, a

po niej następują jakiekolwiek cyfry różne od

zera
W sytuacji np. wyniku 123,3750000001
lub 123,3753210023
zaokrąglamy do

123,38  0,13

ZAPAMIĘTAJ !

PRAWIDŁOWO ZAOKRĄGLONE:

WARTOŚĆ WIELKOŚCI FIZYCZNEJ
I JEJ NIEPEWNOŚĆ MAJĄ TAKĄ
SAMĄ ILOŚĆ MIEJSC
DZIESIĘTNYCH !

NIE !!!

R = 123, 35602   0,12501 

TAK !!!!

R = 123,36   0,13 

PRAWIDŁOWO: 36,35  0,04

0

C

2,5  0,4

kg

3,7110

-2

 0,02 10

-2

m

NIEPRAWIDŁOWO: 36,35 

0,04

2,51  0,4

kg

3,7110

-2



0,023 10

-2

m

12,34567 

0,22643 Bq

Koniec wykładu