Wprowadzenie 

do ekonometrii 

i prognozowania 

(10)

Nieliniowe modele 

ekonometryczne

Nieliniowe modele 

ekonometryczne -

liniowe względem parametrów 

strukturalnych

Wśród nieliniowych modeli ekonometrycznych można wyróżnić 
modele: liniowe względem parametrów, sprowadzalne do 
liniowych, nieliniowe w sensie ścisłym.

Model  

g(y) = f(X,



,



 ) 

jest 

liniowy względem 

parametrów strukturalnych 



 , jeżeli można go przedstawić 

jako liniową funkcję jednoznacznych przekształceń wektora 
oryginalnych zmiennych objaśniających 

X

, przy czym 

współczynniki tych przekształceń są znane z dokładnością 
liczbową.

W przypadku, gdy 

g(y) = y

, rozpatrywany model nosi 

nazwę modelu 

bezpośrednio liniowego 

względem parametrów 

strukturalnych. 

Rozpatrywany model ma następującą postać ogólną:

gdzie 

przy czym 

g

 jest funkcją zmiennej objaśnianej 

y

, wszystkie 

przekształcenia 

h

i

 są jednoznaczne, a ich współczynniki są 

znane z dokładnością do liczby. Zmienne 

Z

i

, będące 

przekształceniami wektora oryginalnych zmiennych 
objaśniających 

X=(X

1

,X

2

,

,X

k

)

, noszą nazwę pomocniczych 

zmiennych objaśniających. 

2

GK (WEiP(10) - 2014)

,p

1,2,

i

(X),

h

Z

i

i

...





ε

Z

α

α

g(y)

p

1

i

i

i

0











Wyznaczanie liniowego modelu względem parametrów 
strukturalnych polega na:

•zastąpieniu w modelu pierwotnym funkcji oryginalnych 
zmiennych objaśniających zmiennymi pomocniczymi 

Z

i

, 

•oszacowaniu parametrów strukturalnych tak przekształconego 
modelu liniowego za pomocą KMNK,

•zweryfikowaniu przekształconego modelu liniowego,

•wprowadzeniu istotnych parametrów strukturalnych 
przekształconego modelu liniowego do modelu pierwotnego.

Przykłady najczęściej spotykanych modeli bezpośrednio 
liniowych względem parametrów:

•model wielomianowy

model pierwotny

model pomocniczy

       gdzie       

3

GK (WEiP(10) - 2014)

Nieliniowe modele 

ekonometryczne -

liniowe względem parametrów 

strukturalnych

ε

X

α

α

y

k

1

i

i

i

0











ε

Z

α

α

y

k

1

i

i

i

0











,k

1,2,

i

,

X

Z

i

i

...





•  

model hiperboloidalny 

model pierwotny                                 

model pomocniczy 

          gdzie

• model logarytmiczny 

model pierwotny                                 

model pomocniczy 

         gdzie

ε

X

α

α

y

k

1

i

i

i

0











ε

Z

α

α

y

k

1

i

i

i

0











,k

1,2,

i

,

X

1

Z

i

i

...





4

GK (WEiP(10) - 2014)

ε

)

log(X

α

α

y

k

1

i

i

i

0











ε

Z

α

α

y

k

1

i

i

i

0











,k

1,2,

i

),

(X

Z

i

i

...

log





Nieliniowe modele 

ekonometryczne -

liniowe względem parametrów 

strukturalnych

• model wykładniczy 

model pierwotny                                 

model pomocniczy 

          gdzie

5

GK (WEiP(10) - 2014)

ε

Z

α

α

y

k

1

i

i

i

0











Nieliniowe modele 

ekonometryczne -

liniowe względem parametrów 

strukturalnych

ε

e

α

α

y

k

1

i

X

i

0

i











,k

1,2,

i

,

e

Z

i

X

i

...





ε

x

1

α

α

y

1

1

0







y

x

1

10,3

48

10,5

38

10,6

43

10,7

50

11

33

11,5

28

12

35

12,2

28

12,5

22

12,6

30

13

25

13,9

25

14,4

22

15,2

21

6

GK (WEiP(10) - 2014)

Nieliniowe modele 

ekonometryczne -

liniowe względem parametrów 

strukturalnych

ε

x

α

x

α

α

y

2

2

3

2

1

0









y

x

2

10,3

5

10,5

15

10,6

18

10,7

11

11

25

11,5

18

12

28

12,2

34

12,5

23

12,6

29

13

26

13,9

25

14,4

36

15,2

31

7

GK (WEiP(10) - 2014)

Nieliniowe modele 

ekonometryczne -

liniowe względem parametrów 

strukturalnych

ε

x

log

α

α

y

4

1

0









y

x

4

10,3

5

10,5

12

10,6

5

10,7

10

11

7

11,5

5

12

13

12,2

7

12,5

18

12,6

9

13

10

13,9

18

14,4

19

15,2

27

8

GK (WEiP(10) - 2014)

Nieliniowe modele 

ekonometryczne -

liniowe względem parametrów 

strukturalnych

y

x

5

10,3

1,8

10,5

4,4

10,6

8,4

10,7

12,8

11

20,4

11,5

24,7

12

15,4

12,2

32,6

12,5

26,6

12,6

40,4

13

16,2

13,9

17,7

14,4

17,3

15,2

29,5

ε

e

α

1

1

y

5

2

x

α

1









9

GK (WEiP(10) - 2014)

Nieliniowe modele 

ekonometryczne -

liniowe względem parametrów 

strukturalnych

 

Najczęściej spotykanymi w praktyce 

modelami nieliniowymi 

sprowadzanymi do modeli liniowych

 (linearyzowarnymi) są:

•

 model potęgowy (logarytmiczno-liniowy),

•

 model wykładniczy (półlogarytmiczny),

•

 model S-krzywej (wykładniczo-hiperboliczny).

• 

model potęgowy 

model pierwotny                                 

model pomocniczy 

          gdzie

•

10

GK (WEiP(10) - 2014)

Nieliniowe modele 

ekonometryczne -

sprowadzalne do liniowych 

(linearyzowalne)

ε

k

1

i

α

i

0

e

X

α

y

i



















k

1

i

i

i

0

ε

Z

α

α

y ~

~

.

...

~

~

,k

1,2,

i

,

lnX

Z

,

lnα

α

lny,

y

i

i

0

0









•  

model wykładniczy 

model pierwotny                                 

model pomocniczy 

          gdzie

• model wykładniczo-hiperboliczny

model pierwotny                                 

model pomocniczy 

         gdzie

11

GK (WEiP(10) - 2014)

Nieliniowe modele 

ekonometryczne -

sprowadzalne do liniowych 

(linearyzowalne)

lny

y 

~

ε

X

α

α

k

1

i

i

i

0

e

y





















k

1

i

i

i

0

ε

Z

α

α

y

~

ε

X

α

α

k

1

i

i

i

0

e

y





















k

1

i

i

i

0

ε

Z

α

α

y

~

.

...

~

,k

1,2,

i

,

X

1

Z

lny,

y

i

i







Przykład

. Następujący model nieliniowy 

należy sprowadzić do modelu liniowego (zlinearyzować).

Rozwiązanie

. Ze względu na postać modelu nieliniowego jego 

linearyzacja jest możliwa poprzez logarytmowanie po 
wykonaniu, którego otrzymuje się model zlinearyzowany 
postaci:

Podstawiając: 

ε

X

3

X

α

3

α

1

0

e

α

e

X

α

y

3

2

2

1



ε.

X

lnα

X

α

lnX

3

α

lnα

lny

3

3

2

2

1

1

0











3

3

2

2

1

1

0

0

3

3

2

2

1

1

lnα

,   β

α

,   β

3

α

,   β

lnα

β

,

X

,   Z

X

,   Z

lnX

lny,   Z

y

















~

12

GK (WEiP(10) - 2014)

Nieliniowe modele 

ekonometryczne -

sprowadzalne do liniowych 

(linearyzowalne)

otrzymuje się ostatecznie model zlinearyzowany postaci:

który, po spełnieniu założeń i odpowiednim do linearyzacji 
przekształceniu danych empirycznych (patrz: podstawienia) 
może być estymowany za pomocą KMNK. Oszacowania 
parametrów strukturalnych modelu nieliniowego (pierwotnego) 
otrzymuje się na podstawie oszacowań parametrów 
strukturalnych modelu zlinearyzowanego, tj. oszacowań 

b

0

, 

b

1

, 

b

2

 i 

b

3

 stosując przekształcenia odwrotne, co oznacza, że:



,

~

ε

Z

Z

Z

y

3

3

2

2

1

1

0



















.

3

0

b

3

2

2

1

1

b

0

e

,   a

b

,   a

3b

,   a

e

a









13

GK (WEiP(10) - 2014)

Nieliniowe modele 

ekonometryczne -

sprowadzalne do liniowych 

(linearyzowalne)

Weryfikacja modeli nieliniowych sprowadzanych do modeli 

liniowych względem parametrów strukturalnych przebiega tak 
samo jak dla modeli liniowych. Weryfikację przeprowadza się na 
postaci zlinearyzowanej. Dla modeli nieliniowych względem 
parametrów strukturalnych przeprowadza się dodatkowo badanie 
nieobciążoności reszt. Sprowadza się ono do zweryfikowania 
hipotezy zerowej
                         

        względem hipotezy alternatywnej

Sprawdzianem prawdziwości hipotezy zerowej jest statystyka 
postaci:

która ma rozkład t-Studenta z 



 = n-1 

stopniami swobody, gdzie 

              oraz

 

0

ε

E

:

H

0



 

.

0

ε

E

:

H

1



14

GK (WEiP(10) - 2014)

Nieliniowe modele 

ekonometryczne -

sprowadzalne do liniowych 

(linearyzowalne)

e

S

~

1

n

e

t











n

1

i

i

e

n

1

e





.

~









n

1

i

2

i

e

e

e

n

1

S

Przykład.

 

Korzystając z danych zawartych w 
tabeli należy opisać za pomocą 
modelu ekonometrycznego 
zależność pomiędzy średnimi 
miesięcznymi dochodami na 
osobę w rodzinie a rocznymi 
wydatkami na szeroko rozumianą 
kulturę. 

Nr 

obserwa

cji

Wydatki 

(y)

Dochod

y (X)

1

0,28

1,23

2

0,70

1,35

3

1,05

1,54

4

1,45

2,52

5

1,80

3,53

6

2,30

4,67

7

2,65

5,32

8

3,15

6,94

9

3,60

8,27

10

3,92

9,44

11

4,20

10,23

12

4,37

11,30

13

4,50

12,00

14

4,63

15,42

15

4,73

18,32

15

GK (WEiP(10) - 2014)

Nieliniowe modele 

ekonometryczne -

sprowadzalne do liniowych 

(linearyzowalne)

Rozwiązanie.

 

Z analizy wykresu wydatków na kulturę względem 

dochodów

wynika, że do opisu badanego zjawiska można przyjąć funkcję 
Törnquista II rodzaju, tj. funkcję postaci:

16

GK (WEiP(10) - 2014)

Nieliniowe modele 

ekonometryczne -

sprowadzalne do liniowych 

(linearyzowalne)

2

1

0

α

X

α

X

α

y







2

2

1

1

0

Z

β

Z

β

β

y

~







17

GK (WEiP(10) - 2014)

Nieliniowe modele 

ekonometryczne -

sprowadzalne do liniowych 

(linearyzowalne)

Postacie szczegółowe rozpatrywanej funkcji Törnquista po 
linearyzacji:

Wyniki estymacji parametrów strukturalnych 



0

, 



1

 i 



2

 modelu 

pierwotnego powinny być takie same bez względu na przyjętą 
do obliczeń szczegółową postać zlinearyzowanej funkcji 
Törnquista

.

 

X

Z

X

Z

X

1

Z

y

Z

yX

Z

X

y

Z

α

β

α

α

β

α

α

β

α

β

α

1

β

α

β

α

α

β

α

α

α

β

α

β

yX

y

~

y

y

~

y

y

~

2

2

2

1

1

1

0

2

2

0

2

1

0

2

2

1

2

1

2

1

1

0

0

2

1

0

0

0

0

3

posta

ć

2

posta

ć

1

posta

ć

















































18

GK (WEiP(10) - 2014)

Nieliniowe modele 

ekonometryczne -

sprowadzalne do liniowych 

(linearyzowalne)

Estymacja z wykorzystaniem postaci 1.

           Przekształcone dane 

Wyniki:

Dopasowanie:

Istotność parametrów 





0

5,5364

00



0

5,5364

00



1

-

2,9107

42



1

0,9234

75



2

-

5,1127

25



2

2,9107

42

R

2

 =

0,8979

15



0

0,000000

25



1

0,036579

08



2

0,000001

18

Nr 

obserwa

cji

ỹ            

  (y)

Z

1       

 

(y/X)

Z

2           

(1/X)

1

0,28

0,2276

0,8130

2

0,70

0,5185

0,7407

3

1,05

0,6818

0,6494

4

1,45

0,5754

0,3968

5

1,80

0,5099

0,2833

6

2,30

0,4925

0,2141

7

2,65

0,4981

0,1880

8

3,15

0,4539

0,1441

9

3,60

0,4353

0,1209

10

3,92

0,4153

0,1059

11

4,20

0,4106

0,0978

12

4,37

0,3867

0,0885

13

4,50

0,3750

0,0833

14

4,63

0,3003

0,0649

15

4,73

0,2582

0,0546

19

GK (WEiP(10) - 2014)

Nieliniowe modele 

ekonometryczne -

sprowadzalne do liniowych 

(linearyzowalne)

Estymacja z wykorzystaniem postaci 2.

           Przekształcone dane 

Wyniki:

Dopasowanie:

Istotność parametrów 

Nr 

obserwa

cji

ỹ            

  (y)

Z

1        

 

(yX)

Z

2           

(X)

1

0,28

0,3444

1,23

2

0,70

0,9450

1,35

3

1,05

1,6170

1,54

4

1,45

3,6540

2,52

5

1,80

6,3540

3,53

6

2,30

10,7410

4,67

7

2,65

14,0980

5,32

8

3,15

21,8610

6,94

9

3,60

29,7720

8,27

10

3,92

37,0048

9,44

11

4,20

42,9660

10,23

12

4,37

49,3810

11,30

13

4,50

54,0000

12,00

14

4,63

71,3946

15,42

15

4,73

86,6536

18,32



0

-

0,3743

96



0

7,3312

00



1

-

0,1252

15



1

0,4078

49



2

0,9179

78



2

7,9862

48

R

2

 =

0,9313

44



0

0,422194

92



1

0,010388

02



2

0,001045

04

20

GK (WEiP(10) - 2014)

Nieliniowe modele 

ekonometryczne -

sprowadzalne do liniowych 

(linearyzowalne)

Estymacja z wykorzystaniem postaci 3.

           Przekształcone dane 

Wyniki:

Dopasowanie:

Istotność parametrów 

Nr 

obserwa

cji

ỹ            

  (yX)

Z

1            

 

(y)

Z

2           

(X)

1

0,3444

0,28

1,23

2

0,9450

0,70

1,35

3

1,6170

1,05

1,54

4

3,6540

1,45

2,52

5

6,3540

1,80

3,53

6

10,7410

2,30

4,67

7

14,0980

2,65

5,32

8

21,8610

3,15

6,94

9

29,7720

3,60

8,27

10

37,0048

3,92

9,44

11

42,9660

4,20

10,23

12

49,3810

4,37

11,30

13

54,0000

4,50

12,00

14

71,3946

4,63

15,42

15

86,6536

4,73

18,32



0

-

6,8389

60



0

6,0991

40



1

-

3,4669

00



1

1,1212

99



2

6,0991

40



2

3,4669

00

R

2

 =

0,9940

11



0

0,000447

44



1

0,010388

02



2

0,000000

00

21

GK (WEiP(10) - 2014)

Nieliniowe modele 

ekonometryczne -

sprowadzalne do liniowych 

(linearyzowalne)

Rozpatrywanym dalej modelem nieliniowym 

będzie model 

ekonometryczny postaci:

gdzie 



 oznacza dowolną funkcję różnowartościową, ciągłą i 

dwukrotnie różniczkowalną, w której liczba parametrów 
strukturalnych nie musi odpowiadać liczbie zmiennych 
objaśniających.

Oszacowanie parametrów strukturalnych modelu 

nieliniowego uzyskuje się stosując jedną z metod należących do 
klasy 

Nieliniowych Metod Najmniejszych Kwadratów (NMNK)

.

Oszacowanie parametrów strukturalnych tego modelu uzyskuje 
się minimalizując sumę kwadratów reszt modelu, tj. kwadratów 
różnic pomiędzy wartościami empirycznymi a wartościami 
teoretycznymi zmiennej objaśnianej, tj.

gdzie 

a

0

, 

a

1

, 



, 

a

p

, są oszacowaniami parametrów strukturalnych 

modelu.

t

p

1

0

tk

t1

t

ε

)

,α

,

,α

,α

,x

,

(x

y





...

...



22

GK (WEiP(10) - 2014)

Nieliniowe modele 

ekonometryczne -

nieliniowe w sensie ścisłym





min

)

,a

,

,a

,a

,x

,

(x

y

e

S(a)

p

1

0

,a

,

,a

a

n

1

t

2

p

1

0

tk

t1

t

n

1

t

2

t

























...

...

...



Z warunku koniecznego istnienia ekstremum wynika następujący 
układ równań normalnych:

Modelem 

nieliniowym w sensie ścisłym

 będzie się nazywać 

model, dla którego powyższy układ równań normalnych jest 
nieliniowym układem równań względem parametrów 
strukturalnych.

Ponieważ taki układ równań najczęściej nie ma 

rozwiązania analitycznego, więc jest rozwiązywany za pomocą 
metod iteracyjnych. 





p

0,1,2,...,

i

0

a

)

a

,...,

a

,

a

,

x

,...,

(x

)

a

,...,

a

,

a

,

x

,...,

(x

y

2

a

S(a)

i

p

1

0

tk

1

t

n

1

t

p

1

0

tk

1

t

t

i



























23

GK (WEiP(10) - 2014)

Nieliniowe modele 

ekonometryczne -

nieliniowe w sensie ścisłym

Istota metody iteracyjnej polega na takim postępowaniu, aby w 
kolejnym 

(l+1)

-szym jej kroku uzyskać „lepsze” oszacowanie 

parametrów strukturalnych modelu niż uzyskane w kroku 
poprzednim, tj. spełniające następujący warunek:

gdzie 

a

l+1

 

i 

a

l

 oznaczają wektory oszacowań parametrów 

strukturalnych modelu uzyskane w 

(l+1)

-szym i w 

l

-tym kroku 

iteracji. 

Poszukiwanie „lepszego” oszacowanie parametrów 

strukturalnych modelu w kolejnym kroku iteracyjnym polega na 
korygowaniu oszacowania z poprzedniego kroku iteracyjnego o 
pewien wektor 

d

l

, 

przy czym 



 nosi nazwę długości kroku i może 

być dowolną stałą. Stąd 

i dalej

0,1,2,...

l

),

S(a

)

S(a

l

1

l







24

GK (WEiP(10) - 2014)

Nieliniowe modele 

ekonometryczne -

nieliniowe w sensie ścisłym

l

l

1

l

δd

a

a







...

0,1,2,

l

),

S(a

)

δd

S(a

l

l

l







Poszukuje się zatem takiego kierunku wyznaczonego przez 
wektor 

d

l

 aby funkcja 

była funkcją malejącą względem 

l

, dla 

l 

dostatecznie bliskich 

zera. Stąd pochodna funkcji kryterium musi być mniejsza od 
zera, tj.

gdzie 

  

oznacza gradient funkcji kryterium.

)

δd

S(a

l

l



0

δ

)

δd

(a

a

)

δd

S(a

δ

)

δd

S(a

l

l

T

l

l

l

l

l























































l

l

l

l

a

)

δd

S(a



























25

GK (WEiP(10) - 2014)

Nieliniowe modele 

ekonometryczne -

nieliniowe w sensie ścisłym

Stąd można zapisać

Niech wektor 

d

l

 będzie zdefiniowany następująco: 

przy czym 

Q

l

 jest dowolną kwadratową, dodatnio określoną 

macierzą rzędu 

(p+1)

. Wówczas forma kwadratowa macierzy 

Q

l

 

będzie spełniać następującą relację:

 

0

d

δ

)

δd

S(a

l

T

l

l

l













l

l

l

Q

d







 

0

Q

l

l

T

l

0

l

























26

GK (WEiP(10) - 2014)

Nieliniowe modele 

ekonometryczne -

nieliniowe w sensie ścisłym

Zatem ogólna formuła iteracyjna, definiując kolejne 
przybliżenie wektora oszacowań parametrów strukturalnych 
modelu, przyjmuje postać:

gdzie 

 

l

 jest długością kroku w 

l

-tej iteracji. 

Wyróżnia się dwa kryteria zakończenia procesu iteracyjnego:
•ustabilizowanie się wartości funkcji kryterium:

•ustabilizowanie się wartości wektora oszacowań parametrów 
strukturalnych modelu:

gdzie 



 jest przyjętym poziomem dokładności (współczynnikiem 

zbieżności) procesu iteracyjnego.

l

l

l

l

1

l

Q

δ

a

a









27

GK (WEiP(10) - 2014)



Nieliniowe modele 

ekonometryczne -

nieliniowe w sensie ścisłym

ε

)

S(a

)

S(a

l

1

l







p

0,1,2,...,

i

ε,

a

a

l

1

l

i

i









Metoda Gaussa-Newtona

. Najczęściej stosowana do estymacji 

parametrów strukturalnych nieliniowych w sensie ścisłym 
modeli ekonometrycznych. Opiera się na założeniu, że wartość 
średnia reszt modelu jest równa zeru. 

Algorytm metody.

1.Wyznaczenie wartości punktów startowych i wartości 
pierwszych pochodnych cząstkowych, względem parametrów 
strukturalnych występujących w modelu,

Szacowanie parametrów modelu nieliniowego 

rozpoczyna się od doboru wartości początkowych (tzw. punktów 
startowych) 

a

0

 tak, aby były one bliskie rzeczywistym wartościom 

parametrów 



 i umożliwiały otrzymanie zbieżności metody. 

Najczęściej metodę Gaussa-Newtona łączy się z inną metodą, 
która umożliwia otrzymanie dobrych początkowych przybliżeń 
parametrów. Taką metodę stanowi np. metoda 

m

 

punktów

 

polegająca na arbitralnym wyborze 

m

 punktów empirycznych i 

założeniu, że współrzędne tych punktów spełniają dokładnie 
formułę modelu ekonometrycznego 

28

GK (WEiP(10) - 2014)

Nieliniowe modele 

ekonometryczne -

nieliniowe w sensie ścisłym

)

α

,...,

α

,

α

,

x

,...,

(x

p

1

0

tk

1

t



W ten sposób uzyskuje się układ - przeważnie nieliniowy - 

m

 

równań z 

m 

niewiadomymi parametrami, których rozwiązanie 

stanowi szukane przybliżenie parametrów. 

Kolejnym etapem metody Gaussa-Newtona jest obliczenie 

pierwszych pochodnych cząstkowych 

względem parametrów 

strukturalnych występujących w modelu. Pierwsze pochodne 
cząstkowe wykorzystuje się we wzorze pozwalającym na 
obliczenie wartości odchyleń 

d

l

 kolejnych przybliżeń 

a

l.

 od 

wartości rzeczywistych 

a

. 

Pochodne funkcji elementarnych, jak również na 

pochodne funkcji wykładniczej i logarytmicznej:

29

GK (WEiP(10) - 2014)

Nieliniowe modele 

ekonometryczne -

nieliniowe w sensie ścisłym

2. Obliczenie wartości odchyleń 

d

l

 

kolejnych przybliżeń 

parametrów strukturalnych 

a

l

 od ich wartości rzeczywistych 

a

:

gdzie

jest macierzą 

n

 (p+1) 

pierwszych pochodnych cząstkowych 

modelu względem parametrów strukturalnych, obliczonych 
dla ustalonych w 

l

-tej iteracji przybliżeń 

a

l

.

 

30

GK (WEiP(10) - 2014)

Nieliniowe modele 

ekonometryczne -

nieliniowe w sensie ścisłym

 















































l

T

l

1

l

T

l

l

T

l

1

l

T

l

l

e

Z

Z

Z

a

X,

y

Z

Z

Z

d



 





l

i

i

a

i

l

ti

l

X,

f

z

Z





























3. Przebieg procedury iteracyjnej.

Mając dobrane wartości początkowe należy przystąpić do 
pierwszej iteracji. Postępowanie iteracyjne wykonuje się 
według wzoru, w którym w kolejnych iteracjach zamiast 

a

l

.

 

wykorzystuje się poprawione oceny parametrów:

przy czym pierwsza iteracja przyjmuje postać:

Procedura iteracyjna kończy się, gdy 

lub, gdy zostanie wykonana założona liczba iteracji.

31

GK (WEiP(10) - 2014)

Nieliniowe modele 

ekonometryczne -

nieliniowe w sensie ścisłym

l

l

1

l

d

a

a







.

d

a

a

0

0

1





p

0,1,2,...,

i

,

  

ε

d

  

  

ε

a

a

l

l

1

l

i

i

i













W praktyce można również spotkać następujące ujęcie metody 
Gaussa-Newtona, które polega na zastępowaniu w kolejnych 
iteracjach funkcji 

jej liniową aproksymantą, opartą na dwóch pierwszych 
składnikach rozwinięcia tej funkcji w szereg Taylora, tj.

a więc w kolejnych iteracjach jest minimalizowana suma 
kwadratów postaci:
 

)

...

...













,

(x

)

,

,

,

,

,x

,

(x

t

p

1

0

tk

t1







l

i

i

p

1

i

a

a

i

t

l

t

t

a

α

α

α)

,

(x

)

a

,

(x

α)

,

(x

l

i

i

































32

GK (WEiP(10) - 2014)

Nieliniowe modele 

ekonometryczne -

nieliniowe w sensie ścisłym





2

n

1

t

l

i

i

p

1

i

a

a

i

t

l

t

t

a

α

α

α)

,

(x

)

a

,

(x

y

l

i

i











































































Przykład.

Tabela zawiera dane dotyczące miesięcznych dochodów na osobę 
oraz miesięcznych wydatków na osobę na warzywa w pewnym 
roku. Na podstawie tych danych należy oszacować parametry 
modelu nieliniowego z dokładnością wynoszącą 

 = 0,016

.

Postać modelu opisującego zależność zmiennej objaśnianej od 
zmiennej objaśniającej jest następująca:

Estymację modelu przeprowadzić metodą Gaussa-Newtona.

33

GK (WEiP(10) - 2014)

Nieliniowe modele 

ekonometryczne -

nieliniowe w sensie ścisłym

Grupa 

dochodo

wa

Grupy dochodowe (miesięczne sumy dochodów na 1 osobę) w tys. zł

600 i 

mniej

600-

800

800-

1000

1000-

1400

1400-

1800

1800-

2200

2200-

2700

powyżej 

2700

t

1

2

3

4

5

6

7

8

x

t

510,7

718,1 911,3 1205,3 1596,7 1982,2 2420,6

3554,5

y

t

22,1

25,3

31,9

36,5

41,4

47,6

53,1

65,5

.

ε

α

x

x

α

y

t

1

t

t

0

t







Rozwiązanie.
1.Wyznaczenie punktów startowych i obliczenie pochodnych 
cząstkowych

W celu oszacowania parametrów strukturalnych 

analizowanego modelu nieliniowego za pomocą algorytmu 
Gaussa-Newtona należy wyznaczyć punkty startowe. W 
rozpatrywanym przykładzie przyjęto odpowiednio:

Obliczono pochodne:

34

GK (WEiP(10) - 2014)

Nieliniowe modele 

ekonometryczne -

nieliniowe w sensie ścisłym

2091.

a

     

99,

a

0

1

0

0









.

α

x

x

α

α

y

         

,

α

x

x

α

y

2

1

t

t

0

1

t

1

t

t

0

t



















2. Utworzenie macierzy 

Z

l  

oraz wektora reszt modelu 

e

l

.

Macierz 

Z

l 

:

Wektor reszt modelu 

e

l

:

35

GK (WEiP(10) - 2014)

Nieliniowe modele 

ekonometryczne -

nieliniowe w sensie ścisłym

 

















































































2

l

2

n

n

0

l

1

n

n

2

l

2

1

1

0

l

1

1

1

a

α

i

l

ti

l

a

x

x

α

a

x

x

...

...

a

x

x

α

a

x

x

α

α

X,

f

z

Z

l

i

i

 

























































l

1

n

n

l

0

n

l

1

1

1

l

0

1

l

t

t

l

t

l

a

x

x

a

y

...

a

x

x

a

y

a

,

x

f

y

e

e

3. Procedura iteracyjna.

Iteracyjne wykonywanie sekwencji następujących działań:

• obliczenie  wartości odchylenia 

d

l

:

• obliczenie  wartości oszacowania parametrów strukturalnych:

• zbadanie warunku końca algorytmu i podjęcie decyzji o jego 

zakończeniu lub wykonaniu kolejnej iteracji:

36

GK (WEiP(10) - 2014)

Nieliniowe modele 

ekonometryczne -

nieliniowe w sensie ścisłym

 















































l

T

l

1

l

T

l

l

T

l

1

l

T

l

l

e

Z

Z

Z

a

X,

y

Z

Z

Z

d



l

l

1

l

d

a

a







p

0,1,2,...,

i

,

  

ε

d

  

  

ε

a

a

l

l

1

l

i

i

i













4. Prezentacja wyników.

Iteracja 0

:

Ponieważ 

   należy wykonać kolejną iterację.

37

GK (WEiP(10) - 2014)

Nieliniowe modele 

ekonometryczne -

nieliniowe w sensie ścisłym

a

0

99

2091



)

0

(

1





)

0

(

2



0,19629 -0,00747
0,25563 -0,00901
0,30353 -0,01001

Z

0

 =

0,36565 -0,01098
0,43298 -0,01162
0,48664 -0,01183
0,53653 -0,01177
0,62962 -0,01104

2,66682

-0,00771

1,85014

e

0

 =

0,30041

-1,46501
-0,57780
-0,01628

3,16797

d

0

 = 

2,74950

48,48818



)

0

(

1



d



)

0

(

2



d

0,1

i

,

  

0,016

d

 

0

i





Iteracja 1

:

 Ponieważ 

   należy wykonać kolejną iterację.

38

GK (WEiP(10) - 2014)

Nieliniowe modele 

ekonometryczne -

nieliniowe w sensie ścisłym

a

1

99 + 2,74950 = 101,74950

2091 + 48,48818 = 

2139,48818



)

0

(

1





)

0

(

2



0,19270 -0,00740
0,25130 -0,00895
0,29871 -0,00996

Z

1

 =

0,36035 -0,01096
0,42736 -0,01164
0,48092 -0,01187
0,53082 -0,01184
0,62425 -0,01116

2,49254

-0,26923

1,50644

e

1

 =

-0,16560
-2,08374
-1,33331
-0,91098

1,98238

d

1

 = 

0,09839

3,27285



)

0

(

1



d



)

0

(

2



d

0,1

i

,

  

0,016

d

 

1

i





Iteracja 2

:

 Ponieważ 

   należy wykonać kolejną iterację.

39

GK (WEiP(10) - 2014)

Nieliniowe modele 

ekonometryczne -

nieliniowe w sensie ścisłym

a

2

101,74950 + 0,09839 = 101,84789

2139,48818 + 3,27285 = 2142,76103



)

0

(

1





)

0

(

2



0,19247

-

0,007387

4

0,25101

-

0,008936

0,29839

-

0,009950

8

Z

2

 =

0,36000

-

0,010951

2

0,42699

-

0,011629

4

0,48054

-

0,011864

8

0,53044

-

0,011838

7

0,62390

-

0,011153

2

2,49778

-0,26467

1,50965

e

2

 =

-0,16518
-2,08769
-1,34177
-0,92444

1,95748

d

2

 =

0,00562

0,22828



)

0

(

1



d



)

0

(

2



d

  

0,016

d

 

2

1



Iteracja 3

:

Ponieważ 

                   proces iteracji został 

zakończony. Wektor 

a

3

 

jest wektorem przybliżonych wartości parametrów 
strukturalnych estymowanego modelu nieliniowego.

40

GK (WEiP(10) - 2014)

Nieliniowe modele 

ekonometryczne -

nieliniowe w sensie ścisłym

a

3

101,84789 + 0,00562 = 101,85351

2142,76103 + 0,22828 = 2142,98931



)

0

(

1





)

0

(

2



0,19245

-

0,007387

0,25099

-

0,008935

0,29837 -0,00995

Z

3

 =

0,35997 -0,01095

0,42696

-

0,011629

0,48051

-

0,011864

0,53042

-

0,011838

0,62387

-

0,011153

2,49839

-0,26404

1,51024

e

3

 =

-0,16471
-2,08744
-1,34176
-0,92472

1,95652

d

3

 =

0,00039

0,01576



)

0

(

1



d



)

0

(

2



d

0,1

i

,

  

0,016

d

 

3

i





41

GK (WEiP(10) - 2014)