1

WYKŁAD 1

PODSTAWOWE POJĘCIA GEOMETRII RZUTOWEJ

Program przedmiotu

1. Podstawowe pojęcia geometrii rzutowej. Pojęcie rzutu i jego rodzaje. Rzut równoległy
i jego niezmienniki. Twierdzenie o punkcie węzłowym i przekroje brył w ujęciu
poglądowym.

2. Twierdzenie Pohlke’go i rzut aksonometryczny. Rodzaje aksonometrii. Odwzorowania
obiektów w aksonometrii i ich przekroje. Podstawowe konstrukcje w aksonometrii:
punkty wspólne prostych i płaszczyzn. Cienie (równoległe i środkowe) rzucone,
wzajemne i własne.

3. Rzuty prostokątne na dwie rzutnie (Monge’a). Odwzorowanie poszczególnych
obiektów geometrycznych.

4. Przenikanie się obiektów geometrycznych. Trzecia rzutnia, transformacje i ich
zastosowanie. Rzut boczny. Aksonometria pośrednia. Przenikanie się obiektów
geometrycznych w aksonometrii.

5. Geometria dachów budynków wolnostojących i z ograniczeniami, dachy wieżowe.
Rzuty Monge’a i aksonometria dachu. Kłady i prostopadłość.

6. Twierdzenie Dandelina i przekroje stożka. Powinowactwo osiowe i kolineacja
środkowa. Konstrukcje stożkowych. Przekroje stożka w rzutach prostokątnych.

7. Kształtowanie niektórych powierzchni prostokreślnych. Przykłady sklepień i przekryć.

8. Rzut środkowy i jego niezmienniki. Podstawowe obiekty odwzorowane w rzucie
środkowym.

9. Perspektywa stosowana. Perspektywa pośrednia. Metoda śladów tłowych i śladów
zbiegu odwzorowania obiektów geometrycznych.

10. Pojęcie rzutu cechowanego. Odwzorowanie podstawowych obiektów geometrycznych
w

rzucie

cechowanym.

Elementy

ukształtowania

terenu

–

powierzchnie

topograficzne.    

2

Związki podstawowe pomiędzy elementami geometrycznymi

1. Dwa dowolne, nie pokrywające się punkty tworzą prostą (rys.1.1)     dwie
przecinające się płaszczyzny tworzą prostą  (rys.1.2)

2. Trzy dowolne punkty nie leżące w jednej linii tworzą płaszczyznę (rys.1.3) trzy
płaszczyzny z których żadne dwie nie są do siebie równoległe i nie pokrywają się 
tworzą punkt.(rys.1.4)

3

Przypomnienie niektórych określeń i twierdzeń geometrii euklidesowej

Dwie proste, które nie są do siebie ani
równoległe ani się nie przecinają są
względem siebie skośne (rys.1.22).
Krawędź
Dwie płaszczyzny w przestrzeni mają
wspólną prostą - przecinają się w krawędzi.
Jeżeli płaszczyzny są do siebie równoległe ,
wtedy mają wspólną prostą niewłaściwą
(rys.1.23).
Prosta równoległa do płaszczyzny
Prosta jest równoległa do płaszczyzny,
jeżeli na płaszczyźnie istnieje prosta
równoległa do danej (rys.1.24).
Punkt przebicia
Jeżeli prosta nie leży na płaszczyźnie , ani
nie jest do niej równoległa wtedy ma z nią
jeden punkt wspólny nazywany punktem
przebicia (rys.1.25).

4

Kąt między prostymi skośnymi
Proste skośne przesuwamy równolegle do przecięcia
tak,

aby

tworzyły

płaszczyznę.

Kąt

pomiędzy

przesuniętymi prostymi ma taką samą miarę co kąt
pomiędzy skośnymi (rys.1.26).
Kąt między prostą a płaszczyzną
Płaszczyzna szukanego kąta zawiera w sobie prostą i
jest prostopadła do płaszczyzny. Ramionami kąta są z
jednej strony prosta, a z drugiej krawędź między
płaszczyznami (rys.1.27).
Kąt dwuścienny
Kąt pomiędzy dwiema płaszczyznami nierównoległymi
do siebie nazywamy kątem dwuściennym. Kat ten leży
w płaszczyźnie e prostopadłej do obu płaszczyzn, a w
szczególności krawędzi między nimi. Ramiona kąta
tworzą krawędzie obu płaszczyzn z płaszczyzną
prostopadłą e (rys.1.28).

Uwaga:

Mając tylko jedną rzutnię otrzymujemy

odwzorowanie tylko w jednym kierunku - na rzutnię.
Dysponując rzutem nie możemy jednak odbudować
sytuacji

w

przestrzeni.

Odwzorowanie

jest

niejednoznaczne (rys.1.29).

5

Elementy niewłaściwe

1. Punkt niewłaściwy

Termin punktu niewłaściwego został

wprowadzony

do

geometrii

przez

francuskiego matematyka Ponceleta, a
oznacza to samo co kierunek prostej
Rozpatrzmy ciąg połączeń prostej a z
punktem A. Prowadząc kolejno proste
a

1

, a

2

,a

3

uzyskujemy punkty przecięcia

z prostą a: A

1

,A

2

,A

3

.

Jeżeli z punktu A poprowadzimy prostą a

o

to proste a i a

o

przetną się w

nieskończoności,

czyli

w

punkcie

niewłaściwym.

Pewne więc zadania, lub aksjomaty mogą

więc być inaczej formułowane np. każde
dwie proste posiadają wspólny punkt
właściwy lub niewłaściwy. Od tej więc
pory dwie proste równoległe posiadają
wspólny

punkt

niewłaściwy,

mają

wspólny kierunek.

6

2. Prosta niewłaściwa

Zbiór wszystkich punktów niewłaściwych na
płaszczyźnie nazywamy prostą niewłaściwą a ,
która

oznacza

ustawienie

płaszczyzny

w

przestrzeni. (rys.1.8)
Weźmy pod uwagę dwie płaszczyzny równoległe
α, α

1

i przyjmijmy dwie proste a i b na

płaszczyźnie α.
Przez dwa punkty niewłaściwe przechodzi prosta
niewłaściwa, czyli ustawienie płaszczyzny w
przestrzeni.

Obie

płaszczyzny

są

opisane

identycznymi punktami niewłaściwymi.

3. Płaszczyzna niewłaściwa

Jest to zbiór wszystkich elementów niewłaściwych.
Dołączając do punktów właściwych przestrzeni euklidesowej płaszczyznę niewłaściwą z
leżącymi na niej punktami niewłaściwymi i prostymi niewłaściwymi otrzymamy

przestrzeń rzutową.

Możemy rozszerzyć teraz związki dwoiste pomiędzy elementami geometrycznymi o
elementy niewłaściwe. Tak więc:



7

1. Dwie płaszczyzny równoległe posiadają tą

samą prostą niewłaściwą (rys.1.9)

2. Trzy płaszczyzny, z których dwie są

równoległe [dotąd nie mające punktu
wspólnego] teraz mają. (rys.1.10)

3. Płaszczyzna i prosta do niej równoległa

mają

wspólny

punkt

niewłaściwy

(rys.1.11)

8

Utwory podstawowe przestrzeni rzutowej

1. Szereg punktów p -podstawa szeregu,
ABC- elementy szeregu
2. Pęk prostych W (W ) – wierzchołek pęku
prostych, abc – promienie pęku
3. Pęk płaszczyzn p (p ) – oś pęku
płaszczyzn , α , β , γ - elementy pęku
płaszczyzn

4. Układ płaski
Jest to zbiór wszystkich punktów i wszystkich
prostych należących do dowolnej
płaszczyzny.
5. Wiązka
Jest to zbiór wszystkich prostych i wszystkich
płaszczyzn przechodzących przez dowolny
punkt S, właściwy lub niewłaściwy.





9

Działania w przestrzeni rzutowej

Rzuty figur na płaszczyznę otrzymujemy przy pomocy przekształcenia, które nazywamy
rzutowaniem. Rzutowanie jest sumą dwóch innych przekształceń: rzucania i
przecinania.

Rzucanie + przecinanie = rzutowanie

Rzutowanie to przekształcenie punktów A,B C na punkty A

1

,B

1

... oraz prostych a, b.. na

proste a

1

,b

1

..

Otrzymujemy pęk prostych lub otrzymujemy szereg punktów

Geometria wykreślna

zajmuje się odwzorowaniem utworów przestrzeni

trójwymiarowej na utwory płaskie - dwuwymiarowe i odwrotnie, z płaskiego rysunku
odczytujemy utwory przestrzenne. Takie odwzorowania muszą być jednoznaczne.
Metoda rzutowania polega na przyjęciu rzutni a oraz punktu S, lub S , który jest
środkiem rzutów [S nie należy do a ] . W zależności, czy punkt S jest właściwy czy też
niewłaściwy otrzymujemy różne sposoby rzutowania.



10

Rzut środkowy

W rzucie środkowym z przyjętego środka
rzutowania są wysyłane promienie rzutujące w
kierunku rzutni. Rzut obiektu możemy sobie
wyobrazić jako jego cień na płaszczyznę z
żarówki umieszczonej w punkcie S.

Rzut równoległy

Środek rzutu jest punktem niewłaściwym SΨ nie
należącym do rzutni. Możemy wyobrazić sobie, że
jest to rzut promieni słonecznych, ponieważ
słońce jako źródło tych promieni jest tak odległe,
że promienie słoneczne możemy uważać za
równoległe.

1. Rzut punktu jest punktem.
2. Rzut prostej jest prostą [ jeśli kierunek prostej jest równoległy do kierunku rzutowania
– jej rzut jest punktem].
3. Rzut płaszczyzny jest płaszczyzną.
4. Rzuty dwóch prostych równoległych [ale nierównoległych do kierunku rzutowania] są
prostymi równoległymi.
5. Stosunek długości odcinków [nierównoległych do kierunku rzutowania] jest równy
stosunkowi długości ich rzutów. Innymi słowy, rzutowanie zachowuje proporcje.

Rzut równoległy ma następujące własności:

11

Rzut prostokątny

Otrzymujemy go w przypadku

szczególnym, gdy SΨ jest prostopadły
do płaszczyzny rzutni.

Niezmienniki rzutu prostokątnego:

1. Zachowanie współliniowości punktów.
2. Zachowanie stosunku podziału odcinka.
3. Zachowanie równoległości prostych.
4. Zachowanie stosunku długości odcinków

równoległych.

5. Zachowanie metryki (odległości, miar

kątów) figur płaskich równoległych do
rzutni.

6. Zachowanie w rzucie prostopadłości

kąta prostego, którego jedno z
ramion jest równoległe do rzutni.

Twierdzenie o punkcie węzłowym

W danej trójce płaszczyzn
krawędzie poszczególnych par
tych płaszczyzn pokrywają się
lub są trzema różnymi prostymi
przecinającymi się w jednym
punkcie.

12

PRZENIKANIE SIĘ OBIEKTÓW GEOMETRYCZNYCH

Wielościany 

 

Wielościan jest to bryła zbudowana ze skończonej ilości wielokątów
płaskich, które spełniają następujące warunki;

1-każde dwa wielokąty mają bok albo wierzchołek wspólny, bądź nie mają
żadnego punktu wspólnego,
2-każdy bok wielokąta jest bokiem wspólnym dla dwóch wielokątów,
3-każdy wierzchołek wielokąta jest tylko pojedynczym wierzchołkiem
wspólnym dla co najmniej trzech wielokątów.

Wielokąty te nazywamy

ścianami wielościanu, ich boki krawędziami, a ich wierzchołki narożami lub
wierzchołkami wielościanu.

Wielościan

zbudowany z przystających wielokątów foremnych nazywamy

wielościanem foremnym.

Istnieje tylko pięć takich wielościanów , którymi

są;

czworościan

, zbudowany z trójkątów równobocznych,

sześcian

z

kwadratów,

ośmiościan

z trójkątów równobocznych,

dwunastościan

z

pięciokątów foremnych,

dwudziestościan

z trójkątów równobocznych.

13

Przekroje wielościanów płaszczyzną

Płaszczyznę przecinającą wielościan nazywamy płaszczyzną sieczną lub
tnącą , a wynik przecięcia przekrojem.
Przekrojem nazywamy zbiór wszystkich punków wspólnych powierzchni
wielościanu i płaszczyzny tnącej.
Przekrój jest wielokątem ,którego boki są krawędziami płaszczyzny
siecznej ze ścianami wielościanu, a wierzchołki są punktami przebicia
krawędzi wielościanu z płaszczyzną sieczną.

14

Przykład:

Przecięcie ostrosłupa
danego swoimi rzutami
płaszczyzną β.

15

Punkty przebicia wielościanów prostą

Dowolna prosta przebija wielościan w dwóch punktach, lub nie przebija go
wcale.
Punkty przebicia można wyznaczyć bezpośrednio wtedy, gdy przebijane
ściany są rzutujące.

Przykład:

Wyznaczyć punkty przebicia ostrosłupa prostą. Poprowadzić płaszczyznę
przez wierzchołek.

16

Przenikanie wielościanów

Linia przenikania jest to zbiór wszystkich punktów wspólnych obu
powierzchni.
Na ogół jest ona wielokątem przestrzennym, którego wierzchołki są punktami
przebicia krawędzi jednej bryły z drugą, a boki są krawędziami ścian.
Czasami linia przenikania może się rozpadać na dwa lub więcej wielokątów.
Praktycznie konstruując linię przenikania szukamy najpierw punktów
przebicia, a następnie łączymy je tak aby tworzyły krawędź pomiędzy tymi
samymi ścianami.

Wyznaczanie linii przenikania

1. Łączymy wierzchołki brył właściwe, lub niewłaściwe.
2. Otrzymaną prostą ( właściwą, lub niewłaściwą) traktujemy jako oś pęku
płaszczyzn
3. Płaszczyzny prowadzimy przez krawędzie boczne jednej bryły i szukamy
przecięcia z drugą bryłą.
4. Bierzemy pod uwagę tylko te odcinki krawędzi, które należą do obu ścian.

Siatka znaków

W celu ułatwienia określenia kolejności łączonych punktów, a także
widoczności krawędzi można korzystać ze specjalnej siatki. Pionowe linie
obrazują krawędzie jednej bryły, poziome drugiej bryły. Na siatkę nanosimy
otrzymane punkty w ten sposób, aby leżały one na odpowiedniej krawędzi i
przebitej przez nią ścianie.
Łączymy ze sobą tylko te punkty, które leżą w obrębie jednej kratki. Linia
łącząca nie może przecinać żadnej krawędzi. Oznaczenie ścian widocznych
(+) i niewidocznych (-) określi widoczność linii przenikania. Jeżeli bok znajduje
się na obu widocznych ścianach ( dwa +) to jest on widoczny, w przeciwnym
wypadku jest niewidoczny.

17

Przykład:

Wyznaczyć linię
przenikania ostrosłupa z
graniastosłupem

Kierunek krawędzi
bocznych

graniastosłupa

jest rzutujący w rzucie
pionowym,

płaszczyzny

pomocnicze

będą

tu

rzutujące. Punkty przebicia
krawędzi

ostrosłupa

z

rzutującymi

krawędziami

graniastosłupa

można

zaznaczyć bezpośrednio w
rzucie pionowym ( punkty
1,2,3,4

).

Przenosząc

punkty 3 i 4 mamy pewne
trudności

z

dokładnym

określeniem

położenia

punktów

wynikające

z

małego

kąta

pomiędzy

odnoszącą , a krawędzią.

Posłużymy się prostymi poziomymi m i n należącymi do ściany ABW i
równoległymi do AB. Równoległość ta musi być zachowana również w rzucie
poziomym. Punkty na krawędzi P wyznaczamy przy pomocy płaszczyzny e
przechodzącej przez wierzchołek i krawędzi z podstawą ostrosłupa ( punkty I i
II ). Kolejność połączenia podpowie nam siatka znaków, którą rysujemy tylko
dla rzutu poziomego . W rzucie pionowym linia przenikania będzie znajdowała
się na powierzchni rzutującego graniastosłupa.

18

Przykład:

Wyznaczyć linię przenikania dwóch graniastosłupów.

Ponieważ jeden z graniastosłupów jest rzutujący ( ABC ) , to płaszczyzna
pomocnicza e będzie również w rzucie poziomym rzutująca i równoległa do
krawędzi bocznych drugiego graniastosłupa. Prowadząc kolejno płaszczyzny
przez krawędzie uzyskamy punkty przebicia tak, jak w zadaniach poprzednich
. Np. płaszczyzna przechodząca przez krawędź A da nam przekrój przy
pomocy punktów I i II na podstawie.
Prowadzimy proste równoległe do krawędzi bocznych graniastosłupa i
otrzymujemy punkty przebicia 1 i 2.

19

Niektóre punkty możemy uzyskać bez konieczności wprowadzania
płaszczyzn pomocniczych. Są to punkty przebicia krawędzi z tymi ścianami,
które są rzutujące ( punkty 5,6,7,8). Następnie rysujemy siatkę znaków
ułatwiającą połączenie i określenie widoczności. Linia przenikania musi być
zamknięta, trafiać do punktu wyjścia.

RZUTNIA ZŁOŻONA

Jest to układ trzech płaszczyzn ustawionych względem siebie pod kątami prostymi.

II

III

I

II - rzutnia pozioma

III - rzutnia z lewej strony

I - rzutnia główna

Rzutnia główna pozostaje bez zmian, rzutnię
poziomą rozkłada się w dół, natomiast rzutnię z
lewej strony w bok.

I

III

II

20

RZUTY GŁÓWNE