Andrzej Torój - Metody

ekonometryczne – Zima 2008/2009

1

Metody ekonometryczne

ćwiczenia 3
Niesferyczność macierzy
wariancji-kowariancji
składnika losowego (2):
HETEROSKEDASTYCZNOŚ
Ć

macierz

wariancji

-

kowarian

cji

składnika

losowego

autokorelacja

brak

występuje

h

e

te

ro

sk

e

d

a

st

yc

zn

o

ść

b

ra

k

w

ys

tę

p

u

je

Heteroskedastyczność
a autokorelacja

Andrzej Torój - Metody

ekonometryczne - Zima

2008/2009

2

 

I

E

T

2

2

2

2

...

0

0

...

...

...

0

0

0

...

0











































 































1

...

...

...

...

1

...

1

2

1

2

12

1

12

2

n

n

n

n

T

E

















 































nn

n

n

n

n

T

E





















...

...

...

...

...

2

1

2

22

12

1

12

11

 

























































n

n

T

E

















...

0

0

...

...

...

0

0

0

...

0

...

0

0

...

...

...

0

0

0

...

0

2

1

2

2

2

2

2

1

Konsekwencje dla
estymatorów

Andrzej Torój - Metody

ekonometryczne - Zima

2008/2009

3



pozostają nieobciążone i zgodne



utrata efektywności

Gdzie występuje?



modele szeregów czasowych



np. okresy wzmożonej zmienności na rynkach
finansowych



modele przekrojowe



np. wariancja rosnąca wraz ze wzrostem wielkości
jednostek / jednej z kluczowych zmiennych
objaśniających

Test White’a

4







X

y

Szacujemy podstawowe równanie
regresji:

...i drugie pomocnicze równanie, w którym
kwadrat składnika losowego uzależniamy od
iloczynów (parami) wszystkich zmiennych z
macierzy X (w tym stałej):

t

j

i

ij

j

i

t

x

x













,

2

np. dla modelu ze stałą [1] i regresorami [x

1

],

[x

2

], [x

3

] regresorami w równaniu

pomocniczym są 1, x

1

, x

2

, x

3

, x

1

2

, x

2

2

, x

3

2

, x

1

x

2

,

x

1

x

3

, x

2

x

3

~

2

nR

W 

)

(

2

K



gdzie K – liczba zmiennych
objaśniających w regresji testowej
(bez stałej)

wysokie R

2

oznacza

wysokie W i odrzucenie
H

0

o braku

heteroskedastyczności

Andrzej Torój - Metody

ekonometryczne - Zima

2008/2009

Ćwiczenie



plik karty kredytowe



szacujemy model, w którym zmienną

objaśnianą są wydatki z kart

kredytowych, zaś objaśniającymi:

wiek, dochód, kwadrat dochodu i

zmienna zerojedynkowa dla

właścicieli domów (plus stała)



testem White’a sprawdzamy, czy

istnieje heteroskedastyczność

Andrzej Torój - Metody

ekonometryczne - Zima

2008/2009

Test Goldfelda-Quandta



dzielimy próbę (n obserwacji) na dwie podpróby

(n=n

1

+n

2

)



H

0

: (homoskedastyczność)



H

1

:



odpowiednio wysoka wartość statystyki (rozkład

F z podanymi w nawiasie stopniami swobody)

sugeruje odrzucenie H

0



aby przetestować przeciwną H

1

– odwracamy

indeksy 1 i 2













K

n

e

e

K

n

e

e

K

n

K

n

F

T

T











2

2

2

1

1

1

2

1

/

/

,

2

2

2

1







2

2

2

1







Ćwiczenie



sprawdźmy, czy wariancja reszt
losowych jest różna dla modeli w
dwóch równych podpróbach,
wyróżnionych ze względu na
wysokość dochodu

– Dane – Sortowanie danych

przekrojowych

– Próba – Zakres próby

Andrzej Torój - Metody

ekonometryczne - Zima

2008/2009

Test Breuscha-Pagana



wariancja składnika losowego może być

funkcją zmiennych ujętych w macierzy Z:



H

0

: (homoskedastyczność)



H

1

: (heteroskedastyczność)



odpowiednio wysoka wartość statystyki

(rozkład 



ze stopniami swobody równymi

liczbie regresorów) sugeruje odrzucenie H

0



   







n

K

n

j

e

Z

Z

Z

Z

j

e

LM

T

T

T

/

ˆ

2

ˆ

ˆ

4

2

2

1

2

2





















i

T

i

z

f













0

2

2

Ćwiczenie



przetestujmy stałość wariancji
składnika losowego jeszcze raz –
załóżmy, że ta wariancja jest
liniową funkcją:

– dochodu
– kwadratu dochodu
– (plus stała)

Andrzej Torój - Metody

ekonometryczne - Zima

2008/2009

Odporne błędy
oszacowań



Znane już Wam odporne (na autokorelację) błędy
oszacowań Neweya i Westa stanowiły uogólnienie (na
przypadek autokorelacji) wcześniej zaproponowanego
odpornego (na heteroskedastyczność) estymatora
White’a (1980):









1

1

2

1

)

ˆ

(























X

X

x

x

e

X

X

Var

T

T

i

i

n

i

i

T



Andrzej Torój - Metody

ekonometryczne - Zima

2008/2009

Ćwiczenie



czy odporne błędy oszacowań w
naszym modelu różnią się
znacząco od zwykłych?



czy prowadzi to do zmiany
konkluzji o istotności zmiennych?

Andrzej Torój - Metody

ekonometryczne - Zima

2008/2009

Ważona MNK (WLS) (1)

12







X

y

























































n











...

0

0

...

...

...

0

0

0

...

0

,

0

2

1

2

2

~



Analogicznie do przypadku
autokorelacji:





y

X

X

X

T

T

WLS

1

1

1

ˆ





























































n







1

...

0

0

...

...

...

0

1

0

0

...

0

1

2

1

1

przy





































n

i

i

i

i

n

i

T

i

i

i

WLS

y

x

x

x

1

1

1

1

1

ˆ







Stąd
:

Andrzej Torój - Metody

ekonometryczne - Zima

2008/2009

Ważona MNK (WLS) (2)

13



Podobnie jak w przypadku

autokorelacji, możemy przeprowadzić

estymację ważoną MNK jako

estymację MNK na transformowanych

danych:



Dowód: zob. Welfe (s. 117-118)































n

n

y

y

y

y







/

...

/

/

2

2

1

1

*































n

n

x

x

x

x







/

...

/

/

2

2

1

1

*

Andrzej Torój - Metody

ekonometryczne - Zima

2008/2009

WMNK – zastosowanie
(1)



Skąd wziąć n nieznanych parametrów? Tak
jak poprzednio, musimy przyjąć założenia
pozwalające ograniczyć liczbę nieznanych
parametrów, a następnie oszacować je za
pomocą MNK.

Andrzej Torój - Metody

ekonometryczne - Zima

2008/2009

ZAŁOŻENIE 1



n obserwacji pochodzi z s podprób, n

1

+n

2

+…

+n

s

=n,

w każdej z nich wariancja składnika losowego
jest stała

– Szacujemy modele za pomocą MNK w każdej z prób

osobno (dla każdego i, n

i

musi być odpowiednio

duże).

– Korzystamy ze standardowego estymatora wariancji

reszt w podpróbach (suma kwadratów reszt
podzielona przez stopnie swobody).

– Oszacowane estymatory wariancji podstawiamy w

odpowiednie miejsca macierzy .

15

Andrzej Torój - Metody

ekonometryczne - Zima

2008/2009

ZAŁOŻENIE 2



Wariancja i-tej reszty losowej jest funkcją pewnych
zmiennych objaśniających ujętych w macierzy Z

– Szacujemy model wyjściowy za pomocą MNK, stąd mamy reszty

losowe.

– Szacujemy równanie regresji ich kwadratów względem

wybranych zmiennych objaśniających.

– Podstawiamy otrzymane wartości teoretyczne do wzoru na

estymator WLS:

16

i

i

i

z











2

 







ˆ

2

2

i

i

i

z

E









































n

i

i

i

i

n

i

T

i

i

i

WLS

y

x

z

x

x

z

1

1

1

ˆ

1

ˆ

1

ˆ







Andrzej Torój - Metody

ekonometryczne - Zima

2008/2009

17

Literatura do ćwiczeń 5



Welfe 4.1-4.4

– Dla utrwalenia podstaw teoretycznych

heteroskedastyczności.



Dla maniaków :

– Greene (2000) s. 222-225 (o wadach i zaletach

poszczególnych testów na heteroskedastyczność), s.198-

199 (wyprowadzenie estymatora błędu standardowego

White’a odpornego na heteroskedastyczność)

Andrzej Torój - Metody

ekonometryczne - Zima

2008/2009