Ruch harmoniczny cd

1. Wahadło matematyczne.

Na nieważkiej nici o długości l zawieszamy ciało o masie m i odchylamy od pionu o niewielki kąt Θ. Składowa radialna siły ciężkości dostarcza niezbędnego przyspieszenia dośrodkowego do utrzymania ruchu po łuku okręgu. Składowa styczna jest siłą sprowadzającą masę m do położenia równowagi.

Jeśli założymy, że wychylenia masy m są małe, tzn takie dla których sinΘ = Θ to siła sprowadzająca masę m do położenia równowagi wynosi

Jeśli przedstawimy wychylenie w mierze łukowej to

gdzie x jest długością łuku, a l jest długością wahadła.

Z drugiej zasady dynamiki wiemy, że siła F nadaje ciału o masie m przyspieszenie

Ostatecznie więc otrzymamy równanie ruch wahadła w postaci

Przez analogię do poprzednich rozważań rozwiązaniem tego równania jest zależność

przy czym częstość kątowa

,

a okres drgań

2. Wahadło torsyjne

Krążek o masie m zawieszamy w środku masy na jednym z końców pionowego drutu. Drugi koniec drutu mocujemy tak, aby nie miał możliwości ruchu. Jeśli krążek obrócimy w płaszczyźnie poziomej o niewielki kąt, to nastąpi skręcenie drutu, i na krążek zacznie działać moment siły skręconego drutu, który stara się przywrócić krążek do położenia równowagi.

Moment siły zgodnie z prawem Hooke'a

jest proporcjonalny do kąta skręcenia. Współczynnik proporcjonalności χ nazywamy stałą skręcenia lub momentem kierującym.

Pod wpływem tego momentu siły zachodzić będzie kątowy ruch harmoniczny.

Z drugiej zasady dynamiki dla ruchu obrotowego wiemy, że pod wpływem momentu siły τ ciało o momencie bezwładności I będzie poruszać się z przyspieszeniem kątowym α

Porównując powyższe zależności otrzymamy

Jak więc widać otrzymaliśmy ponownie równanie ruchu harmonicznego.

Przez analogię możemy podać rozwiązanie tego równania, wyrażenie na T i ω.

3. Wahadło fizyczne

Wahadłem fizycznym nazywamy każde dowolne ciało, które może obracać się wokół poziomej osi przechodzącej przez to ciało.

Jeśli takie ciało wychylimy z położenia równowagi (obrócimy o kąt Θ) to zacznie na niego działać moment siły wywołany składową styczną siły ciężkości starający się przywrócić to ciało do położenia równowagi

gdzie M jest masą ciała a d jest odległością osi obrotu od środka ciężkości. Jeśli kąt wychylenia jest mały to

Biorąc pod uwagę drugą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego

otrzymamy równanie ruch harmonicznego

Przez analogię do poprzednich rozważań otrzymamy

4. Ruch tłumiony

Każdy ruch harmoniczny wcześniej lub później ustanie w wyniku działania sił tarcia (sił tłumienia). Siły tłumienia zawsze skierowane są przeciwne do kierunku ruchu i z doświadczenia wiemy, że proporcjonalne są do prędkości ruchu. Ruch więc odbywa się pod wpływem siły sprowadzającej ciało do położenia równowagi i siły tłumiącej

Powyższe równanie jest równaniem ruchu oscylatora harmonicznego tłumionego.

Jeżeli współczynnik tłumienia b jest mały, to rozwiązaniem równania ruchu jest zależność

gdzie ω' jest częstością drgań tłumionych, różną od częstości drgań własnych ω

5. Drgania wymuszone

Jeżeli do układu mogącego wykonywać ruch harmoniczny przyłożymy zewnętrzną okresową siłę wówczas ruch odbywać się będzie po wpływem siły sprowadzającej nasz układ do położenia równowagi, siły tłumiącej ruch oraz zewnętrznej okresowej siły wymuszającej. Bilans działających sił będzie się więc przedstawiał następująco

gdzie F_m jest amplitudą działającej siły zewnętrznej (wartość maksymalna siły),

a ω'' jest częstością działającej okresowo siły.

Rozwiązaniem powyższego równania ruchu jest następująca zależność wychylenia od czasu

gdzie

Jak więc widać z rozwiązania ruch wymuszony odbywa się z częstotliwością siły wymuszającej, a amplituda ruchu nie maleje (ruch jest nietłumiony).

W przypadku gdy tłumienie układu jest małe (b²ω''²=0), a częstość siły wymuszającej jest równa częstości drgań własnych wówczas amplituda drgań rośnie do nieskończoności co oznacza fizyczne zniszczenie układu drgającego.

Gdy tłumienie układu nie jest zaniedbywalnie małe wówczas istnieje taka wartość częstości siły wymuszającej, dla której amplituda drgań osiąga wartość maksymalną. Tą częstość nazywa się częstością rezonansową układu.

Zadania

1. W pewnej miejscowości wahadło proste o długości l wykonuje 100 całkowitych wahnięć w ciągu 204 s. Jakie jest przyspieszenie ziemskie w tej miejscowości ?

2. Jaka jest długość wahadła matematycznego, którego okres wynosi 1 s w punkcie gdzie przyspieszenie grawitacyjne wynosi 981 cm/s² ?

3. Z pręta o długości 1m wykonano wahadło. Jaki jest okres wahań jeśli oś obrotu przechodzi przez koniec pręta ?, Jaki jest okres wahań jeśli oś przechodzi przez punkt odległy od końca o 50, 60 i 75 cm ?

---