Elementy żelbetowe

Elementy żelbetowe

mimośrodowo ściskane

mimośrodowo ściskane

1. Przypadek dużego mimośrodu:

lim

,

ef

ef

ef

d

x









orientacyjnie:

3

0

0

,

h

e

h

e

tot









2. Przypadek małego mimośrodu:

lim

,

ef

ef

ef

d

x









orientacyjnie:

3

0

0

,

h

e

h

e

tot









Zbrojenie :

c

yd

Sd

min

,

s

A

,

f

N

,

A









003

0

15

0

d

b

,

A

max

,

s





 04

0

Przykład 1

Obliczyć zbrojenie słupa mimośrodowo ściskanego o schemacie
i obciążeniu jak na rysunku, dla danych:

N

Sd

= 600 kN, w tym N

Sd,lt

= 300 kN,

M

Sd

= 150 kNm,

B25, f

cd

= 13,3 MPa, E

cm

= 30000 MPa,

A-III (34GS), f

yd

= 350 MPa, E

s

= 200GPa,

wiek betonu w chwili obciążenia t

0

= 28 dni,

wilgotność względna 50 %.

M

1Sd

= 150

kNm

M

2Sd

= 75

kNm

l

col

= 8 m

Długość obliczeniowa:

m

,

l

l

col

o

4

8

5

0













Przyjęto przekrój słupa: b x h = 30 x 40 cm

a

1

= a

2

= 3 cmd = h - a

1

= 40 - 3 = 37 cm

Smukłość:

,

,

,

h

l

o

7

10

40

0

0

4







należy uwzględnić wpływ smukłości
i obciążeń długotrwałych

Słup o węzłach nieprzesuwnych, stąd wartość mimośrodu
konstrukcyjnego e

e

wyznacza się ze wzoru:

Sd

Sd

Sd

Sd

Sd

e

N

M

,

N

M

,

M

,

e

1

2

1

4

0

4

0

6

0













m

,

,

m

,

,

,

e

e

1

0

600

150

4

0

2

0

600

75

4

0

150

6

0

















e

e

= 20 cm

Obliczamy wartość mimośrodu niezamierzonego:

cm,

,

h

e

a

33

1

30

40

30







e

a

= 1,0 cm (monolit).

przyjęto max e

a

= 1,33 cm

Mimośród początkowy:

e

o

= e

a

+ e

e

= 1,33 + 20 = 21,33 cm

Końcowy współczynnik pełzania betonu:

mm

,

)

(

u

A

h

przekroju

wymiar

miarodajny

%

RH

dni

t

,

B

c

0

4

171

400

300

2

400

300

2

2

50

28

25

0





































98

2

0

,

)

t

,

(







cm,

,

l

e

col

a

33

1

600

800

600







745

1

98

2

600

300

5

0

1

5

0

1

0

,

,

,

)

t

,

(

N

N

,

k

Sd

lt

,

Sd

lt























Przyjęto wstępnie: 

L

= 

L1

+ 

L2

= 1,8%

,

cm

,

,

a

a

h

d

b

I

4

L

s

22

5774

2

3

2

40

37

30

018

0

2

2

2

2

1























































267

0

3

13

01

0

40

400

01

0

5

0

01

0

01

0

5

0

53

0

40

33

21

,

,

,

,

,

f

,

h

l

,

,

,

,

h

e

cd

o

o



























kN

=

,

,

,

,

,

,

=

I

E

,

h

e

,

,

k

I

E

l

N

s

s

o

lt

c

cm

o

crit

8620

22

5774

20000

1

0

53

0

1

0

11

0

12

745

1

2

40

30

3000

400

9

1

0

1

0

11

0

2

9

3

2

2











































































































075

1

8620

600

1

1

1

1

,

N

N

crit

Sd













e

tot

=





e

o

= 1,075 21,33 = 22,93 cm > 0,3  h = 0,3  40 = 12 cm

można założyć, że przekrój ściskany jest z dużym mimośrodem

M

a

= M

1

+ M

2

A

s1

= A

s1,1

+ A

s1,2

-

A

s1,3

F

c

e

s

1

F

s2

d–

0,5

x

ef

a

1

d

–

0,5

x

ef

x

e

f

d

F

s

1

f

cd

bx

ef



f

cd

A

s1,1

f

yd

f

cd

d–

a

2

A

s1,2

f

yd

A

s2

f

yd

+

h

N

Sd

M

a

N

S

d

=

N

Sd

A

s1,3

f

yd

+

SCHEMAT I SCHEMAT II
SCHEMAT III

e

to

t

e

s

2

a

2

Obliczamy e

s1

ze wzoru:

e

s1

= e

tot

+ 0,5  h - a

1

= 22,93 + 0,5  40 - 3 = 39,93 cm

Moment M

a

(od równoległego przesunięcia siły N

Sd

) :

cm

kN

,

e

N

M

s

Sd

a













23958

93

39

600

1

Graniczna wysokość strefy ściskanej:

cm

,

,

d

x

lim

,

ef

lim

,

ef

61

19

37

53

0













Moment M

1

(maksymalna nośność przekroju pojedynczo zbrojonego

o pełnej wysokości strefy ściskanej x

ef,lim

) -



M

(Fs1,1)

:





lim

,

ef

lim

,

ef

cd

x

,

d

x

b

f

M













5

0

1





cm

kN

,

,

,

,

,

M

















43

21278

61

19

5

0

37

61

19

30

33

1

1

Moment M

2

(do przeniesienia przez schemat II, czyli parę sił):

cm

kN

,

,

M

M

M

a













57

2679

43

21278

23958

1

2

Zbrojenie A

s2

-



M

(Fs1,2)

:









2

2

2

2

2

2

a

d

f

M

A

a

d

f

A

M

yd

s

yd

s





















min

,

s

2

s

A

cm

,

,

A

2

2

25

2

3

37

35

57

2679











Minimalna średnica prętów ściskanych dla elementów monolitycznych:

Zbrojenie A

s1,2

-



X:

2

s

,

s

cm

,

A

A

26

2

2

2

1





mm

12

pręty

dwa

cm

,

A

2

min

,

s





 26

2

2

Zbrojenie rozciągane A

s1,1

-



X:

%,

,

,

,

L

88

0

100

37

30

26

2

48

7















Różnica między założonym (



L

= 1,8%) a obliczonym przekracza 20%.

Wymiarowanie należy powtórzyć, przyjmując obliczoną wartość



L

.

yd

lim

,

ef

cd

,

s

lim

,

ef

cd

yd

,

s

f

x

b

f

A

x

b

f

f

A

















1

1

1

1

2

,

s

cm

,

,

,

A

36

22

35

61

19

30

33

1

1

1









Zbrojenie rozciągane A

s1,3

-



X:

2

yd

Sd

,

s

cm

,

f

N

A

14

17

35

600

3

1







Sumaryczne zbrojenie rozciągane:

2

,

s

,

s

,

s

s

cm

,

,

,

,

A

A

A

A

48

7

14

17

26

2

36

22

3

1

2

1

1

1

1















Przyjęto: 

L

= 

L1

+ 

L2

= 0,88%

,

cm

,

,

a

a

h

d

b

I

4

L

s

95

2822

2

3

2

40

37

30

0088

0

2

2

2

2

1























































267

0

3

13

01

0

40

400

01

0

5

0

01

0

01

0

5

0

53

0

40

33

21

,

,

,

,

,

f

,

h

l

,

,

,

,

h

e

cd

o

o



























kN

=

,

,

,

,

,

,

=

I

E

,

h

e

,

,

k

I

E

l

N

s

s

o

lt

c

cm

o

crit

5300

95

2822

20000

1

0

53

0

1

0

11

0

12

745

1

2

40

30

3000

400

9

1

0

1

0

11

0

2

9

3

2

2











































































































128

1

5300

600

1

1

1

1

,

N

N

crit

Sd













e

tot

=





e

o

= 1,128 21,33 = 24,06 cm > 0,3  h = 0,3  40 = 12 cm

można założyć, że przekrój ściskany jest z dużym mimośrodem

M

a

= M

1

+ M

2

A

s1

= A

s1,1

+ A

s1,2

-

A

s1,3

F

c

e

s

1

F

s2

d–

0,5

x

ef

a

1

d

–

0,5

x

ef

x

e

f

d

F

s

1

f

cd

bx

ef



f

cd

A

s1,1

f

yd

f

cd

d–

a

2

A

s1,2

f

yd

A

s2

f

yd

+

h

N

Sd

M

a

N

S

d

=

N

Sd

A

s1,3

f

yd

+

SCHEMAT I SCHEMAT II
SCHEMAT III

e

to

t

e

s

2

a

2

Obliczamy e

s1

ze wzoru:

e

s1

= e

tot

+ 0,5  h - a

1

= 24,06 + 0,5  40 - 3 = 41,06 cm

Moment M

a

(od równoległego przesunięcia siły N

Sd

) :

cm

kN

,

e

N

M

s

Sd

a













24636

06

41

600

1

Graniczna wysokość strefy ściskanej:

cm

,

,

d

x

lim

,

ef

lim

,

ef

61

19

37

53

0













Moment M

1

(maksymalna nośność przekroju pojedynczo zbrojonego

o pełnej wysokości strefy ściskanej x

ef,lim

) -



M

(Fs1,1)

:





lim

,

ef

lim

,

ef

cd

x

,

d

x

b

f

M













5

0

1





cm

kN

,

,

,

,

,

M

















43

21278

61

19

5

0

37

61

19

30

33

1

1

Moment M

2

(do przeniesienia przez schemat II, czyli parę sił):

cm

kN

,

,

M

M

M

a













57

3357

43

21278

24636

1

2

Zbrojenie A

s2

-



M

(Fs1,2)

:









2

2

2

2

2

2

a

d

f

M

A

a

d

f

A

M

yd

s

yd

s





















min

,

s

2

s

A

cm

,

,

A

2

2

82

2

3

37

35

57

3357











Minimalna średnica prętów ściskanych dla elementów monolitycznych:

Zbrojenie A

s1,2

-



X:

2

s

,

s

cm

,

A

A

82

2

2

2

1





mm

12

pręty

dwa

cm

,

A

2

min

,

s





 26

2

2

Zbrojenie rozciągane A

s1,1

-



X:

%

,

,

,

L

98

0

100

37

30

82

2

04

8















Różnica między założonym (



L

= 0,88%) a obliczonym zbrojeniem

nie przekracza 20%.

yd

lim

,

ef

cd

,

s

lim

,

ef

cd

yd

,

s

f

x

b

f

A

x

b

f

f

A

















1

1

1

1

2

,

s

cm

,

,

,

A

36

22

35

61

19

30

33

1

1

1









Zbrojenie rozciągane A

s1,3

-



X:

2

yd

Sd

,

s

cm

,

f

N

A

14

17

35

600

3

1







Sumaryczne zbrojenie rozciągane:

2

,

s

,

s

,

s

s

cm

,

,

,

,

A

A

A

A

04

8

14

17

82

2

36

22

3

1

2

1

1

1

1















Obliczenia zbrojenia w przekroju przypodporowym (bez
uwzględniania wpływu smukłości)

cm

m

,

N

M

e

Sd

Sd

e

25

25

0

600

150









Mimośród konstrukcyjny:

Mimośród przypadkowy (niezamierzony):

cm

,

e

max

a

33

1



Mimośród początkowy:

e

o

= e

a

+ e

e

= 1,33 + 25 = 26,33 cm

Mimośród e

tot

(bez uwzględniania smukłości):

cm

,

e

e

o

tot

33

26

1











e

tot

= 26,33 cm > 0,3  h = 0,3  40 = 12 cm

można założyć, że przekrój ściskany jest z dużym mimośrodem

M

a

= M

1

+ M

2

A

s1

= A

s1,1

+ A

s1,2

-

A

s1,3

F

c

e

s

1

F

s2

d–

0,5

x

ef

a

1

d

–

0,5

x

ef

x

e

f

d

F

s

1

f

cd

bx

ef



f

cd

A

s1,1

f

yd

f

cd

d–

a

2

A

s1,2

f

yd

A

s2

f

yd

+

h

N

Sd

M

a

N

S

d

=

N

Sd

A

s1,3

f

yd

+

SCHEMAT I SCHEMAT II
SCHEMAT III

e

to

t

e

s

2

a

2

Obliczamy e

s1

ze wzoru:

e

s1

= e

tot

+ 0,5  h - a

1

= 26,33 + 0,5  40 - 3 = 43,33 cm

Moment M

a

(od równoległego przesunięcia siły N

Sd

) :

cm

kN

,

e

N

M

s

Sd

a













25998

33

43

600

1

Graniczna wysokość strefy ściskanej:

cm

,

,

d

x

lim

,

ef

lim

,

ef

61

19

37

53

0













Moment M

1

(maksymalna nośność przekroju pojedynczo zbrojonego

o pełnej wysokości strefy ściskanej x

ef,lim

) -



M

(Fs1,1)

:





lim

,

ef

lim

,

ef

cd

x

,

d

x

b

f

M













5

0

1





cm

kN

,

,

,

,

,

M

















43

21278

61

19

5

0

37

61

19

30

33

1

1

Moment M

2

(do przeniesienia przez schemat II, czyli parę sił):

cm

kN

,

,

M

M

M

a













57

4719

43

21278

25998

1

2

Zbrojenie A

s2

-



M

(Fs1,2)

:









2

2

2

2

2

2

a

d

f

M

A

a

d

f

A

M

yd

s

yd

s





















2

min

,

s

2

s

cm

,

A

cm

,

,

A

26

2

97

3

3

37

35

57

4719

2

2













Zbrojenie A

s1,2

-



X:

2

s

,

s

cm

,

A

A

97

3

2

2

1





Zbrojenie rozciągane A

s1,3

-



X:

2

yd

Sd

,

s

cm

,

f

N

A

14

17

35

600

3

1







Sumaryczne zbrojenie rozciągane:

2

s

2

,

s

,

s

,

s

s

cm

,

A

cm

,

,

,

,

A

A

A

A

97

3

19

9

14

17

97

3

36

22

2

3

1

2

1

1

1

1

















Zbrojenie rozciągane A

s1,1

-



X:

yd

lim

,

ef

cd

,

s

lim

,

ef

cd

yd

,

s

f

x

b

f

A

x

b

f

f

A

















1

1

1

1

2

,

s

cm

,

,

,

A

36

22

35

61

19

30

33

1

1

1









Rozmieszczenie zbrojenia w przekroju słupa

Przyjęto w strefie ściskanej 412 , A

s2

= 4,52 cm

2

, w strefie

rozciąganej A

s1

= 516=10,05 cm

2

, strzemiona  6 co 20 cm.

40
cm

30
cm

41

2

6 co

20

51

6

Zbrojenie symetryczne (obliczenia dla przekroju w środku
rozpiętości słupa)

z

c

e

s

2

e

to

t

x

e

f

d

h

F

c

=f

cd

A

cc,ef

a

2

a

1

F

s2

=f

yd

A

s2

F

s1

=f

yd

A

s1

N

Sd

f

cd

e

s

1

Wysokość strefy ściskanej (przy założeniu symetrycznego zbrojenia):

2

s

s1

A

A

dla

X





cm

,

,

b

f

N

x

x

b

f

N

cd

Sd

ef

ef

cd

Sd

04

15

30

33

1

600



















cm

a

cm

,

x

cm

,

x

lim

ef,

ef

6

3

2

2

61

19

04

15

2

















Zbrojenie A

s2

= A

s1

(



M

(Fs1)

):

















2

1

2

2

2

1

5

0

5

0

a

d

f

x

,

d

x

b

f

e

N

A

a

d

f

A

x

,

d

x

b

f

e

N

yd

ef

ef

cd

s

Sd

s

yd

s

ef

ef

cd

s

Sd























































2

s

s

cm

,

,

,

,

,

,

A

A

27

5

3

37

35

04

15

5

0

37

04

15

30

33

1

93

39

600

1

2

























Przykład 2

Sprawdzić nośność słupa mimośrodowo ściskanego o schemacie
i obciążeniu jak na rysunku, dla danych:

N

Sd

= 600 kN, w tym N

Sd,lt

= 300 kN,

M

Sd

= 150 kNm, A

s1

= 12,56cm

2

, A

s2

= 7,63cm

2

B25, f

cd

= 13,3 MPa, E

cm

= 30000 MPa,

A-III (34GS), f

yd

= 350 MPa, E

s

= 200GPa,

wiek betonu w chwili obciążenia t

0

= 28 dni,

wilgotność względna 50 %.

M

1Sd

= 150

kNm

M

2Sd

= 75

kNm

l

col

= 8 m

Długość obliczeniowa:

m

,

l

l

col

o

4

8

5

0













Przyjęto przekrój słupa: b x h = 30 x 40 cm

a

1

= a

2

= 3 cmd = h - a

1

= 40 - 3 = 37 cm

Smukłość:

,

,

,

h

l

o

7

10

40

0

0

4







należy uwzględnić wpływ smukłości
i obciążeń długotrwałych

Słup o węzłach nieprzesuwnych, stąd wartość mimośrodu
konstrukcyjnego e

e

wyznacza się ze wzoru:

Sd

Sd

Sd

Sd

Sd

e

N

M

,

N

M

,

M

,

e

1

2

1

4

0

4

0

6

0













m

,

,

m

,

,

,

e

e

1

0

600

150

4

0

2

0

600

75

4

0

150

6

0

















e

e

= 20 cm

Obliczamy wartość mimośrodu niezamierzonego:

cm,

,

h

e

a

33

1

30

40

30







e

a

= 1,0 cm (monolit).

przyjęto max e

a

= 1,33 cm

Mimośród początkowy:

e

o

= e

a

+ e

e

= 1,33 + 20 = 21,33 cm

Końcowy współczynnik pełzania betonu:

mm

,

)

(

u

A

h

przekroju

wymiar

miarodajny

%

RH

dni

t

,

B

c

0

4

171

400

300

2

400

300

2

2

50

28

25

0





































98

2

0

,

)

t

,

(







cm,

,

l

e

col

a

33

1

600

800

600







745

1

98

2

600

300

5

0

1

5

0

1

0

,

,

,

)

t

,

(

N

N

,

k

Sd

lt

,

Sd

lt























Sumaryczny stopień zbrojenia: 

L

= 

L1

+ 

L2









,

cm

,

,

,

a

a

h

A

A

I

4

s

s

s

91

5834

2

3

2

40

63

7

56

12

2

2

2

2

1

2

1















































267

0

3

13

01

0

40

400

01

0

5

0

01

0

01

0

5

0

53

0

40

33

21

,

,

,

,

,

f

,

h

l

,

,

,

,

h

e

cd

o

o



























kN

,

=

,

,

,

,

,

,

=

I

E

,

h

e

,

,

k

I

E

l

N

s

s

o

lt

c

cm

o

crit

7

8688

91

5834

20000

1

0

53

0

1

0

11

0

12

745

1

2

40

30

3000

400

9

1

0

1

0

11

0

2

9

3

2

2











































































































074

1

7

8688

600

1

1

1

1

,

,

N

N

crit

Sd













e

tot

=





e

o

= 1,074 21,33 = 22,91 cm > 0,3  h = 0,3  40 = 12 cm

można założyć, że przekrój ściskany jest z dużym mimośrodem

Obliczamy e

s1

ze wzoru:

e

s1

= e

tot

+ 0,5  h - a

1

= 22,91 + 0,5  40 - 3 = 39,91 cm

z

c

e

s

2

e

to

t

x

e

f

d

h

F

c

=f

cd

A

cc,ef

a

2

a

1

F

s2

=f

yd

A

s2

F

s1

=f

yd

A

s1

N

Sd

f

cd

e

s

1

Położenie osi obojętnej:

yd

s

yd

s

ef

cd

Sd

f

A

f

A

x

b

f

N















1

2





b

f

A

A

f

N

x

cd

s

s

yd

Sd

ef











1

2





cm

,

x

cm

,

,

,

,

x

lim

,

ef

ef

61

19

36

19

30

33

1

56

12

63

7

35

600

















Nośność:









2

2

1

5

0

a

d

f

A

x

,

d

x

b

f

e

N

yd

s

ef

ef

cd

s

Sd































3

37

35

63

7

36

19

5

0

37

36

19

30

33

1

91

39

600























,

,

,

,

,

,

cm

kN

cm

kN







30183

23946

Nośność jest wystarczająca