Rozwiązywanie równań

nieliniowych

- Metoda bisekcji
- Metoda stycznych
- Metoda siecznych

Metody numeryczne

książki

półka na książki

 

x

x

x

x

x

v

018506

.

0

10

66723

.

0

10

13534

.

0

10

42493

.

0

4

6

5

8

3

4





















0

018506

.

0

10

26689

.

0

10

67670

.

0

10

12748

.

0

)

(

3

5

4

8

2

3























x

x

x

x

f

Długość=73,66cm
Głębokość=30,48cm
Grubość=0,953cm

Pionowe ugięcie półki:

Maksymalne ugięcie półki dv/dx=0

Metoda bisekcji

a

f(x)

b

x

x

f(a)*f(b)<
0

x=(a+b)/2

Matlab

K

P

D a n e w e jś c io w e

D a n e w y jś c io w e

a k c ja - d z ia ła n i a

w a r u n e k

p y ta n ie

je ż e li?

T A K

N I E

p o c z ą t e k

p r o g r a m u

w p r o w a d z a n ie

d a n y c h

% N a z w a p r o g r a m u

- o p is

% d z ia ła n ia p r o g r a m u

%

k o m e n ta r z e

z m ie n n a = i n p u t (’n a z w a _ z m i e n n e j= ’)

. . .

i f

e l s e i f

e l s e

e n d

w y r a ż e n ie

in s tr u k c je

w y r a ż e n ie

in s tr u k c je

in s t r u k c je

I n s tr u k c ja w a r u n k o w a

in s tr u k c je : p r o s te , m a te m a ty c z n e

s p e c ja ln e : s w itc h . .. c a s e . .. e n d ,

f o r. . e n d , w h ile . . . e n d ,

D r u k o w a n ie w y n ik ó w

d i s p ( z m i e n n a - ty lk o je d n a )

d is p s tr c a t

n u m 2 s tr

(

( ’z m ie n n a = ’,

( z m ie n n a ) ) )

łą c z e n ie k ilk u

z m ie n n y c h

z a m ia n a z m ie n n e j

lic z b o w e j n a te k s to w ą

k o n ie c s k r y p tu - m a tla b n i e

w y m a g a s p e c ja ln e g o z a k o ń c z e n ia

ki

er

un

ek

p

is

an

ia

s

kr

yp

tu

A lg o r y tm ik a - s c h e m a ty b lo k o w e

( w r a z z e s tr u k tu r ą in s tr u k c ji M a tla b a - w y tłu s z c z o n y d r u k )

E . F r e id e n b e r g

K

P

D r u k : a ,b , f ( a ) , f( b )

x = ( a + b ) /2

y = f ( x )

T A K

T A K

T A K

N I E

N I E

E . F r e id e n b e r g

y = 0

?

f ( a ) *

< 0

?

f (x )

b = x

f ( b ) = y

a = x

f ( a ) = y

|b - a |< e p s

?

D r u k x

a

a

b

b

x

x

f ( x )

f ( x )

f ( a )

f ( a )

M e to d a b i s e k c j i

( p o ło w ie n ie

p r z e d z ia łu )

f(x)

x

 

2

x

x

f



f(x)

x

 

x

x

f

1



x



f(x)

x

u

x

x



f(x)

x

u

x

Metoda stycznych

f(x)

f(x

i

)

x

i+1

x

i

X

B

C

A



AC

AB

tg







(

1

)

(

)

(

'







i

i

i

i

x

x

x

f

x

f

)

(

'

)

(

1

i

i

i

i

x

f

x

f

x

x







-20

-15

-10

-5

0

5

10

-2

-1

0

1

2

1

2

3

f(x)

x

  



0

1

3





 x

x

f

-1.00E-05

-7.50E-06

-5.00E-06

-2.50E-06

0.00E+00

2.50E-06

5.00E-06

7.50E-06

1.00E-05

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

x

f(x)

0.02

 

0

10

x

4

.

2

03

.

0

6

2

3











x

x

x

f

Punkt przegięcia

Dzielenie przez zero

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-2

0

2

4

6

8

10

x

f(x)

-0.0630690.54990

4.462

7.53982

 

0





x

Sin

x

f

Skok poprzez pierwiastki

-1

0

1

2

3

4

5

6

-2

-1

0

1

2

3

f(x)

x

3

4

2

1

-1.75

-0.3040

0.5

3.142

 

0

2

2





x

x

f

Oscylacja pomiędzy lokalnymi minimami lub maksymami

Metoda siecznych

f(x)

f(x

i

)

f(x

i-1

)

x

i+2

x

i+1

x

i

X



 





i

i

x

f

x

,

)

(x

f

)

f(x

-

= x

x

i

i

i

i



1

1

1

)

(

)

(

)

(













i

i

i

i

i

x

x

x

f

x

f

x

f

)

(

)

(

)

)(

(

1

1

1















i

i

i

i

i

i

i

x

f

x

f

x

x

x

f

x

x

Definicja pochodnej

MathCad – rozwiązywanie

równań nieliniowych

• należy zdefiniować funkcję dla której

chcemy liczyć pierwiastek

f(x):=5x^2-20*x+44
• należy określić przybliżoną wartość

niewiadomej i wpisać polecenie root

(f(x),x)

x:=2
root(f(x),x)=

MathCad- coś lepszego, niż funkcja

root (NIESTETY tylko dla wielomianów)

polyroots(v) - funkcja ta nie wymaga deklaracji

wartości przypuszczalnej, oblicza wszystkie

pierwiastki od razu

• aby skorzystać z tej funkcji należy utworzyć

wektor ze współczynników. Tworzenie wektora

CTRL+M

• Uwaga: nie wolno ominąć żadnego

współczynnika, nawet wtedy gdy mamy wpisać 0,

• wpisujemy od góry zaczynając od podania

współczynnika przy xo

MathCAD – w bloku Given-

Find

• Należy zdefiniować początkowe,

przewidywane wartości niewiadomych

• Wpisać słowo Given
• wprowadzić wszystkie równania i

nierówności. Należy pamiętać by znak

równości podawać CTRL+=

• użyć funkcji Find(z0,z1,...) lub

Maximize(f,z0,z1,...) lub Minerr(zo,z1,...)

lub Minimize(f,z0,z1,....)

Matlab – wbudowana

funkcja

• x=fzero(‘funkcja’,x0)

• Funkcja jest tekstem zawierającym

nazwę funkcji (wbudowanej lub
zdefiniowanej w zewnętrznym pliku)

• x0 – otoczenie punktu w jakim ma

być poszukiwany pierwiastek

• x=fzero(‘cos’,6)

Deklarowanie funkcji w

matlabie

function [y]=ugiecie(x)
y=0.12748e-3.*x.^2-0.6767e-8.*x.^4

0

018506

.

0

10

26689

.

0

10

67670

.

0

10

12748

.

0

)

(

3

5

4

8

2

3























x

x

x

x

f

MUSI być zapisane w m-pliku matlaba z nazwą funkcji, czyli w naszym przypadku
Plik będzie miał nazwę ugięcie.m