Rozkład dwumianowy -

Rozkład dwumianowy -

Bernoulliego

Bernoulliego

Rozkład dwumianowy – definicja

Rozkład dwumianowy – definicja

1

1

Rozkład dwumianowy polega na przeprowadzeniu n jednakowych,
niezależnych doświadczeń, z których każde może zakończyć się
„sukcesem” z prawdopodobieństwem p lub „porażką” z
prawdopodobieństwem q=1-p. Prawdopodobieństwo pojawienia się
sukcesu jest jednakowe w każdym z kolejnych doświadczeń. Zmienną
losową w tym eksperymencie jest zdarzenie polegające na pojawieniu
się k liczby sukcesów w n próbach, przy czym
k<0, n>.

 

k

n

k

k

n

k

n
k

p

p

k

n

k

n

p

p

k

X

P

















)

1

(

)!

(

!

!

)

1

(

)

(

gdzie:
k = 1, 2, 3, ..., n - liczba wystąpienia „sukcesów”
n – liczba doświadczeń
p – prawdopodobieństwo wystąpienia sukcesów

Rozkład dwumianowy – definicja

Rozkład dwumianowy – definicja

2

2

Schematem n prób Bernoulliego nazywamy n niezależnych
doświadczeń losowych, w którym prawdopodobieństwo sukcesu
(zajścia określonego zdarzenia) w każdym doświadczeniu jest stałe,
niezależne od wyników poprzednich i równe p.

Prawdopodobieństwo, że na n przeprowadzonych doświadczeń według
schematu Bernoulliego uzyska się k sukcesów w dowolnej kolejności,
wyraża się wzorem

gdzie

k

n

k

k

n

q

p

k

n

P





















,

p

q

p









1

,

1

0

Parametry poziomu wartości

Parametry poziomu wartości

zmiennej zeroedynkowej

zmiennej zeroedynkowej

Zadanie 3

Wariancja zerojedynkowej zmiennej Y jest równa 0.25. Czy wynika

z tego, że:

TAK 

NIE 

TAK 

NIE 

TAK 

NIE 

TAK 

NIE 

średnia zmiennej Y jest równa

0.5

średnia zmiennej Y jest równa

0.25

średnia zmiennej Y jest jednocześnie jej

medianą

P(Y=1) <

P(Y=0)

Zadanie 7

Zmienna statystyczna X jest zmienną zero-jedynkową Jeżeli

średnia zmiennej X jest równa 0.2, to

TAK 

NIE 

TAK 

NIE 

TAK 

NIE 

TAK 

NIE 

odchylenie przeciętne od mediany równa

się 0.2

średnia zmiennej X jest jej

medianą

P(X=1) =

P(X=0)

wariancja zmiennej X równa się

0.8

Przykład 1 - (rozkład

Przykład 1 - (rozkład

Bernoulliego)

Bernoulliego)

Koszykarz oddaje 4 rzuty do kosza. Piłka wpada do kosza z
prawdopodobieństwem 0,8. Znajdźmy rozkład zmiennej losowej X
przyjmującej
wartości celnych rzutów do kosza. Koszykarz może trafić 4 razy, 3
razy, itd., lub może nie trafić wcale. Wykorzystując schemat
Bernoulliego obliczmy prawdopodobieństwa poszczególnej liczby
sukcesów (trafionych rzutów) w
pięciu próbach.





4096

,

0

625

256

5

4

5

1

5

4

4

4

4

4

0

4

4































































k

P





4096

,

0

625

256

5

1

5

4

4

5

1

5

4

3

4

3

3

1

3

4



































































k

P





1536

,

0

625

96

5

1

5

4

6

5

1

5

4

2

4

2

2

2

2

2

4















































































k

P





0256

,

0

625

16

5

1

5

4

4

5

1

5

4

1

4

1

3

3

1

4



































































k

P





0016

,

0

625

1

5

1

5

1

5

4

0

4

0

4

4

0

4































































k

P

,

,

,

,

.

 

k

n

k

k

n

k

n
k

p

p

k

n

k

n

p

p

k

X

P

















)

1

(

)!

(

!

!

)

1

(

)

(

gdzie:

k = 1, 2, 3, ..., n - liczba wystąpienia „sukcesów”

n – liczba doświadczeń

p – prawdopodobieństwo wystąpienia sukcesów

Przykład 1 c.d. - (rozkład

Przykład 1 c.d. - (rozkład

Bernoulliego)

Bernoulliego)

Rozkład prawdopodobieństwa szukanej zmiennej losowej wygląda

następująco

,

,

.

625

1

625

16

625

96

625

256

625

256

Możemy teraz także obliczyć wartość oczekiwaną

2

,

3

625

2000

625

1024

625

768

625

192

625

16

625

256

4

625

256

3

625

96

2

625

16

1

625

1

0

































EX

zatem koszykarz średnio odda 3,2 (3 w zaokrągleniu do liczby
całkowitej) rzuty celne do kosza.

0,0016 0,0256 0,1536

0,4096

0,4096

Zmienna skokowa -

Zmienna skokowa -

dyskretna

dyskretna

Zmienna losowa skokowa

Zmienna losowa skokowa

(dyskretna)

(dyskretna)

Przykład 1.
Rozpatrujemy doświadczenie polegające na rzucie symetryczną
monetą. Wynik tego doświadczenia nie jest z góry przesądzony;
pojawić się może ORZEŁ lub RESZKA. Zdarzenie „pojawienie się orła”
oraz

„pojawienie

się

reszki”

są

zdarzeniami

losowymi

(przypadkowymi).

Są

one

jednocześnie

zdarzeniami

elementarnymi, bowiem nie da się ich „rozszczepić” na zdarzenia
prostsze.

W

rozpatrywanym

doświadczeniu

zbiór

zdarzeń

elementarnych jest dwuelementowy. Empirycznie sprawdzono, że
częstość pojawiania się na przykład orła stabilizuje się wokół wartości
½

w

miarę

zwiększania

liczby

rzutów.

Liczba

½

to

prawdopodobieństwo pojawienia się orła. Podobnie możemy
powiedzieć, że prawdopodobieństwo wyrzucenia reszki także wynosi
½.
Suma prawdopodobieństw wszystkich zdarzeń elementarnych
należących do danego zbioru zdarzeń elementarnych (tzw.
zdarzenia pewne) wynosi 1.

Zmienna losowa skokowa

Zmienna losowa skokowa

(dyskretna)

(dyskretna)

Przykład 2.
Doświadczenie polega na rzucaniu kostką do gry tak długo, aż pojawi
się 6-ka. Zdarzenia elementarne związane z tym doświadczeniem
można uporządkować następująco:
1)Wyrzucenie 6-ki w pierwszym rzucie
2)Wyrzucenie 6-ki w drugim rzucie
3)Wyrzucenie 6-ki w trzecim rzucie itd.

Jak widać zbiór zdarzeń elementarnych tego doświadczenia jest
nieskończony, lecz przeliczalny. Prawdopodobieństwo pojawienia się 6-
ki w pierwszym rzucie wynosi 1/6 , w drugim rzucie 1/6 * 5/6, w
trzecim rzucie 1/6 * (5/6)2 itp., co prowadzi do wniosku że suma
(nieskończona)

prawdopodobieństw

wszystkich

zdarzeń

elementarnych równa jest jedności.

Zmienna losowa skokowa

Zmienna losowa skokowa

(dyskretna)

(dyskretna)

Ad. Przykład 1.
Na zbiorze zdarzeń elementarnych określamy zmienną losową X w
sposób następujący:

X(orzeł)=1

X(reszka)=0

Zmienna losowa X przyjmuje wartości ze zbioru {0,1}. Ponieważ
zdarzenia „pojawienia się orła” i „pojawienie się reszki” realizują się z
prawdopodobieństwami równymi ½ , można zapisać:

P(X=1)= P(orzeł) = ½
P(X=0)= P(reszka) = ½

Zmienna losowa skokowa -

Zmienna losowa skokowa -

definicja

definicja

Niech

E

będzie

zbiorem

zdarzeń

elementarnych

danego

doświadczenia. Funkcję X(e) przyporządkowującą każdemu zdarzeniu
elementarnemu e € E jedną i tylko jedną liczbę X(e) = x nazywamy
zmienną losową.

Zmienna losowa X jest typu skokowego, jeśli może przyjmować
skończoną lub nieskończoną, ale przeliczalną liczbę wartości.
Wartości zmiennej losowej skokowej (określane często jako punkty
skokowe)

będziemy

oznaczać

przez

x

1

,

x

2

…,

natomiast

prawdopodobieństwa, z jakimi są one realizowane (określane jako
skoki), oznaczymy przez p

1

, p

2

…

Zmienna losowa X jest typu skokowego (dyskretnego), jeśli
przyjmuje ona tylko skończoną (lub przeliczalną) liczbę wartości {x1,
x2, x3,..., xn} (tzw. punkty skokowe), tak, że dla każdego i=1,2,...,n.)
(i=1,2,....)
P(X= xi)= pi>0,

Gdzie

.

Oznacza to, że zmienna losowa X przyjmuje wartość z
prawdopodobieństwem

1

1







n

i

i

p

1

1









i

i

p

i

p

Zmienna losowa skokowa

Zmienna losowa skokowa

(dyskretna)

(dyskretna)

Przykład 3.
Do tarczy oddaje się – w sposób niezależny – 3 strzały.
Prawdopodobieństwo trafienia w tarczę wynosi ½ dla każdego strzału.
Niech zmienna losowa X oznacza liczbę trafień w tarczę.
Zbiór zdarzeń elementarnych tego doświadczenia jest następujący (T-
trafienie) (C- chybienie): {CCC, CCT, CTC, TCC, CTT, TCT, TTC, TTT}.
Zmienna losowa X przyjmuje więc wartości: x

1

=0, x

2

=1, x

3

=3, x

4

=3.

Stosując

elementarne

zasady

rachunku

prawdopodobieństwa

obliczamy:

P(X=0)=1/8=p

1

, P(X=1)=3/8=p

2

, P(X=2)=3/8=p

3

, P(X=3)=1/8=p

4

Prawdziwa

jest

relacja

p

1

+p

2

+p

3

+p

4

,

zatem

podane

prawdopodobieństwa można traktować jako wartość funkcji
prawdopodobieństwa zmiennej losowej. W ujęciu tabelarycznym
funkcja ta przedstawia się następująco:

Dystrybuanta zmiennej losowej

Dystrybuanta zmiennej losowej

X

X

Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję F(x) określoną na
zbiorze liczb rzeczywistych jako:
F(x) = P(X <= x).
Z definicji tej wynika, że dystrybuanta przyjmuje wartości równe
prawdopodobieństwu tego, że zmienna losowa X przyjmie wartość nie
większą od wartości argumentu.

UWAGA!!!

Mając dany rozkład prawdopodobieństwa możemy wyznaczyć jej
dystrybuantę i odwrotnie, mając daną dystrybuantę zmiennej losowej
X możemy podać rozkład prawdopodobieństwa.

Przykładowe zadanie

Przykładowe zadanie

Zadanie 1

Zadanie 1

Pewna firma posiada pięć jednakowych komputerów pracujących

niezależnie od siebie. Prawdopodobieństwo tego, że w ciągu dnia
roboczego komputer ulegnie awarii wynosi 0,1. Zakładamy, że
awarię usuwa się dopiero następnego dnia.

A) Jaki jest rozkład liczby komputerów ulegających awarii w ciągu dnia

roboczego i

B) jakie jest prawdopodobieństwo tego, że w ciągu dnia awarii ulegną

więcej niż dwa komputery?

 

)

5

,

4

,

3

,

2

,

1

,

0

(

)

9

,

0

(

)

1

,

0

(

)

(

5

5









k

k

X

P

k

k

k

Prawdopodobieństwa odpowiadające poszczególnym wartościom
(realizacjom zmiennej losowej X) są następujące:

59

,

0

59

,

0

1

1

59

,

0

1

)!

0

5

(

!

0

!

5

)

9

,

0

(

)

1

,

0

)(

(

)

0

(

5

0

5
0





















X

P

 

k

n

k

k

n

k

n
k

p

p

k

n

k

n

p

p

k

X

P

















)

1

(

)!

(

!

!

)

1

(

)

(

gdzie:

k = 1, 2, 3, ..., n - liczba wystąpienia „sukcesów”

n – liczba doświadczeń

p – prawdopodobieństwo wystąpienia sukcesów

Zadanie 1 cd…

Zadanie 1 cd…

00001

,

0

1

00001

,

0

1

1

00001

,

0

)!

0

5

(

!

0

!

5

)

9

,

0

(

)

1

,

0

)(

(

)

5

(

00045

,

0

9

,

0

0001

,

0

5

9

,

0

0001

,

0

)!

1

5

(

!

1

!

5

)

9

,

0

(

)

1

,

0

)(

(

)

4

(

0081

,

0

81

,

0

001

,

0

2

1

3

2

1

5

4

3

2

1

81

,

0

001

,

0

)!

3

5

(

!

3

!

5

)

9

,

0

(

)

1

,

0

)(

(

)

3

(

073

,

0

73

,

0

01

,

0

3

2

1

2

1

5

4

3

2

1

73

,

0

01

,

0

)!

2

5

(

!

2

!

5

)

9

,

0

(

)

1

,

0

)(

(

)

2

(

33

,

0

66

,

0

1

,

0

5

66

,

0

1

,

0

)!

1

5

(

!

1

!

5

)

9

,

0

(

)

1

,

0

)(

(

)

1

(

59

,

0

59

,

0

1

1

59

,

0

1

)!

0

5

(

!

0

!

5

)

9

,

0

(

)

1

,

0

)(

(

)

0

(

0

5

5
5

1

4

5

4

2

3

5
3

3

2

5

2

4

1

5

1

5

0

5
0

























































































































































X

P

X

P

X

P

X

P

X

P

X

P

Zadanie 1 cd…

Zadanie 1 cd…

Rozkład zmiennej losowej X można przedstawić w następującej

postaci:

Dystrybuanta zmiennej losowej X przyjmuje więc postać:

















































.

5

1

,

5

4

99999

,

0

,

4

3

99954

,

0

,

3

2

99144

,

0

,

2

1

91854

,

0

,

1

0

59049

,

0

,

0

0

)

(

x

dla

x

dla

x

dla

x

dla

x

dla

x

dla

x

dla

x

F

Zadanie 1 cd…

Zadanie 1 cd…

Korzystając z wyznaczonej funkcji prawdopodobieństwa i dystrybuanty
obliczymy prawdopodobieństwo tego, że w ciągu dnia roboczego
ulegną awarii więcej niż dwa komputery. Można to zrobić na dwa
sposoby:

















































.

5

1

,

5

4

99999

,

0

,

4

3

99954

,

0

,

3

2

99144

,

0

,

2

1

91854

,

0

,

1

0

59049

,

0

,

0

0

)

(

x

dla

x

dla

x

dla

x

dla

x

dla

x

dla

x

dla

x

F

1)P(X > 2) = 1 – P(X  2) = 1 – F(2) = 1 – 0,99144 = 0,00856

2)P(X>2) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) = 0,0081 + 0,00045 + 0,00001 = 0,00856

Parametry Rozkładu

Parametry Rozkładu

dwumianowego

dwumianowego

Dystrybuanta zmiennej losowej o rozkładzie dwumianowym ma
postać:

 















x

k

k

n

k

n
k

p

p

x

X

P

x

F

)

1

(

)

(

)

(

Wartość oczekiwana w rozkładzie dwumianowym:

np

X

E



)

(

Wariancja w rozkładzie dwumianowym:

)

1

(

)

(

2

p

np

X

D





Oblicz:
E(X)
D2(X)
D(X)

Parametry Rozkładu

Parametry Rozkładu

dwumianowego

dwumianowego

Dystrybuanta zmiennej losowej o rozkładzie dwumianowym ma
postać:

 















x

k

k

n

k

n
k

p

p

x

X

P

x

F

)

1

(

)

(

)

(

Wartość oczekiwana w rozkładzie dwumianowym:

np

X

E



)

(

Wariancja w rozkładzie dwumianowym:

)

1

(

)

(

2

p

np

X

D





Oczekiwana (średnia) liczba komputerów ulegających awarii w ciągu dnia
roboczego wynosi:

E(X) = 5 * 0,1 = 0,5
Wariancja jest równa:
D

2

(X) = 5 * 0,1 * 0,9 = 0,45

Odchylenie standardowe wynosi:
D(X) =

0,45 = 0,67