Wykład z logiki 4 tautologie

background image

p

p

SPEŁNIALNOŚĆ I TAUTOLOGIE

Mówimy, że

formuła

jest:

spełniona,

jeżeli dla danego wartościowania ma wartość logiczną

1,

spełnialna

, jeżeli istnieje wartościowanie, przy którym ma

wartość logiczną 1,

tautologią,

jeśli ma wartość 1 dla każdego wartościowania

zmiennych
(lub — co na jedno wychodzi — nie istnieje wartościowanie, dla którego
ma wartość 0),

niespełnialna

(albo

kontrtautologią

), jeżeli ma wartość 0 dla każdego

wartościowania.
O formule spełnionej przez dane wartościowanie będziemy niekiedy
mówić, że jest prawdziwa przy tym wartościowaniu, natomiast formuła nie
spełniona będzie fałszywa.

Przykład 1:

jest tautologią, jest niespełnialna

p => q

jest spełnialna, i jest spełniona przy wartościowaniu takim, że

(p) = 0
i (q) = 1, natomiast nie jest spełniona przy wartościowaniu takim,
że
(p) = 1 i (q) = 0.
Każda formuła należy do jednej z powyższych kategorii. W konkretnych
przypadkach możliwe są różne podstawienia i interpretacje, jednak po
przedstawieniu formuły w sformalizowanej postaci z użyciem symboli
zdaniowych oraz funktorów zdaniotwórczych, z reguły nie sprawia nam
kłopotu jej zaklasyfikowanie, chociaż…

p

p

1

1

1

2

2

2

WYKŁAD 4

background image

Przykład 2

Wyobraźmy sobie, że podczas pewnej kampanii wyborczej politycy
Olek, Józek i Kazik wygłosili następujące oświadczenia:

Olek: Józek kłamie.
Józek: Kazik kłamie.
Kazik: Olek kłamie.

Co z tego wynika? Spróbujmy zapisać te wypowiedzi w języku logiki,
oznaczając przez P

O

, P

J

, P

K

fakty, że Olek, Józek, i Kazik zawsze mówią

prawdę. Wtedy wypowiedzi powyższych prominentów mają postać:

Rozważmy hipotetyczną możliwość, że Olek rzeczywiście mówi
wyłącznie prawdę. Wtedy z pewnością Józek jest kłamcą, no i niestety,
musimy przyznać, że przynajmniej „pomylił się" Kazik. Podobne
rozumowanie możemy łatwo przeprowadzić dla każdej z tych osób, a
zatem tylko jeden z nich może mieć rację i być rzeczywiście
prawdomównym. Tylko nie wiemy który, jeśli w ogóle.

J

O

J

O

P

P

inaczej

P

P

K

J

K

J

P

P

inaczej

P

P

O

K

O

K

P

P

inaczej

P

P

background image

Przykład 3

Badamy

metodą

zerojedynkową

, czy wyrażenie (p q) (p q) jest

tautologią.

Ponieważ w ostatniej kolumnie znajdują się same wartości 1
(odpowiadające prawdzie), więc powyższe wyrażenie jest tautologią.

Przykład 4:

Badamy metodą

zerojedynkową

, czy wyrażenie:

((p q) r) (((p r) (~q)) (~p)) jest tautologią.

p

q

p q

p q

(p q)  (p q)

1

1

1

1

1

1

0

0

1

1

0

1

0

1

1

0

0

0

0

1

p q r

Całe
zdanie

1 1 1

1

1

0

1

0

1

0

0

1 1 0

1

0

0

1

0

1

0

1

1 0 1

0

0

0

0

1

1

0

1

0 1 1

1

1

1

0

0

0

0

0

0 0 1

1

1

1

1

1

1

1

1

0 1 0

1

0

1

0

0

0

0

1

1 0 0

0

0

0

0

1

1

0

1

0 0 0

1

0

1

1

1

1

1

1

q

p

r

q

p

 )

(

p

q

p

q

)

(

)

(

q

q

p

)

(

))

(

)

((

p

q

q

p

background image

SKRÓCONA METODA ZEROJEDYNKOWA

[(p q) ( p ~q) ] (~p q )

0

0

1

0

)

1

1

(

)

0

0

(

)]

1

1

(

)

0

1

[(

1

0

0

0

)

1

0

(

0

))

0

0

(

0

(

))

(

(

q

q

p

p

Sprawdź, które z podanych zdań są tautologiami, a które
kontrtautologiami:

q

q

p

p

q

p

q

p

q

p

q

p

q

p

p

q

q

p

q

p

q

p

q

p

q

p

q

p

q

p

q

p

)

(

)

8

)

(

)

7

)

(

)

(

)

6

)

(

)

(

)

5

)

(

)]

(

)

[(

)

4

)

(

)

(

)

3

)

(

)

(

)

2

)

(

)

(

)

1

background image

)

(

)

(

)

11

)

(

)

(

)

10

)

(

)

(

)

9

q

p

q

p

q

q

q

p

q

p

q

p

)

)

((

)

)

((

)

16

r

q

p

r

q

p

))

(

(

))

(

(

)

15

))

(

)

((

)

)

((

)

14

)

(

))

(

)

((

)

13

)

(

)

)

((

)

12

r

p

q

r

q

p

r

q

r

p

r

q

p

p

q

r

p

q

p

q

p

r

q

p

)))

(

)

((

))

(

)

(((

))

(

)

((

)

21

))

(

)

((

))

(

)

(

)

(

)

((

)

20

)

(

))

(

)

((

)

19

)

)

((

)

18

)

)

((

)

17

p

q

s

q

r

p

q

p

s

r

q

p

r

q

s

p

s

r

s

q

r

p

q

p

q

p

p

q

q

p

p

q

p

p

q

q

p

p

background image

Przedstaw poniższe zdania przy pomocy symboli zdaniowych i

funktorów oraz określ, czy są tautologiami.

1. Jeśli Jan nie zna logiki, to jeśli Jan zna logikę, to Jan urodził się w XVI

wieku.

2. Jeśli zwierzę latające jest ptakiem i nietoperz jest zwierzęciem latającym,

to nietoperz jest ptakiem.

3. Jeśli pies jest nieprzyjacielem kota, a kot jest nieprzyjacielem myszy, to

mysz jest przyjacielem psa.

4. Jeśli 20 < 10, to 20 < 100.

5. Jeśli 2 + 2 =5, to 2 + 4 = 6.

6. Jeśli dzisiaj jest środa , to jutro jest czwartek.

7. Jeżeli figura A jest czworokątem i A ma wszystkie kąty równe, to z faktu,

iż A jest czworokątem wynika, iż A ma kąty równe.

8. Jeżeli liczba a dzieli się przez 3 i dzieli się przez 5, to z faktu, iż nie dzieli

się przez 3 wynika, iż nie dziali się przez 5.

9. Jeżeli z faktu, iż funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x

0

wynika, że

jest ona ciągła w punkcie x

0

, to z faktu, iż funkcja f jest ciągła w punkcie

x

0

wynika, iż jest ona różniczkowalna w punkcie x

0

.

10.Jeżeli 7 jest dzielnikiem 42, to 1 = 2.

11.Jeżeli 2 dzieli 8 i 3 dzieli 8, to 6 dzieli 8.

12.Jeżeli 2 dzieli 8 lub 3 dzieli 8, to 6 dzieli 8.


Document Outline


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Wykład z logiki 3 zdania
wykłady z logiki
WYKŁADY Z LOGIKI 2, kulturoznawstwo umcs, semiotyka konderak
Wykład z logiki 6 rachunek predykatów
Wykłady i ćwiczenia, Tautologie logiczne, Tautologie logiczne
wyklady z logiki dla roku pierwszego, RÓŻNE RÓŻNOŚCI - (różne), PRAWO wykłady
Wykład z logiki 2 nazwy(1)
Wykład z logiki 3 zdania
Kmita Jerzy Wykłady z logiki i metodologi nauk
zagadnienia na egzamin z logiki - wyklady, Informatyka, Informatyka, logika
Wykład 5 Elementy logiki i metodologii nauk
Wykład 1. Elementy logiki i teorii zbiorów
test z logiki, SWPW wykłady - pedagogika
Wykład jest najgorszą możliwą formą nauczania logiki na etapie wstępnym, pedagogika
Filozofia wyklady, FILOZOFIA, Filozofia z elementami logiki
Tematy do egzaminu z filozofii, Psychologia, Semestr 2, Filozofia z elementami logiki II, Wykłady

więcej podobnych podstron