Rozwiązywanie równań 

nieliniowych

- Metoda bisekcji
- Metoda stycznych 
- Metoda siecznych

Metody numeryczne

 

 

 

 książki 

półka na książki 

 

x

x

x

x

x

v

018506

.

0

10

66723

.

0

10

13534

.

0

10

42493

.

0

4

6

5

8

3

4





















0

018506

.

0

10

26689

.

0

10

67670

.

0

10

12748

.

0

)

(

3

5

4

8

2

3























x

x

x

x

f

Długość=73,66cm
Głębokość=30,48cm
Grubość=0,953cm

Pionowe ugięcie półki:

Maksymalne ugięcie półki dv/dx=0

 

 

Metoda bisekcji

 

 

a 

 f(x) 

b 

 x 

x 

f(a)*f(b)<
0

x=(a+b)/2

 

 

Matlab

K

P

D a n e   w e jś c io w e

D a n e  w y jś c io w e

a k c ja - d z ia ła n i a

w a r u n e k

p y ta n ie

je ż e li?

T A K

N I E

p o c z ą t e k

p r o g r a m u

w p r o w a d z a n ie

d a n y c h

% N a z w a  p r o g r a m u

  -   o p is

% d z ia ła n ia   p r o g r a m u

%

k o m e n ta r z e

z m ie n n a = i n p u t  (’n a z w a _ z m i e n n e j= ’)

 

 

. . .

 

i f

e l s e i f

e l s e

e n d

w y r a ż e n ie

in s tr u k c je

w y r a ż e n ie

in s tr u k c je

in s t r u k c je

I n s tr u k c ja   w a r u n k o w a

in s tr u k c je :   p r o s te ,  m a te m a ty c z n e

s p e c ja ln e :   s w itc h . .. c a s e . .. e n d ,

f o r. . e n d ,  w h ile . . . e n d , 

D r u k o w a n ie   w y n ik ó w

d i s p ( z m i e n n a - ty lk o   je d n a )

d is p s tr c a t

n u m 2 s tr

(

( ’z m ie n n a = ’,

( z m ie n n a ) ) )

łą c z e n ie   k ilk u

z m ie n n y c h

z a m ia n a   z m ie n n e j

lic z b o w e j  n a   te k s to w ą

k o n ie c  s k r y p tu   -   m a tla b   n i e

w y m a g a   s p e c ja ln e g o   z a k o ń c z e n ia

ki

er

un

ek

 p

is

an

ia

 s

kr

yp

tu

A lg o r y tm ik a  -  s c h e m a ty   b lo k o w e  

( w r a z   z e   s tr u k tu r ą   in s tr u k c ji  M a tla b a   -   w y tłu s z c z o n y   d r u k )

E .   F r e id e n b e r g

K

P

D r u k : a ,b , f ( a ) ,   f( b )

x = ( a + b ) /2

y = f ( x )

T A K

T A K

T A K

N I E

N I E

E .   F r e id e n b e r g

y = 0

?

f ( a ) *

< 0

?

f (x )

b = x

f ( b ) = y

a = x

f ( a ) = y

|b - a |< e p s

?

D r u k   x

a

a

b

b

x

x

f ( x )

f ( x )

f ( a )

f ( a )

M e to d a  b i s e k c j i

( p o ło w ie n ie

p r z e d z ia łu )

 

 

 f(x)

 x

 

2

x

x

f



 f(x)

 x

 

x

x

f

1



 

 

x



 

 

f(x) 

 x

u

 

 

x 

 

 

x



 

 

f(x) 

 x

u

 

 

x 

 

 

 

 

Metoda stycznych

 

 f(x) 

 f(x

i

) 

x

i+1

 

x

i

 

 X 

 B 

 C 

 A 



AC

AB

tg







(

1

)

(

)

(

'







i

i

i

i

x

x

x

f

x

f

)

(

'

)

(

1

i

i

i

i

x

f

x

f

x

x







 

 

-20

-15

-10

-5

0

5

10

-2

-1

0

1

2

 

1

 

2

 

3

 f(x)

 x

  



0

1

3





 x

x

f

-1.00E-05

-7.50E-06

-5.00E-06

-2.50E-06

0.00E+00

2.50E-06

5.00E-06

7.50E-06

1.00E-05

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

x

f(x)

0.02

 

0

10

x

4

.

2

03

.

0

6

2

3











x

x

x

f

Punkt przegięcia

Dzielenie przez zero

 

 

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-2

0

2

4

6

8

10

x

f(x)

 -0.0630690.54990

4.462

 7.53982

 

0

  



x

Sin

x

f

Skok poprzez pierwiastki

 

 

-1

0

1

2

3

4

5

6

-2

-1

0

1

2

3

f(x)

x

 

3

 

4

 

2

 1

 -1.75

 -0.3040

0.5

3.142

 

0

2

 

2





x

x

f

Oscylacja pomiędzy lokalnymi minimami lub maksymami

 

 

Metoda siecznych

 

 f(x) 

f(x

i

) 

f(x

i-1

) 

x

i+2

 x

i+1

  x

i

 

 X 

  

 

 

 





i

i

x

f

x

,

 

 

 

)

(x

f

)

f(x

 - 

 = x

x

i

i

i

i



1

1

1

)

(

)

(

)

(













i

i

i

i

i

x

x

x

f

x

f

x

f

)

(

)

(

)

)(

(

1

1

1















i

i

i

i

i

i

i

x

f

x

f

x

x

x

f

x

x

Definicja pochodnej

 

 

MathCad – rozwiązywanie 

równań nieliniowych

• należy zdefiniować funkcję dla której 

chcemy liczyć pierwiastek 

f(x):=5x^2-20*x+44
• należy określić przybliżoną wartość 

niewiadomej  i wpisać polecenie root 

(f(x),x)

x:=2
root(f(x),x)=

 

 

MathCad- coś lepszego, niż funkcja 

root (NIESTETY tylko dla wielomianów)

polyroots(v) - funkcja ta nie wymaga deklaracji 

wartości przypuszczalnej, oblicza wszystkie 

pierwiastki od razu

• aby skorzystać z tej funkcji należy utworzyć 

wektor ze współczynników. Tworzenie wektora 

CTRL+M

• Uwaga: nie wolno ominąć żadnego 

współczynnika, nawet wtedy gdy mamy wpisać 0, 

• wpisujemy od góry zaczynając od podania 

współczynnika przy xo

 

 

MathCAD – w bloku Given-

Find

• Należy zdefiniować początkowe, 

przewidywane wartości niewiadomych

• Wpisać słowo Given 
• wprowadzić wszystkie równania i 

nierówności. Należy pamiętać by znak 

równości podawać CTRL+=

• użyć funkcji Find(z0,z1,...) lub 

Maximize(f,z0,z1,...) lub Minerr(zo,z1,...) 

lub Minimize(f,z0,z1,....)

 

 

Matlab – wbudowana 

funkcja

• x=fzero(‘funkcja’,x0)

• Funkcja jest tekstem zawierającym 

nazwę funkcji (wbudowanej lub 
zdefiniowanej w zewnętrznym pliku)

• x0 – otoczenie punktu w jakim ma 

być poszukiwany pierwiastek

• x=fzero(‘cos’,6)

 

 

Deklarowanie funkcji w 

matlabie

function [y]=ugiecie(x)
y=0.12748e-3.*x.^2-0.6767e-8.*x.^4

0

018506

.

0

10

26689

.

0

10

67670

.

0

10

12748

.

0

)

(

3

5

4

8

2

3























x

x

x

x

f

MUSI być zapisane w m-pliku matlaba z nazwą funkcji, czyli w naszym przypadku
Plik będzie miał nazwę  ugięcie.m