Metody Analizy Danych Doświadczalnych Wykład 6 "Teoria błędów"

Program na dziś



Definicja i rodzaje błędów;



Charakterystyka

metrologiczna;



Funkcja błędu.



Niepewność pomiarowa



Rodzaje niepewności Typ A i B



Rozkład Gaussa



Wykresy danych pomiarowych

Wprowadzenie

Teoria błędów

- dział matematyki stosowanej

zajmujący się metodami oceny dokładności
pomiarów lub rachunków przybliżonych.

Teoria błędów umożliwia m.in. określenie

dopuszczalnych wartości błędów
popełnianych przy pomiarach lub rachunkach,
tak aby wynik całości obliczeń (czy też
pomiarów) zapewniał wymaganą dokładność
(tzw. dyskusja błędu).

Wprowadzenie

Przy omawianiu błędów wygodnie jest
przypomnieć na wzór terminologii
stosowanej w literaturze zachodniej
rozróżnienie pomiędzy pojęciami

dokładność

precyzja

Wynik pomiaru określamy wówczas jako

dokładny

, gdy jest on wolny od błędów

systematycznych, natomiast jako

precyzyjny

, gdy jego błąd przypadkowy

jest bardzo mały.

Dokładność pomiaru

- określa, jak bardzo rezultat

pomiaru jest zbliżony do wartości prawdziwej.

Wyniki o dużej dokładności otrzymuje się stosując

mierniki i wzorce o małej niepewności wzorcowania

Precyzja pomiaru

- określa, jak dobrze został

określony rezultat pomiaru, bez odnoszenia się do
wartości prawdziwej.

Wyniki o dużej precyzji otrzymuje się poprzez taką

modyfikację warunków pomiaru, aby niepewności
przypadkowe były jak najmniejsze.

Precyzja

Dokładność

Precyzja i

dokładność

Precyzja i dokładność z

grubym błędem

precyzja

mówi nam coś o jakości działania

przyrządu.

dokładność

mówi nam coś o jakości lub

poprawności otrzymanego wyniku.

Każdy eksperyment, każdy pomiar i prawie

każda operacja składowa pomiaru daje wyniki
obarczone różnymi typami błędów

– dlatego podanie wyniku pomiaru bez wartości

oszacowanego przedziału niepewności jest błędem

Pomiar



Pomiar

— pewna sekwencja czynności

doświadczalnych i obliczeniowych, prowadząca do
wyznaczenia liczbowej wartości wielkości fizycznej.



Pomiar jest zawsze operacją niedokładną, to znaczy
estymata wartości prawdziwej mezurandu
otrzymana jako wynik pomiaru różni się na ogół od
wartości prawdziwej, równość estymaty i
estymowanej wartości jest zdarzeniem
wyjątkowym, a fakt jego zajścia pozostaje nieznany.



Istotą pomiaru jest jednak to, że niedokładność
wyniku pomiaru można zawsze oszacować, to
znaczy można zawsze określić graniczną
odległość między znanym wynikiem pomiaru a
nieznaną wartością prawdziwą mezurandu.



Szacowanie niedokładności pomiaru jest jedną
z podstawowych czynności, która powinna być
wykonywana w procesie mierzenia.

Rodzaje błędów

Rozróżnia się trzy rodzaje miar
błędu:



błędy prawdziwe,



błędy umownie prawdziwe



błędy graniczne

Błąd pomiaru



Bezwzględny błąd pomiaru -

jest różnicą

miedzy wynikiem pomiaru a wartością
prawdziwą wielkości mierzonej:

X = Xs - Xp ,
gdzie:

Xs — wynik surowy,
Xp — wartość prawdziwa wielkości mierzonej.

Ma on jakąś konkretną wartość, ale niestety nie zawsze jest ona

znana, ponieważ we wzorze definicyjnym występuje nie zawsze
znana wartość prawdziwa

Błąd pomiaru jest wskaźnikiem stopnia zgodności wyniku pomiaru i

wartości prawdziwej.

Wynik surowy

jest to wynik pomiaru przed

korekcją błędu systematycznego.

Przy powtarzaniu pomiarów wartość błędu będzie

się zmieniała, co uwidoczni się w zmienności,
ponieważ błąd pomiaru jest wypadkową dwóch
składowych:

•

błędu systematycznego

sX,

•

błędu przypadkowego

pX,

czyli:
X = sX + pX

Podział błędów

Wyniki pomiarów podlegają pewnym

prawidłowościom, tzw. rozkładom typowym dla

zmiennej losowej. Z tego względu błędy

dzielimy na:

•

Błędy grube

(pomyłki), które należy

eliminować

•

Błędy systematyczne

, które można

ograniczyć udoskonaląjąc pomiar

•

Błędy przypadkowe

, które podlegają prawom

statystyki i rachunku prawdopodobieństwa,

wynikają z wielu losowych przyczynków i nie

dają się wyeliminować

Błąd systematyczny

Błąd systematyczny

zdefiniowany jest następująco:

„Błąd systematyczny jest różnicą między wartością

średnią Χśr z nieskończonej liczby wyników
pomiarów tej samej wielkości mierzonej,
wykonanych w warunkach powtarzalności, a
wartością prawdziwą wielkości mierzonej Χp ":

sΧ = Χśr − Χp .

Błąd przypadkowy

Błąd przypadkowy

ma następującą definicję:

„Błąd przypadkowy jest różnicą między

wynikiem pomiaru X a średnią Χśr z
nieskończonej liczby wyników pomiarów tej
samej wielkości mierzonej, wykonanych w
warunkach powtarzalności"

pΧ = Χ − Χśr .

Rodzaje błędów

Wartość oczekiwana błędu

przypadkowego jest równa
zeru

- właściwość ta nie zawsze jest zgodna z

sensem fizycznym błędów przypadkowych.

Poprawka

Jeżeli znana jest wartość błędu systematycznego, to

można go wyeliminować z wyniku pomiaru poprzez
wprowadzenie

poprawki

Poprawka ma wartość błędu systematycznego, ale ze

znakiem przeciwnym

p(X) = - sX

Poprawka jest wartością dodawaną algebraicznie do surowego wyniku

pomiaru w celu skompensowania błędu systematycznego.

Wynik pomiaru po korekcji błędu systematycznego nazywamy wynikiem

poprawionym.

Rodzaje błędów

Podział błędów ze względu na fizyczne

przyczyny powstawania błędu - wyróżnia się tu
m.in.:



błąd wzorcowania,



błąd niestałości,



błędy kwantowania,



błędy próbkowania,



błędy zliczania,



itd.

Niepewność możemy określić w rożny

sposób:

-przyjmując model statystyczny,

- posługując się deterministyczną teorią niepewności
maksymalnej.

Międzynarodowa Norma Oceny Niepewności Pomiaru zawarta w

dokumencie

Guide to the Expression of Uncertainty

Measurements

opracowanym przez ISO)posługuje się w opisie

niepewności

modelem statystycznym.

Podstawowe terminy i

definicje

•

wartość oczekiwana

– wartość

zgodna ze zdefiniowana, jest nazywana

często wartością rzeczywista; jest to

wartość, która może być uzyskana w

wyniku doskonałego pomiaru;

•

wartość oznaczana

– wartość

uzyskana w wyniku zastosowania danej

procedury analitycznej; wynik pomiaru

to najczęściej średnia arytmetyczna z

uzyskanych wartości oznaczanych;

•

dokładność pomiaru

– stopień zgodności

pomiędzy wynikiem pojedynczego
pomiaru a wartością rzeczywista;

•

poprawność pomiaru

– stopień

zgodności pomiędzy wynikiem analizy
(średnią) a wartością rzeczywistą;

•

precyzja pomiaru

– zgodność pomiędzy

uzyskiwanymi niezależnymi pomiarami;



niepewność pomiaru

(uncertainty) –

parametr związany z wynikiem pomiaru,
który określa przedział wokół wartości
średniej, w którym może (na założonym
poziomie istotności) znaleźć się wartość
oczekiwana;



standardowa niepewność pomiaru

(standard uncertainty) –

u(xi)

niepewność pomiaru przedstawiona i
obliczona jako odchylenie standardowe;



złożona standardowa niepewność

(combined standard uncertainty) –

uc(y)

–

standardowa niepewność wyniku

pomiaru,

której wartość jest obliczona na podstawie
niepewności parametrów wpływąjących na
wartość wyniku analizy z zastosowaniem prawa
propagacji niepewności;



rozszerzona niepewność

(expanded

uncertainty) -

– wielkość określająca przedział

wokół uzyskanego wyniku analizy, w którym
można, na odpowiednim, przyjętym poziomie
istotności (prawdopodobieństwa) oczekiwać
wystąpienia wartości rzeczywistej;

•

współczynnik rozszerzenia

(coverage

factor) –

– wartość liczbowa użyta do

wymnożenia złożonej standardowej
niepewności pomiaru w celu uzyskania
rozszerzonej niepewności, wartość
współczynnika zależy od przyjętego
poziomu prawdopodobieństwa (np.: dla 95
% wynosi 2) i najczęściej jest wybierana z
przedziału liczb 2-3;

Niepewność



W praktyce nie znamy wartości rzeczywistych
wielkości mierzonych i szacujemy
niepewności pomiarowe wynikające ze
statystycznych praw rozrzutu pomiarów



Niepewność pomiaru jest związanym
rezultatem pomiaru parametrem,
charakteryzującym rozrzut wyników, który
można w uzasadniony sposób przypisać
wartości mierzonej.



Niepewność u

lub

u(x)

(ang.

uncertainty) posiada wymiar, taki sam
jak wielkość mierzona



Niepewność względna ur(x)

stosunek niepewności (bezwzględnej) do
wielkości mierzonej:



Niepewność względna

jest wielkością

bezwymiarową i może być wyrażona w %

Niepewność

Istnieją dwie miary niepewności

pomiaru:



niepewność standardowa

u(x)



niepewność maksymalna
Δx

Niepewność

standardowa



Rezultat pomiaru jest zmienną losową

, której

rozrzut wokół wartości średniej

charakteryzuje parametr zwany odchyleniem

standardowym



Dokładnej wartości odchylenia standardowego

nie znamy. Niepewność standardowa jest jego

niezbyt dokładnym oszacowaniem

(estymatorem, oceną).

Niepewność

maksymalna

Jest miarą deterministyczną, gdyż zakłada, że można

określić przedział wielkości mierzonej x, w którym
na pewno znajdzie się wielkość rzeczywista.

W tym przypadku staramy się określić przedział,

- Δx < x

< x

+ Δx

w którym mieszczą się wszystkie wyniki pomiaru xi,
aktualnie wykonane i przyszłe.
Zaleca się obecnie niepewność maksymalną

specyfikowaną przez producenta zamieniać na
niepewność standardową wg wzoru:

Typy oceny

niepewności

Typ A

Metody wykorzystujące statystyczną analizę serii

pomiarów:

•wymaga odpowiednio dużej liczby powtórzeń pomiaru
• ma zastosowanie do błędów przypadkowych

Typ B

Opiera się na naukowym osądzie eksperymentatora

wykorzystującym wszystkie informacje o pomiarze i

źródłach jego niepewności

•

stosuje się gdy statystyczna analiza nie jest możliwa

•dla błędu systematycznego lub dla jednego wyniku

pomiaru

Typ A

Seria wyników (próba)

, ….x

obarczonych

niepewnością
przypadkową jest duża
gdy 30<n<100. W
próbie takiej wyniki się
powtarzają:

jest

liczbą pomiarów, w
których wystąpił wynik

jest częstością

występowania wyniku

Rozkład normalny

Gaussa

Gęstość prawdopodobieństwa wystąpienia

wielkości x lub jej błędu Δx podlega rozkładowi

Gaussa

jest wartością najbardziej prawdopodobną i

może być nią średnia arytmetyczna, jest

odchyleniem standardowym, jest wariancją

rozkładu

Typ B

Dla oceny typu B wykorzystać można

m.in.:

•

dane z pomiarów poprzednich,

• doświadczenie i wiedzę na temat

przyrządów

           i obiektów mierzonych,
         • informacje producenta przyrządów,
         • niepewności przypisane danym  z

literatury.

Gdy informacja o pomiarze i źródle jego niepewności

jest dobra, dokładność oceny typu B jest
porównywalna z dokładnością oceny typu A.

Metoda różniczki

zupełnej

Dla wielkości złożonej y=f(x

,...x

)

gdy niepewności maksymalne Δx

Δx

, ... Δx

są małe w porównaniu z

wartościami zmiennych x

, ... x

niepewność maksymalną wielkości y
wyliczamy z praw rachunku
różniczkowego:

Prawo przenoszenia

niepewności

Niepewność standardową wielkości złożonej
y=f(x

,...x

) obliczamy z tzw.

prawa

przenoszenia niepewności

jako sumę

geometryczną różniczek cząstkowych

Wyznaczanie niepewności pomiaru

składa się z następujących kroków:

1. Określenie wielkości mierzonej (wielkość

wyjściowa), wielkości wpływających na wynik
pomiaru i jego niepewność (wielkości wejściowe)
oraz zależności pomiędzy wielkościami wejściowymi
a wielkością wyjściową (model pomiaru)

2. Zebranie informacji o wartościach i niepewności

wielkości wejściowych (np. błędy graniczne
przyrządów pomiarowych, niepewności wzorców lub
materiałów odniesienia, serie wyników
powtarzalnych pomiarów)

3. Wyrażenie niepewności związanych z wielkościami

wejściowymi za pomocą odchyleń standardowych
(niepewności standardowe wielkości wejściowych).
Stosowane są metody: A – statystyczne oraz B – inne

Wyznaczanie niepewności pomiaru

składa się z następujących kroków:

4. Przeliczenie standardowych niepewności

wielkości wejściowych na standardowe
niepewności składowe wielkości wyjściowej
(wyniku pomiaru) z wykorzystaniem modelu
pomiaru i obliczanych automatycznie
pochodnych cząstkowych

5. Połączenie standardowych niepewności

składowych w standardową niepewność
złożoną wyniku pomiaru

6. Obliczenie niepewności rozszerzonej wyniku

pomiaru

Normy



PN-EN ISO 10012:2004

Systemy zarządzania

pomiarami. Wymagania dotyczące procesów

pomiarowych i wyposażenia pomiarowego



PN-ISO 497:2002

Przewodnik wyboru ciągu liczb

normalnych i ciągów zawierających kolejne

zaokrąglone wartości liczb normalnych



PN-ISO 5725-1:2002

Dokładność (poprawność i

precyzja) metod pomiarowych i wyników

pomiarów. Część 1: Ogólne zasady i definicje



PN-ISO 5725-2:2002

Dokładność (poprawność i

precyzja) metod pomiarowych i wyników

pomiarów. Część 2: Podstawowa metoda

określania powtarzalności i odtwarzalności

standardowej metody pomiarowej

Normy



PN-ISO 5725-3:2002

Dokładność (poprawność i

precyzja) metod pomiarowych i wyników pomiarów.

Część 3: Pośrednie miary precyzji standardowej metody

pomiarowej



PN-ISO 5725-4:2002

Dokładność (poprawność i

precyzja) metod pomiarowych i wyników pomiarów.

Część 4: Podstawowe metody wyznaczania poprawności

standardowej metody pomiarowej



PN-ISO 5725-5:2002

Dokładność (poprawność i

precyzja) metod pomiarowych i wyników pomiarów.

Część 5: Alternatywne metody wyznaczania precyzji

standardowej metody pomiarowej



PN-ISO 5725-6:2002

Dokładność (poprawność i

precyzja) metod pomiarowych i wyników pomiarów.

Część 6: Stosowanie w praktyce wartości określających

dokładność

Normy



PN-ISO 7976-1:1994

Tolerancje w budownictwie. Metody pomiaru

budynków i elementów budowlanych. Metody i przyrządy



PN-ISO 11095:2001

Kalibracja liniowa z zastosowaniem

materiałów odniesienia



PN-ISO 11843-1:2003

Zdolność wykrywania. Część 1:

Terminologia



PN-ISO 11843-2:2003

Zdolność wykrywania. Część 2:

Metodologia w przypadku kalibracji liniowej



PN-ISO 11843-3:2007

Zdolność wykrywania. Część 3:

Metodologia określania wartości krytycznej zmiennej odpowiedzi

bez użycia danych z kalibracji



PN-ISO 11843-4:2007

Zdolność wykrywania. Część 4:

Metodologia porównywania minimalnej wartości. wykrywalnej z

wartością podaną



PN-71/N-02050

Metrologia. Nazwy i określenia

PODSUMOWANIE

• Każdy pomiar w laboratorium jest obarczony

niepewnością pomiarową, którą eksperymentator

musi określić zgodnie z pewnymi zasadami.

• W pierwszej kolejności należy przeanalizować

źródła błędów, pamiętając, aby wyeliminować

wyniki obarczone błędem grubym. W

laboratorium studenckim błędy systematyczne z

reguły przewyższają błędy przypadkowe.

•

Wielokrotne powtarzanie pomiarów, gdy

dominuje błąd systematyczny, nie ma

sensu. W takim przypadku dokonujemy tylko

3-5 pomiarów w tych warunkach w celu

sprawdzenia powtarzalności.

• Gdy błąd przypadkowy dominuje w

eksperymencie, należy sprawdzić czy

rozkład wyników może być opisany funkcją

Gaussa czy też należy spodziewać się

innego rozkładu. W tym celu dokonujemy

wielokrotnego (np. 100 razy) pomiaru w

tych samych warunkach, obliczamy średnią i

wariancję rozkładu, rysujemy histogram,

etc.)

•

Jako miarę niepewności stosujemy raczej

niepewność standardową, rzadziej

niepewność maksymalną.

• W przypadku wielkości złożonej, stosujemy

prawo przenoszenia błędu. Staramy się

przeprowadzić analizę niepewności wielkości

złożonej tak, aby uzyskać informacje

dotyczące wagi przyczynków, jakie wnoszą do

całkowitej niepewności pomiary

poszczególnych wielkości prostych. W tym

celu należy analizować niepewności

względne.

•

Ważnym elementem sprawozdania z

przebiegu eksperymentu (i to nie tylko w

laboratorium studenckim) jest wykres.

Wykresy sporządzamy zgodnie z dobrymi

zasadami, pamiętając o jednoznacznym

opisie.

• Zawsze, gdy to możliwe, dokonujemy

linearyzacji danych eksperymentalnych, np.

rysując y i ln (x), lub log y i log x, lub y i 1/x

itp. Do tak przygotowanych danych można

zastosować metodę regresji liniowej

•

Jeżeli znane są podstawy teoretyczne

badanego zjawiska, na wykresie
zamieszczamy krzywą teoretyczną (linia
ciągła) na tle wyraźnych punktów
eksperymentalnych (dobieramy
odpowiednie symbole i nanosimy
niepewności eksperymentalne). Możemy
wcześniej dokonać dopasowania
parametrów przebiegu teoretycznego w
oparciu o znane metody „dopasowania”

Zaokrąglanie

liczb

Zaokrąglanie

jest operacją zastępowania cyfrowej

reprezentacji

liczby rzeczywistej

cyfrową

reprezentacją

tejże liczby

, ale o mniejszej

ilości cyfr znaczących.

Liczbę

będziemy nazywali liczbą zaokrąglaną, a

liczbę

– liczbą zaokrągloną.

Niech liczba zaokrąglona

ma ostatnią cyfrę

znaczącą na pozycji

, niech dalej liczba

zaokrąglana

jest zapisana w postaci ciągu cyfr

(dK-1 dK-2 ... dJ+1 dJ , dJ-1 dJ-2 ...)×10J

Przykład 1



Zaokrąglić liczbę

1953,5091

do formatów z

ostatnią cyfrą znaczącą kolejno na miejscach od
trzeciego po przecinku do czwartego przed
przecinkiem.



Stosując zasady mamy kolejno:

1953,509; 1953,51; 1953,5; 1954;

Przykład 2



Mierzymy rezystancję opornika R z rozdzielczością
pozwalającą na otrzymanie wyniku
czterocyfrowego, podanie wyniku w postaci:

R = 29,82 ±0,02385 Ω

źle!!!

jeśli błąd dx = 0,02385 Ω, wynik ten powinien być zaokrąglony do dx =

0,02 Ω

R = 29,82 ±0,02 Ω - dobrze!!!

Zaokrąglanie normalne

jest określone zależnością:

gdzie roundJ () – operator zaokrąglania normalnego do

ostatniej cyfry znaczącej na pozycji J.

Zaokrąglanie w górę

polega na utworzeniu y przez

odrzucenie wszystkich cyfr x po dJ i dodaniu doń 10J
(jeżeli któraś z odrzuconych cyfr jest różna od zera) lub
pozostawieniu tak otrzymanej reprezentacji (jeżeli
wszystkie odrzucone cyfry są zerami).

Zaokrąglanie w dół

czyli obcinanie polega na utworzeniu

y przez odrzucenie wszystkich cyfr x po dJ .

Ogólna reguła może więc przyjąć następującą formę:

Ostatnia cyfra znacząca w kaŜdym wyniku

powinna być tego samego rzędu (stać na tym
samym miejscu dziesiętnym) co błąd.

Na przykład:
Wynik

92,81

z błędem

0,3

powinien być

zaokrąglony do

92,8 ±0,3

Jeśli błąd równy jest

, to ten sam rezultat

należałoby zapisać jako

93±3

jeśli zaś błąd wynosi

, to zapis powinien być

±30

Jest wyjątek od podanej tu reguły.

Jeśli pierwsza cyfra błędu jest mała (l lub być może

2), to mogłoby być właściwe pozostawienie w
odpowiedzi jeszcze jednej cyfry znaczącej.

Przykładowo, wynik taki jak:

L = 27,6 ± l cm

jest zupełnie rozsądny.
jego zaokrąglenie do

28 ± l

powodowałoby utratę

informacji.

Document Outline