Rozkład dwumianowy –

Rozkład dwumianowy –

Bernoulliego i zmienna

Bernoulliego i zmienna

losowa

losowa

Rozkład dwumianowy – definicja

Rozkład dwumianowy – definicja

1

1

Rozkład dwumianowy polega na przeprowadzeniu n jednakowych,
niezależnych doświadczeń, z których każde może zakończyć się
„sukcesem” z prawdopodobieństwem p lub „porażką” z
prawdopodobieństwem q=1-p. Prawdopodobieństwo pojawienia się
sukcesu jest jednakowe w każdym z kolejnych doświadczeń. Zmienną
losową w tym eksperymencie jest zdarzenie polegające na pojawieniu
się k liczby sukcesów w n próbach, przy czym
k<0, n>.

 

k

n

k

k

n

k

n
k

p

p

k

n

k

n

p

p

k

X

P

















)

1

(

)!

(

!

!

)

1

(

)

(

gdzie:
k = 1, 2, 3, ..., n - liczba wystąpienia „sukcesów”
n – liczba doświadczeń
p – prawdopodobieństwo wystąpienia sukcesów

Zadanie 1

Zadanie 1

Rzucamy raz sześcienną kostką .Niech zmienna losowa X oznacza ilość
wyrzuconych oczek.
Wyznacz funkcję rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej
losowej X.

Zadanie 2

Zadanie 2

Mamy trzy pojemniki typu A1 , dwa pojemniki typu A2 i pięć
pojemników typu A3. Pojemniki typu A1 zawierają 12 białych kul, 3
zielone, 4 czarne i 1 niebieską. Pojemniki typu A2 zawierają 3 białe kule,
12 zielonych, 4 czarne i 1 niebieską. Pojemniki typu A3 zawierają 4
białe kule, 3 zielone, 12 czarnych i 1 niebieską. Losujemy ze zwrotem
(zwracamy wylosowaną kulę do pojemnika z którego została wyjęta) 5
kul.
Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania 2 kul zielonych.

Zadanie 2 cd.

Zadanie 2 cd.

Losowanie odbywa się ze zwrotem, więc mamy do czynienia z
doświadczeniami niezależnymi. Łatwo ustalamy, że
prawdopodobieństwo pojedynczego sukcesu (wylosowania kuli zielonej)
obliczymy stosując wzór na prawdopodobieństwo całkowite

24

,

0

20

3

10

5

20

12

10

2

20

3

10

3















p

76

,

0

1







p

q

A zatem

Zadanie 2 cd.

Zadanie 2 cd.

Stosujemy wzór Bernoulliego

 

k

n

k

k

n

k

n
k

p

p

k

n

k

n

p

p

k

X

P

















)

1

(

)!

(

!

!

)

1

(

)

(

gdzie:

k = 1, 2, 3, ..., n - liczba wystąpienia „sukcesów”

n – liczba doświadczeń

p – prawdopodobieństwo wystąpienia sukcesów

253

,

0

439

,

0

0576

,

0

10

)

76

,

0

(

)

24

,

0

(

2

5

3

2

2

,

5



























P

Zadanie 3 cd…

Zadanie 3 cd…

W pudełku jest 10 losów ponumerowanych od 1 do 10. Na los z numerem
1 pada główna wygrana 10, na losy z numerami 2 i 3 wygrana
pocieszenia 1, a za wyciągnięcie pozostałych płacimy 2(wygrywamy – 2).
Załóżmy, że wyciągnięcie każdego z losów jest jednakowo
prawdopodobne. Niech zmienna losowa X oznacza wartość wygranej.
Wyznacz funkcję rozkładu prawdopodobieństwa.

Zadanie 4

Zadanie 4

Z akt firmy ubezpieczeniowej wynika, że 30 % posiadaczy polis, którzy

przekroczyli 50 lat, zgłasza roszczenia w ciągu jednego roku. Wybrano
losowo pięciu posiadaczy polis mających powyżej 50 lat. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że:

1) roszczenia zgłosi dokładnie dwóch posiadaczy,
2) nie więcej niż trzech posiadaczy zgłosi roszczenia,
3) co najmniej trzech z nich zgłosi roszczenia w ciągu nadchodzącego,
4) mniej niż trzech posiadaczy zgłosi roszczenia.

Wyznacz średnią oraz odchylenie standardowe w odpowiednim

rozkładzie.

 

k

n

k

k

n

k

n
k

p

p

k

n

k

n

p

p

k

X

P

















)

1

(

)!

(

!

!

)

1

(

)

(

gdzie:

k = 1, 2, 3, ..., n - liczba wystąpienia „sukcesów”

n – liczba doświadczeń

p – prawdopodobieństwo wystąpienia sukcesów

Zadanie 4 cd…

Zadanie 4 cd…

0024

,

0

1

00001

,

0

1

1

0024

,

0

)!

0

5

(

!

0

!

5

)

7

,

0

(

)

3

,

0

)(

(

)

5

(

028

,

0

9

,

0

0001

,

0

5

7

,

0

0081

,

0

)!

1

5

(

!

1

!

5

)

7

,

0

(

)

3

,

0

)(

(

)

4

(

13

,

0

81

,

0

001

,

0

2

1

3

2

1

5

4

3

2

1

49

,

0

027

,

0

)!

3

5

(

!

3

!

5

)

7

,

0

(

)

3

,

0

)(

(

)

3

(

30

,

0

73

,

0

01

,

0

3

2

1

2

1

5

4

3

2

1

34

,

0

09

,

0

)!

2

5

(

!

2

!

5

)

7

,

0

(

)

3

,

0

)(

(

)

2

(

36

,

0

24

,

0

3

,

0

5

24

,

0

3

,

0

)!

1

5

(

!

1

!

5

)

7

,

0

(

)

3

,

0

)(

(

)

1

(

17

,

0

17

,

0

1

1

17

,

0

1

)!

0

5

(

!

0

!

5

)

7

,

0

(

)

3

,

0

)(

(

)

0

(

0

5

5
5

1

4

5

4

2

3

5
3

3

2

5

2

4

1

5

1

5

0

5
0

























































































































































X

P

X

P

X

P

X

P

X

P

X

P

1) roszczenia zgłosi dokładnie dwóch posiadaczy,

2) nie więcej niż trzech posiadaczy zgłosi roszczenia,

3) co najmniej trzech z nich zgłosi roszczenia w ciągu nadchodzącego,

4) mniej niż trzech posiadaczy zgłosi roszczenia.
Wyznacz średnią oraz odchylenie standardowe w odpowiednim

rozkładzie.

Zadanie 4 cd…

Zadanie 4 cd…

Dystrybuanta zmiennej losowej X przyjmuje więc postać:

















































.

5

1

,

5

4

998

,

0

,

4

3

97

,

0

,

3

2

84

,

0

,

2

1

53

,

0

,

1

0

17

,

0

,

0

0

)

(

x

dla

x

dla

x

dla

x

dla

x

dla

x

dla

x

dla

x

F

Zadanie 5

Zadanie 5

Lek „Prostamol Uno”, którego skuteczność oceniono na 75%

zastosowano w grupie 4 losowo wybranych chorych. Obserwację
działania tego specyfiku w tej grupie można zapisać w następujący
sposób: niech X=k, gdzie k jest liczbą wyleczonych osób. Oblicz jakie
jest prawdopodobieństwo, że zostanie wyleczonych:

• Dokładnie dwie osoby,

• Co najmniej 3 osoby,

• Nie więcej niż 2 osoby.

 

k

n

k

k

n

k

n
k

p

p

k

n

k

n

p

p

k

X

P

















)

1

(

)!

(

!

!

)

1

(

)

(

gdzie:

k = 1, 2, 3, ..., n - liczba wystąpienia „sukcesów”

n – liczba doświadczeń

p – prawdopodobieństwo wystąpienia sukcesów

• Dokładnie dwie osoby,

• Co najmniej 3 osoby,

• Nie więcej niż 2 osoby.
Wyznacz średnią oraz odchylenie standardowe w odpowiednim

rozkładzie.

Zadanie 5 cd…

Zadanie 5 cd…

Dystrybuanta zmiennej losowej X przyjmuje więc postać:

F(0) = 0,004

F(1) = 0,004 + 0,047 = 0,051

F(2) = 0,004 + 0,047 + 0,211 = 0,262

F(3) = 0,004 + 0,047 + 0,211 + 0,422 = 0,316

F(4) = 0,004 + 0,047 + 0,211 + 0,422 + 0,316 = 1











































x

dla

x

dla

x

dla

x

dla

x

dla

x

dla

x

F

4

1

,

4

3

684

,

0

,

3

2

262

,

0

,

2

1

051

,

0

,

1

0

004

,

0

,

0

0

)

(

Zadanie 5 cd…

Zadanie 5 cd…

a) p=0,10

b) p=0,25

c) p=0,50

d) p=0,75

e) p=0,90

Rozkład jest tym bardziej asymetryczny (prawostronnie lub lewostronnie),
im bardziej odbiega od wartości 0,5 prawdopodobieństwo „sukcesu” p (odpowiednio
poniżej 0,5, lub powyżej 0,5). Gdy p = 0,5. rozkład jest symetryczny

Zadanie 6

Zadanie 6

Na osiedlu znajdują się 4 sklepy spożywcze. Prawdopodobieństwo

zamknięcia każdego z nich z powodu choroby pracowników wynosi
0,4. Oblicz prawdopodobieństwo, że:

• Będzie otwarty tylko jeden sklep,

• Otwartych będzie co najwyżej dwa sklepy,

• Otwartych będzie co najmniej 2 sklepy.

 

k

n

k

k

n

k

n
k

p

p

k

n

k

n

p

p

k

X

P

















)

1

(

)!

(

!

!

)

1

(

)

(

gdzie:

k = 1, 2, 3, ..., n - liczba wystąpienia „sukcesów”

n – liczba doświadczeń

p – prawdopodobieństwo wystąpienia sukcesów

Zadanie 7

Zadanie 7

Stwierdzono, że 40% Polaków korzysta z ROR. Jakie jest

prawdopodobieństwo, że spośród 10 klientów robiących zakupy:

(1)5 klientów zapłaci czekiem,
(2)nie mniej niż 2 zapłaci czekiem,
(3)żaden nie zapłaci czekiem,
(4)wszyscy zapłacą czekiem.
(5)Oblicz średnią liczbę klientów płacących czekiem. Sporządź wykresy

rozkładu prawdopodobieństwa i dystrybuanty.

 

k

n

k

k

n

k

n
k

p

p

k

n

k

n

p

p

k

X

P

















)

1

(

)!

(

!

!

)

1

(

)

(

gdzie:

k = 1, 2, 3, ..., n - liczba wystąpienia „sukcesów”

n – liczba doświadczeń

p – prawdopodobieństwo wystąpienia sukcesów