Drgania wymuszone oscylatora harmonicznego

Jeżeli oprócz tarcia istnieje siła zewnętrzna F(t),
która ma za zadanie podtrzymywać gasnące drgania,
przyłożona do oscylatora to równanie ruchu ma postać:

)

(

d

d

d

d

2

2

t

F

kx

t

x

t

x

M









po podstawieniu



= M/



oraz



0

2 = k/M

otrzymujemy

M

t

F

x

t

x

t

x

)

(

d

d

1

d

d

2

0

2

2











jest częstością własną układu, to jest częstością drgań swobodnych

(gdy nie działa siła zewnętrzna i nie ma tarcia ani innych sił oporu,
a t stałą czasową związaną ze współczynnikiem tłumienia relacją



= 1/2



.

ponadto układ jest zasilany z częstością różną od częstości własnej

Gdy układ jest zasilany częstością



różną od



0 ,

wówczas drgania będą odbywały się z częstością siły zewnętrznej
a nie z częstością własną. Siłę taką nazywamy siłą wymuszającą.

Załóżmy, że siła wymuszająca ma postać:

t

M

t

F

M

t

F







sin

sin

)

(

0

0







0

= F

0

/M.

w równaniu dwie wielkości okresowo zmienne: położenie x oraz siłę
wymuszającą F; w najogólniejszym przypadku suma (złożenie) dwóch
funkcji okresowych daje w wyniku też funkcję okresową

A

1

cos



t + A

2

sin



t = Asin(



t +



)

Szukamy rozwiązania postaci Asin(



t +



)

- musimy znaleźć amplitudę A oraz przesunięcie fazowe



.

Przesunięcie fazowe



mówi nam,

o jaki kąt maksimum przemieszczenia wyprzedza maksimum siły
(o ile przesunięte są wykresy x(t) i F(t)).

Np. siła osiąga swoje maksimum, gdy przemieszczenie jest równe zeru
(i rośnie w kierunku dodatnim). Oznacza to, że x opóźnia się względem
siły o /2.

Poszukiwanie rozwiązania zaczynamy od obliczenia pochodnych

Równanie ruchu ma postać

Równanie przekształcamy korzystając ze związków

otrzymujemy

Równanie może być spełnione, gdy czynniki przy sin



t będą sobie równe,

a czynnik przy cos



t będzie równy zeru. Ten ostatni warunek można zapisać

jako

2

2

0

2

2

0

2

/

cos

sin





























tg

i wyznaczyć



.

Amplituda

2

/

1

2

2

2

2

2

0

0

2

/

1

2

2

2

2

0

0

]

4

)

[(

]

)

/

(

)

[(

































A

gdzie już podstawiono za cos



i sin



.

rozwiązanie























2

2

0

2

/

1

2

2

2

2

2

0

0

2

sin

]

4

)

[(



















arctg

t

x

jest to rozwiązanie postaci

Rezonan
s

Zauważmy, że chociaż drgania odbywają się z częstością siły wymuszającej,
to amplituda i faza zależą od relacji pomiędzy częstością wymuszającą
a częstością własną .W szczególności, gdy częstość siły wymuszającej
osiągnie odpowiednią częstotliwość, to amplituda drgań może wzrosnąć
gwałtownie nawet przy niewielkiej wartości siły wymuszającej.

Zjawisko to nazywamy rezonansem

.

rezonansowy wzrost amplitudy drgań w funkcji częstości siły wymuszającej

dla różnych wartości współczynnika tłumienia



0

A





4



3



2



1



0

= 0

2

2

0

0

2













A

dla częstości rezonansowej

2

2

0

2











r

Im mniejsze tłumienie (dłuższy czas



) tym większa amplituda A.

Jeżeli tłumienie jest słabe

wówczas maksymalna amplituda odpowiada częstości drgań własnych

Jednocześnie, ten warunek odpowiada przesunięciu fazowemu



 = /2

pomiędzy siłą a wychyleniem.

Skutki rezonansu mogą być zarówno pozytywne jak i negatywne.

Z jednej strony staramy się wyeliminować przenoszenie drgań,

np. z silnika na elementy nadwozia w samochodzie, a z drugiej

strony działanie odbiorników radiowych i telewizyjnych jest możliwe

dzięki wykorzystaniu rezonansu elektrycznego. Dostrajając odbiornik

do częstości nadajnika spełniamy właśnie warunek rezonansu.

Składanie drgań równoległych

Jaki będzie wynik nałożenia się dwóch drgań harmonicznych
o kierunkach równoległych, ale różnych częstościach, amplitudach i fazach?

Wychylenie wypadkowe będzie sumą obu wychyleń.

Szczególnie ciekawy jest przypadek, kiedy obie częstości mają zbliżone
wartości.

Dla uproszczenia przyjmiemy, że amplitudy i fazy są takie same,
a różnica ich częstości

jest niewielka

.

wzór przestawia drganie harmoniczne, ale z amplitudą, która zmienia się
periodycznie z częstością znacznie mniejszą od

Zjawisko to nazywa się dudnieniem

.

Składanie drgań prostopadłych

Gdy drgania punktu materialnego odbywają się równocześnie
w dwóch prostopadłych do siebie kierunkach, na przykład wzdłuż osi x i y

prostokątnego układu współrzędnych,

wypadkowy ruch tego punktu na płaszczyźnie można opisać z pomocą równań:

Jeśli częstości drgań są jednakowe i różnica faz wynosi zero,
to ruch wypadkowy będzie odbywał się wzdłuż prostej o równaniu

Jeśli częstości drgań są jednakowe i różnica faz wynosi

to ruch będzie ruchem harmonicznym wzdłuż prostej o równaniu

Podana wyżej relacja pomiędzy ruchem harmonicznym i ruchem po okręgu
jest jednak tylko przypadkiem szczególnym składania harmonicznych drgań
prostopadłych. Kiedy częstości drgań w obu kierunkach różnią się, to tor punktu
tworzy skomplikowane figury zwane figurami Lissajou.

Figury te mieszczą się w prostokącie o wymiarach

Stosunek liczby punktów stycznych do obu boków
prostokąta wyznacza stosunek częstości obu ruchów składowych: