Andrzej Torój - Metody

ekonometryczne – Zima 2008/2009

1

Metody ekonometryczne

ćwiczenia 5
REGRESJA POZORNA
WSPÓŁLINIOWOŚĆ
WSPÓŁCZYNNIKI BETA

Stopień integracji
szeregu Y

t



szereg zintegrowany w stopniu 0,
zapisujemy: I(0) – stacjonarny



I(1) – taki, że Y

t

jest I(0)



I(2) – taki, że 



Y

t

=Y

t

jest I(0)



itd.

Uwaga na zapis!





Y

t

=Y

t

=(Y

t

-Y

t-1

)-(Y

t-1

-Y

t-

)





Y

t

=Y

t

-Y

t-

Andrzej Torój - Metody

ekonometryczne - Zima

2008/2009

Regresja pozorna

t

t

t

x

y













I(1)

I(1)

t

y



Proces
przyrostostacjonarny

- stacjonarny (np. błądzenie losowe)

Proces trendostacjonarny

t

t

t

y













Andrzej Torój - Metody

ekonometryczne - Zima

2008/2009

Test Dickey-Fullera (1)

t

t

t

y

y









 1

t

t

t

y

y













 1

)

1

(

t

t

t

y

y











 1

H

0

: =0 i proces y

t

jest niestacjonarny

H

1

: <0 i proces y

t

jest stacjonarny

Odrzucenie H0 oznacza, że proces jest I(0). Jeżeli nie odrzucimy
H0, testujemy po raz drugi, szacując analogiczne testowe
równanie regresji dla szeregu zróżnicowanego jeszcze raz.

t

t

t

y

y













 1

2

H

0

: =0 i proces y

t

jest zintegrowany w stopniu >1

H

1

: <0 i proces y

t

jest I(1)

Statystyka testowa t=/s() ma specjalny rozkład (tablice),

wartość obliczona niższa od wartości krytycznej pozwala
odrzucić H

0

.

...i tak dalej, aż do odrzucenia H0 lub stwierdzenia, że szereg jest
> I(3), co prawdopodobnie oznacza niską moc testu (korzystamy z
innego).

Rozszerzony test Dickey-Fullera
(ADF)

t

K

k

k

t

k

t

t

y

y

y

























1

1

Dla uniknięcia autokorelacji składnika losowego w regresji
testowej. Wnioskowanie analogiczne, jak w teście DF. Osobne
wartości krytyczne.

Inne specyfikacje regresji testowej

t

K

k

k

t

k

t

t

y

y

y





























1

1

ze stałą (zalecane)

t

K

k

k

t

k

t

t

y

y

t

y

































1

1

ze stałą i trendem (test hipotezy o trendostacjonarności)

Andrzej Torój - Metody

ekonometryczne - Zima

2008/2009

Kointegracja (1)



zmienne niestacjonarne mogą
długookresowo pozostawać w stanie
wzajemnej równowagi



przykłady:

– płace, bezrobocie i wydajność pracy
– zasada parytetu siły nabywczej: kurs nominalny,

ceny w kraju, ceny za granicą



odchylenia od tej równowagi mogą mieć
charakter stacjonarny

Andrzej Torój - Metody

ekonometryczne - Zima

2008/2009

Kointegracja (2)



X=[X

1

,...X

K

] – zbiór zmiennych



=[

1

,...,

K

]’ – wektor współczynników

kombinacji liniowej



kombinacja liniowa zmiennych X może być

stacjonarna (jeśli tak jest, mówimy, że

zmienne są skointegrowane, a  to wektor

kointegrujący)



zbiór K zmiennych musi zawierać więcej niż

jedną zmienną zintegrowaną w najwyższym

w tym zbiorze stopniu

Andrzej Torój - Metody

ekonometryczne - Zima

2008/2009

Metoda Engla-Grangera



szukamy wektora kointegrującego dla y i

x

x

1. weryfikujemy stopień integracji zmiennych y i

x

x

(stwierdzenie stacjonarności wszystkich zmiennych lub

niestacjonarności tylko jednej z nich powoduje, że

analiza kointegracji nie ma sensu)

2. obliczamy współczynniki regresji liniowej y względem

x

x

3. sprawdzamy za pomocą znanych narzędzi (np. test

ADF), czy reszty z tej regresji (e) są stacjonarne; jeśli

są, znaleźliśmy wektor kointegrujący



reszty z regresji (2) traktujemy jak odchylenia od

równowagi długookresowej i wykorzystujemy

jako regresor (error correction term) w modelu

ECM

Andrzej Torój - Metody

ekonometryczne - Zima

2008/2009

Model korekty błędem
(ECM)



model ADL możemy przedstawić również jako model
korekty błędem



znajomość wektora kointegrującego ułatwia proces
jego estymacji

t

t

t

e

x

x

y









2

2

1

0







2

2

1

0

x

x

y

e

t

t

t



















2

1

0

1

















t

t

t

t

t

x

x

e

y

























2

2

1

1

1

model
ekwiwalent
ny wobec
ADL (1,1,2)

Andrzej Torój - Metody

ekonometryczne - Zima

2008/2009

Związek między
modelami ADL i ECM



Można wykazać, że model ADL(1,1,1)

można przedstawić jako model ECM

gdzie 

0

, 

1

– współczynniki z

długookresowego rozwiązania statycznego
dla modelu ADL.



Co pozostawiamy jako zadanie domowe 

t

t

t

t

t

x

x

y

y

























1

1

0

1

1

0

t

t

t

t

t

x

x

y

y































0

1

1

0

1

1

)

)(

1

(

Andrzej Torój - Metody

ekonometryczne - Zima

2008/2009

Mechanizm korekty
błędem



zmiana y zależy od bieżących zmian x oraz
odchylenia od równowagi długookresowej w
poprzednim okresie



 – parametr korekty błędem

 =0 – mechanizm korekty błędem nie działa
-1<<0 – mechanizm działa prawidłowo

(odchylenie od równowagi długookresowej
niwelowane)

 = -1 – odchylenie od równowagi niwelowane

już po jednym okresie

t

t

t

t

t

x

x

e

y

























2

2

1

1

1

Andrzej Torój - Metody

ekonometryczne - Zima

2008/2009

Porównywalność
współczynników regresji

Andrzej Torój - Metody

ekonometryczne - Zima

2008/2009

12

i

i

i

i

i

śpiew

kobiety

wino

const

c

uzytecznos



















1

,

5

0

,

4

6

,

0

[l]

[szt.
]

[min
]



jak interpretujemy poszczególne współczynniki?



który z trzech czynników wpływa na użyteczność
najbardziej?



a jeżeli śpiew zaczniemy mierzyć w godzinach, a wino
w liczbie półlitrowych butelek?



wartość współczynnika wynika z:

– siły oddziaływania na zmienną objaśnianą
– skali zmienności regresora, przy którym stoi

[deklarowane
j]

Współczynniki beta (1)

13



standaryzujemy zmienne (wystarczy podzielić
przez odchylenie standardowe):



szacujemy równanie za pomocą MNK:

)

(

*

y

s

y

y 

)

(

*

k

k

k

x

s

x

x 

dla każdego k = 1,
…, K

i

Ki

K

i

i

x

x

y



















*

*

1

1

0

*

...

i

Ki

Ki

K

i

i

x

s

x

x

s

x

y

s

y



















)

(

...

)

(

)

(

1

1

1

0

i

Ki

Ki

K

i

i

i

x

x

s

y

s

x

x

s

y

s

y



















)

(

)

(

...

)

(

)

(

1

1

1

0

Andrzej Torój - Metody

ekonometryczne - Zima

2008/2009

Współczynniki beta (2)

14



WNIOSEK: równoważną metodą jest
skorygowanie współczynników zwykłej
regresji o iloraz odchyleń standardowych
zmiennej objaśnianej i objaśniających

i

Ki

K

i

i

x

x

y



















...

1

1

0

i

Ki

Ki

K

i

i

i

x

x

s

y

s

x

x

s

y

s

y



















)

(

)

(

...

)

(

)

(

1

1

1

0

)

(

)

(

)

(

)

(

y

s

x

s

x

s

y

s

k

k

k

k

k

k















Andrzej Torój - Metody

ekonometryczne - Zima

2008/2009

nie obliczymy

ze względu na
nieodwracalność
X

T

X

Czym jest
współliniowość?

regresor
y nie są
niezależ
ne

niektóre
kombinac
ją liniową
pozostały
ch

niektóre
wysoko
skorelowa
ne





y

X

X

X

T

T

1

ˆ







X

T

X będzie

macierzą
osobliwą (-
>
Matematyk
a)

elementy
diagonalne
X

T

X blisko 0

elementy
diagonalne (X

T

X)

-

1

i 



(X

T

X)

-1

wysokie, a więc
wysokie także
błędy
standardowe
oszacowań i
precyzja
szacunku niska

Andrzej Torój - Metody

ekonometryczne - Zima

2008/2009

Diagnostyka
współliniowości

1.

1.

macierz korelacji

macierz korelacji

–

Gretl: widok – macierz korelacji

–

pokazuje tylko bilateralne związki

–

brak jasnej granicy, powyżej której uznajemy problem za poważny

2.

2.

czynnik inflacji wariancji

czynnik inflacji wariancji dla j-tego regresora



gdzie R

2j

to R

2

z regresji j-tego regresora względem pozostałych

(ze stałą)



umowna wartość graniczna: 10, powyżej - współliniowość

3.

3.

indeks warunkowy

indeks warunkowy



gdzie l to wartości własne macierzy powstałej z macierzy X

T

X przez

podzielenie każdej jej komórki (i,j) przez iloczyn pierwiastków jej
elementów diagonalnych (i,i) i (j,j)



umowna wartość graniczna: 20, powyżej - współliniowość

j

j

R

VIF

2

1

1





2

/

1

min

max





















Gretl: testy –
test
współliniowo
ści w oknie
modelu

Co robić?



wzmocnić precyzję szacunku przez

rozszerzenie próby, usunięcie zmiennej,

nałożenie warunków na parametry lub

rezygnację z estymacji parametru (wyniki

innych badań itp.)



„ręcznie” zwiększyć wartości diagonalnych

elementów macierzy X

T

X (regresja

grzbietowa)



ze współliniowych zmiennych „wycisnąć”

wspólną zmienność i zapisać ją w mniejszej

liczbie nowych, niezależnych zmiennych

(metoda głównych składowych)

Andrzej Torój - Metody

ekonometryczne - Zima

2008/2009

18

Literatura do ćwiczeń 3



Welfe, rozdział 5 (cały!)



Dla chętnych:

– Maddala, rozdział 7

Andrzej Torój - Metody

ekonometryczne - Zima

2008/2009