Wprowadzenie

do ekonometrii

i prognozowania

(10)

Nieliniowe modele

ekonometryczne

Nieliniowe modele

ekonometryczne -

liniowe względem parametrów

strukturalnych

Wśród nieliniowych modeli ekonometrycznych można wyróżnić
modele: liniowe względem parametrów, sprowadzalne do
liniowych, nieliniowe w sensie ścisłym.

Model

g(y) = f(X,



,



)

jest

liniowy względem

parametrów strukturalnych



, jeżeli można go przedstawić

jako liniową funkcję jednoznacznych przekształceń wektora
oryginalnych zmiennych objaśniających

X

, przy czym

współczynniki tych przekształceń są znane z dokładnością
liczbową.

W przypadku, gdy

g(y) = y

, rozpatrywany model nosi

nazwę modelu

bezpośrednio liniowego

względem parametrów

strukturalnych.

Rozpatrywany model ma następującą postać ogólną:

gdzie

przy czym

g

jest funkcją zmiennej objaśnianej

y

, wszystkie

przekształcenia

h

i

są jednoznaczne, a ich współczynniki są

znane z dokładnością do liczby. Zmienne

Z

i

, będące

przekształceniami wektora oryginalnych zmiennych
objaśniających

X=(X

1

,X

2

,

,X

k

)

, noszą nazwę pomocniczych

zmiennych objaśniających.

2

GK (WEiP(10) - 2014)

,p

1,2,

i

(X),

h

Z

i

i

...





ε

Z

α

α

g(y)

p

1

i

i

i

0











Wyznaczanie liniowego modelu względem parametrów
strukturalnych polega na:

•zastąpieniu w modelu pierwotnym funkcji oryginalnych
zmiennych objaśniających zmiennymi pomocniczymi

Z

i

,

•oszacowaniu parametrów strukturalnych tak przekształconego
modelu liniowego za pomocą KMNK,

•zweryfikowaniu przekształconego modelu liniowego,

•wprowadzeniu istotnych parametrów strukturalnych
przekształconego modelu liniowego do modelu pierwotnego.

Przykłady najczęściej spotykanych modeli bezpośrednio
liniowych względem parametrów:

•model wielomianowy

model pierwotny

model pomocniczy

gdzie

3

GK (WEiP(10) - 2014)

Nieliniowe modele

ekonometryczne -

liniowe względem parametrów

strukturalnych

ε

X

α

α

y

k

1

i

i

i

0











ε

Z

α

α

y

k

1

i

i

i

0











,k

1,2,

i

,

X

Z

i

i

...





•

model hiperboloidalny

model pierwotny

model pomocniczy

gdzie

• model logarytmiczny

model pierwotny

model pomocniczy

gdzie

ε

X

α

α

y

k

1

i

i

i

0











ε

Z

α

α

y

k

1

i

i

i

0











,k

1,2,

i

,

X

1

Z

i

i

...





4

GK (WEiP(10) - 2014)

ε

)

log(X

α

α

y

k

1

i

i

i

0











ε

Z

α

α

y

k

1

i

i

i

0











,k

1,2,

i

),

(X

Z

i

i

...

log





Nieliniowe modele

ekonometryczne -

liniowe względem parametrów

strukturalnych

• model wykładniczy

model pierwotny

model pomocniczy

gdzie

5

GK (WEiP(10) - 2014)

ε

Z

α

α

y

k

1

i

i

i

0











Nieliniowe modele

ekonometryczne -

liniowe względem parametrów

strukturalnych

ε

e

α

α

y

k

1

i

X

i

0

i











,k

1,2,

i

,

e

Z

i

X

i

...





ε

x

1

α

α

y

1

1

0







y

x

1

10,3

48

10,5

38

10,6

43

10,7

50

11

33

11,5

28

12

35

12,2

28

12,5

22

12,6

30

13

25

13,9

25

14,4

22

15,2

21

6

GK (WEiP(10) - 2014)

Nieliniowe modele

ekonometryczne -

liniowe względem parametrów

strukturalnych

ε

x

α

x

α

α

y

2

2

3

2

1

0









y

x

2

10,3

5

10,5

15

10,6

18

10,7

11

11

25

11,5

18

12

28

12,2

34

12,5

23

12,6

29

13

26

13,9

25

14,4

36

15,2

31

7

GK (WEiP(10) - 2014)

Nieliniowe modele

ekonometryczne -

liniowe względem parametrów

strukturalnych

ε

x

log

α

α

y

4

1

0









y

x

4

10,3

5

10,5

12

10,6

5

10,7

10

11

7

11,5

5

12

13

12,2

7

12,5

18

12,6

9

13

10

13,9

18

14,4

19

15,2

27

8

GK (WEiP(10) - 2014)

Nieliniowe modele

ekonometryczne -

liniowe względem parametrów

strukturalnych

y

x

5

10,3

1,8

10,5

4,4

10,6

8,4

10,7

12,8

11

20,4

11,5

24,7

12

15,4

12,2

32,6

12,5

26,6

12,6

40,4

13

16,2

13,9

17,7

14,4

17,3

15,2

29,5

ε

e

α

1

1

y

5

2

x

α

1









9

GK (WEiP(10) - 2014)

Nieliniowe modele

ekonometryczne -

liniowe względem parametrów

strukturalnych

Najczęściej spotykanymi w praktyce

modelami nieliniowymi

sprowadzanymi do modeli liniowych

(linearyzowarnymi) są:

•

model potęgowy (logarytmiczno-liniowy),

•

model wykładniczy (półlogarytmiczny),

•

model S-krzywej (wykładniczo-hiperboliczny).

•

model potęgowy

model pierwotny

model pomocniczy

gdzie

•

10

GK (WEiP(10) - 2014)

Nieliniowe modele

ekonometryczne -

sprowadzalne do liniowych

(linearyzowalne)

ε

k

1

i

α

i

0

e

X

α

y

i



















k

1

i

i

i

0

ε

Z

α

α

y ~

~

.

...

~

~

,k

1,2,

i

,

lnX

Z

,

lnα

α

lny,

y

i

i

0

0









•

model wykładniczy

model pierwotny

model pomocniczy

gdzie

• model wykładniczo-hiperboliczny

model pierwotny

model pomocniczy

gdzie

11

GK (WEiP(10) - 2014)

Nieliniowe modele

ekonometryczne -

sprowadzalne do liniowych

(linearyzowalne)

lny

y 

~

ε

X

α

α

k

1

i

i

i

0

e

y





















k

1

i

i

i

0

ε

Z

α

α

y

~

ε

X

α

α

k

1

i

i

i

0

e

y





















k

1

i

i

i

0

ε

Z

α

α

y

~

.

...

~

,k

1,2,

i

,

X

1

Z

lny,

y

i

i







Przykład

. Następujący model nieliniowy

należy sprowadzić do modelu liniowego (zlinearyzować).

Rozwiązanie

. Ze względu na postać modelu nieliniowego jego

linearyzacja jest możliwa poprzez logarytmowanie po
wykonaniu, którego otrzymuje się model zlinearyzowany
postaci:

Podstawiając:

ε

X

3

X

α

3

α

1

0

e

α

e

X

α

y

3

2

2

1



ε.

X

lnα

X

α

lnX

3

α

lnα

lny

3

3

2

2

1

1

0











3

3

2

2

1

1

0

0

3

3

2

2

1

1

lnα

, β

α

, β

3

α

, β

lnα

β

,

X

, Z

X

, Z

lnX

lny, Z

y

















~

12

GK (WEiP(10) - 2014)

Nieliniowe modele

ekonometryczne -

sprowadzalne do liniowych

(linearyzowalne)

otrzymuje się ostatecznie model zlinearyzowany postaci:

który, po spełnieniu założeń i odpowiednim do linearyzacji
przekształceniu danych empirycznych (patrz: podstawienia)
może być estymowany za pomocą KMNK. Oszacowania
parametrów strukturalnych modelu nieliniowego (pierwotnego)
otrzymuje się na podstawie oszacowań parametrów
strukturalnych modelu zlinearyzowanego, tj. oszacowań

b

0

,

b

1

,

b

2

i

b

3

stosując przekształcenia odwrotne, co oznacza, że:



,

~

ε

Z

Z

Z

y

3

3

2

2

1

1

0



















.

3

0

b

3

2

2

1

1

b

0

e

, a

b

, a

3b

, a

e

a









13

GK (WEiP(10) - 2014)

Nieliniowe modele

ekonometryczne -

sprowadzalne do liniowych

(linearyzowalne)

Weryfikacja modeli nieliniowych sprowadzanych do modeli

liniowych względem parametrów strukturalnych przebiega tak
samo jak dla modeli liniowych. Weryfikację przeprowadza się na
postaci zlinearyzowanej. Dla modeli nieliniowych względem
parametrów strukturalnych przeprowadza się dodatkowo badanie
nieobciążoności reszt. Sprowadza się ono do zweryfikowania
hipotezy zerowej

względem hipotezy alternatywnej

Sprawdzianem prawdziwości hipotezy zerowej jest statystyka
postaci:

która ma rozkład t-Studenta z



= n-1

stopniami swobody, gdzie

oraz

 

0

ε

E

:

H

0



 

.

0

ε

E

:

H

1



14

GK (WEiP(10) - 2014)

Nieliniowe modele

ekonometryczne -

sprowadzalne do liniowych

(linearyzowalne)

e

S

~

1

n

e

t











n

1

i

i

e

n

1

e





.

~









n

1

i

2

i

e

e

e

n

1

S

Przykład.

Korzystając z danych zawartych w
tabeli należy opisać za pomocą
modelu ekonometrycznego
zależność pomiędzy średnimi
miesięcznymi dochodami na
osobę w rodzinie a rocznymi
wydatkami na szeroko rozumianą
kulturę.

Nr

obserwa

cji

Wydatki

(y)

Dochod

y (X)

1

0,28

1,23

2

0,70

1,35

3

1,05

1,54

4

1,45

2,52

5

1,80

3,53

6

2,30

4,67

7

2,65

5,32

8

3,15

6,94

9

3,60

8,27

10

3,92

9,44

11

4,20

10,23

12

4,37

11,30

13

4,50

12,00

14

4,63

15,42

15

4,73

18,32

15

GK (WEiP(10) - 2014)

Nieliniowe modele

ekonometryczne -

sprowadzalne do liniowych

(linearyzowalne)

Rozwiązanie.

Z analizy wykresu wydatków na kulturę względem

dochodów

wynika, że do opisu badanego zjawiska można przyjąć funkcję
Törnquista II rodzaju, tj. funkcję postaci:

16

GK (WEiP(10) - 2014)

Nieliniowe modele

ekonometryczne -

sprowadzalne do liniowych

(linearyzowalne)

2

1

0

α

X

α

X

α

y







2

2

1

1

0

Z

β

Z

β

β

y

~







17

GK (WEiP(10) - 2014)

Nieliniowe modele

ekonometryczne -

sprowadzalne do liniowych

(linearyzowalne)

Postacie szczegółowe rozpatrywanej funkcji Törnquista po
linearyzacji:

Wyniki estymacji parametrów strukturalnych



0

,



1

i



2

modelu

pierwotnego powinny być takie same bez względu na przyjętą
do obliczeń szczegółową postać zlinearyzowanej funkcji
Törnquista

.

X

Z

X

Z

X

1

Z

y

Z

yX

Z

X

y

Z

α

β

α

α

β

α

α

β

α

β

α

1

β

α

β

α

α

β

α

α

α

β

α

β

yX

y

~

y

y

~

y

y

~

2

2

2

1

1

1

0

2

2

0

2

1

0

2

2

1

2

1

2

1

1

0

0

2

1

0

0

0

0

3

posta

ć

2

posta

ć

1

posta

ć

















































18

GK (WEiP(10) - 2014)

Nieliniowe modele

ekonometryczne -

sprowadzalne do liniowych

(linearyzowalne)

Estymacja z wykorzystaniem postaci 1.

Przekształcone dane

Wyniki:

Dopasowanie:

Istotność parametrów





0

5,5364

00



0

5,5364

00



1

-

2,9107

42



1

0,9234

75



2

-

5,1127

25



2

2,9107

42

R

2

=

0,8979

15



0

0,000000

25



1

0,036579

08



2

0,000001

18

Nr

obserwa

cji

ỹ

(y)

Z

1

(y/X)

Z

2

(1/X)

1

0,28

0,2276

0,8130

2

0,70

0,5185

0,7407

3

1,05

0,6818

0,6494

4

1,45

0,5754

0,3968

5

1,80

0,5099

0,2833

6

2,30

0,4925

0,2141

7

2,65

0,4981

0,1880

8

3,15

0,4539

0,1441

9

3,60

0,4353

0,1209

10

3,92

0,4153

0,1059

11

4,20

0,4106

0,0978

12

4,37

0,3867

0,0885

13

4,50

0,3750

0,0833

14

4,63

0,3003

0,0649

15

4,73

0,2582

0,0546

19

GK (WEiP(10) - 2014)

Nieliniowe modele

ekonometryczne -

sprowadzalne do liniowych

(linearyzowalne)

Estymacja z wykorzystaniem postaci 2.

Przekształcone dane

Wyniki:

Dopasowanie:

Istotność parametrów 

Nr

obserwa

cji

ỹ

(y)

Z

1

(yX)

Z

2

(X)

1

0,28

0,3444

1,23

2

0,70

0,9450

1,35

3

1,05

1,6170

1,54

4

1,45

3,6540

2,52

5

1,80

6,3540

3,53

6

2,30

10,7410

4,67

7

2,65

14,0980

5,32

8

3,15

21,8610

6,94

9

3,60

29,7720

8,27

10

3,92

37,0048

9,44

11

4,20

42,9660

10,23

12

4,37

49,3810

11,30

13

4,50

54,0000

12,00

14

4,63

71,3946

15,42

15

4,73

86,6536

18,32



0

-

0,3743

96



0

7,3312

00



1

-

0,1252

15



1

0,4078

49



2

0,9179

78



2

7,9862

48

R

2

=

0,9313

44



0

0,422194

92



1

0,010388

02



2

0,001045

04

20

GK (WEiP(10) - 2014)

Nieliniowe modele

ekonometryczne -

sprowadzalne do liniowych

(linearyzowalne)

Estymacja z wykorzystaniem postaci 3.

Przekształcone dane

Wyniki:

Dopasowanie:

Istotność parametrów 

Nr

obserwa

cji

ỹ

(yX)

Z

1

(y)

Z

2

(X)

1

0,3444

0,28

1,23

2

0,9450

0,70

1,35

3

1,6170

1,05

1,54

4

3,6540

1,45

2,52

5

6,3540

1,80

3,53

6

10,7410

2,30

4,67

7

14,0980

2,65

5,32

8

21,8610

3,15

6,94

9

29,7720

3,60

8,27

10

37,0048

3,92

9,44

11

42,9660

4,20

10,23

12

49,3810

4,37

11,30

13

54,0000

4,50

12,00

14

71,3946

4,63

15,42

15

86,6536

4,73

18,32



0

-

6,8389

60



0

6,0991

40



1

-

3,4669

00



1

1,1212

99



2

6,0991

40



2

3,4669

00

R

2

=

0,9940

11



0

0,000447

44



1

0,010388

02



2

0,000000

00

21

GK (WEiP(10) - 2014)

Nieliniowe modele

ekonometryczne -

sprowadzalne do liniowych

(linearyzowalne)

Rozpatrywanym dalej modelem nieliniowym

będzie model

ekonometryczny postaci:

gdzie



oznacza dowolną funkcję różnowartościową, ciągłą i

dwukrotnie różniczkowalną, w której liczba parametrów
strukturalnych nie musi odpowiadać liczbie zmiennych
objaśniających.

Oszacowanie parametrów strukturalnych modelu

nieliniowego uzyskuje się stosując jedną z metod należących do
klasy

Nieliniowych Metod Najmniejszych Kwadratów (NMNK)

.

Oszacowanie parametrów strukturalnych tego modelu uzyskuje
się minimalizując sumę kwadratów reszt modelu, tj. kwadratów
różnic pomiędzy wartościami empirycznymi a wartościami
teoretycznymi zmiennej objaśnianej, tj.

gdzie

a

0

,

a

1

,



,

a

p

, są oszacowaniami parametrów strukturalnych

modelu.

t

p

1

0

tk

t1

t

ε

)

,α

,

,α

,α

,x

,

(x

y





...

...



22

GK (WEiP(10) - 2014)

Nieliniowe modele

ekonometryczne -

nieliniowe w sensie ścisłym





min

)

,a

,

,a

,a

,x

,

(x

y

e

S(a)

p

1

0

,a

,

,a

a

n

1

t

2

p

1

0

tk

t1

t

n

1

t

2

t

























...

...

...



Z warunku koniecznego istnienia ekstremum wynika następujący
układ równań normalnych:

Modelem

nieliniowym w sensie ścisłym

będzie się nazywać

model, dla którego powyższy układ równań normalnych jest
nieliniowym układem równań względem parametrów
strukturalnych.

Ponieważ taki układ równań najczęściej nie ma

rozwiązania analitycznego, więc jest rozwiązywany za pomocą
metod iteracyjnych.





p

0,1,2,...,

i

0

a

)

a

,...,

a

,

a

,

x

,...,

(x

)

a

,...,

a

,

a

,

x

,...,

(x

y

2

a

S(a)

i

p

1

0

tk

1

t

n

1

t

p

1

0

tk

1

t

t

i



























23

GK (WEiP(10) - 2014)

Nieliniowe modele

ekonometryczne -

nieliniowe w sensie ścisłym

Istota metody iteracyjnej polega na takim postępowaniu, aby w
kolejnym

(l+1)

-szym jej kroku uzyskać „lepsze” oszacowanie

parametrów strukturalnych modelu niż uzyskane w kroku
poprzednim, tj. spełniające następujący warunek:

gdzie

a

l+1

i

a

l

oznaczają wektory oszacowań parametrów

strukturalnych modelu uzyskane w

(l+1)

-szym i w

l

-tym kroku

iteracji.

Poszukiwanie „lepszego” oszacowanie parametrów

strukturalnych modelu w kolejnym kroku iteracyjnym polega na
korygowaniu oszacowania z poprzedniego kroku iteracyjnego o
pewien wektor

d

l

,

przy czym



nosi nazwę długości kroku i może

być dowolną stałą. Stąd

i dalej

0,1,2,...

l

),

S(a

)

S(a

l

1

l







24

GK (WEiP(10) - 2014)

Nieliniowe modele

ekonometryczne -

nieliniowe w sensie ścisłym

l

l

1

l

δd

a

a







...

0,1,2,

l

),

S(a

)

δd

S(a

l

l

l







Poszukuje się zatem takiego kierunku wyznaczonego przez
wektor

d

l

aby funkcja

była funkcją malejącą względem

l

, dla

l

dostatecznie bliskich

zera. Stąd pochodna funkcji kryterium musi być mniejsza od
zera, tj.

gdzie

oznacza gradient funkcji kryterium.

)

δd

S(a

l

l



0

δ

)

δd

(a

a

)

δd

S(a

δ

)

δd

S(a

l

l

T

l

l

l

l

l























































l

l

l

l

a

)

δd

S(a



























25

GK (WEiP(10) - 2014)

Nieliniowe modele

ekonometryczne -

nieliniowe w sensie ścisłym

Stąd można zapisać

Niech wektor

d

l

będzie zdefiniowany następująco:

przy czym

Q

l

jest dowolną kwadratową, dodatnio określoną

macierzą rzędu

(p+1)

. Wówczas forma kwadratowa macierzy

Q

l

będzie spełniać następującą relację:

 

0

d

δ

)

δd

S(a

l

T

l

l

l













l

l

l

Q

d







 

0

Q

l

l

T

l

0

l

























26

GK (WEiP(10) - 2014)

Nieliniowe modele

ekonometryczne -

nieliniowe w sensie ścisłym

Zatem ogólna formuła iteracyjna, definiując kolejne
przybliżenie wektora oszacowań parametrów strukturalnych
modelu, przyjmuje postać:

gdzie



l

jest długością kroku w

l

-tej iteracji.

Wyróżnia się dwa kryteria zakończenia procesu iteracyjnego:
•ustabilizowanie się wartości funkcji kryterium:

•ustabilizowanie się wartości wektora oszacowań parametrów
strukturalnych modelu:

gdzie



jest przyjętym poziomem dokładności (współczynnikiem

zbieżności) procesu iteracyjnego.

l

l

l

l

1

l

Q

δ

a

a









27

GK (WEiP(10) - 2014)



Nieliniowe modele

ekonometryczne -

nieliniowe w sensie ścisłym

ε

)

S(a

)

S(a

l

1

l







p

0,1,2,...,

i

ε,

a

a

l

1

l

i

i









Metoda Gaussa-Newtona

. Najczęściej stosowana do estymacji

parametrów strukturalnych nieliniowych w sensie ścisłym
modeli ekonometrycznych. Opiera się na założeniu, że wartość
średnia reszt modelu jest równa zeru.

Algorytm metody.

1.Wyznaczenie wartości punktów startowych i wartości
pierwszych pochodnych cząstkowych, względem parametrów
strukturalnych występujących w modelu,

Szacowanie parametrów modelu nieliniowego

rozpoczyna się od doboru wartości początkowych (tzw. punktów
startowych)

a

0

tak, aby były one bliskie rzeczywistym wartościom

parametrów



i umożliwiały otrzymanie zbieżności metody.

Najczęściej metodę Gaussa-Newtona łączy się z inną metodą,
która umożliwia otrzymanie dobrych początkowych przybliżeń
parametrów. Taką metodę stanowi np. metoda

m

punktów

polegająca na arbitralnym wyborze

m

punktów empirycznych i

założeniu, że współrzędne tych punktów spełniają dokładnie
formułę modelu ekonometrycznego

28

GK (WEiP(10) - 2014)

Nieliniowe modele

ekonometryczne -

nieliniowe w sensie ścisłym

)

α

,...,

α

,

α

,

x

,...,

(x

p

1

0

tk

1

t



W ten sposób uzyskuje się układ - przeważnie nieliniowy -

m

równań z

m

niewiadomymi parametrami, których rozwiązanie

stanowi szukane przybliżenie parametrów. 

Kolejnym etapem metody Gaussa-Newtona jest obliczenie

pierwszych pochodnych cząstkowych

względem parametrów

strukturalnych występujących w modelu. Pierwsze pochodne
cząstkowe wykorzystuje się we wzorze pozwalającym na
obliczenie wartości odchyleń

d

l

 kolejnych przybliżeń

a

l.

 od

wartości rzeczywistych

a

.

Pochodne funkcji elementarnych, jak również na

pochodne funkcji wykładniczej i logarytmicznej:

29

GK (WEiP(10) - 2014)

Nieliniowe modele

ekonometryczne -

nieliniowe w sensie ścisłym

2. Obliczenie wartości odchyleń

d

l

kolejnych przybliżeń

parametrów strukturalnych

a

l

 od ich wartości rzeczywistych 

a

:

gdzie

jest macierzą

n

 (p+1)

pierwszych pochodnych cząstkowych

modelu względem parametrów strukturalnych, obliczonych
dla ustalonych w

l

-tej iteracji przybliżeń

a

l

.

 

30

GK (WEiP(10) - 2014)

Nieliniowe modele

ekonometryczne -

nieliniowe w sensie ścisłym

 















































l

T

l

1

l

T

l

l

T

l

1

l

T

l

l

e

Z

Z

Z

a

X,

y

Z

Z

Z

d



 





l

i

i

a

i

l

ti

l

X,

f

z

Z





























3. Przebieg procedury iteracyjnej.

Mając dobrane wartości początkowe należy przystąpić do
pierwszej iteracji. Postępowanie iteracyjne wykonuje się
według wzoru, w którym w kolejnych iteracjach zamiast

a

l

.

wykorzystuje się poprawione oceny parametrów:

przy czym pierwsza iteracja przyjmuje postać:

Procedura iteracyjna kończy się, gdy

lub, gdy zostanie wykonana założona liczba iteracji.

31

GK (WEiP(10) - 2014)

Nieliniowe modele

ekonometryczne -

nieliniowe w sensie ścisłym

l

l

1

l

d

a

a







.

d

a

a

0

0

1





p

0,1,2,...,

i

,

ε

d

ε

a

a

l

l

1

l

i

i

i













W praktyce można również spotkać następujące ujęcie metody
Gaussa-Newtona, które polega na zastępowaniu w kolejnych
iteracjach funkcji

jej liniową aproksymantą, opartą na dwóch pierwszych
składnikach rozwinięcia tej funkcji w szereg Taylora, tj.

a więc w kolejnych iteracjach jest minimalizowana suma
kwadratów postaci:

)

...

...













,

(x

)

,

,

,

,

,x

,

(x

t

p

1

0

tk

t1







l

i

i

p

1

i

a

a

i

t

l

t

t

a

α

α

α)

,

(x

)

a

,

(x

α)

,

(x

l

i

i

































32

GK (WEiP(10) - 2014)

Nieliniowe modele

ekonometryczne -

nieliniowe w sensie ścisłym





2

n

1

t

l

i

i

p

1

i

a

a

i

t

l

t

t

a

α

α

α)

,

(x

)

a

,

(x

y

l

i

i











































































Przykład.

Tabela zawiera dane dotyczące miesięcznych dochodów na osobę
oraz miesięcznych wydatków na osobę na warzywa w pewnym
roku. Na podstawie tych danych należy oszacować parametry
modelu nieliniowego z dokładnością wynoszącą

 = 0,016

.

Postać modelu opisującego zależność zmiennej objaśnianej od
zmiennej objaśniającej jest następująca:

Estymację modelu przeprowadzić metodą Gaussa-Newtona.

33

GK (WEiP(10) - 2014)

Nieliniowe modele

ekonometryczne -

nieliniowe w sensie ścisłym

Grupa

dochodo

wa

Grupy dochodowe (miesięczne sumy dochodów na 1 osobę) w tys. zł

600 i

mniej

600-

800

800-

1000

1000-

1400

1400-

1800

1800-

2200

2200-

2700

powyżej

2700

t

1

2

3

4

5

6

7

8

x

t

510,7

718,1 911,3 1205,3 1596,7 1982,2 2420,6

3554,5

y

t

22,1

25,3

31,9

36,5

41,4

47,6

53,1

65,5

.

ε

α

x

x

α

y

t

1

t

t

0

t







Rozwiązanie.
1.Wyznaczenie punktów startowych i obliczenie pochodnych
cząstkowych

W celu oszacowania parametrów strukturalnych

analizowanego modelu nieliniowego za pomocą algorytmu
Gaussa-Newtona należy wyznaczyć punkty startowe. W
rozpatrywanym przykładzie przyjęto odpowiednio:

Obliczono pochodne:

34

GK (WEiP(10) - 2014)

Nieliniowe modele

ekonometryczne -

nieliniowe w sensie ścisłym

2091.

a

99,

a

0

1

0

0









.

α

x

x

α

α

y

,

α

x

x

α

y

2

1

t

t

0

1

t

1

t

t

0

t



















2. Utworzenie macierzy

Z

l

oraz wektora reszt modelu

e

l

.

Macierz

Z

l

:

Wektor reszt modelu

e

l

:

35

GK (WEiP(10) - 2014)

Nieliniowe modele

ekonometryczne -

nieliniowe w sensie ścisłym

 

















































































2

l

2

n

n

0

l

1

n

n

2

l

2

1

1

0

l

1

1

1

a

α

i

l

ti

l

a

x

x

α

a

x

x

...

...

a

x

x

α

a

x

x

α

α

X,

f

z

Z

l

i

i

 

























































l

1

n

n

l

0

n

l

1

1

1

l

0

1

l

t

t

l

t

l

a

x

x

a

y

...

a

x

x

a

y

a

,

x

f

y

e

e

3. Procedura iteracyjna.

Iteracyjne wykonywanie sekwencji następujących działań:

• obliczenie wartości odchylenia

d

l

:

• obliczenie wartości oszacowania parametrów strukturalnych:

• zbadanie warunku końca algorytmu i podjęcie decyzji o jego

zakończeniu lub wykonaniu kolejnej iteracji:

36

GK (WEiP(10) - 2014)

Nieliniowe modele

ekonometryczne -

nieliniowe w sensie ścisłym

 















































l

T

l

1

l

T

l

l

T

l

1

l

T

l

l

e

Z

Z

Z

a

X,

y

Z

Z

Z

d



l

l

1

l

d

a

a







p

0,1,2,...,

i

,

ε

d

ε

a

a

l

l

1

l

i

i

i













4. Prezentacja wyników.

Iteracja 0

:

Ponieważ

należy wykonać kolejną iterację.

37

GK (WEiP(10) - 2014)

Nieliniowe modele

ekonometryczne -

nieliniowe w sensie ścisłym

a

0

99

2091



)

0

(

1





)

0

(

2



0,19629 -0,00747
0,25563 -0,00901
0,30353 -0,01001

Z

0

=

0,36565 -0,01098
0,43298 -0,01162
0,48664 -0,01183
0,53653 -0,01177
0,62962 -0,01104

2,66682

-0,00771

1,85014

e

0

=

0,30041

-1,46501
-0,57780
-0,01628

3,16797

d

0

=

2,74950

48,48818



)

0

(

1



d



)

0

(

2



d

0,1

i

,

0,016

d

0

i





Iteracja 1

:

Ponieważ

należy wykonać kolejną iterację.

38

GK (WEiP(10) - 2014)

Nieliniowe modele

ekonometryczne -

nieliniowe w sensie ścisłym

a

1

99 + 2,74950 = 101,74950

2091 + 48,48818 =

2139,48818



)

0

(

1





)

0

(

2



0,19270 -0,00740
0,25130 -0,00895
0,29871 -0,00996

Z

1

=

0,36035 -0,01096
0,42736 -0,01164
0,48092 -0,01187
0,53082 -0,01184
0,62425 -0,01116

2,49254

-0,26923

1,50644

e

1

=

-0,16560
-2,08374
-1,33331
-0,91098

1,98238

d

1

=

0,09839

3,27285



)

0

(

1



d



)

0

(

2



d

0,1

i

,

0,016

d

1

i





Iteracja 2

:

Ponieważ

należy wykonać kolejną iterację.

39

GK (WEiP(10) - 2014)

Nieliniowe modele

ekonometryczne -

nieliniowe w sensie ścisłym

a

2

101,74950 + 0,09839 = 101,84789

2139,48818 + 3,27285 = 2142,76103



)

0

(

1





)

0

(

2



0,19247

-

0,007387

4

0,25101

-

0,008936

0,29839

-

0,009950

8

Z

2

=

0,36000

-

0,010951

2

0,42699

-

0,011629

4

0,48054

-

0,011864

8

0,53044

-

0,011838

7

0,62390

-

0,011153

2

2,49778

-0,26467

1,50965

e

2

=

-0,16518
-2,08769
-1,34177
-0,92444

1,95748

d

2

=

0,00562

0,22828



)

0

(

1



d



)

0

(

2



d

0,016

d

2

1



Iteracja 3

:

Ponieważ

proces iteracji został

zakończony. Wektor

a

3

jest wektorem przybliżonych wartości parametrów
strukturalnych estymowanego modelu nieliniowego.

40

GK (WEiP(10) - 2014)

Nieliniowe modele

ekonometryczne -

nieliniowe w sensie ścisłym

a

3

101,84789 + 0,00562 = 101,85351

2142,76103 + 0,22828 = 2142,98931



)

0

(

1





)

0

(

2



0,19245

-

0,007387

0,25099

-

0,008935

0,29837 -0,00995

Z

3

=

0,35997 -0,01095

0,42696

-

0,011629

0,48051

-

0,011864

0,53042

-

0,011838

0,62387

-

0,011153

2,49839

-0,26404

1,51024

e

3

=

-0,16471
-2,08744
-1,34176
-0,92472

1,95652

d

3

=

0,00039

0,01576



)

0

(

1



d



)

0

(

2



d

0,1

i

,

0,016

d

3

i





41

GK (WEiP(10) - 2014)