WYKŁAD 14

Proste zadanie geometryczne:

Turysta zabłądził w dość rzadkim lesie w pochmurny
dzień, uniemożliwiający określenie kierunków. Postanowił
iść prosto przed siebie, aby jak najszybciej wydostać się z
lasu. Długość jego kroku wykonywanego prawą nogą była
większa o

1 milimetr

od długości kroku wykonywanego

lewą nogą, o czym turysta nie wiedział.
Odległość pomiędzy osią śladu jego prawej i osią śladu
lewej stopy, mierzona prostopadle do kierunku marszu,
wynosiła

10 cm.

Po wykonaniu

1256

kroków turysta zatrzymał się, aby

zorientować się w terenie. Jak daleko znajdował się w tym
momencie od punktu wyjścia?

Szkic rozwiązania:
Turysta wykonał prawą nogą 628 kroków, co spowodowało, że
„przeszła” ona dystans o 62,8cm dłuższy niż noga lewa. Musiał on
zatem poruszać się

po łuku okręgu

, przy czym długości łuków dla

obu nóg różniły się o podaną liczbę, a promienie okręgów różniły się o
10cm. Łatwo zauważyć, że

ΔS = 2π(r

1

– r

2

) = 2

π·10cm ≈ 62,8cm.

Wniosek?

Zadanie to można uznać za przykład ilustrujący

tezę, którą

sformułował jeden z największych fizyków XX wieku: Eugene Wigner -
o

niepojętej skuteczności matematyki

przy opisywaniu struktury

świata fizycznego.
Matematyka ma swe źródło w pytaniach dotyczących świata
fizycznego i uzasadnia swą użyteczność dostarczając odpowiedzi na
niektóre z nich.
Często jednak idea matematyczna musi żyć dla samej siebie,
istniejąc jakby w otchłani, rozwijana i dyskutowana ze względu na
siebie jako czysty obiekt matematyczny, zanim jej wewnętrzne
tajemnice zostaną drobiazgowo zanalizowane i dostrzeże się jej
znaczenie fizyczne.

Być może

matematyka jest dlatego efektywna, ponieważ

reprezentuje podstawowy język ludzkiego mózgu

. Może jedyne

wzorce, które możemy spostrzegać, to wzorce matematyczne, bo
matematyka jest narzędziem naszej percepcji.

Lecz może

matematyka dlatego jest efektywna

przy

organizowaniu bytu fizycznego,

ponieważ czerpie natchnienie ze

świata fizycznego.

A może jej sukcesy są kosmiczną ułudą? Być

może nie ma rzeczywistych struktur, a są jedynie te, które sami
narzucamy w swym umysłowym ograniczeniu.

Są to pytania natury filozoficznej. Pragmatyczna rzeczywistość jest
taka, że

matematyka jest najbardziej efektywną i godną

zaufania metodą, jaką znamy, dla zrozumienia tego, co
widzimy dookoła nas.

Dlaczego więc napotykamy takie trudności w próbach jej

nauczania? Dlaczego pokutują i nasilają się stereotypy
myślowe o jej niedostępności dla „przeciętnego” ucznia, o
„katowaniu” uczniów matematyką szkolną, o jej roli jako
podstawowego „narzędzia” selekcji, przy czym nauczyciel
matematyki postrzegany jest w roli myśliwego polującego na
bezbronnych uczniów.

Proponuję, aby nie szukać dziś odpowiedzi na tak
postawione pytania (co prawda, podobnie jak pytania, są
one zadziwiająco proste) lecz poświęcić uwagę tej części
szkolnej matematyki, która jest traktowana przez uczniów
(czasem także i przez nauczycieli) jako szczególnie
trudna, czyli

geometrii

.

GEOMETRIA

•OPISANIE ŚWIATA
•MODELOWANIE
MATEMATYCZNE

•PROSTOTA OPISU
•UKAZANIE ZŁOŻONOŚCI
•WIERNOŚĆ AKSJOMATOM

•ZAANGAŻOWANIE
WYOBRAŹNI

•UŻYCIE PRECYZYJNYCH
DEFINICJI

•ODKRYWANIE ŚWIATA
•MOTYWACJA DO
DZIAŁANIA I NAUKI

Zauważmy, jak

wiele pojęć geometrycznych

wymaga bardzo precyzyjnych definicji,

a jak często

wręcz niechlujnie ten problem jest potraktowany w
dostępnych podręcznikach.

Zajmując się badaniem efektów pracy nauczycieli
matematyki,

przeprowadziłem

badania

wśród

absolwentów gimnazjów

w zakresie rozumienia przez

nich podstawowych pojęć matematyki.

Właściwe rozumienie uczeń może osiągnąć dopiero po
uprzednim zapoznaniu się z właściwie sformułowaną
definicją pojęcia. Większość pytań w kwestionariuszu
ankiety dotyczyła zatem definicji podstawowych pojęć.
Uznając

pojęcie miary za niezmiernie istotne w

nauce geometrii

, starałem się uzyskać wiedzę o stopniu

rozumienia przez uczniów podstawowych miar: odległości,
pola, objętości, kąta.

Z pytań zadanych w kwestionariuszu ankiety prezentuję kilka
dotyczących geometrii:
1.

Romb

to……………

2. Dwie proste są

prostopadłe

, jeżeli .............

3.

1

o

to …...........

4. Równość

 = 3,14

jest: a) prawdziwa, b) fałszywa, c) nie wiadomo.

5.

1 dm

3

jest równy: a) 10 cm

3

, b) 100 cm

3

, c) 1000 cm

3

, d) 10000

cm

3

.

6.

Okrąg

nie jest

: a) linią, b) figurą geometryczną, c) wielokątem.

Odpowiedzi, które można było uznać za sensowne, stanowiły:

1.

(Romb)

- 88%

2.

(Prostopadłe)

- 37%

3.

(1

o

)

- 52%

4.

( = 3,14)

- 13%

5.

(1 dm

3

)

-17%

6.

(Okrąg)

- 68%

Zauważmy szczególnie niepokojącą sytuację w zakresie

rozumienia pojęcia miary

, podstawowego przecież w

geometrii.

Traktat o mierzeniu trawnika

1. Traktujemy trawnik jako
gładką powierzchnię.

2. Mierzymy wzdłuż jednej i
drugiej współrzędnej.

3. Wyniki mnożymy przez
siebie. Otrzymujemy np. 100
metrów kwadratowych.

4. Odchodzimy zadowoleni z
siebie.

Ale czy to co zmierzyliśmy, to faktycznie powierzchnia
trawnika?

Trawnik nie jest gładki! Wręcz
przeciwnie,

jest

niezwykle

porowaty! Musimy zatem wykonać
pomiar jeszcze raz, dokładniej.
1. Zatrudniamy kilkunastu BARDZO
cierpliwych i starannych ludzi.
2. Dajemy im dokładne linijki,
notatniki.
3.

Każemy

im

zmierzyć

powierzchnię każdego źdźbła i
każdego listka.
Po wielu dniach otrzymujemy wynik, wielokrotnie więcej niż
poprzednio, na przykład 1000 metrów kwadratowych.

Mikroskop ujawnia nowy poziom złożoności struktury trawy...
Pojawiają się malutkie włoski, pojedyncze komórki. Nasz pomiar nadal
jest niedokładny!
Gdybyśmy mogli zmierzyć powierzchnię komórek otrzymalibyśmy
zapewne wynik rzędu milionów metrów kwadratowych!
A gdy zbliżymy się do skali pojedynczych atomów?
Atomy nie mają czegoś takiego jak powierzchnia.

Powierzchnia trawnika ma więc charakter fraktalny.

Fraktal

(łac. fractus – złamany, cząstkowy) Ze względu na

olbrzymią różnorodność przykładów matematycy obecnie unikają
podawania ścisłej definicji i proponują określać fraktal jako zbiór,
który:

•

ma nietrywialną strukturę w każdej skali,

• struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej
geometrii euklidesowej,

• jest samopodobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to
przybliżonym lub stochastycznym,

• jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar
topologiczny,

•ma względnie prostą definicję rekurencyjną,

• ma naturalny („poszarpany”, „kłębiasty” itp.) wygląd.

Prawdziwe fraktale istnieją tylko w świecie idealnych konstrukcji
matematycznych, ale w świecie przyrody istnieje wiele tworów
przypominających je swoim kształtem, np. struktura płatka śniegu,
liścia paproci czy korony drzew.

Dla ilustracji problemu posłużmy się dość powszechnie znanym

zbiorem Cantora.

1. Odcinek [0,1] dzielimy na trzy

1. Odcinek [0,1] dzielimy na trzy

równe

części

i

usuwamy

równe

części

i

usuwamy

środkową.

środkową.

2.

Z

pozostałymi

dwoma

2.

Z

pozostałymi

dwoma

odcinkami

postępujemy

odcinkami

postępujemy

analogicznie.

analogicznie.

3.

W

konsekwencji

takiego

3.

W

konsekwencji

takiego

postępowania

w

granicy

postępowania

w

granicy

nieskończonej

ilości

kroków

nieskończonej

ilości

kroków

powstaje zbiór punktów Cantora.

powstaje zbiór punktów Cantora.

Kilka definicji:

1.

Wymiar topologiczny

to wymiar

d

należący do

N

, oznacza ilość

liczb potrzebnych do opisania współrzędnych punktu w przestrzeni d-
wymiarowej. Z tej definicji jasno wynika, że punkt ma wymiar 0,
odcinek i okrąg mają wymiar 1, kwadrat, koło są dwuwymiarowe,
natomiast sześcian czy ostrosłup trójwymiarowe.

2.

Wymiar topologiczny pokryciowy

zwartej przestrzeni

metrycznej

X

to najmniejsza liczba naturalna

n

, taka że istnieje takie

pokrycie przestrzeni

X

kulami otwartymi dowolnie małej średnicy, by

żaden jej punkt nie należał do więcej niż

n+1

kul.

3. Wymiarem samopodobieństwa (wymiarem Hausdorffa)

nazywamy liczbę gdzie liczba

s

oznacza

skalę podobieństwa obiektu do jego części, natomiast liczba

a

mówi,

na ile części podzieliliśmy wyjściowy obiekt.

Zbiór Cantora powstaje w wyniku iteracji. Na każdym jej kroku
zbiór dzieli się na dwa mniejsze, a każdy z tych nowo utworzonych
zbiorów jest trzykrotnie mniejszy, niż zbiór z poprzedniego etapu
procesu. Stąd wynika, iż jego wymiar Haussdorfa jest równy

s

a

s

a

D

log

log

1

log

log







631

,

0

3

log

2

log





D

Zatem zbiór Cantora jest przykładem najprostszego fraktala.

Dalsze przykłady fraktali:

I Trójkąt Sierpińskiego

Jeden z najbardziej znanych,
klasycznych fraktali, nazwany na
cześć

wybitnego

polskiego

matematyka

Wacława

Sierpinskiego (1882-1962) który go
po raz pierwszy skonstruował.

Wymiar samopodobieństwa:
log3/log2 = 1,585.

II Krzywa Kocha

Jest to brzeg figury - fraktala,
przypominającego płatek śniegu.
Krzywa ta jest nieskończenie długa,
lecz

ogranicza

ona

skończoną

powierzchnię.
Ta krzywa nie zawiera żadnych
odcinków - w każdym swym punkcie
ma 'zagięcie', a więc w żadnym swym
punkcie nie ma stycznej.

III Zbiór Mandelbrota

Zbiór tworzą te punkty
płaszczyzny zespolonej,
dla których ciąg opisany
równaniem rekurencyjnym:

z

0

= 0

z

n+1

= z

n

2

+ p

nie dąży do nieskończoności.

IV Zbiór Julii

Zbiór tworzą te punkty
płaszczyzny zespolonej,
dla których ciąg opisany
równaniem rekurencyjnym:

z

0

= p

z

n+1

= z

n

2

+ c

nie dąży do nieskończoności.

Ewolucja metod nauczania matematyki na przykładzie zadań
egzaminacyjnych:

1960: Drwal sprzedał ciężarówkę tarcicy za sumę 1000 zł. Wiedząc,
że koszt produkcji drewna wynosił 4/5 jego ceny, oblicz zysk drwala.

1970: Drwal sprzedał ciężarówkę tarcicy za sumę 1000 zł. Wiedząc,
że koszt produkcji wyniósł 4/5 jego ceny, czyli 800 zł, oblicz zysk
drwala.

1980: (nowy, ambitny program matematyki) Drwal dokonał wymiany
zbioru T tarcicy na zbiór P pieniędzy. Moc zbioru P wyrażona w
liczbach kardynalnych wyniosła 1000, przy czym każdy z jego
elementów jest wart 1 zł. Zaznacz w prostokątnej tabeli 1000
punktów, aby przedstawić graficznie elementy zbioru P. Zbiór kosztów
produkcji zawiera 200 elementów mniej niż zbiór M. Przedstaw zbiór K
jako podzbiór M i odpowiedz na pytanie: jaka jest moc zbioru Z zysku
wyrażona w liczbach kardynalnych?

1990: Drwal sprzedał ciężarówkę tarcicy za 1000 zł. Koszt produkcji
drewna wyniósł 800 zł, a zysk drwala 200 zł. Zakreśl liczbę 200.

2000: Ścinając stare piękne i bezcenne drzewa, ekologicznie
niezorientowany drwal zarobił 200 zł. Co myślisz o takim sposobie na
życie? W podgrupach postarajcie się przygotować teatrzyk
przedstawiający, jak czują się leśne ptaszki i dzika zwierzyna.
2010: Kto to jest drwal?