1
Metody ekonometryczne
ćwiczenia 2
Niesferyczność macierzy
wariancji-kowariancji
składnika losowego (1):
AUTOKORELACJA
Andrzej Torój - Metody
ekonometryczne – Zima
2008/2009
Sferyczność macierzy
E(
T
)
2
n
n
T
E
E
...
...
2
1
2
1
2
2
1
2
2
2
2
1
1
2
1
2
1
...
...
...
...
...
n
n
n
n
n
E
2
2
1
2
2
2
2
1
1
2
1
2
1
...
...
...
...
...
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Var
Cov
Cov
Cov
Var
Cov
Cov
Cov
Var
...
...
...
...
...
2
1
2
2
2
1
1
2
1
1
2
2
2
...
0
0
...
...
...
0
0
0
...
0
.
KMNK
zał
Andrzej Torój - Metody
ekonometryczne – Zima
2008/2009
Dodatnia autokorelacja
-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
1960
1970
1980
1990
2000
re
sz
ty
Reszty regresji = (obserwacje - wyr�wnane l_g_pop)
Dlaczego autokorelacja jest
zła?(1)
4
ˆ
E
y
X
X
X
T
T
1
ˆ
... nie skorzystaliśmy z założenia o sferycznej
macierzy kowariancji składnika losowego, więc
jego złamanie nie spowoduje, że parametry
będą obciążone.
(Pamiętajmy, że autokorelacja może być
symptomem błędu specyfikacji, a ten może
powodować obciążenie.)
X
X
X
X
E
T
T
1
T
T
T
T
X
X
X
X
X
X
X
E
1
1
T
T
X
X
X
E
1
y
X
X
X
E
T
T
1
Andrzej Torój - Metody
ekonometryczne – Zima
2008/2009
Dlaczego autokorelacja jest
zła?(2)
ˆ
Var
1
2
1
2
1
X
X
X
X
IX
X
X
X
T
T
T
T
przy sferycznych zakłóceniach:
1
1
2
1
2
1
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
T
T
T
T
T
T
przy niesferycznych
zakłóceniach:
z diagonali tej
macierzy
otrzymujemy
błędy
standardowe
oszacowań
WNIOSKI:
•utrata efektywności
•błędne wnioskowanie oparte na macierzy kowariancji
skł. losowego
•nieadekwatność wnioskowania ze statystyk t i F
T
E
ˆ
ˆ
1
1
X
X
X
X
X
X
E
T
T
T
T
1
1
X
X
X
E
X
X
X
T
T
T
T
T
T
X
X
X
1
ˆ
Andrzej Torój - Metody
ekonometryczne – Zima
2008/2009
Przyczyny autokorelacji
Inercja zjawisk gospodarczych
Podejście autokorelacyjne
Błąd specyfikacji modelu
– Funkcyjnej
– Dynamicznej
– Pominięcie zmiennej objaśniającej
Podejście respecyfikacyjne
6
Andrzej Torój - Metody
ekonometryczne – Zima
2008/2009
Ćwiczenie
funkcja produkcji
rynek paliw w USA
– model popytu na benzynę
brytyjskie dane makroekonomiczne
– krzywa Philipsa wsparta
(adaptacyjnymi) oczekiwaniami
capital
l
labor
l
valueadd
l
_
_
_
2
1
0
PUC
l
PNC
l
income
l
gasp
l
pop
g
l
_
_
_
_
_
_
4
3
2
1
0
unemp
nf
i
d
1
0
.
_
Test mnożnika
Lagrange’a (LM)
8
X
y
Szacujemy podstawowe równanie
regresji:
...i drugie pomocnicze równanie, w
którym składnik losowy uzależniamy
dodatkowo od jego P poprzednich
wartości:
P
t
P
K
t
K
t
K
t
t
x
...
2
2
1
1
'
0
T
X
jeżeli nie ma autokorelacji, poprzednie
wartości epsilona nie objaśnią bieżącej
wniosek: R
2
pomocniczego modelu powinno
być niskie
~
2
nR
LM
)
(
2
P
UWAGA!
test
asymptotycz
ny
Andrzej Torój - Metody
ekonometryczne – Zima
2008/2009
Test Durbina-Watsona
9
ograniczenia:
–
model z wyrazem wolnym
–
bez opóźnionej zmiennej objaśnianiej
–
normalny rozkład składnika losowego
–
wykrywa maksymalnie autokorelację rzędu 1
–
posiada obszar niekonkluzywności
r
e
e
e
d
n
i
i
n
i
i
i
1
2
1
2
2
2
1
autokorelacja ? brak ?
autokorelacja
dodatnia
autokorelacji
ujemna
0
d
L
d
U
2
4-d
U
4-
d
L
4
współczynni
k
autoregresji
pierwszego
rzędu
Andrzej Torój - Metody
ekonometryczne – Zima
2008/2009
Test h-Durbina
Andrzej Torój - Metody
ekonometryczne - Wiosna
2007/2008
10
Odpowiedź Durbina na zarzut, że test DW
jest zbyt skłonny nie wykrywać
autokorelacji, gdy regresorem jest
opóźniona zmienna objaśniana.
(Nerlove, Wallis 1966 – zob. na stronie)
)
1
(
ˆ
1
2
1
t
y
Var
n
n
DW
d
Wysokie wartości d świadczą o autokorelacji.
d~N(0,1).
Statystyka Ljunga-Boxa
Statystyka testowa, za pomocą której
orzekamy, czy występuje
autokorelacja do rzędu P włącznie:
Wysokie wartości (statystyczna
istotność) Q świadczą o autokorelacji.
P
j
n
t
t
n
j
t
j
t
t
e
e
e
j
n
n
n
Q
1
1
2
1
'
1
2
Andrzej Torój - Metody
ekonometryczne – Zima
2008/2009
Ćwiczenie
Czy w naszych modelach jest
autokorelacja?
Czy możemy stosować test DW w
każdym z tych trzech przypadków?
Rozważ autokorelację wyższych
rzędów.
Uzupełnij specyfikację krzywej Philipsa
o regresor d_infl opóźniony o 1 okres.
Jaki jest wynik testu h-Durbina?
Andrzej Torój - Metody
ekonometryczne – Zima
2008/2009
Odporne błędy
oszacowań
Newey i West (1987) skonstruowali estymator
macierzy wariancji-kowariancji parametrów w
warunkach autokorelacji:
T
t
l
t
T
l
t
t
l
t
t
L
l
n
l
t
T
i
i
n
i
i
x
x
x
x
e
e
L
l
n
x
x
e
n
Q
1
1
1
2
*
1
1
1
1
ˆ
4
/
1
n
L
Andrzej Torój - Metody
ekonometryczne – Zima
2008/2009
Ćwiczenie
Oszacuj jeszcze raz modele z
odpornymi błędami oszacowań.
Porównaj poprzednie i nowe
wartości statystyk t i ich nowe p-
value. Jakie decyzje weryfikacyjne
uległy (mogły ulec) zmianie?
Andrzej Torój - Metody
ekonometryczne – Zima
2008/2009
Uogólniona MNK (UMNK,
GLS)
Andrzej Torój - Metody
ekonometryczne – Zima
2008/2009
15
X
y
2
,
0
~
Pomnóżmy obie strony równania lewostronnie:
2
/
1
2
/
1
2
/
1
X
y
Składnik losowy po przekształceniu danych X i y
jest sferyczny:
I
E
E
E
Var
T
T
T
2
2
/
1
2
2
/
1
2
/
1
2
/
1
2
/
1
2
/
1
2
/
1
2
/
1
2
/
1
Estymator UMNK to estymator MNK dla
równania z przekształconymi danymi:
y
X
X
X
y
X
X
X
T
T
T
T
GLS
1
1
1
2
/
1
2
/
1
1
2
/
1
2
/
1
ˆ
UMNK – zastosowanie
Niekiedy znamy (zakładamy) macierz
kowariancji parametrów.
Skąd wziąć macierz gdy po prostu mamy
model z autokorelacją?
– Zakładamy określony schemat autokorelacyjny dla
składnika losowego.
– Macierz jest wtedy funkcją parametrów
i
.
– Same parametry
i
możemy oszacować na
podstawie modelu KMNK.
t
t
t
1
t
t
t
t
2
2
1
1
itd.
Andrzej Torój - Metody
ekonometryczne – Zima
2008/2009
Metoda Cochrane’a-
Orcutta
UMNK dla autokorelacji I
rzędu
17
t
t
t
1
t
t
t
x
y
1
1
1
t
t
t
x
y
1
t
t
t
1
1
1
1
t
t
t
t
t
t
x
x
y
y
t
t
t
t
t
x
x
y
y
1
1
1
1. Model KMNK z autokorelacją, na jego
podstawie przyjmujemy r (wsp. autokorelacji I
rzędu reszt).
2. Transformujemy dane (y, x) jak wyżej.
3. Szacujemy model na transformowanych
danych.
Andrzej Torój - Metody
ekonometryczne – Zima
2008/2009
Metoda Praisa-Winstena
Cochrane i Orcutt przy
transformacji danych pomijają
pierwszą obserwację.
Prais i Winsten nie usuwają jej, a
transformują w inny sposób:
1
1
2
2
1
*
...
1
n
n
y
y
y
y
y
y
1
1
2
2
1
*
...
1
n
n
x
x
x
x
x
x
Andrzej Torój - Metody
ekonometryczne – Zima
2008/2009
Uogólniona metoda
Cochrane’a- Orcutta
Ogólniejsza niż klasyczna metoda C-O, ale
wciąż szczególny przypadek UMNK
Zakładamy dla składnika losowego proces AR
rzędu P:
Z modelu KMNK z autokorelacją szacujemy
parametry. Macierz jest funkcją tych
parametrów.
Szacujemy model UMNK za pomocą macierzy
.
t
P
p
p
t
p
t
1
Ćwiczenie
Oszacuj nasze 3 modele (o ile to uzasadnione) za
pomocą UMNK, zakładając autokorelację
odpowiedniego rzędu.
Przyjmij autokorelację I rzędu i porównaj wyniki
oszacowań metodą C-O, P-W i H-L.
Porównaj parametry modelu UMNK i MNK. Co
się zmieniło? Porównaj wyniki różnych testów.
Sprawdź, czy w modelach oszacowanych za
pomocą UMNK nie ma dodatkowej autokorelacji.
W tym celu zapisz reszty modelu, oszacuj dla
nich odpowiedni proces autoregresyjny i dokonaj
analizy jego reszt.
21
Literatura do ćwiczeń 3
Welfe 3.1, 3.2
– … więcej o opisie problemów spowodowanych autokorelacją
składnika losowego i zróżnicowaniu ich przyczyn
Welfe 3.3
– Jak uprościć ogólny schemat autoregresyjny do schematu I
rzędu
Welfe 3.5-3.7
– UMNK – niektóre warianty
Dla chętnych:
– Klasyczny tekst uzasadniający nieadekwatność statystyki DW
do modeli autoregresyjnych (na stronie)
– Welfe – cały rozdział 3
Dla maniaków :
– Greene (2000) s. 198-200 (wyprowadzenie estymatora
Newey’a-Westa – polecam tę lekturę po zajęciach z
heteroskedastyczności), s. 268-277 (więcej o UMNK)
Andrzej Torój - Metody
ekonometryczne – Zima
2008/2009
22
Praca domowa
Przypomnijcie sobie z własnych
zajęć z Ekonometrii I temat
„Heteroskedastyczność składnika
losowego” (diagnostyka,
zadania...?).
Andrzej Torój - Metody
ekonometryczne – Zima
2008/2009